第二章 軸向拉伸和壓縮.ppt

軸向拉伸和壓縮 第二章 2 2拉 壓 桿的內(nèi)力 2 4斜截面上的應(yīng)力 2 3橫截面上的正應(yīng)力 2 5拉 壓 桿的變形和位移 2 8強度計算 2 6材料在拉壓時的力學性能 2 7應(yīng)力集中 目錄 2 1概述 2 1軸向拉伸與壓縮的概念和實例 軸向拉壓的受力特點 作用于桿件上的外力或外力合力的作用線與桿件軸線重合 軸向拉壓的變形特點 桿件產(chǎn)生沿軸線方向的伸長或縮短 拉繩 課堂練習 圖示各桿BC段為軸向拉伸 壓縮 的是 2 2拉 壓 桿的內(nèi)力 內(nèi)力 指由外力作用所引起的 物體內(nèi)相鄰部分之間分布內(nèi)力系的合力 附加內(nèi)力 研究內(nèi)力方法 截面法 1 內(nèi)力的概念 FN稱為軸力 2 軸力和軸力圖 取左 取右 得 得 軸力正負號規(guī)定 上述求解拉 壓 桿軸力的方法稱為截面法 其基本步驟是 截開 在需求內(nèi)力的截面處 假想地用該截面將桿件一分為二 代替 任取一部分 另一部分對其作用以內(nèi)力代替 假設(shè)為正 平衡 建立該部分平衡方程 解出內(nèi)力 軸力圖 為了清楚地看到軸力沿桿長的變化規(guī)律 可以用圖線的方式表示軸力的大小與橫截面位置的關(guān)系 這樣的圖線稱為軸力圖 x軸表示橫截面位置 FN軸表示對應(yīng)該位置的軸力大小 例2 1 書例2 1 一等直桿受四個軸向外力作用 如圖所示 試作軸力圖 幾點說明 1 荷載將桿件分成幾段 就取幾個截面來研究 2 軸力大小與截面面積無關(guān) 3 集中力作用處軸力圖發(fā)生突變 突變值等于該集中力 解 1 1截面 2 2截面 3 3截面 例2 2試作軸力圖 例2 3 書例2 2 一受力如圖所示的階梯形桿件 q為沿軸線均勻分布的荷載 試作軸力圖 解 首先求出A端反力FR 由截面法可得AB CD段軸力 課堂練習 1 若將圖 a 中的F力由D截面移到C截面 圖b 則有 2 橫截面面積為A 長度為l 材料比重為的立柱受力如圖所示 若考慮材料的自重 則立柱的軸力圖是 l l 2 l 2 3 作圖示桿的軸力圖 解 設(shè)坐標原點在自由端 x軸向右為正 取左側(cè)x段為研究對象 內(nèi)力FN x 為 思考題 圖示桿長為l 受分布力q kx作用 方向如圖 試畫出桿的軸力圖 l q x 單憑軸力的大小還不足以判斷桿件的受力程度 例如 兩根材料相同但粗細不同的桿 在相同的拉力下 隨著拉力的增加 則細桿一定先強度不足而破壞 1 應(yīng)力的概念 2 3橫截面上的正應(yīng)力 從工程實用的角度 把單位面積上內(nèi)力的大小 作為衡量受力程度的尺度 并稱為應(yīng)力 這說明拉壓桿的強度除了與軸力的大小有關(guān)外 還與橫截面的尺寸有關(guān) 應(yīng)力的一般性定義 書26頁 應(yīng)力分量 應(yīng)力 分布內(nèi)力在一點處的集度 與強度密切相關(guān) 應(yīng)力單位 2 橫截面上的正應(yīng)力 為了確定拉 壓 桿橫截面上的應(yīng)力 必須首先了解分布內(nèi)力在橫截面上的變化規(guī)律 這通常是根據(jù)實驗觀察到的拉 壓 桿變形時的表面現(xiàn)象 對桿件內(nèi)部的變形規(guī)律做出假設(shè) 