安徽省六安市第一中學(xué)2020屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期線下考試自測(cè)卷（五）理（PDF）.pdf

1 六安一中六安一中 2020 屆高三年級(jí)自測(cè)試卷 理科數(shù)學(xué) 五 屆高三年級(jí)自測(cè)試卷 理科數(shù)學(xué) 五 命題人 命題人 時(shí)間 時(shí)間 120 分鐘滿分 分鐘滿分 150 分分 一 選擇題 本大題共一 選擇題 本大題共 12 個(gè)小題 每小題個(gè)小題 每小題 5 分分 在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中 只有一項(xiàng)是符合 題目要求的 在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中 只有一項(xiàng)是符合 題目要求的 1 已知集合 a x x 2 x 3 0 b x y 則 a rb a 2 1 b 1 3 c 2 d 2 1 2 在復(fù)平面內(nèi) 復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于直線 y x 的左上方 則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是 a 0 b 1 c 0 d 1 3 若實(shí)數(shù) x y 滿足不等式組 則 z 2x y 的最大值為 a 4b c 6d 6 4 已知等比數(shù)列 an 滿足 a1 a2 36 a1 a3 24 則使得 a1a2 an取得最大值的 n 為 a 3b 4c 5d 6 5 已知命題 p 函數(shù)的定義域?yàn)?r 命題 q 存在實(shí)數(shù) x 滿足 ax lnx 若 p q 為真 則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是 a 2 b 2 c 2 d 2 6 函數(shù) f x asin x 其中 a 0 的圖象如圖所示 為了得到 g x asin x 的圖象 則只要將 f x 的圖象 a 向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度b 向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 c 向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度d 向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 7 若函數(shù) f x x2 ax blnx 在區(qū)間 1 2 上有兩個(gè)極值點(diǎn) 則 b 的可能取值為 2 a 3b 4c 5d 6 8 已知函數(shù) 若 f x kx 在 x 0 時(shí)總成立 則實(shí)數(shù) k 的取值范圍 是 a 1 b e c 2e d e2 9 已知雙曲線 c 1 a 0 b 0 的兩條漸近線分別為直線 l1與 l2 若點(diǎn) a b 為 直線 l1上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的不同兩點(diǎn) 點(diǎn) m 為直線 l2上一點(diǎn) 且 kam kbm 則雙曲線 c 的離心率為 a 1b c 2d 10 已知圓 c x2 y2 6x 8y 9 0 點(diǎn) m n 在圓 c 上 平面上一動(dòng)點(diǎn) p 滿足 pm pn 且 pm pn 則 pc 的最大值為 a 8b 8c 4d 4 11 小明與另外 2 名同學(xué)進(jìn)行 手心手背 游戲 規(guī)則是 3 人同時(shí)隨機(jī)等可能選擇手心或手背 中的一種手勢(shì) 規(guī)定相同手勢(shì)人數(shù)多者每人得 1 分 其余每人得 0 分 現(xiàn) 3 人共進(jìn)行了 4 次游戲 記小明 4 次游戲得分之和為 x 則 x 的期望為 a 1b 2c 3d 4 12 已知正方體的棱長(zhǎng)為 1 平面 過正方體的一個(gè)頂點(diǎn) 且與正方體每條棱所在直線所成的角 相等 則該正方體在平面 內(nèi)的正投影面積是 a b c d 二 填空題二 填空題 本大題共本大題共 4 小題 每小題小題 每小題 5 分分 13 已知的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為 用數(shù)字答 14 