2012年上海高考數學(理科)試卷.doc

高考專題高考數學2012年上海高考數學（理科）試卷 一、填空題（本大題共有14題，滿分56分） 1計算：= （i為虛數單位）. 2若集合，則= . 3函數的值域是 . 4若是直線的一個法向量，則的傾斜角的大小為 （結果用反三角函數值表示）. 5在的二項展開式中，常數項等于 . 6有一列正方體，棱長組成以1為首項，為公比的等比數列，體積分別記為V1,V2,Vn,，則 . 7已知函數（a為常數）.若在區(qū)間1,+)上是增函數，則a的取值范圍是 . 8若一個圓錐的側面展開圖是面積為2p的半圓面，則該圓錐的體積為 . 9已知是奇函數，且.若，則 .xOMlaOMxla10如圖，在極坐標系中，過點的直線與極軸的夾角.若將的極坐標方程寫成的形式，則 .11三位同學參加跳高、跳遠、鉛球項目的比賽.若每人都選擇其中兩個項目，則有且僅有兩人選擇的項目完全相同的概率是 （結果用最簡分數表示）.12在平行四邊形ABCD中，A=, 邊AB、AD的長分別為2、1. 若M、N分別是邊BC、CD上的點，且滿足，則的取值范圍是 .13已知函數的圖像是折線段ABC，若中A(0,0)，B(,5)，C(1,0).函數的圖像與x軸圍成的圖形的面積為 .ABCD14如圖，AD與BC是四面體ABCD中互相垂直的棱，BC=2. 若AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a、c為常數，則四面體ABCD的體積的最大值是 .二、選擇題（本大題共有4題，滿分20分）15若是關于x的實系數方程的一個復數根，則（ ）（A）.（B）.（C）.（D）.16在中，若，則的形狀是（ ）（A）銳角三角形.（B）直角三角形.（C）鈍角三角形.（D）不能確定.17設，. 隨機變量取值、的概率均為0.2，隨機變量取值、的概率也為0.2. 若記、分別為、的方差，則（ ）（A）.（B）.（C）.（D）與的大小關系與、的取值有關.18設，. 在中，正數的個數是（ ）ABCDPE（A）25.（B）50.（C）75.（D）100.三、解答題（本大題共有5題，滿分74分）19如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA底面ABCD，E是PC的中點.已知AB=2，AD=2，PA=2.求：（1）三角形PCD的面積；（6分）（2）異面直線BC與AE所成的角的大小.（6分）20已知函數. （1）若，求的取值范圍；（6分） （2）若是以2為周期的偶函數，且當時，有，求函數的反函數.（8分）21海事救援船對一艘失事船進行定位：以失事船的當前位置為原點，以正北方向為y軸正方向建立平面直角坐標系（以1海里為單位長度），則救援船恰在失事船的正南方向12海xOyPA里A處，如圖. 現假設：失事船的移動路徑可視為拋物線；定位后救援船即刻沿直線勻速前往救援；救援船出發(fā)小時后，失事船所在位置的橫坐標為. （1）當時，寫出失事船所在位置P的縱坐標. 若此時兩船恰好會合，求救援船速度的大小和方向；（6分） （2）問救援船的時速至少是多少海里才能追上失事船？（8分）22在平面直角坐標系中，已知雙曲線. （1）過的左頂點引的一條漸近線的平行線，求該直線與另一條漸近線及x軸圍成的三角形的面積；（4分） （2）設斜率為1的直線l交于P、Q兩點，若l與圓相切，求證：OPOQ；（6分） （3）設橢圓. 若M、N分別是、上的動點，且OMON，求證：O到直線MN的距離是定值.（6分）23對于數集，其中，定義向量集. 若對于任意，存在，使得，則稱X具有性質P. 例如具有性質P. （1）若x2，且，求x的值；（4分） （2）若X具有性質P，求證：1X，且當xn1時，x1=1；（6分） （3）若X具有性質P，且x1=1，x2=q（q為常數），求有窮數列的通項公式.（8分）2012年上海高考數學（理科）試卷解答 一、填空題（本大題共有14題，滿分56分） 1計算：= 1-2i （i為虛數單位）. 2若集合，則= . 3函數的值域是 . 4若是直線的一個法向量，則的傾斜角的大小為 arctan2 （結果用反三角函數值表示）. 5在的二項展開式中，常數項等于 -160 . 6有一列正方體，棱長組成以1為首項，為公比的等比數列，體積分別記為V1,V2,Vn,，則 . 7已知函數（a為常數）.若在區(qū)間1,+)上是增函數，則a的取值范圍是 (-, 1 . 8若一個圓錐的側面展開圖是面積為2p的半圓面，則該圓錐的體積為 .xOMla 9已知是奇函數，且.若，則 -1 .10如圖，在極坐標系中，過點的直線與極軸的夾角.若將的極坐標方程寫成的形式，則 .11三位同學參加跳高、跳遠、鉛球項目的比賽.若每人都選擇其中兩個項目，則有且僅有兩人選擇的項目完全相同的概率是（結果用最簡分數表示）.12在平行四邊形ABCD中，A=, 邊AB、AD的長分別為2、1. 若M、N分別是邊BC、CD上的點，且滿足，則的取值范圍是 2, 5 .ABCD13已知函數的圖像是折線段ABC，若中A(0,0)，B(,5)，C(1,0).函數的圖像與x軸圍成的圖形的面積為.14如圖，AD與BC是四面體ABCD中互相垂直的棱，BC=2. 若AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a、c為常數，則四面體ABCD的體積的最大值是 .