同濟(jì)第六版《高等數(shù)學(xué)》教案WORD版-第07章 空間解析幾何與向量代數(shù).doc

.第七章 空間解析幾何與向量代數(shù) 教學(xué)目的： 1、理解空間直角坐標(biāo)系，理解向量的概念及其表示。 2、掌握向量的運(yùn)算（線性運(yùn)算、數(shù)量積、向量積、混合積），掌握兩個(gè)向量垂直和平行的條件。3、 理解單位向量、方向數(shù)與方向余弦、向量的坐標(biāo)表達(dá)式，熟練掌握用坐標(biāo)表達(dá)式進(jìn)行向量運(yùn)算的方法。4、 掌握平面方程和直線方程及其求法。5、 會(huì)求平面與平面、平面與直線、直線與直線之間的夾角，并會(huì)利用平面、直線的相互關(guān)系（平行、垂直、相交等）解決有關(guān)問(wèn)題。6、 會(huì)求點(diǎn)到直線以及點(diǎn)到平面的距離。7、 理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其圖形，會(huì)求以坐標(biāo)軸為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)曲面及母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程。8、 了解空間曲線的參數(shù)方程和一般方程。9、 了解空間曲線在坐標(biāo)平面上的投影，并會(huì)求其方程。教學(xué)重點(diǎn)： 1、向量的線性運(yùn)算、數(shù)量積、向量積的概念、向量運(yùn)算及坐標(biāo)運(yùn)算； 2、兩個(gè)向量垂直和平行的條件； 3、平面方程和直線方程； 4、平面與平面、平面與直線、直線與直線之間的相互位置關(guān)系的判定條件； 5、點(diǎn)到直線以及點(diǎn)到平面的距離； 6、常用二次曲面的方程及其圖形； 7、旋轉(zhuǎn)曲面及母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程； 8、空間曲線的參數(shù)方程和一般方程。教學(xué)難點(diǎn)： 1、向量積的向量運(yùn)算及坐標(biāo)運(yùn)算； 2、平面方程和直線方程及其求法； 3、點(diǎn)到直線的距離； 4、二次曲面圖形； 5、旋轉(zhuǎn)曲面的方程；7. 1 向量及其線性運(yùn)算 一、向量概念 向量: 在研究力學(xué)、物理學(xué)以及其他應(yīng)用科學(xué)時(shí), 常會(huì)遇到這樣一類量, 它們既有大小, 又有方向. 例如力、力矩、位移、速度、加速度等, 這一類量叫做向量. 在數(shù)學(xué)上, 用一條有方向的線段(稱為有向線段)來(lái)表示向量. 有向線段的長(zhǎng)度表示向量的大小, 有向線段的方向表示向量的方向. 向量的符號(hào): 以A為起點(diǎn)、B為終點(diǎn)的有向線段所表示的向量記作. 向量可用粗體字母表示, 也可用上加箭頭書(shū)寫(xiě)體字母表示, 例如, a、r、v、F或、. 自由向量: 由于一切向量的共性是它們都有大小和方向, 所以在數(shù)學(xué)上我們只研究與起點(diǎn)無(wú)關(guān)的向量, 并稱這種向量為自由向量, 簡(jiǎn)稱向量. 因此, 如果向量a和b的大小相等, 且方向相同, 則說(shuō)向量a和b是相等的, 記為a = b. 相等的向量經(jīng)過(guò)平移后可以完全重合. 向量的模: 向量的大小叫做向量的模. 向量a、的模分別記為|a|、. 單位向量: 模等于1的向量叫做單位向量. 零向量: 模等于0的向量叫做零向量, 記作0或. 零向量的起點(diǎn)與終點(diǎn)重合, 它的方向可以看作是任意的. 向量的平行: 兩個(gè)非零向量如果它們的方向相同或相反, 就稱這兩個(gè)向量平行. 向量a與b平行, 記作a / b. 零向量認(rèn)為是與任何向量都平行. 當(dāng)兩個(gè)平行向量的起點(diǎn)放在同一點(diǎn)時(shí), 它們的終點(diǎn)和公共的起點(diǎn)在一條直線上. 因此, 兩向量平行又稱兩向量共線. 類似還有共面的概念. 設(shè)有k(k3)個(gè)向量, 當(dāng)把它們的起點(diǎn)放在同一點(diǎn)時(shí), 如果k個(gè)終點(diǎn)和公共起點(diǎn)在一個(gè)平面上, 就稱這k個(gè)向量共面. 二、向量的線性運(yùn)算 1向量的加法 向量的加法: 設(shè)有兩個(gè)向量a與b, 平移向量使b的起點(diǎn)與a的終點(diǎn)重合, 此時(shí)從a的起點(diǎn)到b的終點(diǎn)的向量c稱為向量a與b的和, 記作a+b, 即c=a+b . 三角形法則: 上述作出兩向量之和的方法叫做向量加法的三角形法則. 平行四邊形法則: 當(dāng)向量a與b不平行時(shí), 平移向量使a與b的起點(diǎn)重合, 以a、b為鄰邊作一平行四邊形, 從公共起點(diǎn)到對(duì)角的向量等于向量a與b的和a+b. A B C A B C D 向量的加法的運(yùn)算規(guī)律: (1)交換律a+b=b+a; (2)結(jié)合律(a+b)+c=a+(b+c). 由于向量的加法符合交換律與結(jié)合律, 故n個(gè)向量a1, a2, , an(n 3)相加可寫(xiě)成 a1+a2+ +an, 并按向量相加的三角形法則, 可得n個(gè)向量相加的法則如下: 使前一向量的終點(diǎn)作為次一向量的起點(diǎn), 相繼作向量a1, a2, , an, 再以第一向量的起點(diǎn)為起點(diǎn), 最后一向量的終點(diǎn)為終點(diǎn)作一向量, 這個(gè)向量即為所求的和. 