矩形薄板的幾種解法.doc

（范文素材和資料部分來自網(wǎng)絡(luò)，供參考?？蓮?fù)制、編制，期待你的好評與關(guān)注）彈力小結(jié)矩形薄板的幾種解法 矩形薄板的幾種解法一：納維解法四邊簡支的矩形薄板，如圖，當(dāng)并無支座沉陷時，其邊界條件為, 。 ， 。， 。 納維把撓度的表達式取為如下的重三角級數(shù)：， （a）其中和都是任意正整數(shù)。顯然，上列的邊界條件都能滿足。將式（a）代入彈性曲面微分方程，得到 為了求出系數(shù)，須將式（b）右邊的展為與左邊同樣的重三角級數(shù)即。 （c）現(xiàn)在來求出式（c）中的系數(shù)。將式（c）左右兩邊都乘以，其中的為任意正整數(shù)，然后對積分，從0到，注意就得到 。再將此式的左右兩邊都乘以，其中的也是任意正整數(shù)，然后對積分，從0到，注意 就得到因為和式任意正整數(shù)，可以分別換為和，所以上式可以換寫為解出，代入式（c）,得到的展式。 （13-25）與式（b）對比，即得當(dāng)薄板受均布荷載時，成為常量，式（d）積分式成為于是由式（d）得到或 代入式（a），即得撓度的表達式由此可以用公式求得內(nèi)力。當(dāng)薄板在任意一點（）受集中荷載時，可以用微分面積上的均布荷載來代替分布荷載。于是，式（d）中的除了在（）處的微分面積上等于以外其余各處都等于零。因此，式（d）成為代入式（a），即得撓度的表達式 ， 值得指出：當(dāng)及分別等于及時，各個內(nèi)力的級數(shù)表達式都不收斂（這是可以預(yù)見的，因為在集中荷載作用處，應(yīng)力是無限大的，從而內(nèi)力也是無限大），但撓度的級數(shù)表達式（e）仍然收斂于有限打的確定值。顯然，如果在式（e）中命和等于常量而把和當(dāng)做變量，并取，則該式的將成為（）點的撓度的影響函數(shù)，它表明單位橫向荷載在薄板上移動時，該點的撓度變化率。同樣。在由式（e）對及求導(dǎo)而得到的內(nèi)力表達式中，命和等于常量并取，則各該表達式將成為在（）點的各該內(nèi)力的影響函數(shù)。本節(jié)中所述的解法，它的優(yōu)點是：不論荷載如何，級數(shù)的運算都比較簡單。它的缺點是只適用于四邊簡支的矩形薄板，而且簡支邊不能受力矩荷載，也不能有沉陷引起的撓度。它的另一個缺點是級數(shù)解答收斂很慢，在計算內(nèi)力時，有時要計算很多項，才能達到工程上所需的精度。二：萊維解法對于有兩個對邊被簡支的矩形薄板，可以直接應(yīng)用下面所述的萊維解法。設(shè)圖13-18所示的矩形薄板具有兩個簡支邊及，其余兩邊式任意邊，承受任意橫向荷載。萊維把撓度的表達式取為如下的單三角級數(shù)： 其中是的任意函數(shù)，而為任意正整數(shù)。極易看出，級數(shù)（a）能滿足及兩邊的邊界條件。因此，只需選擇函數(shù)，使式（a）能滿足彈性曲面的微分方程，即： （b） 圖13-8并在的兩邊上滿足邊界條件。 將式（a）代入（b），得 。 （c）現(xiàn)在須將式（c）右邊的展為的級數(shù)。按照傅里葉級數(shù)展開式的法則，得 。 與式（c）對比，可見 （d） 這一常微分方程的解答可以寫成 其中是任意一個特解，可以按照式（d）右邊積分以后的結(jié)果來選擇；、是任意常數(shù)，決定于兩邊的邊界條件。將上式代入式（a），即得撓度w的表達式 (e) 作為例題，設(shè)圖13 8中的矩形薄板是四邊簡支的，受有均布荷載q=qo 。 