第9章+MATLAB符號計算（MATLAB程序設(shè)計教程電子教案）.ppt

第9章MATLAB符號計算9 1符號對象9 2符號微積分9 3級數(shù)9 4符號方程求解 9 1符號對象9 1 1建立符號對象1 建立符號變量和符號常量MATLAB提供了兩個建立符號對象的函數(shù) sym和syms 兩個函數(shù)的用法不同 1 sym函數(shù)sym函數(shù)用來建立單個符號量 一般調(diào)用格式為 符號量名 sym 符號字符串 該函數(shù)可以建立一個符號量 符號字符串可以是常量 變量 函數(shù)或表達式 應(yīng)用sym函數(shù)還可以定義符號常量 使用符號常量進行代數(shù)運算時和數(shù)值常量進行的運算不同 下面的命令用于比較符號常量與數(shù)值常量在代數(shù)運算時的差別 2 syms函數(shù)函數(shù)sym一次只能定義一個符號變量 使用不方便 MATLAB提供了另一個函數(shù)syms 一次可以定義多個符號變量 syms函數(shù)的一般調(diào)用格式為 syms符號變量名1符號變量名2 符號變量名n用這種格式定義符號變量時不要在變量名上加字符串分界符 變量間用空格而不要用逗號分隔 2 建立符號表達式含有符號對象的表達式稱為符號表達式 建立符號表達式有以下3種方法 1 利用單引號來生成符號表達式 2 用sym函數(shù)建立符號表達式 3 使用已經(jīng)定義的符號變量組成符號表達式 9 1 2符號表達式運算1 符號表達式的四則運算符號表達式的加 減 乘 除運算可分別由函數(shù)symadd symsub symmul和symdiv來實現(xiàn) 冪運算可以由sympow來實現(xiàn) 2 符號表達式的提取分子和分母運算如果符號表達式是一個有理分式或可以展開為有理分式 可利用numden函數(shù)來提取符號表達式中的分子或分母 其一般調(diào)用格式為 n d numden s 該函數(shù)提取符號表達式s的分子和分母 分別將它們存放在n與d中 3 符號表達式的因式分解與展開MATLAB提供了符號表達式的因式分解與展開的函數(shù) 函數(shù)的調(diào)用格式為 factor s 對符號表達式s分解因式 expand s 對符號表達式s進行展開 collect s 對符號表達式s合并同類項 collect s v 對符號表達式s按變量v合并同類項 4 符號表達式的化簡MATLAB提供的對符號表達式化簡的函數(shù)有 simplify s 應(yīng)用函數(shù)規(guī)則對s進行化簡 simple s 調(diào)用MATLAB的其他函數(shù)對表達式進行綜合化簡 并顯示化簡過程 5 符號表達式與數(shù)值表達式之間的轉(zhuǎn)換利用函數(shù)sym可以將數(shù)值表達式變換成它的符號表達式 函數(shù)numeric或eval可以將符號表達式變換成數(shù)值表達式 9 1 3符號表達式中變量的確定MATLAB中的符號可以表示符號變量和符號常量 findsym可以幫助用戶查找一個符號表達式中的的符號變量 該函數(shù)的調(diào)用格式為 findsym s n 函數(shù)返回符號表達式s中的n個符號變量 若沒有指定n 則返回s中的全部符號變量 9 1 4符號矩陣符號矩陣也是一種符號表達式 所以前面介紹的符號表達式運算都可以在矩陣意義下進行 但應(yīng)注意這些函數(shù)作用于符號矩陣時 是分別作用于矩陣的每一個元素 由于符號矩陣是一個矩陣 所以符號矩陣還能進行有關(guān)矩陣的運算 MATLAB還有一些專用于符號矩陣的函數(shù) 這些函數(shù)作用于單個的數(shù)據(jù)無意義 例如transpose s 返回s矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣 determ s 返回s矩陣的行列式值 其實 曾介紹過的許多應(yīng)用于數(shù)值矩陣的函數(shù) 如diag triu tril inv det rank eig等 也可直接應(yīng)用于符號矩陣 9 2符號微積分9 2 1符號極限limit函數(shù)的調(diào)用格式為 1 limit f x a 求符號函數(shù)f x 的極限值 即計算當(dāng)變量x趨近于常數(shù)a時 f x 函數(shù)的極限值 2 limit f a 求符號函數(shù)f x 的極限值 由于沒有指定符號函數(shù)f x 的自變量 則使用該格式時 符號函數(shù)f x 的變量為函數(shù)findsym f 確定的默認自變量 即變量x趨近于a 3 limit f 求符號函數(shù)f x 的極限值 符號函數(shù)f x 的變量為函數(shù)findsym f 確定的默認變量 沒有指定變量的目標(biāo)值時 系統(tǒng)默認變量趨近于0 即a 0的情況 4 limit f x a right 求符號函數(shù)f的極限值 right 表示變量x從右邊趨近于a 5 limit f x a left 求符號函數(shù)f的極限值 left 表示變量x從左邊趨近于a 例9 1求下列極限 極限1 symsamx f x exp sin x 1 2 exp tan x 1 x a limit f x a ans 1 2 a exp sin