負(fù)向量: 設(shè)a為一向量, 與a的模相同而方向相反的向量叫做a的負(fù)向量, 記為-a. 向量的減法: 我們規(guī)定兩個(gè)向量b與a的差為b-a=b+(-a). 即把向量-a加到向量b上, 便得b與a的差b-a. 特別地, 當(dāng)b=a時(shí), 有 a-a=a+(-a)=0. - - - 顯然, 任給向量及點(diǎn)O, 有 , 因此, 若把向量a與b移到同一起點(diǎn)O, 則從a的終點(diǎn)A向b的終點(diǎn)B所引向量便是向量b與a的差b-a . 三角不等式: 由三角形兩邊之和大于第三邊的原理, 有|a+b|a|+|b|及|a-b|a|+|b|, 其中等號(hào)在b與a同向或反向時(shí)成立. 2向量與數(shù)的乘法 向量與數(shù)的乘法的定義: 向量a與實(shí)數(shù)l的乘積記作la, 規(guī)定la是一個(gè)向量, 它的模|la|=|l|a|, 它的方向當(dāng)l0時(shí)與a相同, 當(dāng)l0時(shí)與a相反. 當(dāng)l=0時(shí), |la|=0, 即la為零向量, 這時(shí)它的方向可以是任意的. 特別地, 當(dāng)l=1時(shí), 有1a=a, (-1)a=-a. 運(yùn)算規(guī)律: (1)結(jié)合律 l(ma)=m(la)=(lm)a； (2)分配律 (l+m)a=la+ma； l(a+b)=la+lb. 例1. 在平行四邊形ABCD中, 設(shè)=a, =b. 試用a和b表示向量、, 其中M是平行四邊形對(duì)角線的交點(diǎn). 解 由于平行四邊形的對(duì)角線互相平分, 所以A B C D M a+b, 即 -(a+b), 于是 (a+b). 因?yàn)? 所以(a+b). 又因-a+b, 所以(b-a). 由于, 所以(a-b). 例1 在平行四邊形ABCD中, 設(shè), . 試用a和b表示向量、, 其中M是平行四邊形對(duì)角線的交點(diǎn). A B C D M 解 由于平行四邊形的對(duì)角線互相平分, 所以 , 于是; . 因?yàn)? 所以; 向量的單位化: 設(shè)a0, 則向量是與a同方向的單位向量, 記為ea. 于是a=|a|ea. 向量的單位化: 設(shè)a0, 則向量是與a同方向的單位向量, 記為ea. 于是a = | a | ea. 定理1 設(shè)向量a 0, 那么, 向量b平行于a的充分必要條件是: 存在唯一的實(shí)數(shù)l, 使 b = la. 證明: 條件的充分性是顯然的, 下面證明條件的必要性. 設(shè)b / a. 取, 當(dāng)b與a同向時(shí)l取正值, 當(dāng)b與a反向時(shí)l取負(fù)值, 即b=la. 這是因?yàn)榇藭r(shí)b與la同向, 且 |la|=|l|a|. 再證明數(shù)l的唯一性. 設(shè)b=la, 又設(shè)b=ma, 兩式相減, 便得 (l-m)a=0, 即|l-m|a|=0. 因|a|0, 故|l-m|=0, 即l=m. 給定一個(gè)點(diǎn)及一個(gè)單位向量就確定了一條數(shù)軸. 設(shè)點(diǎn)O及單位向量i確定了數(shù)軸Ox, 對(duì)于軸上任一點(diǎn)P, 對(duì)應(yīng)一個(gè)向量, 由/i, 根據(jù)定理1, 必有唯一的實(shí)數(shù)x, 使=xi(實(shí)數(shù)x叫做軸上有向線段的值), 并知與實(shí)數(shù)x一一對(duì)應(yīng). 于是 點(diǎn)P向量= xi實(shí)數(shù)x , 從而軸上的點(diǎn)P與實(shí)數(shù)x有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系. 據(jù)此, 定義實(shí)數(shù)x為軸上點(diǎn)P的坐標(biāo). 由此可知, 軸上點(diǎn)P的坐標(biāo)為x的充分必要條件是 = xi . 三、空間直角坐標(biāo)系 在空間取定一點(diǎn)O和三個(gè)兩兩垂直的單位向量i、j、k, 就確定了三條都以O(shè)為原點(diǎn)的兩兩垂直的數(shù)軸, 依次記為x軸(橫軸)、y軸(縱軸)、z軸(豎軸), 統(tǒng)稱為坐標(biāo)軸. 它們構(gòu)成一個(gè)空間直角坐標(biāo)系, 稱為Oxyz坐標(biāo)系. 注: (1)通常三個(gè)數(shù)軸應(yīng)具有相同的長(zhǎng)度單位; (2)通常把x 軸和y軸配置在水平面上, 而z軸則是鉛垂線; (3)數(shù)軸的的正向通常符合右手規(guī)則. 坐標(biāo)面: 在空間直角坐標(biāo)系中, 任意兩個(gè)坐標(biāo)軸可以確定一個(gè)平面, 這種平面稱為坐標(biāo)面. x軸及y軸所確定的坐標(biāo)面叫做xOy面, 另兩個(gè)坐標(biāo)面是yOz面和zOx面. 卦限: 三個(gè)坐標(biāo)面把空間分成八個(gè)部分, 每一部分叫做卦限, 含有三個(gè)正半軸的卦限叫做第一卦限, 它位于xOy面的上方. 在xOy面的上方, 按逆時(shí)針?lè)较蚺帕兄诙韵蕖⒌谌韵藓偷谒呢韵? 