高中數(shù)學第一章直線多邊形圓3圓與四邊形學案北師大版選修4_1.doc

3 圓與四邊形對應學生用書P261圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理文字語言符號語言圖形語言性質(zhì)定理圓內(nèi)接四邊形的對角互補若四邊形ABCD內(nèi)接于圓O，則有ACBD180推論圓內(nèi)接四邊形的任何一個外角等于它的內(nèi)對角.四邊形ABCD內(nèi)接于O，E為AB延長線上一點，則有CBED2四點共圓的判定定理文字語言符號語言圖形語言判定定理如果一個四邊形的內(nèi)對角互補，那么這個四邊形四個頂點共圓在四邊形ABCD中，BD180或AC180，那么四邊形ABCD內(nèi)接于圓推論如果四邊形的一個外角等于其內(nèi)對角，那么這個四邊形的四個頂點共圓在四邊形ABCD中，延長AB到E.若CBED，則A，B，C，D共圓由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理知，圓的內(nèi)接平行四邊形、菱形、梯形分別是什么圖形？提示：矩形、正方形、等腰梯形對應學生用書P27證明四點共圓例1如圖所示，在ABC中，ABAC，延長CA到P，再延長AB到Q，使得APBQ.求證：ABC的外心O與A，P，Q四點共圓思路點撥本題主要考查四點共圓的判斷解題時，先連接OA，OC，OP，OQ，PQ.要證O，A，P，Q四點共圓，只需證CAOOQP即可，為此只要證CPOAQO即可精解詳析如圖，連接OA，OC，OP，OQ，PQ.在OCP和OAQ中，OCOA，OCPOAC.由已知CAAB，APBQ，CPAQ.又O是等腰ABC的外心且ABAC，OACOAQ，OCPOAQ.OCPOAQ.APOAQO，OPOQ.OPQOQP.CAOBAC(APQPQA)(OPQAPOOQPAQO)2OQPOQP.O，A，P，Q四點共圓判定四點共圓的方法：(1)如果四個點與一定點距離相等，那么這四個點共圓(2)如果一個四邊形的對角互補，那么這個四邊形的四個頂點共圓(3)如果一個四邊形的一個外角等于它的內(nèi)角的對角，那么這個四邊形的四個頂點共圓(4)如果兩個直角三角形有公共的斜邊，那么這兩個三角形的四個頂點共圓(因為四個頂點與斜邊中點距離相等)1在銳角三角形ABC中，AD是BC邊上的高，DEAB，DFAC，E，F(xiàn)是垂足求證：E，B，C，F(xiàn)四點共圓證明：如圖，連接EF.DEAB，DFAC，A，E，D，F(xiàn)四點共圓12.1C2C90.BEFC180.B，E，F(xiàn)，C四點共圓.證明線段相等或角相等例2如圖，AB是O的直徑，弦BD，CA的延長線相交于點E，EF垂直BA的延長線于點F.求證：DEADFA.思路點撥本題主要考查圓內(nèi)接四邊形判定及性質(zhì)的應用解題時，只需證A，D，E，F(xiàn)四點共圓后可得結(jié)論精解詳析連接AD，因為AB為圓的直徑，所以ADB90.又EFAB，EFA90，所以A，D，E，F(xiàn)四點共圓所以DEADFA.利用圓內(nèi)接四邊形的判定或性質(zhì)定理，證明線段相等或角相等時，可構(gòu)造全等或相似三角形，以達到證題的目的2(新課標全國卷)如圖，四邊形ABCD是O的內(nèi)接四邊形，AB的延長線與DC的延長線交于點E，且CBCE.(1)證明：DE; (2)設AD不是O的直徑，AD的中點為M，且MBMC，證明：ADE為等邊三角形證明：(1)由題設知A，B，C，D四點共圓，所以DCBE.由已知CBCE得CBEE，故DE.(2)設BC的中點為N，連接MN，則由MBMC知MNBC，故O在直線MN上又AD不是O的直徑，M為AD的中點，故OMAD，即MNAD.所以ADBC，故ACBE.又CBEE，故AE.由(1)知，DE，所以ADE為等邊三角形.證明比例式問題例3如圖，已知CF是O的切線，C為切點，弦ABCF，E為圓周上一點，CE交AB延長線于點D，求證：(1)ACBC；(2)BC2CDCE.思路點撥本題主要考查利用圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)定理及相似三角形知識證明比例式問題解題時，先利用弦切角定理推證(1)，再由A，B，E，C四點共圓得出BEDBAC，后證BCEDCB.可得結(jié)論精解詳析(1)ABCF，F(xiàn)CABAC.CF是O的切線，F(xiàn)CAABC.BACABC.ACBC.(2)BEC180BED，A，B，E，C四點共圓，BEDBAC.BEC180BAC.由(1)得BACABC，DBC180ABC，BECDBC.又BCEDCB，BCEDCB.，即BC2CDCE.證明比例式問題常用三角形相似而尋找角的等量關(guān)系，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理往往起到關(guān)鍵性的作用注意結(jié)合圖形進行判斷，同時注意等量代換的使用3在ABC中，ABAC，過點A的直線與其外接圓交于點P，交BC延長線于點D.(1)求證：；(2)若AC3，求APAD的值解：(1)證明：CPDABC，DD，DPCDBA，.又ABAC，.(2)ACDAPC，CAPCAP，APCACD，AC2APAD9.本課時?？