6.2數(shù)學王子高斯.docx

約翰卡爾弗里德里希高斯（JohannCarlFriedrichGauss，1777年4月30日1855年2月23日）德國著名數(shù)學家、物理學家、天文學家、大地測量學家。是近代數(shù)學奠基者之一，高斯被認為是歷史上最重要的數(shù)學家之一，并享有“數(shù)學王子”之稱。高斯和阿基米德、牛頓并列為世界三大數(shù)學家。一生成就極為豐碩，以他名字“高斯”命名的成果達110個，屬數(shù)學家中之最。他對數(shù)論、代數(shù)、統(tǒng)計、分析、微分幾何、大地測量學、地球物理學、力學、靜電學、天文學、矩陣理論和光學皆有貢獻。社會背景高斯出生在德意志民族，當時的德意志在他之前少高斯是一對貧窮普魯士猶太人夫婦的唯一的兒子。當高斯三歲時便能夠糾正他父親的借債賬目的事情，已經(jīng)成為一個軼事流傳至今。他曾說，他在麥仙翁堆上學會計算。能夠在頭腦中進行復雜的計算，是上帝賜予他一生的天賦。父親格爾恰爾德迪德里赫對高斯要求極為嚴厲，甚至有些過分。高斯尊重他的父親，并且秉承了其父誠實、謹慎的性格。高斯很幸運地有一位鼎力支持他成才的母親。高斯一生下來，就對一切現(xiàn)象和事物十分好奇，而且決心弄個水落石出，這已經(jīng)超出了一個孩子能被許可的范圍。當丈夫為此訓斥孩子時，她總是支持高斯，堅決反對頑固的丈夫想把兒子變得跟他一樣無知。在成長過程中，幼年的高斯主要得力于他的母親羅捷雅和舅舅弗利德里希（Friederich）。弗利德里希富有智慧，為人熱情而又聰明能干投身于紡織貿(mào)易頗有成就。他發(fā)現(xiàn)姐姐的兒子聰明伶利，因此他就把一部分精力花在這位小天才身上，用生動活潑的方式開發(fā)高斯的智力。若干年后，已成年并成就顯赫的高斯回想起舅舅為他所做的一切，深感對他成才之重要，他想到舅舅多產(chǎn)的思想，不無傷感地說，舅舅去世使我們失去了一位天才。正是由于弗利德里希慧眼識英才，經(jīng)常勸導姐夫讓孩子向學者方面發(fā)展，才使得高斯沒有成為園丁或者泥瓦匠。羅捷雅真的希望兒子能干出一番偉大的事業(yè)，對高斯的才華極為珍視。然而，她也不敢輕易地讓兒子投入不能養(yǎng)家糊口的數(shù)學研究中。在高斯19歲那年，盡管他已做出了許多偉大的數(shù)學成就，但她仍向數(shù)學界的朋友W.波爾約問道：高斯將來會有出息嗎？波爾約說她的兒子將是歐洲最偉大的數(shù)學家，為此她激動得熱淚盈眶。初顯天分高斯7歲那年開始上學。10歲的時候，他進入了學習數(shù)學的班級，這是一個首次創(chuàng)辦的班，孩子們在這之前都沒有聽說過算術這么一門課程。數(shù)學教師是布特納，他對高斯的成長也起了一定作用。一天，老師布置了一道題，1+2+3這樣從1一直加到100等于多少。高斯很快就算出了答案，起初高斯的老師布特納并不相信高斯算出了正確答案：你一定是算錯了，回去再算算?！备咚狗浅远?，說出答案就是5050。高斯是這樣算的：1+100=101，2+99=10150+51=101。從1加到100有50組這樣的數(shù)，所以50X101=5050。布特納對他刮目相看。他特意從漢堡買了最好的算術書送給高斯，說：“你已經(jīng)超過了我，我沒有什么東西可以教你了?！苯又咚古c布特納的助手-斯建立了真誠的友誼，直到-斯逝世。他們一起學習，互相幫助，高斯由此開始了真正的數(shù)學研究。