構(gòu)建數(shù)模 服務(wù)教學(xué).docx

構(gòu)建數(shù)模 服務(wù)教學(xué)湖北省松滋市老城小學(xué) 黃元芳【摘要】著名數(shù)學(xué)家懷特海曾說(shuō)：“數(shù)學(xué)就是對(duì)于模式的研究”。運(yùn)用數(shù)學(xué)建模解決實(shí)際問(wèn)題必須首先通過(guò)觀察分析、提煉出實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，然后再把數(shù)學(xué)模型納入某知識(shí)系統(tǒng)去處理，這不但要求學(xué)生有一定的抽象能力，而且要有相當(dāng)?shù)挠^察、分析、綜合、類比能力。因此，在教學(xué)中，采用數(shù)念結(jié)合、數(shù)知結(jié)合、數(shù)型結(jié)合、數(shù)形結(jié)合的方法，滲透建模思想，顯得尤為重要?！娟P(guān)鍵詞】數(shù)模 構(gòu)建 服務(wù)新課標(biāo)指出：“數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該從學(xué)生已有生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)模型并理解運(yùn)用，數(shù)學(xué)模型不僅為數(shù)學(xué)表達(dá)和交流提供有效途徑，也為解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題提供重要工具，可以幫助學(xué)生準(zhǔn)確、清晰地認(rèn)識(shí)、理解數(shù)學(xué)的意義。因此，在教學(xué)過(guò)程中，加強(qiáng)數(shù)學(xué)建模思想的滲透，是十分重要的。一、數(shù)念結(jié)合，感知建模意義在概念教學(xué)過(guò)程中，教師要以學(xué)生的感性經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，提供大量的能反映概念本質(zhì)屬性的例證創(chuàng)設(shè)課堂教學(xué)情境，從而引導(dǎo)學(xué)生對(duì)這些具體例證進(jìn)行分析、歸納、抽象，摒棄與教學(xué)無(wú)關(guān)的具體情節(jié)。抽象出本質(zhì)屬性，建立數(shù)學(xué)模型；再把這一模型推廣到同類事物之中，讓學(xué)生進(jìn)行不斷的選擇、判斷，獲得數(shù)學(xué)概念，感知數(shù)學(xué)建模的意義。例如：在教學(xué)“正比例的意義”時(shí)，有這樣一個(gè)例題“一列火車行駛的時(shí)間和所行的路線如下表：”時(shí)間12345678路程（千米）90180270360450540630720師：表中有哪幾種量？生：時(shí)間、路程。師：當(dāng)時(shí)間是1小時(shí)時(shí)，路程是多少？2小時(shí)路程是多少？這說(shuō)明時(shí)間這種量變化了，路程這種量怎么樣了？生：當(dāng)時(shí)間是1時(shí)時(shí)，路程是90千米；當(dāng)時(shí)間是2時(shí)時(shí)，路程是180千米說(shuō)明時(shí)間這種量變化了，路程這種量也隨著變化。師：像這樣一種量變化另一種量也隨著變化，我們就說(shuō)這兩種量是相關(guān)聯(lián)的量，時(shí)間和路程是兩種相關(guān)聯(lián)的量。那么，路程是怎樣隨時(shí)間的變化而變化的呢？教師指著表格，讓學(xué)生從左到右和從右到左觀察，并回答。師：路程隨著時(shí)間的變化而變化，時(shí)間擴(kuò)大，路程也隨著擴(kuò)大：時(shí)間縮小，路程也隨著縮小。擴(kuò)大、縮小的規(guī)律是什么？讓每位同學(xué)選一組行對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)，計(jì)算比值。教師板書(shū)：90 ：1=90， 180:2=90， 270:3=90師：請(qǐng)同學(xué)們仔細(xì)觀察這些比和比值，看有什么規(guī)律？生：相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的比值一定，都是90。師：比值是90，實(shí)際是火車的什么？你能將這些式子表示的意義寫成一個(gè)關(guān)系式嗎？