疾閳A內(nèi)接四邊形的判定定理及性質(zhì)定理的應用該定理在角相等、線段相等及比例式的證明中有廣泛的應用屬中低檔題考題印證如圖，D，E分別為ABC的邊AB，AC上的點，且不與ABC的頂點重合已知AE的長為m，AC的長為n，AD，AB的長是關(guān)于x的方程x214xmn0的兩個根(1)證明：C，B，D，E四點共圓；(2)若A90，且m4，n6，求C，B，D，E所在圓的半徑命題立意本題主要考查圓內(nèi)接四邊形的判定定理的應用以及分析問題、解決問題的能力自主嘗試(1)證明：連接DE，根據(jù)題意在ADE和ACB中，ADABmnAEAC，即.又DAECAB，從而ADEACB.因此ADEACB.所以C，B，D，E四點共圓(2)m4，n6時，方程x214xmn0的兩根為x12，x212.故AD2，AB12.取CE的中點G，DB的中點F，分別過G，F(xiàn)作AC，AB的垂線，兩垂線相交于H點，連接DH.因為C，B，D，E四點共圓，所以C，B，D，E四點所在圓的圓心為H，半徑為DH.由于A90，故GHAB，HFAC.從而HFAG5，DF(122)5.故C，B，D，E四點所在圓的半徑為5.對應學生用書P29一、選擇題1四邊形ABCD的一個內(nèi)角C36，E是BA延長線上一點，若DAE36，則四邊形ABCD()A一定有一個外接圓B四個頂點不在同一個圓上C一定有內(nèi)切圓D四個頂點是否共圓不能確定解析：選A因為C36，DAE36，所以C與BAD的一個外角相等，由圓內(nèi)接四邊形判定定理的推論知，該四邊形有外接圓，故選A.2圓內(nèi)接四邊形ABCD中，若ABC125，則D等于()A60B120C140 D150解析：選B因為四邊形ABCD為圓內(nèi)接四邊形，所以ABCD1254，所以D180120.3如圖，四邊形ABCD是O的內(nèi)接四邊形，E為AB的延長線上一點，CBE40，則AOC()A20 B40C80 D100解析：選C四邊形ABCD是O的內(nèi)接四邊形，且CBE40，由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)知DCBE40，又由圓周角定理知：AOC2D80.4.如圖，ABCD是O的內(nèi)接四邊形，延長BC到E，已知BCDECD32，那么BOD()A120 B136C144 D150解析：選C由圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)知ADCE，而BCDECD32，且BCDECD180，ECD72.又由圓周角定理知BOD2A144.二、填空題5(陜西高考)如圖，ABC中，BC6，以BC為直徑的半圓分別交AB，AC于點E，F(xiàn)，若AC2AE，則EF .解析：B，C，F(xiàn)，E四點在同一個圓上，AEFACB，又AA，AEFACB，即，EF3.答案：36.如圖，已知PA，PB是圓O的切線，A，B分別為切點，C為圓O上不與A，B重合的另一點若ACB120，則APB .解析：連接OA，OB，PAOPBO90，ACB120，AOB120.又P，A，O，B四點共圓，故APB60.答案：607如圖，AB10，BC8，CD平分ACB，則AC ，BD .解析：ACB90，ADB90.在RtABC中，AB10，BC8，AC6.又CD平分ACB.即ACDBCD，ADBD，BD5.答案：658如圖，在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，ABAD，AC1，ACD60，則四邊形ABCD的面積為 解析：過A作AEBC于E，AFCD于F.因為ADFABC180(圓的內(nèi)接四邊形對角之和為180)，ABEABC180，所以ABEADF，又ABAD，AEBAFD90，所以AEBAFD，所以S四邊形ABCDS四邊形AECF，AEAF.又因為EAFC90，ACAC，所以RtAECRtAFC.因為ACD60，AFC90，所以CAF30，因為AC1，所以CF，AF，所以S四邊形ABCD2SACF2CFAF.答案：三、解答題9如圖，圓內(nèi)接四邊形ABCD，過C點作對角線BD的平行線交AD的延長線于E點求證：DEABBCCD.證明：連接AC，則BACBDC，因為CEBD，所以DCEBDC，所以DCEBAC，因為ABCD是圓內(nèi)接四邊形，所以CDEABC，所以CDEABC，所以，即DEABBCCD.10.如圖所示，圓O是ABC的外接圓，BAC與ABC的平分線相交于點I，延長AI交圓O于點D，連接BD，DC.(1)求證：BDDCDI.(2)若圓O的半徑為10 cm，BAC120，求BCD的面積解：(1)證明：因為AI平分BAC，所以BADDAC，所以，所以BDDC.因為BI平分ABC，所以ABICBI.因為BADDAC，DBCDAC，所以BADDBC.又因為DBIDBCCBI，DIBABIBAD，所以DBIDIB，所以BDI為等腰三角形，所以BDID，所以BDDCDI.(2)當BAC120時，ABC為鈍角三角形，所以圓心O在ABC外連接OB，OD，OC，則DOCBOD2BAD120，所以DBCDCB60，所以BDC為正三角形所以OB是DBC的平分線，延長CO交BD于點E，則OEBD，所以BEBD.又因為OB10，所以BCBD2OBcos 3021010，所以CEBCsin 601015，所以SBCDBDCE101575.所以BCD的面積為75.11(新課標全國卷)如圖，直線AB為圓的切線，切點為B，點C在圓上，ABC的角平分線BE交圓于點E，DB垂直BE交圓于點D. (1)證明：DBDC；(2)設圓