二、選擇題（本大題共有4題，滿分20分）15若是關于x的實系數方程的一個復數根，則（ B ）（A）.（B）.（C）.（D）.16在中，若，則的形狀是（ C ）（A）銳角三角形.（B）直角三角形.（C）鈍角三角形.（D）不能確定.17設，. 隨機變量取值、的概率均為0.2，隨機變量取值、的概率也為0.2. 若記、分別為、的方差，則（ A ）（A）.（B）.（C）.（D）與的大小關系與、的取值有關.18設，. 在中，正數的個數是（ D ）（A）25.（B）50.（C）75.（D）100.ABCDPE三、解答題（本大題共有5題，滿分74分）19如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA底面ABCD，E是PC的中點.已知AB=2，AD=2，PA=2.求：（1）三角形PCD的面積；（6分）（2）異面直線BC與AE所成的角的大小.（6分）解（1）因為PA底面ABCD，所以PACD，又ADCD，所以CD平面PAD， 從而CDPD. 3分ABCDPExyz 因為PD=，CD=2， 所以三角形PCD的面積為. 6分 （2）解法一如圖所示，建立空間直角坐標系， 則B(2, 0, 0)，C(2, 2,0)，E(1, , 1)， ，. 8分 設與的夾角為q，則 ，q=.ABCDPEF 由此可知，異面直線BC與AE所成的角的大小是 12分 解法二取PB中點F，連接EF、AF，則 EFBC，從而AEF（或其補角）是異面直線 BC與AE所成的角 8分 在中，由EF=、AF=、AE=2 知是等腰直角三角形， 所以AEF=. 因此異面直線BC與AE所成的角的大小是 12分20已知函數. （1）若，求的取值范圍；（6分） （2）若是以2為周期的偶函數，且當時，有，求函數的反函數.（8分）解（1）由，得. 由得. 3分 因為，所以，. 由得. 6分 （2）當x1,2時，2-x0,1，因此. 10分由單調性可得.因為，所以所求反函數是，. 14分21海事救援船對一艘失事船進行定位：以失事船的當前位置為原點，以正北方向為y軸xOyPA正方向建立平面直角坐標系（以1海里為單位長度），則救援船恰在失事船的正南方向12海里A處，如圖. 現假設：失事船的移動路徑可視為拋物線；定位后救援船即刻沿直線勻速前往救援；救援船出發(fā)小時后，失事船所在位置的橫坐標為. （1）當時，寫出失事船所在位置P的縱坐標. 若此時兩船恰好會合，求救援船速度的大小和方向；（6分） （2）問救援船的時速至少是多少海里才能追上失事船？（8分）解（1）時，P的橫坐標xP=，代入拋物線方程 中，得P的縱坐標yP=3. 2分 由|AP|=，得救援船速度的大小為海里/時. 4分 由tanOAP=，得OAP=arctan，故救援船速度的方向 為北偏東arctan弧度. 6分 （2）設救援船的時速為海里，經過小時追上失事船，此時位置為. 由，整理得.10分 因為，當且僅當=1時等號成立， 所以，即. 因此，救援船的時速至少是25海里才能追上失事船. 14分22在平面直角坐標系中，已知雙曲線. （1）過的左頂點引的一條漸近線的平行線，求該直線與另一條漸近線及x軸圍成的三角形的面積；（4分） （2）設斜率為1的直線l交于P、Q兩點，若l與圓相切，求證：OPOQ；（6分） （3）設橢圓. 若M、N分別是、上的動點，且OMON，求證：O到直線MN的距離是定值.（6分）解（1）雙曲線，左頂點，漸近線方程：. 過點A與漸近線平行的直線方程為，即. 解方程組，得. 2分 所以所求三角形的面積1為. 4分 （2）設直線PQ的方程是.因直線與已知圓相切， 故，即. 6分 由，得. 設P(x1, y1)、Q(x2, y2)，則. 又2，所以 ，故OPOQ. 10分 （3）當直線ON垂直于x軸時， |ON|=1，|OM|=，則O到直線MN的距離為. 當直線ON不垂直于x軸時， 設直線ON的方程為（顯然），則直線OM的方程為. 由，得，所以.同理. 13分 設O到直線MN的距離為d，因為， 所以，即d=. 綜上，O到直線MN的距離是定值. 16分23對于數集，其中，定義向量集. 若對于任意，存在，使得，則稱X具有性質P. 例如具有性質P. （1）若x2，且，求x的值；（4分） （2）若X具有性質P，求證：1X，且當xn1時，x1=1；（6分） （3）若X具有性質P，且x1=1，x2=q（q為常數），求有窮數列的通項公式.（8分）解（1）選取，Y中與垂直的元素必有形式. 2分 所以x=2b，從而x=4. 4分 （2）證明：取.設滿足. 由得，所以、異號. 因為-1是X中唯一的負數，所以、中之一為-1，另一為1，故1X. 7分假設，其中，則.選取，并設滿足，即，則、異號，從而、之中恰有一個為-1.若=-1，則2，矛盾；若=-1，則，矛盾.所以x1=1. 10分 （3）解法一猜測，i=1, 2, , n. 12分 記，k=2, 3, , n. 先證明：若具有性質P，則也具有性質P. 任取，、.當、中出現-1時，顯然有滿足； 當且時，、1. 因為具有性質P，所以有，、，使得，從而和中有一個是-1，不妨設=-1.假設且，則.由，得，與矛盾.所以.從而也具有性質P. 15分現用數學歸納法證明：，i=1, 2, , n.當n=2時，結論顯然成立； 假設n=k時，有性質P，則，i=1, 2,