再利用變形與分布內(nèi)力間的物理關(guān)系 便可得到分布內(nèi)力在橫截面上的分布規(guī)律 平面假設(shè) 桿件變形后 原為平面的橫截面仍然保持為平面 且仍垂直于軸線 根據(jù)平面假設(shè) 相鄰兩個橫截面間的所有縱向纖維的伸長是相同的 再根據(jù)材料是均勻連續(xù)的假設(shè) 可以得出橫截面上的分布內(nèi)力是均勻分布的 結(jié)論 正應(yīng)力 為常量 根據(jù)靜力學求合力的概念 得 適用條件 1 軸力過形心 即必須是軸向拉伸 壓縮 2 符合平面假設(shè) Saint Venant原理 當桿端以均勻分布的方式加力時 2 1 式對任何橫截面都是適用的 當采用集中力或其他非均布的加載方式時 在加力點附近區(qū)域的應(yīng)力分布比較復(fù)雜 2 1 式不再適用 然而影響的長度不超過桿的橫向尺寸 例2 4 書例2 3 設(shè)例2 1中的等直桿為實心圓截面 直徑d 20mm 試求此桿的最大工作應(yīng)力 FN max 35kN BC段 危險截面 在研究拉 壓 桿的強度問題時 通常把最大工作正應(yīng)力所在的橫截面稱為危險截面 例2 5 書例2 4 一階梯形立柱受力如圖所示 F1 120kN F2 60kN 柱的上 中 下三段的橫截面面積分別是A1 2 104mm2 A2 2 4 104mm2 A3 4 104mm2 試求立柱的最大工作正應(yīng)力 不計立柱的自重 解 首先作出立柱的軸力圖 如右圖所示 由于立柱是變截面 必須求出各段的工作應(yīng)力 經(jīng)過比較才能確定最大正應(yīng)力 壓應(yīng)力 結(jié)果表明 最大工作應(yīng)力為10MPa的壓應(yīng)力 中段 例2 5 書例2 4 一階梯形立柱受力如圖所示 F1 120kN F2 60kN 柱的上 中 下三段的橫截面面積分別是A1 2 104mm2 A2 2 4 104mm2 A3 4 104mm2 試求立柱的最大工作正應(yīng)力 不計立柱的自重 壓應(yīng)力 壓應(yīng)力 課堂練習 已知三鉸屋架如圖 承受豎向均布載荷 載荷的分布集度為 q 42kN m 屋架中的鋼拉桿為NO 22a型工字鋼 試求鋼拉桿橫截面的正應(yīng)力 不計鋼拉桿的自重 求應(yīng)力 局部平衡求軸力 查書附錄 的型鋼表 NO 22a工字鋼 A 42cm2 2 4斜截面上的應(yīng)力 規(guī)定 從橫截面按逆時針轉(zhuǎn)到斜截面的a角為正 反之為負 由平衡方程 Fa F 則 Aa 斜截面面積 p 為斜截面上任一點的總 全 應(yīng)力 仿照橫截面上正應(yīng)力為均勻分布的推理過程 可得到 斜截面上的應(yīng)力也是均勻分布的 用p 表示 為橫截面上的正應(yīng)力 斜截面上總應(yīng)力 將p 沿著斜截面的法線和切線分解 切應(yīng)力符號規(guī)定如下 它繞截面內(nèi)側(cè)某點有順時針轉(zhuǎn)動趨勢者為正 反之為負 正應(yīng)力 切應(yīng)力 2 2 2 5拉 壓 的變形和位移 一 軸向變形 軸向伸長 引入比例常數(shù)E 并注意到FN F 得到 實驗表明 當拉桿橫截面上的正應(yīng)力不超過材料的比例極限時 不僅變形是彈性的 而且伸長量 l與拉力F和桿長l成正比 即 