在xOy面的下方, 與第一卦限對(duì)應(yīng)的是第五卦限, 按逆時(shí)針?lè)较蜻€排列著第六卦限、第七卦限和第八卦限. 八個(gè)卦限分別用字母I、II、III、IV、V、VI、VII、VIII表示. 向量的坐標(biāo)分解式: 任給向量r, 對(duì)應(yīng)有點(diǎn)M, 使. 以O(shè)M為對(duì)角線、三條坐標(biāo)軸為棱作長(zhǎng)方體, 有 , 設(shè) , , , 則 . 上式稱為向量r的坐標(biāo)分解式, xi、yj、zk稱為向量r沿三個(gè)坐標(biāo)軸方向的分向量. 顯然, 給定向量r, 就確定了點(diǎn)M及, , 三個(gè)分向量, 進(jìn)而確定了x、y、z三個(gè)有序數(shù); 反之, 給定三個(gè)有序數(shù)x、y、z也就確定了向量r與點(diǎn)M. 于是點(diǎn)M、向量r與三個(gè)有序x、y、z之間有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系 . 據(jù)此, 定義: 有序數(shù)x、y、z稱為向量r(在坐標(biāo)系Oxyz)中的坐標(biāo), 記作r=(x, y, z); 有序數(shù)x、y、z也稱為點(diǎn)M(在坐標(biāo)系Oxyz)的坐標(biāo), 記為M(x, y, z). 向量稱為點(diǎn)M關(guān)于原點(diǎn)O的向徑. 上述定義表明, 一個(gè)點(diǎn)與該點(diǎn)的向徑有相同的坐標(biāo). 記號(hào)(x, y, z)既表示點(diǎn)M, 又表示向量. 坐標(biāo)面上和坐標(biāo)軸上的點(diǎn), 其坐標(biāo)各有一定的特征. 例如: 點(diǎn)M在yOz面上, 則x=0; 同相, 在zOx面上的點(diǎn), y=0; 在xOy面上的點(diǎn), z=0. 如果點(diǎn)M在x軸上, 則y=z=0; 同樣在y軸上,有z=x=0; 在z軸上 的點(diǎn), 有x=y=0. 如果點(diǎn)M為原點(diǎn), 則x=y=z=0. 四、利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算 設(shè)a=(ax, ay, az), b=(bx, by, bz)即 a=axi+ayj+azk, b=bxi+byj+bzk , 則 a+b=(axi+ayj+azk)+(bxi+byj+bzk) =(ax+bx)i+(ay+by)j+(az+bz)k =(ax+bx, ay+by, az+bz). a-b=(axi+ayj+azk)-(bxi+byj+bzk) =(ax-bx)i+(ay-by)j+(az-bz)k =(ax-bx, ay-by, az-bz). la=l(axi+ayj+azk) =(lax)i+(lay)j+(laz)k =(lax, lay, laz). 利用向量的坐標(biāo)判斷兩個(gè)向量的平行: 設(shè)a=(ax, ay, az)0, b=(bx, by, bz), 向量b/ab=la , 即b/a(bx, by, bz)=l(ax, ay, az), 于是. 例2 求解以向量為未知元的線性方程組,其中a=(2, 1, 2), b=(-1, 1, -2). 解 如同解二元一次線性方程組, 可得 x=2a-3b, y=3a-5b . 以a、b的坐標(biāo)表示式代入, 即得 x=2(2, 1, 2)-3(-1, 1, -2)=(7, -1, 10), y=3(2, 1, 2)-5(-1, 1, -2)=(11, -2, 16). 例3 已知兩點(diǎn)A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)以及實(shí)數(shù)l-1, 在直線AB上求一點(diǎn)M, 使. 解 由于, , 因此 , 從而 . , 這就是點(diǎn)M的坐標(biāo). 另解 設(shè)所求點(diǎn)為M (x, y, z), 則, . 依題意有, 即 (x-x1, y-y1, z-z1)=l(x2-x, y2-y, z2-z) (x, y, z)-(x1, y1, z1)=l(x2, y2, z2)-l(x, y, z), , , , . 點(diǎn)M叫做有向線段的定比分點(diǎn). 當(dāng)l=1, 點(diǎn)M的有向線段的中點(diǎn), 其坐標(biāo)為 , , . 五、向量的模、方向角、投影 1向量的模與兩點(diǎn)間的距離公式 設(shè)向量r=(x, y, z), 作, 則 , 按勾股定理可得 , 設(shè) , , , 有 |OP|=|x|, |OQ|=|y|, |OR|=|z|, 于是得向量模的坐標(biāo)表示式 . 設(shè)有點(diǎn)A (x1, y1, z1)、B(x2, y2, z2), 則 =(x2, y2, z2)-(x1, y1, z1)=(x2-x1, y2-y1, z2-z1), 于是點(diǎn)A與點(diǎn)B間的距離為 . 例4 求證以M1(4, 3, 1)、M2 (7, 1, 2)、M3 (5, 2, 3)三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是一個(gè)等腰三角形. 解 因?yàn)?| M1M2|2 =(7-4)2+(1-3)2+(2-1)2 =14, | M2M3|2 =(5-7)2+(2-1)2+(3-2)2 =6, | M1M3|2 =(5-4)2+(2-3)2+(3-1)2 =6, 所以|M2 M3|=|M1M3|, 即D M1 M2 M3為等腰三角形. 