2009年高考數(shù)學(xué)試卷中的問題解決型應(yīng)用題問題.pdf

2009 年高考數(shù)學(xué)試卷中的 問題解決型應(yīng)用題問題 李光輝 天津師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 300387 近幾年 在新課改理念的指導(dǎo)下 我國數(shù)學(xué)教 育改革以 數(shù)學(xué)素質(zhì)教育 為目標(biāo) 不斷深入 反映 到高考中 就是更加注重數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用 問題解 決型的數(shù)學(xué)應(yīng)用題逐步增多 縱觀今年全國各地 的數(shù)學(xué)試卷 發(fā)現(xiàn)其中有許多問題解決型應(yīng)用題 然而 考生在這一塊的得分率卻不高 這說明問題 解決型的問題還是值得我們探討的 下面我想結(jié) 合今年各地高考試卷中的問題解決型應(yīng)用題用數(shù) 學(xué)建模的方法來探討 1 問題解決型 應(yīng)用題的解答思路 解這類應(yīng)用題 首先要在閱讀材料 理解題意 的基礎(chǔ)上 應(yīng)用化歸原則 把實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué) 問題 就是從實(shí)際出發(fā) 經(jīng)過去粗取精 抽象概括 利用學(xué)過的數(shù)學(xué)知識建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型 一般 地說 數(shù)學(xué)模型可以描述為 對于現(xiàn)實(shí)世界的一個 特定對象 為了一個特定的目的 根據(jù)特有的內(nèi)在 規(guī)律 做出一些必要的假設(shè) 運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工 具 得到的一個數(shù)學(xué)結(jié)果 再利用數(shù)學(xué)知識對數(shù) 學(xué)模型進(jìn)行分析 研究 得到數(shù)學(xué)結(jié)論后返回到實(shí) 際問題中去驗(yàn)證 思路如下圖 2 解 問題解決型 應(yīng)用題的一般步驟 2 1 解 問題解決型 應(yīng)用題的一般步驟 解答這類問題 我們可以類比波利亞的問題 解決策略 3 分為四個步驟 我們把這四個階段簡 單概括為 弄清問題 建立模型 求解模型和還原 結(jié)論 1 弄清問題 閱讀理解文字表達(dá)的題意 分 清條件和結(jié)論 理順數(shù)量關(guān)系 這一關(guān)是基礎(chǔ) 2 建立模型 根據(jù)建立數(shù)學(xué)模型的目的和問 題的背景作出必要的簡化假設(shè) 用字母表示待求 的未知量 將文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言 利用數(shù)學(xué) 知識 建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型 熟悉基本數(shù)學(xué)模型 正確進(jìn)行建 模 是關(guān)鍵的一關(guān) 3 求解模型 求解數(shù)學(xué)模型 得到數(shù)學(xué)結(jié)論 一要充分注意數(shù)學(xué)模型中元素的實(shí)際意義 更要 注意巧思妙作 優(yōu)化過程 4 還原結(jié)論 將數(shù)學(xué)結(jié)論還原成實(shí)際問題的 結(jié)果 并用實(shí)際現(xiàn)象來驗(yàn)證結(jié)果 2 2 高考中常見應(yīng)用問題與數(shù)學(xué)模型 高考中的應(yīng)用型問題通常有以下幾種 1 優(yōu)化問題 實(shí)際問題中的 優(yōu)選 控制 等問題 常需通過建立 不等式模型 和 線性規(guī) 劃 問題解決 如 2009 年四川卷 理 第 10 題 某企業(yè)生產(chǎn) 甲 乙兩種產(chǎn)品 已知生產(chǎn)每噸甲產(chǎn)品要用 A 原 料 3噸 B 原料2 噸 生產(chǎn)每噸乙產(chǎn)品要用A 原料 1 噸 B 原料 3 噸 銷售每噸甲產(chǎn)品可獲得利潤 5 萬元 每噸乙產(chǎn)品可獲得利潤 3萬元 該企業(yè)在一 個生產(chǎn)周期內(nèi)消耗 A 原料不超過 13 噸 B 原料 不超過 18 噸 那么該企業(yè)可獲得最大利潤是 A 12萬元 B 20 萬元 C 25 萬元D 27萬元 第一步 弄清問題 閱讀題目 理解文字表達(dá) 的題意 分清條件和結(jié)論 理順數(shù)量關(guān)系 532010 年 第 49 卷 第 4 期 數(shù)學(xué)通報 這道題是讓我們求企業(yè)的最大利潤 由已知 條件我們可以列成下表 表 1 產(chǎn)品 原料 原料 A原料 B 利潤 萬 元 每噸 甲 3 噸 每噸 2噸 每噸 5 乙 1 噸 每噸 3噸 每噸 3 第二步 建立數(shù)學(xué)模型 將上面的已知條件轉(zhuǎn) 化成數(shù)學(xué)語言 利用學(xué)過的知識 建立數(shù)學(xué)模型 這道題我們可以用學(xué)過的線性規(guī)劃來解 解析 設(shè)甲 乙種兩種產(chǎn)品各需生產(chǎn) x y 噸 可使利潤 z 最大 利用 一個周期內(nèi)消耗 A 原 料不超過 13 噸 可以得到約束條件 3x y 13 利用已知條件 一個周期內(nèi)消耗 B 原料不超過 18 噸 可以得到約束條件 2x 3y 18 又因?yàn)榧滓?