全國(guó)各地市1998年高考模擬試題匯編.pdf

全國(guó)各地市1998年高考模擬試題匯編 三 不等式 數(shù)列 極限 數(shù)學(xué) 歸納法 11 下列不等式中 不成立的是 A sin130 sin140 B cos130 cos140 C tg130 tg140 D ctg130 ctg140 21 已知a b 0 那么下列不等式中一定成立 的是 A ab 0 B a2 b2 C a 1 b 31已知a b 0 全集I R M x b x a b 2 N x ab x a 則M N A x b x ab B x ab x a b 2 C x b x a b 2 D x x a a R 的解集是 A x x 1 a B x x 1 2a C x 1 2a x 1 a D x x 0或0 x 1 2a 61 當(dāng)x 1 2 時(shí) 不等式 x 1 2log x 1 x 2 成 立的一個(gè)充分但不必要條件是 A x 2 B x 4 C 1 x 1 81 三個(gè)數(shù)log2 1 4 20 1 20 2的大小關(guān)系是 A log2 1 4 20 2 20 1 B log2 1 4 20 1 20 2 C 2 0 1 20 2 log2 1 4 D 2 0 1 log2 1 4 q B p q C p q的大小與a的取值有關(guān) D 以上都不對(duì) 101 已知 a n 是等差數(shù)列 則下列各不等式中正 確的是 A a3a6 a4a5 D a3a6 a4a5 111 在等差數(shù)列 a n 中 a 1 2 a4 14 那么前6 項(xiàng)和S6等于 A 36 B 72 C 78 D 144 121 在等差數(shù)列 a n 中 已知a4 10 a7 19 則 a12的值是 A 34 B 37 C 31 D 33 131 已知數(shù)列 a n 甲 a n kn b k b為常 數(shù) 乙 an 是等差數(shù)列 則 A 甲是乙的充要條件 B 甲是乙的充分條件 但不是必要條件 C 甲是乙的必要條件 但不是充分條件 D 甲既不是乙的充分條件 也不是乙的必要 條件 141 無(wú)窮等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn 1 1 2 n 則所有項(xiàng)的和為 A 1 2 B 1 C 1 2 D 任意實(shí)數(shù) 151 設(shè) a n 與 b n 都是公差不為零的等差數(shù)列 且lim n an bn 2 則lim n b1 b2 b2n na3n 等于 A 1 4 B 1 3 C 1 2 D 1 161 若 a n 是等比數(shù)列 a 1 3 公比 q 1 3 S n 721998年第12期 數(shù) 學(xué) 通 訊 是其前n項(xiàng)和 則lim n Sn等于 A 9 2 B 9 4 C 1 4 D 4 171 等比數(shù)列 a n 中 前m項(xiàng)的和是100 有 2m 項(xiàng)的和是 70 m是給定的自然數(shù) 則前 3m 項(xiàng)的 和是 A 240 B 184 C 219 D 49 181 設(shè)數(shù)列 a n 的前n項(xiàng)和Sn 2n 1 則 lim n 1 a1a2 1 a2a3 1 anan 1 等于 A 1 3 B 5 12 C 5 6 D 3 2 191 已知 a 3 則lim n 3n an 3n 1 an 1的值等于 A 0 B 1 3 C a D 1 a 201 若lim n an bn an 1 bn 1 b 則正常數(shù)a b的關(guān) 系是 A a b B a b C a x 1的解集是 241 不等式2x 2 3 4x 的解集是 251 不等式log2 x 1 2 5 log4 x 1 的解 是 261 不等式log4x2 1 0 b 1的解集為 281 在等差數(shù)列 a n 中a2n an 4n 1 2n 1 則S2n Sn 291 無(wú)窮等比數(shù)列1 1 3 1 32 1 3n 1 各項(xiàng)的 和是 301 