第二章 軸向拉伸和壓縮.ppt

軸向拉伸和壓縮 第二章 2 2拉 壓 桿的內(nèi)力 2 4斜截面上的應(yīng)力 2 3橫截面上的正應(yīng)力 2 5拉 壓 桿的變形和位移 2 8強(qiáng)度計(jì)算 2 6材料在拉壓時(shí)的力學(xué)性能 2 7應(yīng)力集中 目錄 2 1概述 2 1軸向拉伸與壓縮的概念和實(shí)例 軸向拉壓的受力特點(diǎn) 作用于桿件上的外力或外力合力的作用線與桿件軸線重合 軸向拉壓的變形特點(diǎn) 桿件產(chǎn)生沿軸線方向的伸長(zhǎng)或縮短 拉繩 課堂練習(xí) 圖示各桿BC段為軸向拉伸 壓縮 的是 2 2拉 壓 桿的內(nèi)力 內(nèi)力 指由外力作用所引起的 物體內(nèi)相鄰部分之間分布內(nèi)力系的合力 附加內(nèi)力 研究?jī)?nèi)力方法 截面法 1 內(nèi)力的概念 FN稱為軸力 2 軸力和軸力圖 取左 取右 得 得 軸力正負(fù)號(hào)規(guī)定 上述求解拉 壓 桿軸力的方法稱為截面法 其基本步驟是 截開 在需求內(nèi)力的截面處 假想地用該截面將桿件一分為二 代替 任取一部分 另一部分對(duì)其作用以內(nèi)力代替 假設(shè)為正 平衡 建立該部分平衡方程 解出內(nèi)力 軸力圖 為了清楚地看到軸力沿桿長(zhǎng)的變化規(guī)律 可以用圖線的方式表示軸力的大小與橫截面位置的關(guān)系 這樣的圖線稱為軸力圖 x軸表示橫截面位置 FN軸表示對(duì)應(yīng)該位置的軸力大小 例2 1 書例2 1 一等直桿受四個(gè)軸向外力作用 如圖所示 試作軸力圖 幾點(diǎn)說明 1 荷載將桿件分成幾段 就取幾個(gè)截面來研究 2 軸力大小與截面面積無(wú)關(guān) 3 集中力作用處軸力圖發(fā)生突變 突變值等于該集中力 解 1 1截面 2 2截面 3 3截面 例2 2試作軸力圖 例2 3 書例2 2 一受力如圖所示的階梯形桿件 q為沿軸線均勻分布的荷載 試作軸力圖 解 首先求出A端反力FR 由截面法可得AB CD段軸力 課堂練習(xí) 1 若將圖 a 中的F力由D截面移到C截面 圖b 則有 2 橫截面面積為A 長(zhǎng)度為l 材料比重為的立柱受力如圖所示 若考慮材料的自重 則立柱的軸力圖是 l l 2 l 2 3 作圖示桿的軸力圖 解 設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)在自由端 x軸向右為正 取左側(cè)x段為研究對(duì)象 內(nèi)力FN x 為 思考題 圖示桿長(zhǎng)為l 受分布力q kx作用 方向如圖 試畫出桿的軸力圖 l q x 單憑軸力的大小還不足以判斷桿件的受力程度 例如 兩根材料相同但粗細(xì)不同的桿 在相同的拉力下 隨著拉力的增加 則細(xì)桿一定先強(qiáng)度不足而破壞 1 應(yīng)力的概念 2 3橫截面上的正應(yīng)力 從工程實(shí)用的角度 把單位面積上內(nèi)力的大小 作為衡量受力程度的尺度 并稱為應(yīng)力 這說明拉壓桿的強(qiáng)度除了與軸力的大小有關(guān)外 還與橫截面的尺寸有關(guān) 應(yīng)力的一般性定義 書26頁(yè) 應(yīng)力分量 應(yīng)力 分布內(nèi)力在一點(diǎn)處的集度 與強(qiáng)度密切相關(guān) 應(yīng)力單位 2 橫截面上的正應(yīng)力 為了確定拉 壓 桿橫截面上的應(yīng)力 必須首先了解分布內(nèi)力在橫截面上的變化規(guī)律 這通常是根據(jù)實(shí)驗(yàn)觀察到的拉 壓 桿變形時(shí)的表面現(xiàn)象 對(duì)桿件內(nèi)部的變形規(guī)律做出假設(shè) 再利用變形與分布內(nèi)力間的物理關(guān)系 便可得到分布內(nèi)力在橫截面上的分布規(guī)律 