這時，微分方程（d）的右邊成為 于是微分方程（d)的特解可以取為 .帶入式（e），并注意薄板的撓度w應(yīng)當(dāng)是y的偶函數(shù)，因而有Cm=0，Dm=0， 得 。 （f） 應(yīng)用邊界條件 ， 由式（f)得出決定Am 及Bm的聯(lián)立方程 或者 ,（m=2,4,6.。）其中。求得 Am 及Bm，得出 ， ；（m=1,3,5.。）或者得出 （2,4,6.。） 將求出的系數(shù)帶入式（f），得撓度w的最后表達式 +-=byaaaamDaqmmmmm2coshcosh2tanh2114w.5,3,15540p （g）并可以從而求得內(nèi)力的表達式。 最大撓度的、發(fā)生在薄板的中心。將及代入公式（g），即得這個表達式中的級數(shù)收斂很快，例如，對于正方形薄板，得出 在級數(shù)中僅取兩項，就得到很精確的解答。但是，在其他各點的撓度表達式中，級數(shù)收斂就沒有這樣快。在內(nèi)力的表達式中，級數(shù)收斂得還要慢一些。 應(yīng)用上面所述的萊維解法，可以求得四邊簡支的矩形薄板在受各種橫向荷載時的解答，以及它在某一邊界上受分布彎矩或發(fā)生沉陷時的解答。三：一般解法 此外在13-5中已經(jīng)給出這種薄板在某角點發(fā)生沉陷時的解答。于是可得矩形薄板的一個一般解法，說明如下。 采用結(jié)構(gòu)力學(xué)中的力法。位移法，或混合法，以四邊簡支的戶型薄板為基本系。對于任一夾支邊，以該邊上的分布彎矩為一個未知數(shù)（具有特定系數(shù)的級數(shù)）；對于任一自由邊，以該邊上的撓度為一個位置函數(shù)（具有特定系數(shù)級數(shù)）；對于兩自由邊相交而又無支柱的角點，還須以該角點的沉陷為一個未知值，應(yīng)用上面所述的解答，求出夾邊上的法線斜率，自由邊上的分布反力，以及二自由邊交點處的集中反力（當(dāng)然是用上述待定系數(shù)及未知值以及已知荷載來表示），命夾邊上的法向斜率 等于零，自由邊上的分布反力等于零，兩自由邊交點處的集中反力等于零，即得足夠的方程來求解各個待定系數(shù)及未知值，從而求得薄板最后的撓度，斜率 ，內(nèi)力和反力。當(dāng)然，求解時的運算是很繁瑣的。在工程設(shè)計中，一般總是利用現(xiàn)成的圖表，或是采用各種數(shù)值解 對于在各種邊界條件下承受各種橫向荷載的矩形薄板，很多專著和手冊中給出了關(guān)于撓度和彎矩的表格或圖線，可供工程設(shè)計之用。為了節(jié)省篇幅，對于只具有簡支邊和夾支邊而不具有自由邊的矩形薄板，在矩形的表格或圖線中大都給出泊松比等于某一指定數(shù)值時的彎矩。但是，我們極易由此求得泊松比等于任一其他數(shù)值時的彎矩，說明如下。 薄板的彈性曲面微分方程可以寫成 夾支邊及簡支邊的邊界條件不外乎如下形式： 把Dw看作基本未知函數(shù)，則顯而易見，Dw的微分方程及邊界條件中都不包含泊松比，因而Dw的解答不會包含泊松比，于是及都不隨泊松比而變?，F(xiàn)在，根據(jù)公式（13-12），當(dāng)泊松比為時，彎矩為 （h）當(dāng)泊松比為時，彎矩為 （i）由式（h）解出及，然后代入式（i），得到關(guān)系式 （13-26)于是可見，如果已知泊松比為時的彎矩MX及MY，就很容易求得泊松比為時的彎矩MX及MY。在=0的情況下（表格或圖線所示