從無(wú)窮等比數(shù)列 1 3 1 9 1 27 1 3n 中選 出某些項(xiàng) 構(gòu)成一個(gè)新的無(wú)窮等比數(shù)列 如果新數(shù)列 各項(xiàng)的和為 3 26 則它的公比為 311 已知 2 3 4 則 lim n sinn sinn 1 cos sinn 2 cos2 cosn sinn 1 321 解不等式3x 4 5 2x 0 331 解不等式lg x 1 x 1 351 解關(guān)于x的不等式loga x2 x 2 loga x 2 a 1 a 0且a 1 361 設(shè)關(guān)于實(shí)數(shù)x的不等式x a 1 2 2 a 1 2 2 和x2 3 a 1 x 2 3a 1 0 a R 的 解集依次為A B 求使A B的實(shí)數(shù)a的取值范圍 371 已知f log2x tx t 1 x 1 t R t為常 數(shù) 1 求f x 的表達(dá)式 2 若f x 為奇函數(shù) 解關(guān)于x的不等式f 1 x log2 m 1 381 設(shè)f x 是區(qū)間 0 1 上的函數(shù) 且滿足 1 對(duì)任意x 0 1 恒有f x 0 2 對(duì) 任 意 的x1 x 2 0 1 恒 有 f x1 f x2 f 1 x1 f 1 x2 2 求 證 1 對(duì) 任 意x 0 1 都 有f x f 1 x 2 對(duì)任意x1 x 2 0 1 都有f x1 f x2 391 設(shè)f x 是定義域?yàn)?0 0 的 奇函數(shù) 且在 0 上是增函數(shù) 1 若f 1 0 解關(guān)于x的不等式 f loga 1 x2 1 0 其中a 1 2 若mnloga 1 a x 2 其中a 1 411 某河流G段地區(qū) 汛前水位高120cm 水位 警戒線高300cm 水位超過(guò)警戒線 河堤就會(huì)發(fā)生危 險(xiǎn) 預(yù)測(cè)汛期來(lái)臨時(shí) 水位線提高量ln與汛期天數(shù)的 函數(shù)關(guān)系式為ln 205n2 12n 為防止河堤發(fā)生 危險(xiǎn) 堤壩上有泄水涵道 每天泄水量可使水位線下 降40cm 如果從洪汛期來(lái)臨的第一天起 即開(kāi)始泄 水排洪 試問(wèn)從第幾天起會(huì)出現(xiàn)險(xiǎn)情 421 已知f x 1 x2 2x 等差數(shù)列 a n 中 a 1 f x 1 a2 1 2 a 3 f x 1 求通項(xiàng)an 2 求a2 a5 a8 a26的值 431 已知數(shù)列 x n yn 且x1 3 xn 1 2xn 1 xn y n xn 1 xn 1 n N 1 求證數(shù)列 y n 是等差數(shù)列 82數(shù) 學(xué) 通 訊 1998年第12期 2 求通項(xiàng)xn和yn 3 求lim n xn 441 已知數(shù)列a1 a 2 a 3 a n 是公比q不為 1的等比數(shù)列 用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列 a n 的前n項(xiàng) 和Sn a1 1 qn 1 q 451 設(shè)等比數(shù)列前n項(xiàng)的和為80 而其中數(shù)值 最大的一項(xiàng)為54 前 2n 項(xiàng)的和為6560 若該數(shù)列的 首項(xiàng)和公比均為正數(shù) 試求這個(gè)數(shù)列的首項(xiàng)與公比 461 數(shù)列 a n 的前n項(xiàng)和記作Sn 公比與首項(xiàng)都 等于 1 2 的等比數(shù)列 b n 前n項(xiàng)和記作Tn 已知Sn Tn a n 1 計(jì)算a1 a 2 a 3 2 猜想 a n 的通項(xiàng)公式 并用數(shù)學(xué)歸納法證 明 3 對(duì) 于 給 定 的 自 然 數(shù) k 當(dāng)n k時(shí) lim n 1 Sn k an k A 且A 10 100 求k的值 471 