平面向量巧搭臺+“取值范圍”唱好戲——以近五年高考試.pdf

5 4數(shù)學(xué)教學(xué)研究第3 3 卷第6 期2 0 1 4 年6 月 平面向量巧搭臺 取值范圍 唱好戲 以近五年高考試題為例談平面向量中 取值范圍 問題的求解 朱賢良 付朝華 安徽省樅陽縣會宮中學(xué)2 4 6 7 4 0 向量具有幾何形式 有向線段 與代數(shù)形 式 坐標(biāo) 的 雙重身份 與幾何和代數(shù)有著 密切的聯(lián)系 在近幾年的高考中 以平面向量 為背景的最值 取值范圍等問題更是層出不 窮 此類問題綜合性較強(qiáng) 同時(shí)體現(xiàn)了知識的 交匯整合 從而使平面向量成為聯(lián)系不同數(shù) 學(xué)知識的 舞臺 本文以近5 年高考試題為 例 總結(jié)平面向量中 取值范圍 問題的求解 方法 1 函數(shù)關(guān)系 通性通法 這是求解 取值范圍 問題的最普遍的方 法 而借助平面向量的運(yùn)算合理建立函數(shù)關(guān) 系式是解題的關(guān)鍵一步 例1 2 0 1 1 年高考遼寧卷 理1 0 若 口 b c 均為單位向量 且口 6 0 4 一c 6 一c O 則I 口 6 一c I 的最大值為 A 厄一1 B 1 C 厄 D 2 解析由題意 4 一c 6 一c 口 6 一 口 矗 c I c l 2 1 一 口 矗 c 0 即 4 6 c 1 故 I a 6 一c I 一 a b c z 板F 百百干而 1 即 口 6 c 一1 時(shí) f 口 6 一c l 的最大值為 1 正確選項(xiàng)為B 點(diǎn)評借助向量的模長公式 求得l 口 b c I 是關(guān)于 口 6 c 的一次函數(shù) 最大值 容易求出 例2 2 0 1 3 年高考浙江卷 理7 設(shè) A B C P o 是邊A B 上一定點(diǎn) 滿足P o B A B 且對于邊A B 上任一點(diǎn)P 恒有商 鼉 葡 市 市 則 A 么A B C 9 0 B 么B A C 9 0 C A B A C D A C B C 解析如圖l 設(shè) A A B C 的三角A B C 所 對的邊分別為口 b f l 商l z 則 商 霄 商 商 葡 商 商 砣 圖l z 2 一口c o sB z 其中z E o c 因?yàn)?商 前 市 市 即當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P 運(yùn)動(dòng)到定點(diǎn)P 的位置時(shí) 即z 2 c 時(shí) 二次函數(shù) 殖 1 雹 z 2 一口c o sB z o z c 取得最小值 所以 丑c o sB1 丁 百 2 a c o sB c 2 a 型 堡 c Z t i c 即a b 故正確選項(xiàng)為D 點(diǎn)評以I 商I z 為自變量 借助數(shù)量 積的運(yùn)算 建立函數(shù)關(guān)系式商 蘢 z 一 萬方數(shù)據(jù) 第3 3 卷第6 期2 0 1 4 年6 月數(shù)學(xué)教學(xué)研究 5 5 口C O SB z o z c 從而將商 砣 市 市轉(zhuǎn)化為上述二次函數(shù)的最小值問 題 例3 2 0 1 3 年高考浙江卷 理1 7 文 1 7 設(shè)P 勃為單位向量 非零向量6 嬲 妒z z y E R 若吼 霉z 的夾角為詈 則餅的 最大值等于 解析由題意 止叢 蘭 b l 以麗開兩 lo 七9 七焉t 了 當(dāng)z o 時(shí) 惜 0 當(dāng)z O 時(shí) 塒 l 蘭I f6 1 x 2 y Z 4 r 蠆x y 一 二 一 扼F 石玎 j i 一 廳 麗T 盯1 T 4 2 綜上 餅的最大值等于2 點(diǎn)評 借助向量的模長公式 求得餅 是關(guān)于z Y 的二元函數(shù) 