E稱為彈性模量 表示材料在拉壓時抵抗彈性變形的能力 因而它是材料的一種力學性能 單位為Pa 工程中常用GPa 1GPa 109Pa 其值與材料有關(guān) 由實驗測定 例如Q235鋼 E 200 210GPa EA稱為桿件的拉伸 壓縮 剛度 縱向線應(yīng)變 上式通常稱為單向應(yīng)力狀態(tài)下的胡克定律 胡克定律成立條件 正應(yīng)力不超過材料的比例極限 無量綱 二 橫向變形 泊松比 橫向線應(yīng)變 橫向尺寸縮短量 故與符號相反 實驗表明 在材料正應(yīng)力沒有超過比例極限時 橫向線應(yīng)變與縱向線應(yīng)變之比為常數(shù) 用絕對值表示為 或?qū)懗?稱為橫向變形因數(shù)或泊松比 例2 6 書例2 5 已知 AB段 A1 400mm2BC段 A2 250mm2 E 210GPa 求 1 AB BC段的伸長量及桿的總伸長量 2 C截面相對B截面的位移和C截面的絕對位移 1 變形 物體受力以后發(fā)生尺寸和形狀的改變 解 桿的總伸長量 伸長 伸長 伸長 顯然 兩個截面的相對位移 在數(shù)值上等于兩個截面之間的那段桿件的伸長 或縮短 因此 C截面與B截面的相對位移是 因A截面固定 所以C截面的位移就等于AC桿的伸長 例2 6 書例2 5 已知 AB段 A1 400mm2BC段 A2 250mm2 E 210GPa 求 1 AB BC段的伸長量及桿的總伸長量 2 C截面相對B截面的位移 相對位移 和C截面的絕對位移 2 位移 指物體上的一些點 線 面在空間位置上的改變 解 課堂練習 1 已知 AAB 500mm2ABC 200mm2 E 210GPa 求 桿的總變形量 解 1 作軸力圖 2 計算變形 計算結(jié)果為負 說明整根桿發(fā)生了縮短 縮短 2 求AB桿的伸長量 lAB 所以 已知 AB桿為圓截面鋼桿 d1 30mmE1 200GPa l1 1m BC為正方形木桿a 150mm E2 10GPa F 30kN 求 B結(jié)點的位移 解 取節(jié)點B為研究對象 例2 7 書例2 6 1 受力分析并求1 2桿軸力 解得 例2 7 書例2 6 已知 AB桿為圓截面鋼桿 d1 30mmE1 200GPa l1 1m BC為正方形木桿a 150mm E2 10GPa F 30kN 求 B結(jié)點的位移 2 求1 2桿變形 3 求B結(jié)點位移 作位移圖 例2 8 書例2 7 三桿的橫截面面積均為A 1000mm2 彈性模量均為E 200GPa l 1m AB為剛性桿 求A B兩點的位移 解 1 受力分析 取AB為研究對象 拉力 伸長 2 變形計算 B A l 1 2 3 A2 B1 3 求A B點位移 課堂練習 3 已知AB桿為剛性桿 P1 5kN P2 10kN l 1mm CD桿的E 72GPa A 440mm2 求A截面鉛垂位移 解 1 取AB桿 求CD桿的軸力 壓 2 計算CD桿的縮短量 縮短 3 作位移圖 幾何關(guān)系 2 6材料在拉伸 壓縮時的力學性能 桿件在外力作用下是否會破壞 除計算工作應(yīng)力外 還需知道所用材料的強度 才能作出判斷 前面提到的E p等都是材料受力時在強度和變形方面所表現(xiàn)出來的性能 均屬于材料的力學性能 材料的力學性能取決于材料的內(nèi)部條件和外部條件 