例5 在z軸上求與兩點(diǎn)A(-4, 1, 7)和B(3, 5, -2)等距離的點(diǎn). 解 設(shè)所求的點(diǎn)為M(0, 0, z), 依題意有|MA|2=|MB|2, 即 (0+4)2+(0-1)2+(z-7)2=(3-0)2+(5-0)2+(-2-z)2. 解之得, 所以, 所求的點(diǎn)為. 例6 已知兩點(diǎn)A(4, 0, 5)和B(7, 1, 3), 求與方向相同的單位向量e. 解 因?yàn)? , 所以 . 2方向角與方向余弦 當(dāng)把兩個(gè)非零向量a與b的起點(diǎn)放到同一點(diǎn)時(shí), 兩個(gè)向量之間的不超過(guò)p的夾角稱為向量a與b的夾角, 記作或. 如果向量a與b中有一個(gè)是零向量, 規(guī)定它們的夾角可以在0與p之間任意取值. 類似地, 可以規(guī)定向量與一軸的夾角或空間兩軸的夾角. 非零向量r與三條坐標(biāo)軸的夾角a、b、g稱為向量r的方向角. 向量的方向余弦: 設(shè)r=(x, y, z), 則 x=|r|cosa, y=|r|cosb, z=|r|cosg . cosa、cosb、cosg 稱為向量r的方向余弦. , , . 從而 . 上式表明, 以向量r的方向余弦為坐標(biāo)的向量就是與r同方向的單位向量e r . 因此cos2a+cos2b+cos2g=1. 例3 設(shè)已知兩點(diǎn))和B (1, 3, 0), 計(jì)算向量的模、方向余弦和方向角. 解 ; ; , , ; , , . 3向量在軸上的投影 設(shè)點(diǎn)O及單位向量e確定u軸. 任給向量r, 作, 再過(guò)點(diǎn)M作與u軸垂直的平面交u軸于點(diǎn)M(點(diǎn)M叫作點(diǎn)M在u軸上的投影), 則向量稱為向量r在u軸上的分向量. 設(shè), 則數(shù)l稱為向量r在u軸上的投影, 記作Prjur或(r)u . 按此定義, 向量a在直角坐標(biāo)系Oxyz中的坐標(biāo)ax, ay, az就是a在三條坐標(biāo)軸上的投影, 即 ax=Prjxa, ay=Prjya, az=Prjza. 投影的性質(zhì): 性質(zhì)1 (a)u=|a|cos j (即Prjua=|a|cos j), 其中j為向量與u軸的夾角; 性質(zhì)2 (a+b)u=(a)u+(b)u (即Prju(a+b)= Prjua+Prjub); 性質(zhì)3 (la)u=l(a)u (即Prju(la)=lPrjua); 7. 2 數(shù)量積 向量積 一、兩向量的數(shù)量積 數(shù)量積的物理背景: 設(shè)一物體在常力F作用下沿直線從點(diǎn)M1移動(dòng)到點(diǎn)M2. 以s表示位移. 由物理學(xué)知道, 力F所作的功為 W = |F| |s| cosq , 其中q 為F與s的夾角. 數(shù)量積: 對(duì)于兩個(gè)向量a和b, 它們的模 |a|、|b| 及它們的夾角q 的余弦的乘積稱為向量a和b的數(shù)量積, 記作ab, 即ab=|a| |b| cosq . 數(shù)量積與投影: 由于|b| cosq =|b|cos(a, b), 當(dāng)a0時(shí), |b| cos(a, b) 是向量b在向量a的方向上的投影, 于是ab = |a| Prj ab. 同理, 當(dāng)b0時(shí), ab = |b| Prj ba. 數(shù)量積的性質(zhì): (1) aa = |a| 2. (2) 對(duì)于兩個(gè)非零向量 a、b, 如果 ab =0, 則 ab; 反之, 如果ab, 則ab =0. 如果認(rèn)為零向量與任何向量都垂直, 則ab ab =0. 數(shù)量積的運(yùn)算律: (1)交換律: ab = ba; (2)分配律: (a+b)c=ac+bc . (3) (la)b = a(lb) = l(ab), (la)(mb) = lm(ab), l、m為數(shù). (2)的證明: 分配律(a+b)c=ac+bc的證明: 因?yàn)楫?dāng)c=0時(shí), 上式顯然成立; 當(dāng)c0時(shí), 有 (a+b)c=|c|Prjc(a+b) =|c|(Prjca+Prjcb) =|c|Prjca+|c|Prjcb =ac+bc . 例1 試用向量證明三角形的余弦定理.證: 設(shè)在ABC中, BCA=q (圖7-24), |BC|=a, |CA|=b, |AB|=c, 要證 c 2=a 2+b 2-2 a b cos q . 記=a, =b, =c, 則有 c=a-b, 從而 |c|2=c c=(a-b)(a-b)=a a+b b-2a b=|a|2+|b|2-2|a|b|cos(a,b), 即 c 2=a 2+b 2-2 a b cos q . 數(shù)量積的坐標(biāo)表示: 設(shè)a=(ax, ay, az ), b=(bx, by, bz ), 則 ab=axbx+ayby+azbz .提示: 按數(shù)量積的運(yùn)算規(guī)律可得 ab =( ax i + ay j + az k)(bx i + by j + bz k) =ax bx ii + ax by ij + ax bz ik +ay bx j i + ay by j j + ay bz jk +az bx ki + az by kj + az bz kk = ax bx + ay by + az bz . 