如何求此二元函數(shù) 的最大值是解題的一個(gè)難點(diǎn) 例4 2 0 1 0 年高考全國I 卷 理1 1 文 1 1 已知圓O 的半徑為I P A P B 為該圓的 兩條切線 A B 為兩切點(diǎn) 那么商 商的 最小值為 A 4 V r 2 B 一3 摳 c 4 2 壓 D 3 2 厄 解析如圖2 設(shè) 么A P 么B P O 8 則商 商 C O S2 8 而C 0 52 0 1 2 s i n 2 口 2 2 l 一 x z 1 一z 2 1 z 2 1 雷2 故商 商 每 罱半 其中x O 令 z 2 1 則 孩 商 二 獨(dú)二墮 t 3 其中t 1 顯然 當(dāng)t 4 狐t 藏 商取得最 小值2 厄一3 即正確選項(xiàng)為D 點(diǎn)評如何選取合適自變量 如何建立 函數(shù)關(guān)系式是本題的關(guān)鍵所在 當(dāng)然 也可以 選擇角口為自變量 2 線性規(guī)劃 求目標(biāo)函數(shù)最值 將日標(biāo)函數(shù)的表達(dá)式隱于平面向量的運(yùn) 算之中 這是平面向量與線性規(guī)劃的常見交 匯形式 例5 2 0 1 1 年高考廣東卷 理5 文6 已細(xì)平面直角坐標(biāo)系x O y 上的區(qū)域D 由不 l o z 劃2 等式組 y 2 給定 若M x y 為D 上 z 2 y 的動(dòng)點(diǎn) 點(diǎn)A 的坐標(biāo)為 厄 1 則z 一商 蔬的最大值為 A 4 應(yīng) B 3 壓 C 4 D 3 解析畫出可行域 D 如圖3 所示 而目標(biāo)函 數(shù)z 砑訝 葫 屈 y 將其化為y 一屈 2 結(jié)合圖形可知 當(dāng)直線 Y 一以z z 經(jīng)過點(diǎn) y 鄉(xiāng) 羅弋 工 壓j 圖3 2 沂 2 時(shí) 截距z 最大 即z 厄 y 2 時(shí) z 萬方數(shù)據(jù) 5 6數(shù)學(xué)教學(xué)研究 第3 3 卷第6 期2 0 1 4 年6 月 的最大值為4 正確選項(xiàng)為C 點(diǎn)評先根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算求出目標(biāo)函 數(shù)的表達(dá)式 再結(jié)合線性規(guī)劃知識 由平移直 線法求得截距型目標(biāo)函數(shù)z 一 2 z Y 的最 大值 例6 2 0 1 1 年高考湖北卷 理8 已知 向量口一 z z 3 b 一 2 Y z 且a 上b 若z Y 滿足不等式l 引 lYI 1 則z 的取 值范圍為 A 一2 2 B 一2 3 C 一3 2 D 一3 3 解析由題知 d 6 2 z z 3 y 一名 2 z 3 y z 0 即目標(biāo)函數(shù)為 z 2 x 3 y j y 一號z 詈 又不等式 I 刮 IY I 1 Z疑 邋形L 1 曰 二i 圖4 表示的區(qū)域如圖4 所示 由平移直線法知 當(dāng) x O y 1 時(shí) z 一3 當(dāng)z 0 y 一一1 時(shí) z 商 一一3 故確選項(xiàng)為D 點(diǎn)評本題中 目標(biāo)函數(shù)2 的表達(dá)式隱 于 a 上b 的關(guān)系中 平面向量與線性規(guī)劃相 得益彰 3 基本不等式 巧思妙解 基本不等式法也是求函數(shù)最值的一種常 用方法 這種方法也可以和平面向量問題結(jié) 合起來 例7 2 0 0 9 年高考 安徽卷 理1 4 給定兩個(gè) 長度為1 的平面向量0 吸 和甜 它們的夾角為 1 2 0 如圖5 所示 點(diǎn)C 在 以0 為圓心的圓弧A B 上 圖5 變動(dòng) 若砣一z 葫 y 葩 其中z y E R 則 z y 的最大值為 解析因?yàn)?