內(nèi)部條件指的是材料組成的化學成分 組織結(jié)構(gòu)等 外部條件則包括構(gòu)件的受力狀態(tài) 環(huán)境溫度 周圍介質(zhì)和加載方式 材料不同 環(huán)境不同 材料的力學性能也就不同 材料的力學性能必須用實驗的方法測定 本節(jié)主要介紹 低碳鋼和鑄鐵在室溫 20 C 靜載下 通過軸向拉伸和壓縮得到的力學性能 材料最基本的力學性能 一 低碳鋼材料拉伸時的力學性能 碳鋼的分類 低碳鋼 含碳量 0 25 的碳素鋼中碳鋼 含碳量0 25 0 55 的碳素鋼高碳鋼 含碳量0 55 2 0 的碳素鋼 實驗條件 室溫 20 左右 靜載 載荷從零開始緩慢增加到力F 標準試件 萬能試驗機 電子試驗機 試驗設(shè)備 1 彈性階段Ob 整個拉伸過程分為四個階段 拉伸圖 應(yīng)力 應(yīng)變曲線 Oa段為直線 應(yīng)力與應(yīng)變成正比 Oa直線的斜率 2 屈服階段bc 3 強化階段cd 是低碳鋼的重要強度指標 是低碳鋼的重要強度指標 4 頸縮階段de 伸長率 斷面收縮率 是低碳鋼的塑性指標 卸載后 重新加載 加載路線基本沿卸載路線 這樣 材料的比例極限有所提高 但塑性降低 這種現(xiàn)象叫做冷作硬化 二 其它材料拉伸時的力學性能 灰口鑄鐵拉伸時的特點 1 應(yīng)力 應(yīng)變曲線是一微彎的線段 無屈服和頸縮現(xiàn)象 2 變形很小時 試件就斷了 伸長率很小 是典型的脆性材料 只有一個強度指標 沿橫截面拉斷 斷口平齊 三 材料在壓縮時的力學性能 2 低碳鋼壓縮時的E ss與拉伸時基本相同 3 屈服以后 試件逐漸被壓成鼓狀 其橫截面面積不斷增大 4 由于試件壓縮時不會發(fā)生斷裂 因此無法測定其強度極限 故像低碳鋼一類塑性材料的力學性能通常由拉伸實驗測定 1 低碳鋼壓縮試樣采用圓柱體 且h d 低碳鋼壓縮實驗 鑄鐵壓縮實驗 2 應(yīng)力 應(yīng)變曲線直線段很短 近似符合胡克定律 3 壓縮時強度極限比拉伸時強度極限大得多 即 b c 3 5 5 b t 4 材料逐漸被壓成鼓狀 后來沿與軸線大約350方向斷裂 主要是被剪斷的 1 鑄鐵壓縮試樣也采用圓柱體 且h 2d 2 7應(yīng)力集中 由前面可知 受軸向拉伸 壓縮 的等直桿 其橫截面上的正應(yīng)力是均勻分布的 但是工程上有些拉壓桿 由于實際的需要而有切口 切槽 圓孔等 以致這些部位的橫截面尺寸發(fā)生突然的改變 光彈性實驗和彈性理論的分析都表明 在橫截面尺寸急劇變化的區(qū)域 橫截面上的正應(yīng)力已不再均勻分布 1 應(yīng)力集中的概念 應(yīng)力集中 由于截面尺寸突然改變而使應(yīng)力局部增大的現(xiàn)象 2 理論應(yīng)力集中因數(shù) 3 生活中的例子包裝袋上的小口 邊緣做成鋸齒狀等 4 在靜荷載作用下 由塑性材料制成的桿件可以不考慮應(yīng)力集中的影響 質(zhì)地均勻的脆性材料要考慮應(yīng)力集中的影響 鑄鐵可以不考慮由于外形改變而引起的應(yīng)力集中的影響 在動荷載作用下 不論是塑性材料還是脆性材料均應(yīng)考慮應(yīng)力集中的影響 第十四章 2 8強度計算 由前面的分析可知 由塑性材料制成的拉 壓 桿的工作正應(yīng)力達到材料的屈服極限 s時 桿件將出現(xiàn)顯著的塑性變形 