兩向量夾角的余弦的坐標(biāo)表示: 設(shè)q=(a, b), 則當(dāng)a0、b0時(shí), 有 . 提示: ab=|a|b|cosq . 例2 已知三點(diǎn)M (1, 1, 1)、A (2, 2, 1)和B (2, 1, 2), 求AMB . 解 從M到A的向量記為a, 從M到B的向量記為b, 則AMB 就是向量a與b的夾角. a=1, 1, 0, b=1, 0, 1. 因?yàn)?ab=11+10+01=1, , . 所以 . 從而 . 例3設(shè)液體流過(guò)平面S 上面積為A的一個(gè)區(qū)域, 液體在這區(qū)域上各點(diǎn)處的流速均為（常向量)v. 設(shè)n為垂直于S的單位向量（圖7-25(a)）, 計(jì)算單位時(shí)間內(nèi)經(jīng)過(guò)這區(qū)域流向n所指一方的液體的質(zhì)量P(液體的密度為). 解 單位時(shí)間內(nèi)流過(guò)這區(qū)域的液體組成一個(gè)底面積為A、斜高為| v |的斜柱體(圖7-25(b).這柱體的斜高與底面的垂線的夾角就是v 與n的夾角q , 所以這柱體的高為| v | cosq, 體積為 A| v | cos q = A v n.從而, 單位時(shí)間內(nèi)經(jīng)過(guò)這區(qū)域流向n所指一方的液體的質(zhì)量為 P=rAv n. 二、兩向量的向量積 在研究物體轉(zhuǎn)動(dòng)問(wèn)題時(shí), 不但要考慮這物體所受的力, 還要分析這些力所產(chǎn)生的力矩. 設(shè)O為一根杠桿L的支點(diǎn).有一個(gè)力F作用于這杠桿上P點(diǎn)處. F與的夾角為q . 由力學(xué)規(guī)定, 力F對(duì)支點(diǎn)O的力矩是一向量M, 它的模, 而M的方向垂直于與F所決定的平面, M的指向是的按右手規(guī)則從以不超過(guò)p的角轉(zhuǎn)向F來(lái)確定的. 向量積: 設(shè)向量c是由兩個(gè)向量a與b按下列方式定出: c的模 |c|=|a|b|sin q , 其中q 為a與b間的夾角; c的方向垂直于a與b所決定的平面, c的指向按右手規(guī)則從a轉(zhuǎn)向b來(lái)確定. 那么, 向量c叫做向量a與b的向量積, 記作ab, 即c = ab. 根據(jù)向量積的定義, 力矩M等于與F的向量積, 即. 向量積的性質(zhì): (1) aa = 0 ; (2) 對(duì)于兩個(gè)非零向量a、b, 如果ab = 0, 則a/b; 反之, 如果a/b, 則ab = 0. 如果認(rèn)為零向量與任何向量都平行, 則a/b ab = 0. 數(shù)量積的運(yùn)算律: (1) 交換律ab = -ba; (2) 分配律: (a+b)c = ac + bc. (3) (la)b = a(lb) = l(ab) (l為數(shù)). 數(shù)量積的坐標(biāo)表示: 設(shè)a = ax i + ay j + az k, b = bx i + by j + bz k. 按向量積的運(yùn)算規(guī)律可得ab = ( ax i + ay j + az k) ( bx i + by j + bz k) = ax bx ii + ax by ij + ax bz ik+ay bx ji + ay by jj + ay bz jk +az bx ki + az by kj + az bz kk. 由于ii = jj = kk = 0, ij = k, jk = i, ki = j, 所以ab = ( ay bz - az by) i + ( az bx - ax bz) j + ( ax by - ay bx) k. 為了邦助記憶, 利用三階行列式符號(hào), 上式可寫(xiě)成 =aybzi+azbx j+axbyk-aybxk-axbz j-azbyi = ( ay bz - az by) i + ( az bx - ax bz) j + ( ax by - ay bx) k. . 例4 設(shè)a=(2, 1, -1), b=(1, -1, 2), 計(jì)算ab . 解 =2i-j-2k-k-4j-i =i-5j -3k. 例5 已知三角形ABC的頂點(diǎn)分別是A (1, 2, 3)、B (3, 4, 5)、C (2, 4, 7), 求三角形ABC的面積. 解 根據(jù)向量積的定義, 可知三角形ABC的面積. 由于=(2, 2, 2), =(1, 2, 4), 因此 =4i-6j+2k.于是 . 例6 設(shè)剛體以等角速度w 繞l 軸旋轉(zhuǎn), 計(jì)算剛體上一點(diǎn)M的線速度. 解 剛體繞l 軸旋轉(zhuǎn)時(shí), 我們可以用在l 軸上的一個(gè)向量w表示角速度, 它的大小等于角速度的大小, 它的方向由右手規(guī)則定出: 即以右手握住l 軸, 當(dāng)右手的四個(gè)手指的轉(zhuǎn)向與剛體的旋轉(zhuǎn)方向一致時(shí), 大姆指的指向就是w的方向. 設(shè)點(diǎn)M到旋轉(zhuǎn)軸l的距離為a , 再在l軸上任取一點(diǎn)O作向量r =, 并以q 表示w與r的夾角, 那么a = |r| sinq . 設(shè)線速度為v, 那么由物理學(xué)上線速度與角速度間的關(guān)系可知, v的大小為 |v| =| w|a = |w| |r| sinq ; v的方向垂直于通過(guò)M點(diǎn)與l軸的平面, 即v垂直于w與r, 又v的指向是使w、r、v符合右手規(guī)則. 因此有v = wr. ; 7. 