得到資助1788年，11歲的高斯進入了文科學校，他在新的學校里，所有的功課都極好，特別是古典文學、數(shù)學尤為突出。他的教師們和慈母把他推薦給伯倫瑞克公爵，希望公爵能資助這位聰明的孩子上學。布倫茲維克公爵卡爾威廉斐迪南召見了14歲的高斯。這位樸實、聰明但家境貧寒的孩子贏得了公爵的同情，公爵慷慨地提出愿意作高斯的資助人，讓他繼續(xù)學習。1792年高斯進入布倫茲維克的卡羅琳學院繼續(xù)學習。1795年，公爵又為他支付各種費用，送他入德國著名的哥丁根大學，這樣就使得高斯得以按照自己的理想，勤奮地學習和開始進行創(chuàng)造性的研究。1796年高斯19歲，發(fā)現(xiàn)了正十七邊形的尺規(guī)作圖法，解決了自歐幾里德以來懸而未決的一個難題。同年，發(fā)表并證明了二次互反律。這是他的得意杰作，一生曾用八種方法證明，稱之為“黃金律”。1799年，高斯完成了博士論文，獲黑爾姆施泰特大學的博士學位，回到家鄉(xiāng)布倫茲維克，雖然他的博士論文順利通過了，被授予博士學位，同時獲得了講師職位，但他沒有能成功地吸引學生，因此只能回老家-又是公爵伸手救援他。公爵繼續(xù)慷慨資助高斯的研究，使得他能在1803年謝絕圣彼得堡提供的教授職位，他一直是圣彼得堡科學院通訊院士。公爵為高斯付諸了長篇博士論文的印刷費用，送給他一幢公寓，又為他印刷了算術研究，使該書得以在1801年問世；還負擔了高斯的所有生活費用。所有這一切，令高斯十分感動。他在博士論文和算術研究中，寫下了情真意切的獻詞：獻給大公，你的仁慈，將我從所有煩惱中解放出來，使我能從事這種獨特的研究。布倫茲維克公爵在高斯的成才過程中起了舉足輕重的作用。不僅如此，這種作用實際上反映了歐洲近代科學發(fā)展的一種模式，表明在科學研究社會化以前，私人的資助是科學發(fā)展的重要推動因素之一。高斯正處于私人資助科學研究與科學研究社會化的轉變時期。歷經(jīng)變故1806年，卡爾威廉斐迪南公爵在抵抗拿破侖統(tǒng)帥的法軍時不幸在耶拿戰(zhàn)役陣亡，這給高斯以沉重打擊。他悲痛欲絕，長時間對法國人有一種深深的敵意。大公的去世給高斯帶來了經(jīng)濟上的拮據(jù)，德國處于法軍奴役下的不幸，以及第一個妻子的逝世，這一切使得高斯有些心灰意冷。但他是位剛強的漢子，從不向他人透露自己的窘?jīng)r，也不讓朋友安慰自己的不幸。人們只是在19世紀整理他的未公布于眾的數(shù)學手稿時才得知他那時的心態(tài)。在一篇討論橢圓函數(shù)的手稿中，突然插入了一段細微的鉛筆字：對我來說，死去也比這樣的生活更好受些?？犊⑷蚀鹊馁Y助人去世了，因此高斯必須找一份合適的工作，以維持一家人的生計。由于高斯在天文學、數(shù)學方面的杰出工作，他的名聲從1802年起就已開始傳遍歐洲。彼得堡科學院不斷暗示他，自從1783年萊昂哈德歐拉去世后，歐拉在彼得堡科學院的位置一直在等待著像高斯這樣的天才。公爵在世時堅決勸阻高斯去俄國，他甚至愿意給高斯增加薪金，為他建立天文臺。為了不使德國失去最偉大的天才，德國著名學者洪堡（B.A.VonHumboldt）聯(lián)合其他學者和政界人物，為高斯爭取到了享有特權的哥廷根大學數(shù)學和天文學教授，以及哥廷根天文臺臺長的職位。1807年，高斯赴哥廷根就職，全家遷居于此。從這時起，除了一次到柏林去參加科學會議以外，他一直住在哥廷根。