已知數(shù)列 a n 和 b n 滿足a1 9 an 1 10an 9 bn 1 lg a2n 1 1 lg a2n 1 1 1 求證 an 的通項(xiàng)公式是an 1 10n 2 設(shè) b n 的前n項(xiàng)和為Tn 求lim n n Tn 1 2 481 已知 a n 是公差d 0的等差數(shù)列 其前n 項(xiàng)的和為Sn 1 求證 點(diǎn)P1 1 S1 1 P 2 2 S2 2 P 3 3 S3 3 P n n Sn n 在同一條直線l1上 2 過(guò)點(diǎn)Q1 1 a 1 Q 2 2 a 2 作直線l2 設(shè)l1與 l2的夾角為 求證 tg 2 4 491 設(shè)首項(xiàng)為 a 公差為d的等差數(shù)列的前n項(xiàng) 和為An 又首項(xiàng)為 a 公比為r的等比數(shù)列的前n項(xiàng) 和為Gn 其中a 0 r 1 又設(shè)Sn G1 G2 G3 Gn若有l(wèi)im n An n Sn a 試求r的值 501 已知等差數(shù)列 a n 的第二項(xiàng)為8 前10項(xiàng) 的和為185 1 求數(shù)列 a n 的通項(xiàng) 2 若從數(shù)列 a n 中 依次取出第2項(xiàng) 第4項(xiàng) 第8項(xiàng) 第2n項(xiàng) 按原來(lái)的順序組成一個(gè)新數(shù)列 b n 試求數(shù)列 b n 的前n和Sn 3 設(shè)Tn n 9 a n 試比較Sn與Tn的大小 并說(shuō)明理由 511 設(shè) 1 10 a 1 數(shù)列 a n bn 滿足a1 b1 1 lga a2 b2 1 lga lg a 且a2 a 3 a 4 an是以q 1 lga為公比的等比數(shù)列 b 2 b 3 b 4 bn是以 d lg 2a 為公差的等差數(shù)列 記數(shù)列 a n bn 的前n項(xiàng) 和分別是An B n 1 求證 當(dāng)n 3時(shí) B n 1 nlg a n n 1 2 lg 2 a 2 試比較An與Bn的大小 并加以證明 答案與解答 題號(hào)12345678910 11 答案CDACDBBBBBB 題號(hào)12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 答案AABBACADCCB 231 1 24 x x 3 251x 3 261 2 0 0 2 271 x 1 2 x 0或2 x 1 2 2814 1 291 3 2 301 1 27 311 1 sin cos 321 因?yàn)楦奖仨氂幸饬x 3x 4 0 5 2x 0 解之得 x 4 3 x 5 2 原不等式可化為 3x 4 5 2x 兩邊平 方 得3x 4 5 2x 解之得 x x 0 x 1 x 1 解 得 1 x 1 解 得 x 5 1 2 0 x 5 1 2 綜合 0 的解集得原不等式的解集為 x 1 x 5 1 2 x 1 x 0 得x 0 當(dāng)a 1時(shí) 原不等 式即 x 1 x a x2 ax 1 0 a2 4 當(dāng)a2 4 0即1 a 0 當(dāng)a2 4 0即a 2時(shí) x 0且x 1 當(dāng)a2 4 0即a 2時(shí) 0 x a a2 4 2 當(dāng)0 a 1時(shí) 原不等式即x2 ax 1 0 此時(shí) a 2 4 0 921998年第12期 數(shù) 學(xué) 通 訊 當(dāng)a 2時(shí) x x 0且x 1 當(dāng)a 2時(shí) x 0 x a a2 4 2 351 原不等式等價(jià)于loga x2 x 2 loga ax 2 當(dāng)a 1時(shí) 原不等式化為 x2 x 2 0 ax 2 0 x2 x 2 ax 2 ax 2 0 x2 x 2 ax 2 x 2 a x a 1 x a 1 當(dāng)0 a 0 ax 2 2 x2 x 2 0 x2 x 2 ax 2 x 2 0 x 1時(shí) 原不等式的解集為 x x a 