3 曲面及其方程 一、曲面方程的概念 在空間解析幾何中, 任何曲面都可以看作點(diǎn)的幾何軌跡. 在這樣的意義下, 如果曲面S與三元方程F(x, y, z)=0有下述關(guān)系: (1) 曲面S上任一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程F(x, y, z)=0; (2) 不在曲面S上的點(diǎn)的坐標(biāo)都不滿足方程F(x, y, z)=0, 那么, 方程F(x, y, z)=0就叫做曲面S的方程, 而曲面S就叫做方程F(x, y, z)=0的圖形. 常見(jiàn)的曲面的方程: 例1 建立球心在點(diǎn)M0(x0, y0, z0)、半徑為R的球面的方程. 解 設(shè)M(x, y, z)是球面上的任一點(diǎn), 那么|M0M|=R. 即 , 或 (x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2. 這就是球面上的點(diǎn)的坐標(biāo)所滿足的方程. 而不在球面上的點(diǎn)的坐標(biāo)都不滿足這個(gè)方程. 所以 (x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2. 就是球心在點(diǎn)M0(x0, y0, z0)、半徑為R的球面的方程. 特殊地, 球心在原點(diǎn)O(0, 0, 0)、半徑為R的球面的方程為 x2+y2+z2=R2. 例2 設(shè)有點(diǎn)A(1, 2, 3)和B(2, -1, 4), 求線段AB的垂直平分面的方程. 解 由題意知道, 所求的平面就是與A和B等距離的點(diǎn)的幾何軌跡. 設(shè)M(x, y, z)為所求平面上的任一點(diǎn), 則有|AM|=|BM|, 即 . 等式兩邊平方, 然后化簡(jiǎn)得2x-6y+2z-7=0. 這就是所求平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)所滿足的方程, 而不在此平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)都不滿足這個(gè)方程, 所以這個(gè)方程就是所求平面的方程. 研究曲面的兩個(gè)基本問(wèn)題: (1) 已知一曲面作為點(diǎn)的幾何軌跡時(shí), 建立這曲面的方程; (2) 已知坐標(biāo)x、y和z間的一個(gè)方程時(shí), 研究這方程所表示的曲面的形狀. 例3 方程x2+y2+z2-2x+4y=0表示怎樣的曲面？ 解 通過(guò)配方, 原方程可以改寫(xiě)成 (x-1)2+(y+2)2+z2=5. 這是一個(gè)球面方程, 球心在點(diǎn)M0(1, -2, 0)、半徑為. 一般地, 設(shè)有三元二次方程 Ax2+Ay2+Az2+Dx+Ey+Fz+G=0, 這個(gè)方程的特點(diǎn)是缺xy , yz , zx 各項(xiàng), 而且平方項(xiàng)系數(shù)相同, 只要將方程經(jīng)過(guò)配方就可以化成方程(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2. 的形式, 它的圖形就是一個(gè)球面. 二、旋轉(zhuǎn)曲面 以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面, 這條定直線叫做旋轉(zhuǎn)曲面的軸. 設(shè)在yO z 坐標(biāo)面上有一已知曲線C, 它的方程為f (y, z) =0, 把這曲線繞z軸旋轉(zhuǎn)一周, 就得到一個(gè)以z軸為軸的旋轉(zhuǎn)曲面. 它的方程可以求得如下: 設(shè)M(x, y, z)為曲面上任一點(diǎn), 它是曲線C上點(diǎn)M1(0, y1, z1)繞z軸旋轉(zhuǎn)而得到的. 因此有如下關(guān)系等式, , , 從而得 , 這就是所求旋轉(zhuǎn)曲面的方程. 在曲線C的方程f(y, z)=0中將y改成, 便得曲線C繞z 軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程. 同理, 曲線C繞y 軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為. 例4 直線L繞另一條與L相交的直線旋轉(zhuǎn)一周, 所得旋轉(zhuǎn)曲面叫做圓錐面. 兩直線的交點(diǎn)叫做圓錐面的頂點(diǎn), 兩直線的夾角a ()叫做圓錐面的半頂角. 試建立頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)O, 旋轉(zhuǎn)軸為z軸, 半頂角為a的圓錐面的方程. 解 在yO z 坐標(biāo)面內(nèi), 直線L的方程為 z=ycot a , 將方程z=ycota 中的y改成, 就得到所要求的圓錐面的方程 , 或 z2=a2 (x2+y2), 其中a=cot a . 例5. 將zOx坐標(biāo)面上的雙曲線分別繞x軸和z軸旋轉(zhuǎn)一周, 求所生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程. 解 繞x軸旋轉(zhuǎn)所在的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為; 繞z軸旋轉(zhuǎn)所在的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為. 