洪堡等人的努力，不僅使得高斯一家人有了舒適的生活環(huán)境，高斯本人可以充分發(fā)揮其天才，而且為哥廷根數(shù)學學派的創(chuàng)立、德國成為世界科學中心和數(shù)學中心創(chuàng)造了條件。同時，這也標志著科學研究社會化的一個良好開端。投身研究1833年高斯從他的天文臺拉了一條長八千尺的電線，跨過許多人家的屋頂，一直到韋伯的實驗室，以伏特電池為電源，構造了世界第一個電報機。高斯對自己的工作態(tài)度是精益求精，非常嚴格地要求自己的研究成果。他自己曾說：寧可發(fā)表少，但發(fā)表的東西是成熟的成果。許多當代的數(shù)學家要求他，不要太認真，把結果寫出來發(fā)表，這對數(shù)學的發(fā)展是很有幫助的。其中一個有名的例子是關于非歐幾何的發(fā)展。非歐幾何的的開山祖師有三人，高斯、洛巴切夫斯基，波爾約。其中波爾約的父親是高斯大學的同學，他曾想試著證明平行公理，雖然父親反對他繼續(xù)從事這種看起來毫無希望的研究，小波爾約還是沉溺于平行公理。最后發(fā)展出了非歐幾何，并且在18321833年發(fā)表了研究結果，老波爾約把兒子的成果寄給老同學高斯，想不到高斯卻回信道：我無法夸贊他，因為夸贊他就等于夸獎我自己。早在幾十年前，高斯就已經(jīng)得到了相同的結果，只是怕不能為世人所接受而沒有公布而已。阿貝爾和雅可比可以從高斯所停留的地方開始工作，而不是把他們最好的努力花在發(fā)現(xiàn)高斯早在他們出生時就知道的東西。而那些非歐幾何學的創(chuàng)造者，可以把他們的天才用到其他方面去。他越來越多的學生成為有影響的數(shù)學家，如后來聞名于世的戴德金和黎曼。少年求學卡爾費里德里希高斯(CarlFriedrichGauss)于1777年4月30日出生在德國不倫瑞克城，父親是花匠、瓦工，還當過護堤工高斯7歲那年入小學，頭兩年學習成績一般。但到第三年，校長兼數(shù)學教師布特納有一次在課堂上出了一道算術題，要學生們計算出前一百個自然數(shù)的和.10歲的高斯用自己的辦法很快求出了答案：5050布特納非常賞識高斯的聰明，買來課外數(shù)學讀物獎勵高斯布特納有位18歲的助手巴特爾斯也酷愛數(shù)學，非常器重高斯的才能，他們一起學習、討論了很多數(shù)學問題后來巴特爾斯主持喀山大學的數(shù)學講座，羅巴切夫斯基是他的學生1788年，經(jīng)過老師們的幫助，高斯進入一所中學由于古典文學成績突出，高斯直接升入文科中學的二年級，后升入哲學班學習1791年，巴特爾斯等人找了卡洛琳學院的教授齊默爾曼，向不倫瑞克公爵費迪南推薦了高斯公爵接見高斯時為他的樸實和才華所感動，答應為高斯提供全部資助因此，在1792年，高斯被送入不倫瑞克的卡洛琳學院學習語言學和數(shù)學不倫瑞克公爵實為伯樂，始終負擔著高斯的學費最后又將高斯送入著名的哥廷根大學，這是1795年的事1798年，高斯在哥廷根大學畢業(yè)，并于1799年在赫爾姆斯特得到了他的博士學位得到博士學位后，高斯回到了不倫瑞克，在那里他寫了一系列論文因此，他于1807年得到了哥根廷大學天文學教授和天文臺臺長的職位，一直到1855年去世數(shù)學史家斯特瑞克在數(shù)學簡史中對他作了如下的評論：“他安靜地未被擾亂地擔任著天文臺臺長和他母校的教授他相對地孤獨他對于純粹和應用數(shù)學的掌握，天文學方面的特殊愛好以及經(jīng