1 當(dāng)0 a 1時(shí)無(wú)解 361x a 1 2 2 a 1 2 2 2a x a2 1 x2 3 a 1 x 2 3a 1 0 a 1 3 2 x 3a 1 或 a 1 3 3a 1 x 2 又 A B 當(dāng)a 1 3時(shí)需 2a 2且a2 1 3a 1 1 a 3 當(dāng) a log2 m 1 2 1 2x 1 m 1 0 m 1 0 2mx m 2 2x 1 0 m 2 2m x 1 2 故所求不等式的解集為 x m 2 2m x 0 f 1 x 0 f x f 1 x f 1 x f x 2 f x f 1 x f 1 x f x 2 由 及等號(hào)成立的條件 得 f x f 1 x f 1 x f x f x f 1 x 2 對(duì)任意的x1 x 2 0 1 都有 f x1 f x2 f 1 x1 f 1 x2 2 由 1 上式可化為f x 1 f x2 f x1 f x2 2 即f x 1 f x2 1 f x1 f x2 同樣地 還可證得f x2 f x1 f x1 f x2 391 f x 是奇函數(shù) 且在 0 上是增函 數(shù) f x 在 0 上也是增函數(shù) f x 是奇函數(shù) f 1 0 f 1 f 1 0 不等式 f loga 1 x 2 1 0 同解于不等式 組 loga 1 x2 1 1 或 loga 1 x2 1 0 loga 1 x2 1 1 解 得 1 1 a x 1 1 a2 或 1 1 a2 x 1 1 a 解 知 無(wú)解 原 不 等 式 的 解 集 為 x 1 1 a x 1 1 a2 或 1 1 a2 x 1 1 a 2 mn 0 n 0或m 0 當(dāng)m 0 n 0時(shí) 由m n 0有0 m n f x 在 0 上是增函數(shù) f m f n 又 f x 是奇函數(shù) f m f n f m f n 0 當(dāng)m 0時(shí) 同理可證f m f n 0 401 原不等式同解于不等式組 x 1 0 1 a x 2 0 x 1 2 1 a x 2 03數(shù) 學(xué) 通 訊 1998年第12期 即 x 1 x 2 1 a x 2 x a 0 a 1 a 1 a 2 則a 2 1 a 1 當(dāng)1 1 x 2 1 a x 2 2 1 a x 2 當(dāng)a 2時(shí) x 1 x 2 1 a x a 2 1 a x a 當(dāng)1 a 2時(shí) 原不等式的解集為 x 2 1 a x 2 當(dāng)a 2時(shí) 原不等式的解集為 x 2 1 a x a 411 根據(jù)題意 水位超過(guò)警戒線即會(huì)出現(xiàn)險(xiǎn)情 得關(guān)系式 120 205n2 12n 40n 300 即5n2 12n 2n 9 去根號(hào) 整理得n2 24n 81 0 解得 n 27 答 洪汛來(lái)臨后 從第28天起會(huì)出現(xiàn)險(xiǎn)情 421 1 由題意得a1 f x 1 x2 6x 8 a3 f x x 2 4x 3 a2 1 2 又 a1 a 3 2a2 2x 2 10 x 11 1 解之得 x 2或x 3 a1 0 a2 1 2 a 3 1或a1 1 a2 1 2 a 3 0 故an 1 n 2 或an n 3 2 2 當(dāng)an 1 n 2 時(shí) a 2 a5 a8 a26 9 a2 a26 2 117 2 當(dāng)an n 3 2 時(shí) a 2 a5 a8 a26 9 a2 a26 2 99 2 431 1 yn 1 yn xn 1 1 xn 1 1 xn 1 xn 1 2xn 1 xn 1 2xn 1 xn 1 xn 1 xn 1 3xn 1 xn 1 xn 1 xn 1 2 n N y n 為等差數(shù)列 2 y1 3 1 3 1 1 2 yn 1 2 n 1 2 2n 3 2 yn xn 1 xn 1 2n 3 2 1 2 xn 1 xn 4n 1 5 4n 3 lim n 4n 1 5 4n lim n 4 1 n 5 n 4 1 441 略 451 若公比q 1 