這兩種曲面分別叫做雙葉旋轉(zhuǎn)雙曲面和單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面. 三、柱面 例6 方程x2+y2=R2表示怎樣的曲面？ 解 方程x2+y2=R2在xOy 面上表示圓心在原點(diǎn)O、半徑為R的圓. 在空間直角坐標(biāo)系中, 這方程不含豎坐標(biāo)z, 即不論空間點(diǎn)的豎坐標(biāo)z怎樣, 只要它的橫坐標(biāo)x和縱坐標(biāo)y能滿足這方程, 那么這些點(diǎn)就在這曲面上. 也就是說(shuō), 過(guò)xOy 面上的圓x2+y2=R2, 且平行于z軸的直線一定在x2+y2=R2表示的曲面上. 所以這個(gè)曲面可以看成是由平行于z軸的直線l 沿xOy 面上的圓x2+y2=R2移動(dòng)而形成的. 這曲面叫做圓柱面, xOy 面上的圓x2+y2=R2叫做它的準(zhǔn)線, 這平行于z軸的直線l 叫做它的母線. 例6 方程x2+y2=R2表示怎樣的曲面？ 解 在空間直角坐標(biāo)系中, 過(guò)xOy 面上的圓x2+y2=R2作平行于z軸的直線l , 則直線l上的點(diǎn)都滿足方程x2+y2=R2, 因此直線l一定在x2+y2=R2表示的曲面上. 所以這個(gè)曲面可以看成是由平行于z軸的直線l 沿xOy 面上的圓x2+y2=R2移動(dòng)而形成的. 這曲面叫做圓柱面, xOy 面上的圓x2+y2=R2叫做它的準(zhǔn)線, 這平行于z軸的直線l 叫做它的母線. 柱面: 平行于定直線并沿定曲線C移動(dòng)的直線L形成的軌跡叫做柱面, 定曲線C叫做柱面的準(zhǔn)線, 動(dòng)直線L叫做柱面的母線. 上面我們看到, 不含z的方程x2+y2=R2在空間直角坐標(biāo)系中表示圓柱面, 它的母線平行于z軸, 它的準(zhǔn)線是xOy 面上的圓x2+y2=R2. 一般地, 只含x、y而缺z的方程F(x, y)=0, 在空間直角坐標(biāo)系中表示母線平行于z 軸的柱面, 其準(zhǔn)線是xOy 面上的曲線C: F(x, y)=0. 例如, 方程y2=2x表示母線平行于z軸的柱面, 它的準(zhǔn)線是xOy 面上的拋物線y2 =2x, 該柱面叫做拋物柱面. 又如, 方程 x-y=0表示母線平行于z軸的柱面, 其準(zhǔn)線是xOy 面的直線 x-y=0, 所以它是過(guò)z 軸的平面. 類似地, 只含x、z而缺y的方程G(x, z)=0和只含y、z而缺x的方程H(y, z)=0分別表示母線平行于y軸和x軸的柱面. 例如, 方程 x-z=0表示母線平行于y軸的柱面, 其準(zhǔn)線是zOx 面上的直線 x-z=0. 所以它是過(guò)y軸的平面. 四、二次曲面 與平面解析幾何中規(guī)定的二次曲線相類似, 我們把三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面. 把平面叫做一次曲面. 怎樣了解三元方程F(x, y, z)=0所表示的曲面的形狀呢? 方法之一是用坐標(biāo)面和平行于坐標(biāo)面的平面與曲面相截, 考察其交線的形狀, 然后加以綜合, 從而了解曲面的立體形狀. 這種方法叫做截痕法. 研究曲面的另一種方程是伸縮變形法: 設(shè)S是一個(gè)曲面, 其方程為F(x, y, z)=0, S 是將曲面S沿x軸方向伸縮l倍所得的曲面. 顯然, 若(x, y, z)S, 則(lx, y, z)S; 若(x, y, z)S, 則. 因此, 對(duì)于任意的(x, y, z)S, 有, 即是曲面S的方程. 例如，把圓錐面沿y軸方向伸縮倍, 所得曲面的方程為, 即. (1)橢圓錐面 由方程所表示的曲面稱為橢圓錐面. 圓錐曲面在y軸方向伸縮而得的曲面. 把圓錐面沿y軸方向伸縮倍, 所得曲面稱為橢圓錐面. 以垂直于z軸的平面z=t截此曲面, 當(dāng)t=0時(shí)得一點(diǎn)(0, 0, 0); 當(dāng)t0時(shí), 得平面z=t上的橢圓 . 當(dāng)t變化時(shí), 上式表示一族長(zhǎng)短軸比例不變的橢圓, 當(dāng)|t|從大到小并變?yōu)?時(shí), 這族橢圓從大到小并縮為一點(diǎn). 綜合上述討論, 可得橢圓錐面的形狀如圖. (2)橢球面 由方程所表示的曲面稱為橢球面. 球面在x軸、y軸或z軸方向伸縮而得的曲面. 把x2+y2+z2=a2沿z軸方向伸縮倍, 得旋轉(zhuǎn)橢球面; 再沿y軸方向伸縮倍, 即得橢球面. (3)單葉雙曲面 由方程所表示的曲面稱為單葉雙曲面. 把zOx面上的雙曲線繞z軸旋轉(zhuǎn), 得旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面; 再沿y軸方向伸縮倍, 即得單葉雙曲面. (4)雙葉雙曲面 由方程所表示的曲面稱為雙葉雙曲面. 把zOx面上的雙曲線繞x軸旋轉(zhuǎn), 得旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面; 再沿y軸方向伸縮倍, 即得雙葉雙曲面. (5)橢圓拋物面 由方程所表示的曲面稱為橢圓拋物面. 把zOx面上的拋物線繞z軸旋轉(zhuǎn), 所得曲面叫做旋轉(zhuǎn)拋物面, 再沿y軸方向伸縮倍, 所得曲面叫做橢圓拋物面 (6)雙曲拋物面. 由方程所表示的曲面稱為雙曲拋物面. 雙曲拋物面又稱馬鞍面. 用平面x=t截此曲面, 所得截痕l為平面x=t上的拋物線 , 此拋物線開(kāi)口朝下, 其項(xiàng)點(diǎn)坐標(biāo)為. 