平面假設(shè) 桿件變形后 原為平面的橫截面仍然保持為平面 且仍垂直于軸線 根據(jù)平面假設(shè) 相鄰兩個(gè)橫截面間的所有縱向纖維的伸長(zhǎng)是相同的 再根據(jù)材料是均勻連續(xù)的假設(shè) 可以得出橫截面上的分布內(nèi)力是均勻分布的 結(jié)論 正應(yīng)力 為常量 根據(jù)靜力學(xué)求合力的概念 得 適用條件 1 軸力過形心 即必須是軸向拉伸 壓縮 2 符合平面假設(shè) Saint Venant原理 當(dāng)桿端以均勻分布的方式加力時(shí) 2 1 式對(duì)任何橫截面都是適用的 當(dāng)采用集中力或其他非均布的加載方式時(shí) 在加力點(diǎn)附近區(qū)域的應(yīng)力分布比較復(fù)雜 2 1 式不再適用 然而影響的長(zhǎng)度不超過桿的橫向尺寸 例2 4 書例2 3 設(shè)例2 1中的等直桿為實(shí)心圓截面 直徑d 20mm 試求此桿的最大工作應(yīng)力 FN max 35kN BC段 危險(xiǎn)截面 在研究拉 壓 桿的強(qiáng)度問題時(shí) 通常把最大工作正應(yīng)力所在的橫截面稱為危險(xiǎn)截面 例2 5 書例2 4 一階梯形立柱受力如圖所示 F1 120kN F2 60kN 柱的上 中 下三段的橫截面面積分別是A1 2 104mm2 A2 2 4 104mm2 A3 4 104mm2 試求立柱的最大工作正應(yīng)力 不計(jì)立柱的自重 解 首先作出立柱的軸力圖 如右圖所示 由于立柱是變截面 必須求出各段的工作應(yīng)力 經(jīng)過比較才能確定最大正應(yīng)力 壓應(yīng)力 結(jié)果表明 最大工作應(yīng)力為10MPa的壓應(yīng)力 中段 例2 5 書例2 4 一階梯形立柱受力如圖所示 F1 120kN F2 60kN 柱的上 中 下三段的橫截面面積分別是A1 2 104mm2 A2 2 4 104mm2 A3 4 104mm2 試求立柱的最大工作正應(yīng)力 不計(jì)立柱的自重 壓應(yīng)力 壓應(yīng)力 課堂練習(xí) 已知三鉸屋架如圖 承受豎向均布載荷 載荷的分布集度為 q 42kN m 屋架中的鋼拉桿為NO 22a型工字鋼 試求鋼拉桿橫截面的正應(yīng)力 不計(jì)鋼拉桿的自重 求應(yīng)力 局部平衡求軸力 查書附錄 的型鋼表 NO 22a工字鋼 A 42cm2 2 4斜截面上的應(yīng)力 規(guī)定 從橫截面按逆時(shí)針轉(zhuǎn)到斜截面的a角為正 反之為負(fù) 由平衡方程 Fa F 則 Aa 斜截面面積 p 為斜截面上任一點(diǎn)的總 全 應(yīng)力 仿照橫截面上正應(yīng)力為均勻分布的推理過程 可得到 斜截面上的應(yīng)力也是均勻分布的 用p 表示 為橫截面上的正應(yīng)力 斜截面上總應(yīng)力 將p 沿著斜截面的法線和切線分解 切應(yīng)力符號(hào)規(guī)定如下 它繞截面內(nèi)側(cè)某點(diǎn)有順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)趨勢(shì)者為正 反之為負(fù) 正應(yīng)力 切應(yīng)力 2 2 2 5拉 壓 的變形和位移 一 軸向變形 軸向伸長(zhǎng) 引入比例常數(shù)E 并注意到FN F 得到 實(shí)驗(yàn)表明 當(dāng)拉桿橫截面上的正應(yīng)力不超過材料的比例極限時(shí) 不僅變形是彈性的 而且伸長(zhǎng)量 l與拉力F和桿長(zhǎng)l成正比 即 E稱為彈性模量 表示材料在拉壓時(shí)抵抗彈性變形的能力 因而它是材料的一種力學(xué)性能 單位為Pa 工程中常用GPa 1GPa 109Pa 其值與材料有關(guān) 