茍 z 萌 y 葡 兩邊平方得 1 z 2 y 2 x y 配方得 1 2 y 2 一z y 一 z y 2 3 x y 由基本不等式有 z y x 2y 故1 z y 2 3 x y z y 2 3 字 一 z y 2 4 即z y 2 所以當(dāng)z y 一1 時(shí) z y 取得最大值2 點(diǎn)評由向量的運(yùn)算 將式子砣 z 萌 y 茁兩邊平方后 從而將問題轉(zhuǎn)化為 根據(jù)等式1 z 2 y 2 x y 求X 3 的最大值 一般用基本不等式進(jìn)行求解 此類問題在 近幾年高考中出現(xiàn)比較頻繁 比如 1 2 0 1 0 年高考浙江卷 文1 5 若正實(shí) 數(shù)z Y 滿足2 z y 6 一z y 則x y 的最小值 是 2 2 0 1 0 年高考重慶卷 理7 已知z 0 y 0 z 2 y 2 z y 8 則z 23 的最小值 是 A 3 B 4 c 蠆9 D 瞿 3 2 0 1 1 年高考浙江卷 文1 6 若實(shí)數(shù) z Y 滿足X 2 y 2 z y 一1 則z y 的最大值 是 4 2 0 1 1 年高考浙江卷 理1 6 設(shè)z Y 為實(shí)數(shù) 若4 2 2 Y 2 z y 一1 則2 z Y 的最 大值是 例8 2 0 1 2 年高考安徽卷 理1 4 若 平面向量a b 滿足l2 a b l 3 則a b 的最 小值是 解析建系 引入坐標(biāo)求解 以a 為x 軸 的一個(gè)方向向量建立平面直角坐標(biāo)系 設(shè)a 一 z l O 6 一 z 2 Y 2 則 萬方數(shù)據(jù) 第3 3 卷第6 期2 0 1 4 年6 月斂學(xué)教學(xué)研究 5 7 2 口一6 2 x 1 X 2 一Y 2 口 b x l z 2 由1 2 口一6 I 3 得以瓦F 乏了耳了隳3 即 4 z z 4 x l z 2 舅 9 1 結(jié)合基本不等式知識 有 4 x z 一4 x l z 2 當(dāng)且僅當(dāng)2 x 一z 時(shí)等號成立 故由 1 式 可得 9 4 x z 4 x l z 2 y 一8 x l z 2 奠 一8 x l z 2 凸 即X i z z 一專 所以 當(dāng)且僅當(dāng) f 4 z j 愛 4 x l X 2 胡一9 2 x 1 2 X 2 Y 2 O 即 時(shí) 口 6 取得最小值一 O 點(diǎn)評從2 0 1 2 年安徽高考反饋情況來 看 本題難度較大 給考生帶來了很大的障 礙 如何把條件 1 2 口一b I 3 與求解結(jié)論 a b 的最小值 聯(lián)系起來 其實(shí)向量問題 的求解無非考慮是 形 用有向線段表示向 量 結(jié)合圖形進(jìn)行運(yùn)算 還是 數(shù) 建系 用坐 標(biāo)進(jìn)行運(yùn)算 本題顯然引入坐標(biāo)更易突破難 點(diǎn) 當(dāng)然 也可以任意建系 設(shè)口 z y 1 b 一 z z Y 后續(xù)思路同上 只是需要兩次使 用基本不等式知識 讀者可以一試 4 數(shù)形結(jié)合 以形助數(shù) 在求解取值范圍問題時(shí) 數(shù)形結(jié)合 賦予 式子以幾何意義 求解直觀簡潔I 在進(jìn)行平面 向量運(yùn)算時(shí) 也可以嘗試直接構(gòu)造圖形 化難 為易 例9 2 0 1 3 年高考湖南卷 理6 已知 口 b 是單位向量 口 b 0 若向量C 滿足 I c 一口一6 I l 則l c l 的取值范圍是 A 皈一1 厄 1 B 昕一1 厄 2 C 1 拉 1 D 1 厄 2 解析由于口 b 是互相垂直的單位向 量 可以考慮建系處理 設(shè)口 1 o 6 0 1 c 一 z y 則 c 一口一6 z 一1 了一1 I C I 以2 7 y 因?yàn)镮 c 一口一參l 一1 即 z 一1 2 y 一1 2 1 即點(diǎn) z