已知等差數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和為 sn 且 a1 a3 10 s9 72 數(shù)列 bn 中 b1 2 bnbn 1 2 則 a7b2020 15 在 abc 中 ab 2 ac 3 p 是邊 bc 的垂直平分線上一點(diǎn) 則 16 設(shè)函數(shù) 若f x 3 ax恒成立 則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 3 三 解答題三 解答題 解答題寫出文字說明 證明過程或演算步驟 解答題寫出文字說明 證明過程或演算步驟 17 本小題本小題滿分滿分 12 分分 在等差數(shù)列 an 和正項(xiàng)等比數(shù)列 bn 中 a1 1 b1 2 且 b1 a2 b2成等差數(shù)列 數(shù)列 bn 的 前 n 項(xiàng)和為 sn 且 s3 14 1 求數(shù)列 an bn 的通項(xiàng)公式 2 令 1 ndn ncn n 求數(shù)列 dn 的前 n 項(xiàng)和為 tn 18 本小題 本小題滿分滿分 12 分 分 為落實(shí)習(xí)近平同志關(guān)于 綠水青山就是金山銀山 的重要講話精神 某地大力加強(qiáng)生態(tài)綜合治 理 治理之初該地某項(xiàng)污染物指標(biāo)迅速下降 后隨季節(jié)氣候變化 這項(xiàng)指標(biāo)在一定范圍內(nèi)波動(dòng) 如 圖是治理開始后 12 個(gè)月內(nèi)該地該項(xiàng)污類物指標(biāo)隨時(shí)間 x 單位 月 變化的大致曲線 其近似滿足 函數(shù) f x 其中 e 2 71828 a 0 0 1 求 f x 的表達(dá)式 2 若該項(xiàng)污染物指標(biāo)不超過 2 5 則可認(rèn)為環(huán)境良好 求治理開始以來的 12 個(gè)月內(nèi) 該地環(huán)境良 好的時(shí)間長(zhǎng)度大約有幾個(gè)月 精確到整數(shù) 參考數(shù)據(jù) ln2 0 69 ln3 1 10 19 本小題 本小題滿分滿分 12 分 分 如圖 三棱錐 p abc 中 平面 pab 平面 abc pa pb apb acb 90 點(diǎn) e f 分別是棱 ab pb 的中點(diǎn) 點(diǎn) g 是 bce 的重心 1 證明 gf 平面 pac 2 若 gf 與平面 abc 所成的角為 60 求二面角 b ap c 的余弦值 4 20 本小題 本小題滿分滿分 12 分 分 已知橢圓 c 的離心率為 且與雙曲線有相同的焦點(diǎn) 1 求橢圓 c 的方程 2 直線 l 與橢圓 c 相交于 a b 兩點(diǎn) 點(diǎn) m 滿足 點(diǎn) p 1 若直線 mp 斜率為 求 abp 面積的最大值及此時(shí)直線 l 的方程 21 本小題 本小題滿分滿分 12 分 分 已知函數(shù) f x eax b a b r 的圖象與直線 l y x 1 相切 f x 是 f x 的導(dǎo)函數(shù) 且 f 1 e 1 求 f x 2 函數(shù) g x 的圖象與曲線 y kf x k r 關(guān)于 y 軸對(duì)稱 若直線 l 與函數(shù) g x 的圖象有 兩個(gè)不同的交點(diǎn) a x1 g x1 b x2 g x2 求證 x1 x2 4 從 22 23 題中任選一題作答 22 本小題 本小題滿分滿分 10 分 分 在直角坐標(biāo)系中 以原點(diǎn)為極點(diǎn) x 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系 已知曲線 c 4cos 直線 l 的參數(shù)方程為 t 為參數(shù) 直線 l 與曲線 c 分別交于 m n 兩點(diǎn) 1 寫出曲線 c 和直線 l 的普通方程 2 若點(diǎn) p 3 1 求的值 23 本小題 本小題滿分滿分 10 分 分 已知函數(shù) f x 2 x 1 x 2 f x 的最小值為 m 1 求 m 2 若 a 0 b 0 且 a b m 求的最小值 5 六安一中六安一中 2020 屆屆高三年級(jí)自測(cè)試卷高三年級(jí)自測(cè)試卷 理科數(shù)學(xué)理科數(shù)學(xué) 五五 參考答案參考答案 1 d2 a3 a4 b 5 解答 解 當(dāng) p 為真時(shí) x2 ax 1 0 恒成立 即 a2 4 0 解得 2 a 2 當(dāng) q 為真時(shí) 存在實(shí)數(shù) x 滿足 ax lnx 即 a max 令 y y 當(dāng) x 0 e y 0 函數(shù)單調(diào)遞增 