南京理工大學(xué)課程考試答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn).doc

南京理工大學(xué)課程考試答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)課程號(hào)： 課程名稱： 微 分 幾 何 B卷 學(xué)分： 3 考試方式： 筆試閉卷 滿分分值： 100 考試時(shí)間： 120 分鐘 年 月 日考試一、填空選擇題（每小題4分，共24分）1. ； 2. AB ； 3. 0； 4. ； 5. ABC；6. 正則曲面的在這一點(diǎn)的形狀算子的特征值。本題共6題，其中第3和5小題為綜合提高題，其余為基本題。各小題考查的知識(shí)點(diǎn)如下：1、考核平面曲線相對(duì)曲率； 2、考核平面曲線的旋轉(zhuǎn)指標(biāo)定理和等周不等式以及直線的曲率性質(zhì)；3、考核切線面與平面的局部等距和Gauss絕妙定理；4、考核正則參數(shù)曲面的第二基本形式計(jì)算；5、考核曲面基本例子（平面、圓柱螺面、球面，直紋面）的性質(zhì)以及曲面上測(cè)地線、曲率線和漸近線的幾何解釋；6、考核主曲率的定義。二、解答證明題7、（12分）證明：首先由 ， 得到曲線的弧長(zhǎng)參數(shù)。 （2分）計(jì)算曲線的曲率和撓率為 （4分）曲線Frenet標(biāo)架 （6分）本題考核了空間曲線的弧長(zhǎng)參數(shù)、Frenet標(biāo)架、曲率和撓率的計(jì)算，此題是基本題，所考知識(shí)點(diǎn)都是課堂上強(qiáng)調(diào)為重點(diǎn)的內(nèi)容，因此得分率較高。8、（12分）證明：由三個(gè)不共線的漸近方向?qū)?yīng)Euler公式推出曲面的主曲率為零； （4分） 于是曲面上每點(diǎn)的主曲率都是零 。 （4分）利用主曲率定義說(shuō)明形狀算子為零，曲面單位法向量為常向量。 （4分）本題考核了學(xué)生對(duì)于曲面的漸近線的定義和Euler公式、主曲率處處為零的幾何解釋。此題方法基本，因此得分率較高。9、（20分）解：.直紋面 其中。 （3分）. 旋轉(zhuǎn)面 其中。 （3分）曲面的切向量和法向量 得到第一類基本量，第二類基本量 （6分）形狀算子為，則主曲率為 ，對(duì)應(yīng)的主方向?yàn)?（4分）Gauss曲率和中曲率為 （4分） 本題考核了曲面的基本形式、曲面Gauss曲率、中曲率，主曲率和主方向的計(jì)算，都是課堂上強(qiáng)調(diào)為重點(diǎn)的基本內(nèi)容，因此難度不大，得分率較高。10、（12分） 解： 計(jì)算切向量 （2分）由此得到曲面第一基本量 和除了 其他的Christoffel記號(hào)均為零。 （4分）然后討論沿著 的曲線的平行向量場(chǎng) 滿足初始條件和微分方程 （4分）最后解得 。 （2分） 本題考核了曲面Christoffel記號(hào)和切向量的平行移動(dòng)，要求學(xué)生能熟悉定義的公式并且求解相應(yīng)的常微分方程。此題為基本題，但是微分方程求解容易出錯(cuò)，得滿分不太容易。11、（20分）.：計(jì)算第一基本量。 （3分）邊界下圓周對(duì)應(yīng) 利用Liouville公式得到， （3分）邊界上圓周對(duì)應(yīng)， 。 （2分）. 三角剖分畫圖 （3分）Euler示性數(shù) 。 （4分）(3).利用Gauss-Bonnet公式（注意邊界的定向）得到全曲率 （3分） 或者利用公式 0 直接計(jì)算得到。 （2分）本題考核了部分錐面上的曲線的測(cè)地線，它的三角剖分，Euler示性數(shù)，