)常使用拉丁文，并夾雜著十八世紀的遺風，然而在他的工作中卻感受到了一個新時代的精神與他同時代人康德、歌德、貝多芬及黑格爾站在外國正在進行的一場激烈偉大的政治斗爭相比較，他在自己的領域內(nèi)以一個最有力的方式展現(xiàn)了他的時代新觀念02算術探究高斯有一本專門記載數(shù)學發(fā)現(xiàn)的筆記本，后人稱為“科學日記”高斯在科學日記中記載了他十七歲時已有重要發(fā)現(xiàn)如在1795年，他獨立于歐拉發(fā)現(xiàn)了數(shù)論中的二次互反律一些早期的發(fā)現(xiàn)發(fā)表于1799年的赫爾姆斯特的學位論文中和1801年的算術探究中，該學位論文給出了代數(shù)基本定理的第一個證明這個定理遠溯于荷蘭的吉拉德1629年的著作代數(shù)學新發(fā)現(xiàn)，該書是以斯蒂文的算術為基礎寫成其中首次闡明了負數(shù)的幾何意義，同時對方程的根作了認真的處理這使他認識到代數(shù)基本定理，但未能給出證明達朗貝爾在1746年曾試圖給出一個證明高斯很愛好這個定理，后來又給出兩個證明，在1846年又回到他的最初證明，彌補了該證明中的一些漏洞第三個證明應用了復積分，說明高斯很早就掌握了復數(shù)論同余式的研究可以追溯到古代，但算術探究中給出了同余理論的系統(tǒng)論述，并首次使用了同余符號該書收集了前人在數(shù)論中的許多優(yōu)秀成果，人們常常把這本書的出版算做近代數(shù)論的開端全書共七章：一般同余；一次同余；冪剩余；二次同余；二次型；應用；分圓問題第三、四、五章為核心內(nèi)容他在二次互反律中達到了高潮二次互反律是歐拉發(fā)現(xiàn)的，勒讓德也未能給出正確的證明，但“二次互反律”這個名稱屬于勒讓德高斯在算術探究中首次給出了：二次互反律的完整證明高斯非常喜愛這個定理，稱之為“算術中的寶石”，后來他又發(fā)表了四個證明，據(jù)考,早在1796年高斯就已經(jīng)證明了這個“黃金定理”在高斯死后，人們又在其文稿中找到了兩個證明!03高斯的悲傷高斯對天文學的興趣始于1801年，這一年的元旦，當皮齊在意大利西西里島的帕勒莫發(fā)現(xiàn)了第一小行星谷神星時，提出了一個問題，即怎佯從少數(shù)的觀測去計算一顆行星的軌道?高斯解決了這個問題該問題推出了一個八次方程隨著1802年的智神星被發(fā)現(xiàn)，高斯開始感興趣于行星的長期攝動，從而寫出名著天體運動理淪.1805年，高斯與制革商的獨生女約翰娜奧斯特霍犬結婚日后有了一子一女，叫約瑟夫和明納但妻子在生第三個孩子時難產(chǎn)，不久即去世不到半年，兒子路易斯亦未存活下米不久，剛滿2歲的明納也夭亡只留下滿4歲的兒子約瑟夫高斯于1810年8月再婚凄子叫米納沃爾德克是哥廷卡艮夫學法學教授的小女兒第二次婚姻他又有二子一女但對高斯來說，生活似乎再也沒有多少樂趣可言他在給老鮑耶的一封信中說：“的確，在我的一生中，我獲得過許多世界性的榮譽但是請相信我，我的好友，悲慘事件就像一截紅緞帶一樣編織起來，貫穿我的一生，”在這一時期高斯寫了關于超幾何級數(shù)的論文，使得可以從一種單一的準則來討淪多種函數(shù)這也是關于級數(shù)收斂性最初的系統(tǒng)研究其它方面的論文還有關于一般橢體的引力，關于機械求積以及關于長期攝動的研究04熱衷測量學1820年后，高斯開始熱衷于測量學，在這里他理論研究結合了三角測量的實際其中之一是最小二乘法的證明，這曾經(jīng)是勒讓德和拉普拉斯的研究課題高斯在這一時期中最重要的貢獻應是他的曲面論在曲面的一般理論中，他用與蒙日不同的方法處理其主題也是出于實用考慮，這回是在高等測量學的范圍中，與微妙的理論分析緊密地聯(lián)系著.