生：路程：時(shí)間=速度（一定）小結(jié)：路程和時(shí)間是兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，路程和時(shí)間的變化規(guī)律是：路程：時(shí)間=速度（一定）在這個(gè)課例中，教師出示具體事例，讓學(xué)生觀察、計(jì)算、分析、比較、歸納，從不同的事例中抽象出反映數(shù)學(xué)問(wèn)題本質(zhì)特征。這個(gè)過(guò)程實(shí)際上是將時(shí)間問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)“形式化”的過(guò)程，也就是建立數(shù)學(xué)模型的過(guò)程。二、數(shù)知結(jié)合，形成數(shù)模技能數(shù)知結(jié)合即以學(xué)生原有知識(shí)為基礎(chǔ)，再以例證相結(jié)合，讓學(xué)生逐步形成數(shù)學(xué)建模技能。教學(xué)時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生回憶原有的與新知識(shí)相關(guān)的知識(shí)，立足最近發(fā)展區(qū)，激活學(xué)生原認(rèn)知結(jié)構(gòu)；提供能表現(xiàn)新規(guī)則內(nèi)容實(shí)質(zhì)的例子，例證盡量涵蓋各種典型類別；引導(dǎo)學(xué)生對(duì)例證進(jìn)行分析、比較、抽象、概括出新規(guī)則，達(dá)成數(shù)學(xué)“形式化”，建立數(shù)學(xué)模型；再利用正反例，幫助學(xué)生明確規(guī)則條件、適用范圍，進(jìn)一步理解規(guī)則。例如：教學(xué)“長(zhǎng)方形面積計(jì)算”時(shí)師：我們已經(jīng)知道，長(zhǎng)方形的面積就是指長(zhǎng)方形含有的面積單位數(shù)，所以求長(zhǎng)方形的面積就是求長(zhǎng)方形所含有的面積單位數(shù)。下面我們用1平方厘米的面積單位來(lái)研究長(zhǎng)方形的面積計(jì)算方法。1、教師拿出12個(gè)1平方厘米的面積單位，請(qǐng)同學(xué)們擺一擺，可以拼成幾種不同的長(zhǎng)方形？它們的長(zhǎng)、寬和面積各是多少？學(xué)生通過(guò)討論、交流、拼擺得出：一種是長(zhǎng)12厘米，寬1厘米，面積是12平方厘米的長(zhǎng)方形；二種是長(zhǎng)6厘米，寬2厘米，面積是12平方厘米的長(zhǎng)方形；三種是長(zhǎng)是4厘米，寬3厘米，面積是12平方厘米的長(zhǎng)方形。并且長(zhǎng)、寬是數(shù)出來(lái)的，面積也是數(shù)長(zhǎng)方形內(nèi)有多少個(gè)1平方厘米的面積單位數(shù)。2、這里有一個(gè)長(zhǎng)5厘米，寬3厘米的長(zhǎng)方形，它的面積是多少呢？生1：將這個(gè)長(zhǎng)方形分成1平方厘米的小方格，分成多少個(gè)這樣的小方格，它的面積就是多少。我分后一個(gè)一個(gè)的數(shù)是15個(gè)，所以它的面積是15平方厘米。生2：我也分成1平方厘米的小方格，我分后5個(gè)5個(gè)地?cái)?shù)是15個(gè)小方格，所以它的面積是15平方厘米。生3：我是用53=15算出來(lái)的。師：用乘法算的根據(jù)是：因?yàn)椤懊啃杏?個(gè)小方塊，共有3行”，所以總共有15個(gè)人小方塊，即面積是15平方厘米。師：要知道每行5個(gè)小方塊，共有3行，是不是非得把長(zhǎng)方形分成小方格不可呢？生：只要用長(zhǎng)度單位厘米量一量長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬就可以了，長(zhǎng)有幾厘米就有幾個(gè)小方塊，寬有幾厘米就有幾行，它們相乘的積就是長(zhǎng)方形的面積。3、總結(jié)長(zhǎng)方形面積公式：長(zhǎng)方形的面積=長(zhǎng)寬在此例中，教師提示了前提性知識(shí)后，讓學(xué)生自己拼擺長(zhǎng)方形，生成多種例子，豐富學(xué)生感知；其次引導(dǎo)學(xué)生求長(zhǎng)方形的面積：學(xué)生采取直接計(jì)量法，一個(gè)一個(gè)的數(shù)、5個(gè)5個(gè)的數(shù)方格，經(jīng)歷知識(shí)形成過(guò)程，深入理解知識(shí)；最后概括出長(zhǎng)方形的面積公式，形成數(shù)學(xué)模型。三、數(shù)型結(jié)合，尋求建模策略中國(guó)古算題中有這樣一道題：“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問(wèn)雉兔各幾何？”