當(dāng)t變化時(shí), l的形狀不變, 位置只作平移, 而l的項(xiàng)點(diǎn)的軌跡L為平面y=0上的拋物線 . 因此, 以l為母線, L為準(zhǔn)線, 母線l的項(xiàng)點(diǎn)在準(zhǔn)線L上滑動(dòng), 且母線作平行移動(dòng), 這樣得到的曲面便是雙曲拋物面. 還有三種二次曲面是以三種二次曲線為準(zhǔn)線的柱面: , , , 依次稱為橢圓柱面、雙曲柱面、拋物柱面. 7. 4 空間曲線及其方程 一、空間曲線的一般方程 空間曲線可以看作兩個(gè)曲面的交線. 設(shè)F(x, y, z)=0和G(x, y, z)=0是兩個(gè)曲面方程, 它們的交線為C. 因?yàn)榍€C上的任何點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)同時(shí)滿足這兩個(gè)方程, 所以應(yīng)滿足方程組. 反過(guò)來(lái), 如果點(diǎn)M不在曲線C上, 那么它不可能同時(shí)在兩個(gè)曲面上, 所以它的坐標(biāo)不滿足方程組. 因此, 曲線C可以用上述方程組來(lái)表示. 上述方程組叫做空間曲線C的一般方程. 例1 方程組表示怎樣的曲線? 解 方程組中第一個(gè)方程表示母線平行于z軸的圓柱面, 其準(zhǔn)線是xOy 面上的圓, 圓心在原點(diǎn)O, 半行為1. 方程組中第二個(gè)方程表示一個(gè)母線平行于y軸的柱面, 由于它的準(zhǔn)線是zOx 面上的直線, 因此它是一個(gè)平面. 方程組就表示上述平面與圓柱面的交線. 例2 方程組表示怎樣的曲線? 解 方程組中第一個(gè)方程表示球心在坐標(biāo)原點(diǎn)O, 半行為a的上半球面. 第二個(gè)方程表示母線平行于z軸的圓柱面, 它的準(zhǔn)線是xOy 面上的圓, 這圓的圓心在點(diǎn), 半行為. 方程組就表示上述半球面與圓柱面的交線. 例2 方程組表示怎樣的曲線? 解 方程組中第一個(gè)方程表示球心在坐標(biāo)原點(diǎn)O, 半行為2a的上半球面. 第二個(gè)方程表示母線平行于z軸的圓柱面, 它的準(zhǔn)線是xOy 面上的圓, 這圓的圓心在點(diǎn)(a, 0) , 半行為a . 方程組就表示上述半球面與圓柱面的交線. 二、空間曲線的參數(shù)方程 空間曲線C的方程除了一般方程之外, 也可以用參數(shù)形式表示, 只要將C上動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)x、y、z表示為參數(shù)t的函數(shù): . 當(dāng)給定t=t1時(shí), 就得到C上的一個(gè)點(diǎn)(x1, y1, z1); 隨著t的變動(dòng)便得曲線C上的全部點(diǎn). 方程組(2)叫做空間曲線的參數(shù)方程. 例3 如果空間一點(diǎn)M 在圓柱面x2+y2=a2 上以角速度w繞z軸旋轉(zhuǎn), 同時(shí)又以線速度v 沿平行于z軸的正方向上升(其中w、v都是常數(shù)), 那么點(diǎn)M構(gòu)成的圖形叫做螺旋線. 試建立其參數(shù)方程. 解 取時(shí)間t為參數(shù). 設(shè)當(dāng)t=0時(shí), 動(dòng)點(diǎn)位于x軸上的一點(diǎn)A(a, 0, 0)處. 經(jīng)過(guò)時(shí)間t, 動(dòng)點(diǎn)由A運(yùn)動(dòng)到M(x, y, z)(圖7-44). 記M在xOy 面上的投影為M, M的坐標(biāo)為x, y,0. 由于動(dòng)點(diǎn)在圓柱面上以角速度w 繞 z 軸旋轉(zhuǎn), 所以經(jīng)過(guò)時(shí)間t,AOM= w t. 從而 x=|OM|cosAOM=acos w t, y=|OM|sinAOM=asin w t,由于動(dòng)點(diǎn)同時(shí)以線速度v 沿平行于 z 軸的正方向上升, 所以 z=MM=vt .因此螺旋線的參數(shù)方程為 , 也可以用其他變量作參數(shù); 例如令q=w t, 則螺旋線的參數(shù)方程可寫(xiě)為 , 其中, 而參數(shù)為q . *曲面的參數(shù)方程 曲面的參數(shù)方程通常是含兩個(gè)參數(shù)的方程, 形如 . 例如空間曲線G (atb), 繞z軸旋轉(zhuǎn), 所得旋轉(zhuǎn)曲面的方程為 (atb, 0q2p). (4)這是因?yàn)? 固定一個(gè)t, 得G上一點(diǎn)M1(j(t), y(t), w(t), 點(diǎn)M1繞z軸旋轉(zhuǎn), 得空間的一個(gè)圓, 該圓在平面z=w(t)上, 其半徑為點(diǎn)M1到z軸的距離, 因此, 固定t的方程(4)就是該圓的參數(shù)方程. 再令t在a, b內(nèi)變動(dòng), 方程(4)便是旋轉(zhuǎn)曲面的方程. 例如直線 繞z軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面的方程為 . (上式消t和q, 得曲面的直角坐標(biāo)方程為) 又如球面x2+y2+z2=a2可看成zOx面上的半圓周 (0jp)繞z軸旋轉(zhuǎn)所得, 故球面方程為 (0jp, 0q2p). 三、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影 以曲線C為準(zhǔn)線、母線平行于z軸的柱面叫做曲線C關(guān)于xOy面的投影柱面, 投