由實(shí)驗(yàn)測(cè)定 例如Q235鋼 E 200 210GPa EA稱為桿件的拉伸 壓縮 剛度 縱向線應(yīng)變 上式通常稱為單向應(yīng)力狀態(tài)下的胡克定律 胡克定律成立條件 正應(yīng)力不超過材料的比例極限 無(wú)量綱 二 橫向變形 泊松比 橫向線應(yīng)變 橫向尺寸縮短量 故與符號(hào)相反 實(shí)驗(yàn)表明 在材料正應(yīng)力沒有超過比例極限時(shí) 橫向線應(yīng)變與縱向線應(yīng)變之比為常數(shù) 用絕對(duì)值表示為 或?qū)懗?稱為橫向變形因數(shù)或泊松比 例2 6 書例2 5 已知 AB段 A1 400mm2BC段 A2 250mm2 E 210GPa 求 1 AB BC段的伸長(zhǎng)量及桿的總伸長(zhǎng)量 2 C截面相對(duì)B截面的位移和C截面的絕對(duì)位移 1 變形 物體受力以后發(fā)生尺寸和形狀的改變 解 桿的總伸長(zhǎng)量 伸長(zhǎng) 伸長(zhǎng) 伸長(zhǎng) 顯然 兩個(gè)截面的相對(duì)位移 在數(shù)值上等于兩個(gè)截面之間的那段桿件的伸長(zhǎng) 或縮短 因此 C截面與B截面的相對(duì)位移是 因A截面固定 所以C截面的位移就等于AC桿的伸長(zhǎng) 例2 6 書例2 5 已知 AB段 A1 400mm2BC段 A2 250mm2 E 210GPa 求 1 AB BC段的伸長(zhǎng)量及桿的總伸長(zhǎng)量 2 C截面相對(duì)B截面的位移 相對(duì)位移 和C截面的絕對(duì)位移 2 位移 指物體上的一些點(diǎn) 線 面在空間位置上的改變 解 課堂練習(xí) 1 已知 AAB 500mm2ABC 200mm2 E 210GPa 求 桿的總變形量 解 1 作軸力圖 2 計(jì)算變形 計(jì)算結(jié)果為負(fù) 說明整根桿發(fā)生了縮短 縮短 2 求AB桿的伸長(zhǎng)量 lAB 所以 已知 AB桿為圓截面鋼桿 d1 30mmE1 200GPa l1 1m BC為正方形木桿a 150mm E2 10GPa F 30kN 求 B結(jié)點(diǎn)的位移 解 取節(jié)點(diǎn)B為研究對(duì)象 例2 7 書例2 6 1 受力分析并求1 2桿軸力 解得 例2 7 書例2 6 已知 AB桿為圓截面鋼桿 d1 30mmE1 200GPa l1 1m BC為正方形木桿a 150mm E2 10GPa F 30kN 求 B結(jié)點(diǎn)的位移 2 求1 2桿變形 3 求B結(jié)點(diǎn)位移 作位移圖 例2 8 書例2 7 三桿的橫截面面積均為A 1000mm2 彈性模量均為E 200GPa l 1m AB為剛性桿 求A B兩點(diǎn)的位移 解 1 受力分析 取AB為研究對(duì)象 拉力 伸長(zhǎng) 2 變形計(jì)算 B A l 1 2 3 A2 B1 3 求A B點(diǎn)位移 課堂練習(xí) 3 已知AB桿為剛性桿 P1 5kN P2 10kN l 1mm CD桿的E 72GPa A 440mm2 求A截面鉛垂位移 解 1 取AB桿 求CD桿的軸力 壓 2 計(jì)算CD桿的縮短量 縮短 3 作位移圖 幾何關(guān)系 2 6材料在拉伸 壓縮時(shí)的力學(xué)性能 桿件在外力作用下是否會(huì)破壞 除計(jì)算工作應(yīng)力外 還需知道所用材料的強(qiáng)度 才能作出判斷 前面提到的E p等都是材料受力時(shí)在強(qiáng)度和變形方面所表現(xiàn)出來的性能 均屬于材料的力學(xué)性能 材料的力學(xué)性能取決于材料的內(nèi)部條件和外部條件 內(nèi)部條件指的是材料組成的化學(xué)成分 組織結(jié)構(gòu)等 外部條件則包括構(gòu)件的受力狀態(tài) 