a 1 2 a exp tan a 1 a極限2 symsxt limit 1 2 t x 3 x x inf ans exp 6 t 極限3 symsx f x sqrt x 2 1 x limit f x inf left ans 1 2極限4 symsx f sqrt x sqrt 2 sqrt x 2 sqrt x x 4 limit f x 2 right ans 1 2 9 2 2符號導(dǎo)數(shù)diff函數(shù)用于對符號表達式求導(dǎo)數(shù) 該函數(shù)的一般調(diào)用格式為 diff s 沒有指定變量和導(dǎo)數(shù)階數(shù) 則系統(tǒng)按findsym函數(shù)指示的默認變量對符號表達式s求一階導(dǎo)數(shù) diff s v 以v為自變量 對符號表達式s求一階導(dǎo)數(shù) diff s n 按findsym函數(shù)指示的默認變量對符號表達式s求n階導(dǎo)數(shù) n為正整數(shù) diff s v n 以v為自變量 對符號表達式s求n階導(dǎo)數(shù) 例9 2求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 9 2 3符號積分符號積分由函數(shù)int來實現(xiàn) 該函數(shù)的一般調(diào)用格式為 int s 沒有指定積分變量和積分階數(shù)時 系統(tǒng)按findsym函數(shù)指示的默認變量對被積函數(shù)或符號表達式s求不定積分 int s v 以v為自變量 對被積函數(shù)或符號表達式s求不定積分 int s v a b 求定積分運算 a b分別表示定積分的下限和上限 該函數(shù)求被積函數(shù)在區(qū)間 a b 上的定積分 a和b可以是兩個具體的數(shù) 也可以是一個符號表達式 還可以是無窮 inf 當(dāng)函數(shù)f關(guān)于變量x在閉區(qū)間 a b 上可積時 函數(shù)返回一個定積分結(jié)果 當(dāng)a b中有一個是inf時 函數(shù)返回一個廣義積分 當(dāng)a b中有一個符號表達式時 函數(shù)返回一個符號函數(shù) 例9 3求下列積分 9 2 4積分變換常見的積分變換有傅立葉變換 拉普拉斯變換和Z變換 1 傅立葉 Fourier 變換在MATLAB中 進行傅立葉變換的函數(shù)是 fourier f x t 求函數(shù)f x 的傅立葉像函數(shù)F t ifourier F t x 求傅立葉像函數(shù)F t 的原函數(shù)f x 例9 4求函數(shù)y 的傅立葉變換及其逆變換 2 拉普拉斯 Laplace 變換在MATLAB中 進行拉普拉斯變換的函數(shù)是 laplace fx x t 求函數(shù)f x 的拉普拉斯像函數(shù)F t ilaplace Fw t x 求拉普拉斯像函數(shù)F t 的原函數(shù)f x 例9 5計算y x3的拉普拉斯變換及其逆變換 3 Z變換當(dāng)函數(shù)f x 呈現(xiàn)為一個離散的數(shù)列f n 時 對數(shù)列f n 進行z變換的MATLAB函數(shù)是 ztrans fn n z 求fn的Z變換像函數(shù)F z iztrans Fz z n 求Fz的z變換原函數(shù)f n 例9 6求數(shù)列fn e 2n的Z變換及其逆變換 9 3級數(shù)9 3 1級數(shù)符號求和求無窮級數(shù)的和需要符號表達式求和函數(shù)symsum 其調(diào)用格式為 symsum s v n m 其中s表示一個級數(shù)的通項 是一個符號表達式 v是求和變量 v省略時使用系統(tǒng)的默認變量 n和m是求和的開始項和末項 例9 7求下列級數(shù)之和 9 3 2函數(shù)的泰勒級數(shù)MATLAB提供了taylor函數(shù)將函數(shù)展開為冪級數(shù) 其調(diào)用格式為 taylor f v n a 該函數(shù)將函數(shù)f按變量v展開為泰勒級數(shù) 展開到第n項 即變量v的n 1次冪 為止 n的缺省值為6 v的缺省值與diff函數(shù)相同 參數(shù)a指定將函數(shù)f在自變量v a處展開 a的缺省值是0 例9 8求函數(shù)在指定點的泰勒級數(shù)展開式 9 4符號方程求解9 4 1符號代數(shù)方程求解在MATLAB中 求解用符號表達式表示的代數(shù)方程可由函數(shù)solve實現(xiàn) 其調(diào)用格式為 solve s 求解符號表達式s的代數(shù)方程 求解變量為默認變量 solve s v 求解符號表達式s的代數(shù)方程 求解變量為v solve s1 s2 sn v1 v2 vn 求解符號表達式s1 s2 sn組成的代數(shù)方程組 求解變量分別v1 v2 vn 例9 9解下列方程 9 4 2符號常微分方程求解在MATLAB中 用大寫字母D表示導(dǎo)數(shù) 例如 Dy表示y D2y表示y Dy 0 5表示y 0 5 D3y D2y Dy x 5 0表示微分方程y y y x 5 0 符號常微分方程求解可以通過函數(shù)dsolve來實現(xiàn) 其調(diào)用格式為 dsolve e c