當(dāng) x e y 0 函數(shù) 單調(diào)遞減 故當(dāng) x e 時(shí) 函數(shù)有最大值 解得 a p q 是真命題 故命題是 p q 都是真命題 則 2 a 2 且 a 實(shí)數(shù) a 的取值范圍為 2 故選 a 6b 7 解答 解 令 g x x2 ax b 依題意 函數(shù) g x 在 1 2 上有兩個(gè)零點(diǎn) 則 則必有 4b a2 16 即 b 4 故選 a 8 解答 解 當(dāng) x 0 時(shí) f x kx 顯然恒成立 當(dāng) x 0 時(shí) f x kx 即為 設(shè) 則 g x ex x k g x ex 1 0 函數(shù) g x 在 0 上為增函數(shù) 當(dāng) k 1 時(shí) g x g 0 1 k 0 故函數(shù) g x 在 0 上為增函數(shù) g x g 0 0 即 f x kx 成立 當(dāng) k 1 時(shí) g 0 1 k 0 g k ek 2k 0 故存在 x0 0 k 使得 g x0 0 當(dāng) x 0 x0 時(shí) g x 0 g x 單調(diào)遞減 則 g x g 0 0 即 f x kx 不符題意 綜上所述 實(shí)數(shù) k 的取值范圍為 1 故選 a 6 9c 10 解答 解 根據(jù)題意 若平面上一動(dòng)點(diǎn) p 滿足 pm pn 又由 cm cn 則 pc 為線段 mn 的垂直平分線 設(shè) mn 的中點(diǎn)為 g ng n cg m 又由 pm pn 且 pm pn 則 pmn 為等腰直角三角形 故 pg ng n 圓 c x2 y2 6x 8y 9 0 即 x 3 2 y 4 2 16 則 m2 n2 16 則 pc m n 4 當(dāng)且僅當(dāng) m n 時(shí)等號(hào)成立 故 pc 的最大值為 4 故選 d 11 有 8 種情況 小明得 1 分結(jié)果有 6 種情況 小明每局每得分的概率 p x b 4 e x 4 3 故選 c 12 解答 解 正方體的所有棱中 實(shí)際上是 3 組平行的棱 每條棱所在直線與平面 所成的角都 相等 如圖 所示的正三角形所在平面或其平行平面為平面 時(shí) 滿足平面 與正方體每條棱所成 的角均相等 并且如圖所示的正三角形 為平面 截正方體所形成的三角形截面中 截面面積最大者 因?yàn)檎切蔚倪呴L(zhǎng)為 正方體 abcd a1b1c1d1的三個(gè)面 在平面 內(nèi)的正投影是三個(gè)全等的菱形 如圖所示 可以看成兩個(gè)邊長(zhǎng)為的等邊三角形 所以正方體在平面 內(nèi)的正投影面積是 s 2 故選 b 二 填空題 共二 填空題 共 4 小題 小題 13 解答 解 的通項(xiàng)是 c5rx15 5r 7 要求展開式中的常數(shù)項(xiàng) 15 5r 0 r 3 展開式中的常數(shù)項(xiàng)是 c53 10 故答案為 10 14 10 15 解答 解 取 bc 的中點(diǎn) d 由條件得 0 故答案為 16 解答 解 當(dāng) x 2 時(shí) 要使得 4x 2 3 ax 恒成立 當(dāng) a 0 時(shí) 4x 2 40 1 3 恒成立 當(dāng) a 0 時(shí) 由圖象可知 0 a 1 綜上 0 a 1 當(dāng) 2 a 3 時(shí) 要使得 log2 x 2 3 ax 恒成立 當(dāng) a 0 時(shí) 0 x 2 1 log2 x 2 0 3 恒成立 當(dāng) a 0 時(shí) 有圖象可知 0 a 1 綜上 0 a 1 故答案為 0 1 三 解答題 共三 解答題 共 7 小題 小題 17 解答 解 1 等差數(shù)列 an 的公差設(shè)為 d 正項(xiàng)等比數(shù)列 bn 的公比設(shè)為 q q 0 a1 1 b1 2 且 b1 a2 b2成等差數(shù)列 可得 2a2 b1 b2 即 2 1 d 2 2q 即 d q 數(shù)列 bn 的前 n 項(xiàng)和為 sn 且 s3 14 可得 2 2q 2q2 14 解得 q 2 d 2 則 an 2n 1 bn 2n 2 2n 1 1 1 ndn ncn n n 2n 1 則 dn 2n 2 n 前項(xiàng)和為 tn 2 2 4 4 6 8 2n 2 n 2tn 2 4 4 8 6 16 2n 2 n 1 相減可得 3tn 4 2 4 8 2 n 2n 2 n 1 4 2 2n 2 n 1 化簡(jiǎn)可得 tn 2 n 1 18 解答 解 1 由 f 0 eb a 9 f 2 e2k b a 3 f 3 e3k b