在這部著作中出現(xiàn)了所謂的曲面內(nèi)蘊幾何學，也稱內(nèi)在幾何學在1826年2月19日致奧爾伯斯的信中，他抱怨自己不能再如此努力而成果不佳，覺得應該去搞有別于數(shù)學的其它領域這是高斯感到數(shù)學思想趨于枯竭的一個表白在1825年和1831年，他做了關于四次剩余的工作這是在算術探究中二次剩余論的繼續(xù)，這次借助了復數(shù)論1831年的論文不僅給出了復數(shù)的代數(shù)運算，且給出了整復數(shù)概念雖然歐拉和拉格朗日已經(jīng)把這種數(shù)引入了數(shù)論，但高斯重新指出了它的重要性在這個新的素數(shù)論中，3依舊是素數(shù)，但5=(1+2i)(1-2i)不再是一個素數(shù)了這個新的素數(shù)論澄清了算術中的許多模糊之處，從而使二次互反律變得比在實數(shù)中簡單了在這篇論文中，高斯用平面中的一個點來表示復數(shù)，這就永遠驅散了多年籠罩著它的神秘性05轉向物理學作了四次剩余的工作之后，高斯開始轉向物理學領域.雖然與韋伯在一起并沒有發(fā)明電報的想法，但他們在1833年確實研制了一種設備，按照電流通過電線的方向，使一根針向左或向右轉動這一時期他還做了許多關于地磁實驗的工作在1840年，他寫出一篇有重要價值的文章即與距離平方成反比而發(fā)生作用的引力與斥力的普遍原理，這是將位勢論作為數(shù)學對象進行系統(tǒng)計論的開始位勢論的創(chuàng)始人是格林，但格林1828年的論文當時幾乎無人知道現(xiàn)代分析中扮演重要角色的“狄利克雷原理”實為格林首創(chuàng)這是一個關于空間積分的極小原理高斯在文章中認為一個極小化函數(shù)V。的存在是顯然的這個后來引起爭論的問題被希爾伯特解決了06非歐幾何高斯生前發(fā)表的論著并未將他的全部數(shù)學思想給出一個完整的輪廓他的科學日記和部分書信的發(fā)表說明了他的頭腦確實出現(xiàn)過一些非常有洞察力的思想比如，早在1800年，他發(fā)現(xiàn)了橢圓函數(shù)在1816年左右，產(chǎn)生了非歐幾何的想法關于這些內(nèi)容他永遠沒發(fā)表過任何東西!僅在一些給朋友的信中流露了他曾企圖去證明歐幾里得的第五公證設即平行公理的匈牙利的青年數(shù)學家鮑耶在1823年建立了非歐幾何理論并寫信告訴他父親老鮑耶說：“我已從烏有中創(chuàng)造了另一個新奇的世界”經(jīng)兒子的再三要求，老鮑耶才同意將這篇24頁的論文作為自己剛剛完成的一本數(shù)學著作向好學青年介紹純粹數(shù)學原理的嘗試的附錄發(fā)表并在1831年6月20日將該附錄的樣稿寄給高斯，高斯沒有回信老鮑耶在1832年1月16日又給高斯寫信，高斯在3月6日的復信中寫道：“關于你兒子的工作，當我一開始便說我不能稱贊他時，你一定會感到震驚，因為稱贊他便等于稱贊我自己文章所有內(nèi)容，你兒子采取的思路、方法以及所達到的結果，和我在30至35年前已開始的一部分工作完全相同，但我本來就是不愿發(fā)表的，”歷史是公正的，