y 在圓 z 一1 2 y 一1 2 1 上運(yùn)動(dòng) 而 I c l 3 f 2 表示點(diǎn) 工 y 與坐標(biāo)原點(diǎn)間的距離 如圖6 當(dāng)點(diǎn) z y 運(yùn) 動(dòng)至點(diǎn)A 時(shí) z 2 十7 取 得最小值 為 2 1 當(dāng)點(diǎn) o 3 運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)B 時(shí) 歹干歹取得最大值 為 在 1 即ICI 的取值范圍 圖6 是皈一l 扭 1 正確選項(xiàng)為A 點(diǎn)評本題建系后 將問題轉(zhuǎn)化為在 z 1 2 y 1 2 的條件下求以2 的取值 范圍問題 數(shù)形結(jié)合 借助式的幾何意義求解 直觀簡潔 本題也可以不引入坐標(biāo) 對條件式 l c 一4 6 l 1 作兩邊平方處理 也可求解 例1 0 2 0 1 1 年高考全國大綱卷 理 1 2 設(shè)向量口 b c 滿足 口 Ib I 1 a b 1 一去 一6 0 則Ic I 的最大值等 厶 于 A 2 B 3 C 2 D 1 3 4 一 3 2 O I I 瓤 勘 弛 或 3 2 3 4 一 c 屯 屯 弛 萬方數(shù)據(jù) 5 8數(shù)學(xué)教學(xué)研究 第3 3 卷第6 期2 0 1 4 年6 月 解析本題的難點(diǎn)在于對條件式 一6 0 的處理上 不論是采用向量的夾 角公式 或是引入坐標(biāo) 其運(yùn)算量都非常大 考慮直接構(gòu)造圖形求解 設(shè)蔬一口 商 b 砣 c 則L A O B 1 2 0 分兩種情況討論 i 若點(diǎn)C 在么A O B 的開口區(qū)域內(nèi) 如 圖7 么A C B 一6 0 么A O B 1 2 0 即有 么A O B 么A C B 1 8 0 故A B C D4 點(diǎn) 共圓 因此 當(dāng)0 C 為圓的直徑時(shí) lc I 最大 此時(shí)么o c A 么0 c B 6 0 在 0 A C 中 二 土麗 2 即I c I 的最大值為2 s i n 0 氣s i n6 0 7 7 7 7 7 H 若點(diǎn)C 不在么A O B 的開口區(qū)域內(nèi) 如圖8 因?yàn)槊碅 c B 6 0 么A O B 一1 2 0 即 有么A O B 2 Z A C B 故點(diǎn)0 為 A B C 的外 心 因此 f c f 1 為定值 綜上 IC I 的最大值為2 正確選項(xiàng)為A 圖7圖8 點(diǎn)評本題以平面向量為背景 把題中 所給條件轉(zhuǎn)化為圖形語言是求解的難點(diǎn)所 在 上述思路運(yùn)用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)審視靜止 問題 把數(shù)形結(jié)合的思想體現(xiàn)得淋漓盡致 5 多元運(yùn)算 多而有序 數(shù)學(xué)試題中的多元運(yùn)算問題往往是一個(gè) 難點(diǎn) 涉及的量多 容易使人思緒大亂 只有 理清頭緒 方能多而不亂 多而有序 例I I 2 0 1 3 年高考重慶卷 理l O 在 平面上 商上蕊 l 菌I l 蕊I I 砷 瓦蒔 忑爵 若茚 則I 蔬I 的取值范 圍是 A o 霉 B 辱 辱 c 雩櫥 D 譬 伺 解析本題涉及點(diǎn) 向量較多 不易尋找 解題的切人點(diǎn) 考慮到商上瓦蘸 不妨建系 一試 如圖9 分別以A B l A B 為z 軸 了軸建立平 面直角坐標(biāo)系 設(shè)B 口 0 B 2 0 b P 口 b 0 z y 則 圖9 I 蔬l 一以研 由l 畫l l 商l 一1 得 f x a 2 y 2 1 I z 2 y b 2 1 即 x y 叫 a 2 l y z 又I O