解法一一般的解題思路：先假設(shè)它們?nèi)请u，于是根據(jù)雞兔的總數(shù)就可以算出在假設(shè)下共有幾只腳，把這樣得到的腳數(shù)與題中給出的腳數(shù)相比較，看看差多少，每差2只腳，就說(shuō)明有1只兔，將所差的腳數(shù)除以2，就可以算出共有多少只兔。我們也可以設(shè)想35只都是“雞”，那么共有腳235=70（只），比94只腳少了94-70=24（只）。每只雞比每只兔子少（4-2）只腳，242=12（只）。說(shuō)明設(shè)想中的“雞”，有12只是兔子，也可以列出公式：兔數(shù)（實(shí)際腳數(shù)每只雞腳數(shù)雞兔總數(shù)）（每只兔子腳數(shù)每只雞腳數(shù)）當(dāng)然，如果設(shè)想35只都是兔子，那么就有435只腳，比70只腳多了354-94=46（只）。每只雞比兔子少（4-2）只腳，所以共有雞（354-94）（4-2）=23（只）。說(shuō)明我們?cè)O(shè)想的35只“兔子”中，有23只不是兔子，而是雞。因此可以列出公式：雞數(shù)（每只兔腳數(shù)雞兔總數(shù)實(shí)際腳數(shù)）（每只兔子腳數(shù)每只雞腳數(shù)）（上面兩個(gè)公式不必都用，用其中一個(gè)算出兔數(shù)或雞數(shù)，再用總頭數(shù)去減，就知道另一個(gè)數(shù)。）解法二我們?cè)O(shè)想，每只雞都是“金雞獨(dú)立”，一只腳站著；而每只兔子都用兩條后腿，像人一樣用兩只腳站著?，F(xiàn)在，地面上出現(xiàn)腳的總數(shù)的一半，也就是942=47（只）。這個(gè)時(shí)候，雞的頭數(shù)和腳數(shù)相等，每只兔的腳數(shù)相當(dāng)于頭數(shù)的兩倍。因此從47減去總頭數(shù)35，所得的差是多出來(lái)的腳數(shù)，即兔的數(shù)量：47-35=12（只）。雞的數(shù)量：35-12=23 答：有兔子12只，雞23只.上面的計(jì)算，可以歸結(jié)為下面算式：總腳數(shù)2-總頭數(shù)=兔子數(shù)在現(xiàn)今教學(xué)中，上述的方法可以得以借鑒：例如：紅鉛筆每支0.19元，藍(lán)鉛筆每支0.11元，兩種鉛筆共買了16支，花了2.80元.問(wèn)紅、藍(lán)鉛筆各買幾支？解：以“分”作為錢的單位。我們?cè)O(shè)想，一種“雞”有11只腳，一種“兔子”有19只腳，它們共有16個(gè)頭，280只腳?，F(xiàn)在已經(jīng)把買鉛筆問(wèn)題，轉(zhuǎn)化成“雞兔同籠”問(wèn)題了。利用上面算兔數(shù)公式，就有藍(lán)筆數(shù)=（1916-280）（19-11）=248=3（支）。紅筆數(shù)=16-3=13（支）。答：買了13支紅鉛筆和3支藍(lán)鉛筆.對(duì)于這類問(wèn)題的計(jì)算，常?？梢岳靡阎_數(shù)的特殊性。例2中的“腳數(shù)”19與11之和是30.我們也可以設(shè)想16只中，8只是“兔子”，8只是“雞”，根據(jù)這一設(shè)想，腳數(shù)是8（11+19）=240。比280少40。40（19-11）=5。就知道設(shè)想中的8只“雞”應(yīng)少5只，也就是“雞”（藍(lán)鉛筆）數(shù)是3。308比1916或1116要容易計(jì)算些。利用已知數(shù)的特殊性，靠心算來(lái)完成計(jì)算。實(shí)際上，可以任意設(shè)想一個(gè)方便的兔數(shù)或雞數(shù).例如，設(shè)想16只中，“兔數(shù)”為10，“雞數(shù)”為6，就有腳數(shù)1910+116=256比280少2424（19-11）=3。就知道設(shè)想6只“雞”，要少3只。要使設(shè)想的數(shù)能給計(jì)算帶來(lái)方便，常常取決于學(xué)生的心算本領(lǐng)?！半u兔同籠”這一題型具有廣泛的代表性，向?qū)W生提供了現(xiàn)實(shí)，有趣，富有挑戰(zhàn)的學(xué)習(xí)素材，借助我國(guó)古題讓學(xué)生展開(kāi)討論，應(yīng)用假設(shè)的數(shù)學(xué)思想，從多角度思考，運(yùn)用多種方法解題。學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中積累解決問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)，掌握解決這一類問(wèn)題的方法。教學(xué)中，我提出“回顧一下，剛才這個(gè)問(wèn)題有什么特點(diǎn)，我們是怎樣來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題的呢？”