兩種都是產(chǎn)品 要么生產(chǎn) 要么不生產(chǎn) 所以它們 都應(yīng)該是非負(fù)數(shù) 由此得到約束條件 x 0 和 y 0 而我們的目標(biāo)是要利潤最大 所以我們的目標(biāo) 函數(shù)應(yīng)該是 z 5x 3y 所建立的規(guī)劃模型如下 3x y 13 2x 3y 18 x 0 y 0 目標(biāo)函數(shù) Maxz 5x 3y 第三步 求解模型 根據(jù)我們學(xué)過的線性規(guī)劃 的知識 畫出圖像 圖 1 求得最大值 可求出最優(yōu)解為 x 3 y 4 故 z max 15 12 27 第四步 還原結(jié)論 將數(shù)學(xué)結(jié)論還原成實(shí)際問 題的結(jié)果 由前面的解題過程 可得該企業(yè)可獲得 最大利潤是 27 萬元 故選擇 D 2 最 極 值問題 工農(nóng)業(yè)生產(chǎn) 建設(shè)及實(shí)際 生活中的極限問題常設(shè)計成 函數(shù)模型 轉(zhuǎn)化為 求函數(shù)的最值 如 2009 湖南卷 理 第 19 題 某地建一座橋 兩端的橋墩已建好 這兩墩相 距 m 米 余下工程只需要建兩端橋墩之間的橋面 和橋墩 經(jīng)預(yù)測 一個橋墩的工程費(fèi)用為 256 萬 元 距離為 x 米的相鄰兩墩之間的橋面工程費(fèi)用 為 2 x x 萬元 假設(shè)橋墩等距離分布 所有橋 墩都視為點(diǎn) 且不考慮其他因素 記余下工程的費(fèi) 用為 y 萬元 試寫出 y 關(guān)于x 的函數(shù)關(guān)系式 當(dāng) m 640 米時 需新建多少個橋墩才 能使 y 最小 第一步 我們首先要讀懂題目 分清已知條件 和要求的結(jié)論 已知 兩墩相距 m 米 當(dāng) m 640 米時 需 新建多少個橋墩才能使工程費(fèi)用 y 最小 第二步 建立模型 根據(jù)已知條件 設(shè)需要新建 n 個橋墩 n 1 x m 即 n m x 1 所以 y f x 256n n 1 2 x x 256 m x 1 m x 2 x x 256m x mx 2m 256 第三步 模型求解 要求工程費(fèi)用的最小值 可以考慮通過 導(dǎo)數(shù)來解 由 知 f x 256m x 2 1 2 mx 3 2 m 2x 2 x 3 2 512 令 54數(shù)學(xué)通報 2010 年 第 49 卷 第 4 期 f x 0 得 x 3 2 512 所以 x 64 當(dāng) 0 x 64 時 f x 0 f x 在區(qū)間 0 64 內(nèi)為減函數(shù) 當(dāng) 64 x 0 f x 在區(qū)間 64 640 內(nèi)為增函數(shù) 所以 f x 在 x 64 處取得最小值 此時 n m x 1 640 64 1 9 第四步 還原結(jié)論 根據(jù)以上求解過程 得到 需新建 9 個橋墩才能使 y 最小 3 測量問題 可設(shè)計成 圖形模型 利用幾 何知識解決 如 2009 遼寧卷 文 第 18 題 如圖 A B C D 都在同一個與水平面垂直 的平面內(nèi) B D 為兩島上的兩座燈塔的塔頂 測 量船于水面 A 處測得B 點(diǎn)和 D 點(diǎn)的仰角分別為 75 30 于水面 C 處測得 B 點(diǎn)和 D 點(diǎn)的仰角均 為 60 A C 0 1km 試探究圖中 B D 間距離與 另外哪兩點(diǎn)距離相等 然后求 B D 的距離 計算 結(jié)果精確到 0 01km 2 1 414 6 2 449 圖 2 應(yīng)用我們以上所說的四個步驟 弄清問題 建立模型 求解模型和還原結(jié)論 我們也可以很快 的解決這道應(yīng)用題 第一步 弄清問題 已知 如圖 B D 為兩 島上的兩座燈塔的塔頂 測量船于水面 A 處測 得B 點(diǎn)和D 點(diǎn)的仰角分別為 75 30 于水面 C 處測得 B 點(diǎn)和 D 點(diǎn)的仰角均為 60 A C 0 1km 求圖中 B D 間距離與另外哪兩點(diǎn)距離相 等 然后求 B D 的距離 第二步 建立模型 本題實(shí)際上已經(jīng)轉(zhuǎn)化成了 一個幾何圖形 要求與 B D 間距離相等的線段 可以考慮找全等三角形或者用中垂線定理 要求 B D 距離 可以用解三角形來求 第三步 求解模型 過程如下 在 A CD 中 DA C 30 ADC 60 DAC 30 所以 CD A C 0 1 又 BCD 180 60 60 60 故 CB 是 CAD 底邊 A D 的中垂線 所以 BD BA 在 A BC 中 AB sin BCA A C sin A BC 即 A B A Csin60 sin15 3 2 6 20 因此 BD 3 2 6 20 0 33km 第四步 還原 結(jié)論 故 B D 的距離 約為 0 33km 3 小結(jié) 數(shù)學(xué)建模問題存在于我們生活中的許多方 面 應(yīng)用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際中的應(yīng)用問題是數(shù)學(xué) 新課標(biāo)的重要目標(biāo)之一 數(shù)學(xué)教師應(yīng)該在教學(xué)中 滲透數(shù)學(xué)建模思想 不斷的引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼 光去觀察 分析和表示各種事物關(guān)系和數(shù)學(xué)信息 從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和養(yǎng)成學(xué)生應(yīng)用數(shù) 學(xué)建模的方法去解決問題的習(xí)慣 參考文獻(xiàn) 1 姜啟源 數(shù)學(xué)模型 北京 高等教育出版社 1993 2 波利亞 怎樣解題 閻育蘇譯 北京 科學(xué)出版社 1982 3 中華人民共和國教育部 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn) 北京 人民