依題設(shè)條件na 80 2na 6560 矛盾 q 1 此時(shí) 由等比數(shù)列的求和公式 a 1 1 qn 1 q 80 a 1 1 q2n 1 q 6560 將 代入 得80 1 qn 6560 qn 81 將 代入 a 1 q 1 由a1 0推知q 1 由此可知最大的項(xiàng)是末項(xiàng) 于是根據(jù)通項(xiàng)公式a1qn 1 54 即a 1qn q 54 將 代入 81 q 1 q 54 q 3 從而a1 2 因此 所求數(shù)列的首項(xiàng)為2 公比為3 461 1 Tn 1 2 1 1 2 n 1 1 2 1 1 2n Sn 1 1 2n an 于是a1 1 4 a 2 2 8 a 3 3 16 2 猜想 a n n 2n 1 n N 數(shù)學(xué)歸納法證明 略 3 由 1 2 知1 Sn k n k 2 2n k 1 1 Sn k an k n k 2 n k 22k lim n n k 2 n k 22k 22k 4k A 4k 由已知得 10 4k 100 k N得k 2 3 471 1 an 1 10an 9 an 1 1 10 an 1 數(shù)列 a n 1 是首項(xiàng)為a1 1 10 公比為10 的等比數(shù)列 an 1 a1 1 10n 1 10n an 1 10n 2 由an 1 10n可得lg a2n 1 1 2n 1 lg a2n 1 1 2n 1 bn 1 2n 1 2n 1 1 2 1 2n 1 1 2n 1 Tn b1 b2 bn 1 2 1 1 2n 1 lim n n Tn 1 2 lim n n 4n 2 1 4 481 1 Sk ka1 k k 1 2 d S k k a1 k 1 2 d 131998年第12期 數(shù) 學(xué) 通 訊 當(dāng)k 2時(shí) Sk k S1 1 k 1 a 1 k 1 2 d a1 k 1 d 2 常數(shù) 即kP1P2為常數(shù) k 2 3 n P 2 P 3 P n 都在過(guò)點(diǎn)P1 1 a 1 且斜率為常數(shù) d 2 的直線l1上 2 直線l2的方程為y a1 a2 a1 x 1 2 1 即y a1 d x 1 l2的斜率為 d tg d d 2 1 d d 2 d 2 d2 1 2 d d 2 d d 2 2 d d 2 2 tg 1 22 2 4 491 由 已 知 得An na n n 1 2 d Gn a 1 rn 1 r Sn G1 G2 Gn a 1 r 1 r 1 r 2 1 rn a 1 r n r 1 rn 1 r A n n Sn a nd 2 d 2 a 1 rn ar 1 rn 1 r 2 a d 2 ar 1 rn 1 r 2 d 2 a 1 r n lim n An n Sn a 且 r 1 有 d 2 a 1 r 0 a d 2 ar 1 r 2 a 兩式相加消去d得 ar 1 r 2 a 1 r 又a 0 1 r r r 1 2 501 1 設(shè)數(shù)列 a n 的公差為 d 由題意知 a2 8 a1 d S10 185 10a1 10 9 2 d a1 5 d 3 an 3n 2 2 Sn a2 a4 a8 a2n 3 2 4 8 2n 2n 3 2n 1 2n 6 3 Tn n an 9 3n2 11n 當(dāng)n 1時(shí) S 1 8 T1 14 S1 T1 當(dāng)n 2時(shí) S 2 22 T2 34 S2 T2 當(dāng)n 3時(shí) S 3 48 T3 60 S3 T4 猜想 當(dāng)n 4時(shí) S n Tn 用數(shù)學(xué)歸納法證明如下 1 當(dāng)n 4時(shí) 由上可知 S 4 T4 成立 2 假設(shè)n k時(shí) k 4 Sk Tk 即 3 2k 1 2k 6 3k2 11k 那么當(dāng)n k 1時(shí) 3 2k 2 2 k 1 6 3 k 1 2 11 k 1 3 2k 2 3k2 15k 18 2 3 2k 1 2k 6 3k2 19k 6 6k2 22k 3k2 19k 6 3k2 3k 6