總習(xí)題二解答.doc

總習(xí)題二解答1. 設(shè)有四個城市，其城市之間有航班，問至多經(jīng)過兩次中轉(zhuǎn)能否從一個城市到達(dá)其它三個城市？解：城市間的航班用矩陣表示為：，由，由于中，存在，即無法由城市至城市，例如即使允許經(jīng)一次中轉(zhuǎn)亦無法由城市去城市。而均有，故至多經(jīng)兩次中轉(zhuǎn)必可由一城市到達(dá)其他三個城市中的任一城市。2. 設(shè)，均為階方陣，證明下列命題等價： ； ； 。解：因為，故當(dāng)且僅當(dāng)時，；：因為，故當(dāng)且僅當(dāng)時，。3. 已知與及與都可交換，證明，是同階矩陣，且與可交換。解：設(shè)是矩陣，由可乘，故可設(shè)是矩陣，又因可乘，所以，那么是階矩陣，是階矩陣，從與可交換，即，即，是同階矩陣，同理與，也同階，由結(jié)合律，有：，所以與可交換。4. 設(shè)，為階矩陣，且為對稱矩陣，證明也是對稱矩陣。解：已知，則，從而也是對稱矩陣。5. 設(shè)為階矩陣，為奇數(shù)，且，求。解：由，得：，由為奇數(shù)，知。6. 設(shè)，均為階方陣，且，證明：，當(dāng)且僅當(dāng)。解：若，則：，；若，則。7. 已知，求。解：（遞推法），。8. 略。9. 設(shè)矩陣，正整數(shù)，求。解：，一般地，可得到如下遞推公式：，故：。10. ，是階矩陣，且，則必有 （ ）A. B. C. D. 解：通過左乘的逆或右乘，注意到與和的可交換性，由知，或 ，可見B正確，因乘法不一定能交換，故其余不恒成立， 應(yīng)選B。11. 設(shè)方陣滿足，證明及都可逆。證：由，得：，兩端同時取行列式，得：，即，故， 可逆； ， ， 也可逆。12. 略。13. 設(shè)，試用伴隨矩陣法求。解：利用公式計算。 ， 存在，又，故。14. 略。15. 設(shè)，其中，求。解：由，得：，即， ，而， 。16. 設(shè)，求。解：因所給矩陣方程中含有及其伴隨矩陣，故可從公式著手。用左乘所給方程兩邊，得：，又，故是可逆矩陣，用右乘上式兩邊，得：，即，即，注意到，是可逆矩陣，且，于是：。17. 若三階矩陣的伴隨矩陣為，已知，求。解： ， 。18. 設(shè)階矩陣的伴隨矩陣為，證明： 若，則；證：用反證法，假設(shè)，則有：，由此得：，即：，這與矛盾，故當(dāng)時，有。 。證：由，兩邊取行列式，得到：，若，由知，此時命題也成立，故有。19. 已知，為四階方陣，且，求： ；解：； ；解：， ；解：； ；解：； 。解：。20. 已知階矩陣，求中所有元素的代數(shù)余子式的和。解：利用公式，先求出及，再計算所求和，顯然，又可見，于是，。21. 設(shè)階矩陣及階矩陣都可逆，求： ；解：設(shè)，其中、依次是、待定矩陣，于是，比較，得：；。故。 。解： ，可逆， ，故，即可逆，設(shè)，其中為階，為階，為階，為階，由，故。22. （略）23. 設(shè)，為階方陣，證明： ；證： ，兩邊同時取行列式，有。 可逆的充要條件為，均可逆。解：由顯然可得。24. （略）25. 填空： 。解：注意到與均為初等矩陣，是作一次行變換（一、三兩行互換），為的一、三兩行作了偶數(shù)次對換，故，類似地，相當(dāng)于的二、三列作了一次對換，故應(yīng)填：。26. 設(shè)是階可逆方陣，互換中第行和第行得到矩陣，求。解：由題意及初等矩陣性質(zhì)，得：， 。27. 設(shè)，為階矩陣，其中為階單位矩陣， 證明：為可逆矩陣，并求；證：由于，于是，故為可逆矩陣，且。 已知，試求矩陣。解：由知，故，而，所以。28. 已知，均是三階矩陣，將中第3行的倍加至第2行得到矩陣，將中第2列加至第1列得到矩陣，又知，求。解：由題設(shè)條件，令，則，。29. 已知，矩陣滿足，其中是的伴隨矩陣，求矩陣。解：由，用矩陣左乘方程的兩端，得：，由于，故。*30. 設(shè)四階矩陣滿足，其中是四階單位矩陣，而，求矩陣。解：由拉普拉斯展開定理，得：，是四階可逆矩陣，故，于是，原方程化簡為：，左乘，得：，故，用分塊矩陣求逆法，可求得：。31. 設(shè)，其中是四階矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣，求矩陣。解：用矩陣左乘方程的兩端，得：，對上式兩端取轉(zhuǎn)置，得：，因為是階方程，故。32. 設(shè)三階矩陣，試求矩陣的秩。解一：直接從矩陣秩的行列式定義出發(fā)討論，由于，故 當(dāng)且時，； 當(dāng)時，且，顯然，； 當(dāng)時，且，這時有二階子式，顯然，。解二：利用初等變換求秩，于是由初等變換不改變矩陣的秩，易得到同解一的結(jié)果。33. 設(shè)為矩陣，且的秩為，求。解一：用初等變換，易見，若，則必有，即。解二：定義法， 的秩為，故其四階子式，解得：。34. 設(shè)階矩陣滿足，為階單位矩陣，證明。證： ， ，又 ， ，從而 。35. 設(shè)為階（）方陣，證明，。證： 當(dāng)時，事實上，由，于是是階滿秩矩陣，即。 當(dāng)時，事實上，由矩陣秩的定義知，此時，的所有階子式即的任一元素均為零，于是。 當(dāng)時，此