這樣既引導(dǎo)學(xué)生感受到用替換的策略可以解決什么樣的問(wèn)題，又讓學(xué)生感受到解決同一個(gè)問(wèn)題有不同的策略。四、數(shù)形結(jié)合，促進(jìn)建模實(shí)效運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，促進(jìn)學(xué)生有效地建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，使數(shù)學(xué)的抽象性與其符號(hào)簡(jiǎn)練的特性二者有機(jī)相融。首先將文字表述或是數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為自己的圖式，再由著一圖式轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)符號(hào)，從而建立起為學(xué)生自己理解、接受的數(shù)學(xué)模型。教學(xué)中，要讓學(xué)生在充分直觀感知的基礎(chǔ)上，先將抽象的語(yǔ)言文字轉(zhuǎn)化成圖形，然后學(xué)會(huì)使用抽象的數(shù)學(xué)符號(hào)來(lái)表達(dá)圖形，降低學(xué)生思維的難度，從而有效地幫助學(xué)生理解知識(shí)，建構(gòu)模型。例如：在教學(xué)“集合”時(shí)教師出示：三（1）班參加語(yǔ)文、數(shù)學(xué)課外興趣小組學(xué)生名單語(yǔ)文王笑陽(yáng)王正陽(yáng)張智雄劉智豪貝萬(wàn)佳張?jiān)茉驴∮硖锖茢?shù)學(xué)王笑陽(yáng)王正陽(yáng)張智雄楊浩東張沁怡呂兆奇黃金梅羅迅王夢(mèng)婷師：從上表中，你能獲得哪些數(shù)學(xué)信息？你又能提出什么數(shù)學(xué)問(wèn)題？生1：參加語(yǔ)、數(shù)課外小組的同學(xué)一共多少人？師：誰(shuí)能解決這個(gè)問(wèn)題？生2：8+9=17（人）。生3：8+9-3=14（人）。王笑陽(yáng)王正陽(yáng)張智雄劉智豪貝萬(wàn)佳張?jiān)茉驴∮硖锖茥詈茤|張沁怡呂兆奇黃金梅羅 迅王夢(mèng)婷師：究竟有多少人呢？誰(shuí)能用一幅圖來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題？看看誰(shuí)設(shè)計(jì)的圖既簡(jiǎn)單又明了。語(yǔ)文小組 數(shù)學(xué)小組上述教學(xué)中，教師選擇了“數(shù)形結(jié)合”的方法，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從獨(dú)立到交叉重復(fù)的過(guò)程，為幫助學(xué)生理解韋恩圖，從而引導(dǎo)學(xué)生用圖來(lái)表示。在學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中已經(jīng)積累了解決此類問(wèn)題的方法，或是在頭腦中已經(jīng)建立了某種有效的圖式，只需要發(fā)揮表象的作用，便能在“不重復(fù)、不遺漏”的基礎(chǔ)上輕松建立起“集合”這一模型?？傊?，通過(guò)建模教學(xué)，可以加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)和方法的理解和掌握，調(diào)整學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)，深化知識(shí)層次。同時(shí)，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)和自主、合作、探索、創(chuàng)新的精神，為學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展和終身學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中有效地滲透數(shù)學(xué)建模思想，不僅可以使學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)并非只是一門抽象的學(xué)科，而且可以使學(xué)生感覺(jué)到利用數(shù)學(xué)建模的思想結(jié)合數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問(wèn)題的妙處，