環(huán)境溫度 周圍介質(zhì)和加載方式 材料不同 環(huán)境不同 材料的力學(xué)性能也就不同 材料的力學(xué)性能必須用實(shí)驗(yàn)的方法測(cè)定 本節(jié)主要介紹 低碳鋼和鑄鐵在室溫 20 C 靜載下 通過軸向拉伸和壓縮得到的力學(xué)性能 材料最基本的力學(xué)性能 一 低碳鋼材料拉伸時(shí)的力學(xué)性能 碳鋼的分類 低碳鋼 含碳量 0 25 的碳素鋼中碳鋼 含碳量0 25 0 55 的碳素鋼高碳鋼 含碳量0 55 2 0 的碳素鋼 實(shí)驗(yàn)條件 室溫 20 左右 靜載 載荷從零開始緩慢增加到力F 標(biāo)準(zhǔn)試件 萬(wàn)能試驗(yàn)機(jī) 電子試驗(yàn)機(jī) 試驗(yàn)設(shè)備 1 彈性階段Ob 整個(gè)拉伸過程分為四個(gè)階段 拉伸圖 應(yīng)力 應(yīng)變曲線 Oa段為直線 應(yīng)力與應(yīng)變成正比 Oa直線的斜率 2 屈服階段bc 3 強(qiáng)化階段cd 是低碳鋼的重要強(qiáng)度指標(biāo) 是低碳鋼的重要強(qiáng)度指標(biāo) 4 頸縮階段de 伸長(zhǎng)率 斷面收縮率 是低碳鋼的塑性指標(biāo) 卸載后 重新加載 加載路線基本沿卸載路線 這樣 材料的比例極限有所提高 但塑性降低 這種現(xiàn)象叫做冷作硬化 二 其它材料拉伸時(shí)的力學(xué)性能 灰口鑄鐵拉伸時(shí)的特點(diǎn) 1 應(yīng)力 應(yīng)變曲線是一微彎的線段 無(wú)屈服和頸縮現(xiàn)象 2 變形很小時(shí) 試件就斷了 伸長(zhǎng)率很小 是典型的脆性材料 只有一個(gè)強(qiáng)度指標(biāo) 沿橫截面拉斷 斷口平齊 三 材料在壓縮時(shí)的力學(xué)性能 2 低碳鋼壓縮時(shí)的E ss與拉伸時(shí)基本相同 3 屈服以后 試件逐漸被壓成鼓狀 其橫截面面積不斷增大 4 由于試件壓縮時(shí)不會(huì)發(fā)生斷裂 因此無(wú)法測(cè)定其強(qiáng)度極限 故像低碳鋼一類塑性材料的力學(xué)性能通常由拉伸實(shí)驗(yàn)測(cè)定 1 低碳鋼壓縮試樣采用圓柱體 且h d 低碳鋼壓縮實(shí)驗(yàn) 鑄鐵壓縮實(shí)驗(yàn) 2 應(yīng)力 應(yīng)變曲線直線段很短 近似符合胡克定律 3 壓縮時(shí)強(qiáng)度極限比拉伸時(shí)強(qiáng)度極限大得多 即 b c 3 5 5 b t 4 材料逐漸被壓成鼓狀 后來沿與軸線大約350方向斷裂 主要是被剪斷的 1 鑄鐵壓縮試樣也采用圓柱體 且h 2d 2 7應(yīng)力集中 由前面可知 受軸向拉伸 壓縮 的等直桿 其橫截面上的正應(yīng)力是均勻分布的 但是工程上有些拉壓桿 由于實(shí)際的需要而有切口 切槽 圓孔等 以致這些部位的橫截面尺寸發(fā)生突然的改變 光彈性實(shí)驗(yàn)和彈性理論的分析都表明 在橫截面尺寸急劇變化的區(qū)域 橫截面上的正應(yīng)力已不再均勻分布 1 應(yīng)力集中的概念 應(yīng)力集中 由于截面尺寸突然改變而使應(yīng)力局部增大的現(xiàn)象 2 理論應(yīng)力集中因數(shù) 3 生活中的例子包裝袋上的小口 邊緣做成鋸齒狀等 4 在靜荷載作用下 由塑性材料制成的桿件可以不考慮應(yīng)力集中的影響 質(zhì)地均勻的脆性材料要考慮應(yīng)力集中的影響 鑄鐵可以不考慮由于外形改變而引起的應(yīng)力集中的影響 在動(dòng)荷載作用下 不論是塑性材料還是脆性材料均應(yīng)考慮應(yīng)力集中的影響 第十四章 2 8強(qiáng)度計(jì)算 由前面的分析可知 由塑性材料制成的拉 壓 桿的工作正應(yīng)力達(dá)到材料的屈服極限 