a 2 聯(lián)立解方程組得 故當(dāng) 0 x 3 時(shí) f x 當(dāng) 3 x 12 時(shí) 由 得 a 1 b 2 t 2 9 5 8 所以 8 由 f 50 sin 2 1 得 綜上 f x 2 令 f x 2 5 當(dāng) 0 x 3 時(shí) 2 5 得 4 log23 x 3 當(dāng) 3 x 12 時(shí) 當(dāng) sin 2 2 5 時(shí) 得 x 8k 或者 8k k z 又當(dāng) 3 x 12 時(shí) x 結(jié)合函數(shù)圖象 故不等式的解集為 故所求的時(shí)間長(zhǎng)度為 12 故地環(huán)境良好的時(shí)間長(zhǎng)度大約有 7 個(gè)月 19 解答 解 1 證明 連結(jié) ef 連結(jié) eg 并延長(zhǎng) 交 bc 于點(diǎn) d 由點(diǎn) d 是 bc 的中點(diǎn) d e f 分別是棱 cb ab pb 的中點(diǎn) de ac ef ap de ef 平面 pac ac ap 平面 pac de 平面 pac ef 平面 pac de ef 平面 efg de ef e 平面 efg 平面 pac gf 平面 efg gf 平面 pac 2 解 連結(jié) pe pa pb e 是 ab 的中點(diǎn) pe ab 平面 pab 平面 abc 平面 pab 平面 abc ab pe 平面 pab pe 平面 abc 連結(jié) cg 并延長(zhǎng)交 be 于點(diǎn) o 則 o 為 be 的中點(diǎn) 連結(jié) of 則 of pe of 平面 abc fgo 是 gf 與平面 abc 所成角 fgo 60 在 rt fgo 中 設(shè) gf 2 則 og 1 of oc 3 pe 2 ab 4 ce 2 oe oe2 oc2 ce2 oc ab 以 o 為原點(diǎn) oc 為 x 軸 ob 為 y 軸 of 為 z 軸 建立空間直角坐標(biāo)系 則 a 0 3 0 c 3 0 0 p 0 2 3 3 0 0 2 設(shè)平面 pac 的一個(gè)法向量 x y z 則 取 z 1 得 9 平面 pab 的法向量 1 0 0 設(shè)二面角 b ap c 的平面角為 則 cos 二面角 b ap c 的余弦值為 20 解答 解 1 由題意 雙曲線的焦點(diǎn) 1 0 所以由題意知橢圓中 c 1 e b2 a2 c2 解得 a2 4 b2 3 所以橢圓的方程為 2 m 為線段 ab 的中點(diǎn) 又 kmp kpo 1 當(dāng) m 為坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí) 當(dāng) ab 的斜率不存在時(shí) 此時(shí) a b 為短軸的兩個(gè)端點(diǎn) s abp 2b xp 當(dāng) ab 的斜率存在時(shí) 設(shè)的斜率為 k 設(shè) a x y b x y 則直線 ab y kx k 代入橢圓方程整理 3 4k2 x2 12 0 x x 0 xx ab 4 p 到直線 ab 的距離 d 所以 sabp ab d 2 令 t 6 12k 要得面積 s abp的最大值 則 t 0 t 24 3 這時(shí) t 即 t 12 6 12k 12 k 時(shí)等號(hào)成立 10 s abp max 2 直線方程為 y x 2 當(dāng) m 不為原點(diǎn)時(shí) 由 kmp kop m o p 三點(diǎn)共線 kmo 設(shè) a x y b x y m x0 y0 lab的斜率為 kab x x 2x0 y y 2y0 因?yàn)?a b 在橢圓上 0 1 0 1 kab 0 即 1 0 kab 設(shè)直線 lab y x m 代入橢圓整理得 x2 mx m2 3 0 m2 4 m2 3 0 m2 4 x x m xx m2 3 ab p 到直線 ab 的距離為 d 2 s abp 2 令 g m 2 m 3 2 m 2 m 2 g m 4 2 m 2 m 1 m 2 1 g m 0 g m 單調(diào)遞增 m 1 2 g m 0 g m 單調(diào)遞減 所以 g 1 max 27 s abp max 直線 ab 的 方程 y 1 綜上所述 面積的最大值為 直線 ab 的方程 y 1 21 解答 解 1 設(shè)直線 l 與函數(shù) f x 的圖象相切的切點(diǎn)為 m n 函數(shù) f x eax b的導(dǎo)數(shù)為 f x aeax b 由題意可得 aeam b 1 eam b m 1 且 aea b e 解得 a