s時(shí) 桿件將出現(xiàn)顯著的塑性變形 由脆性材料制成的拉 壓 桿的工作正應(yīng)力達(dá)到材料的強(qiáng)度極限 b時(shí) 桿件將發(fā)生斷裂破壞 因此 把屈服極限 s和強(qiáng)度極限 b分別作為塑性材料和脆性材料的強(qiáng)度指標(biāo) 統(tǒng)稱為材料的極限應(yīng)力 以 u表示 即 一 安全因數(shù)和許用應(yīng)力 為了保證構(gòu)件能夠正常工作并具有必要的安全儲(chǔ)備 不能用極限應(yīng)力作為拉 壓 桿最大工作正應(yīng)力的限值 一般將極限應(yīng)力除以大于1的因數(shù)n 作為工作正應(yīng)力的最大許用值 稱為材料的許用應(yīng)力 以 表示 即 二 強(qiáng)度條件 為了保證拉 壓 桿具有足夠的強(qiáng)度 必須使桿件的最大工作正應(yīng)力不超過材料拉伸 壓縮 時(shí)的許用應(yīng)力 即 上式稱為拉 壓 桿的強(qiáng)度條件 1 強(qiáng)度校核 已知荷載 桿件的截面尺寸和材料的許用應(yīng)力 即可計(jì)算桿件的最大工作正應(yīng)力 并檢查是否滿足強(qiáng)度條件的要求 這稱為強(qiáng)度校核 對(duì)于等直桿 2 15 式可改寫成 應(yīng)用強(qiáng)度條件可以進(jìn)行三類計(jì)算 考慮到許用應(yīng)力是概率統(tǒng)計(jì)的數(shù)值 為了經(jīng)濟(jì)起見 最大工作正應(yīng)力也可略大于材料的許用應(yīng)力 一般認(rèn)為以不超過許用應(yīng)力的5 為宜 3 確定結(jié)構(gòu)的許用載荷 已知結(jié)構(gòu)承受的荷載和材料的許用應(yīng)力 即可算出桿件的最大軸力 并由此確定桿件的橫截面面積 已知桿件的橫截面尺寸和材料的許用應(yīng)力 可根據(jù)強(qiáng)度條件計(jì)算出該桿所能承受的最大軸力 亦稱許用軸力 2 選擇桿件的橫截面尺寸 然后根據(jù)靜力平衡條件 確定結(jié)構(gòu)所許用的荷載 例2 10 書例2 9 階梯形桿如圖所示 AB BC和CD段的橫截面面積分別為A1 1500mm2 A2 625mm2 A3 900mm2 桿的材料為Q235鋼 170MPa 試校核該桿的強(qiáng)度 解 1 作軸力圖 2 校核強(qiáng)度 由軸力圖和各段桿的橫截面面積可知 危險(xiǎn)截面可能在BC段或CD段 壓應(yīng)力 BC段 CD段 拉應(yīng)力 故該桿滿足強(qiáng)度條件 結(jié)果表明 桿的最大正應(yīng)力發(fā)生在CD段 相對(duì)誤差 例2 11 書例2 10 已知三鉸屋架如圖 承受豎向均布載荷 載荷的分布集度為 q 4 2kN m 屋架中的鋼拉桿材料為Q235鋼 170MPa 試選擇鋼拉桿的直徑 不計(jì)鋼拉桿的自重 1 42m q A C B 8 5m 鋼拉桿 0 4m 0 4m 局部平衡求軸力 由強(qiáng)度條件求直徑 為了經(jīng)濟(jì)起見 選用鋼拉桿的直徑為14mm 其值略小于計(jì)算結(jié)果 但是其工作正應(yīng)力超過許用應(yīng)力不到5 例2 12 書例2 11 如圖所示的簡(jiǎn)易起重設(shè)備 AB桿用兩根70mm 70mm 4mm等邊角鋼組成 BC桿用兩根10號(hào)槽鋼焊成一整體 材料均為Q235鋼 170MPa 試求設(shè)備所許用的起重量W 解 1 分別取滑輪和B結(jié)點(diǎn)為研究對(duì)象 求出兩桿的軸力 解得 2 求兩桿的許用軸力 例2 12 書例2 11 如圖所示的簡(jiǎn)易起重設(shè)備 AB桿用兩根70mm 70mm 4mm等邊角鋼組成 BC桿用兩根10號(hào)槽鋼焊成一整體 材料均為Q235鋼 170MPa 試求設(shè)備所許用的起重量W 查型鋼表