由脆性材料制成的拉 壓 桿的工作正應(yīng)力達到材料的強度極限 b時 桿件將發(fā)生斷裂破壞 因此 把屈服極限 s和強度極限 b分別作為塑性材料和脆性材料的強度指標 統(tǒng)稱為材料的極限應(yīng)力 以 u表示 即 一 安全因數(shù)和許用應(yīng)力 為了保證構(gòu)件能夠正常工作并具有必要的安全儲備 不能用極限應(yīng)力作為拉 壓 桿最大工作正應(yīng)力的限值 一般將極限應(yīng)力除以大于1的因數(shù)n 作為工作正應(yīng)力的最大許用值 稱為材料的許用應(yīng)力 以 表示 即 二 強度條件 為了保證拉 壓 桿具有足夠的強度 必須使桿件的最大工作正應(yīng)力不超過材料拉伸 壓縮 時的許用應(yīng)力 即 上式稱為拉 壓 桿的強度條件 1 強度校核 已知荷載 桿件的截面尺寸和材料的許用應(yīng)力 即可計算桿件的最大工作正應(yīng)力 并檢查是否滿足強度條件的要求 這稱為強度校核 對于等直桿 2 15 式可改寫成 應(yīng)用強度條件可以進行三類計算 考慮到許用應(yīng)力是概率統(tǒng)計的數(shù)值 為了經(jīng)濟起見 最大工作正應(yīng)力也可略大于材料的許用應(yīng)力 一般認為以不超過許用應(yīng)力的5 為宜 3 確定結(jié)構(gòu)的許用載荷 已知結(jié)構(gòu)承受的荷載和材料的許用應(yīng)力 即可算出桿件的最大軸力 并由此確定桿件的橫截面面積 已知桿件的橫截面尺寸和材料的許用應(yīng)力 可根據(jù)強度條件計算出該桿所能承受的最大軸力 亦稱許用軸力 2 選擇桿件的橫截面尺寸 然后根據(jù)靜力平衡條件 確定結(jié)構(gòu)所許用的荷載 例2 10 書例2 9 階梯形桿如圖所示 AB BC和CD段的橫截面面積分別為A1 1500mm2 A2 625mm2 A3 900mm2 桿的材料為Q235鋼 170MPa 試校核該桿的強度 解 1 作軸力圖 2 校核強度 由軸力圖和各段桿的橫截面面積可知 危險截面可能在BC段或CD段 壓應(yīng)力 BC段 CD段 拉應(yīng)力 故該桿滿足強度條件 結(jié)果表明 桿的最大正應(yīng)力發(fā)生在CD段 相對誤差 例2 11 書例2 10 已知三鉸屋架如圖 承受豎向均布載荷 載荷的分布集度為 q 4 2kN m 屋架中的鋼拉桿材料為Q235鋼 170MPa 試選擇鋼拉桿的直徑 不計鋼拉桿的自重 1 42m q A C B 8 5m 鋼拉桿 0 4m 0 4m 局部平衡求軸力 由強度條件求直徑 為了經(jīng)濟起見 選用鋼拉桿的直徑為14mm 其值略小于計算結(jié)果 但是其工作正應(yīng)力超過許用應(yīng)力不到5 例2 12 書例2 11 如圖所示的簡易起重設(shè)備 AB桿用兩根70mm 70mm 4mm等邊角鋼組成 BC桿用兩根10號槽鋼焊成一整體 材料均為Q235鋼 170MPa 試求設(shè)備所許用的起重量W 解 1 分別取滑輪和B結(jié)點為研究對象 求出兩桿的軸力 解得 2 求兩桿的許用軸力 例2 12 書例2 11 如圖所示的簡易起重設(shè)備 AB桿用兩根70mm 70mm 4mm等邊角鋼組成 BC桿用兩根10號槽鋼焊成一整體 材料均為Q235鋼 170MPa 試求設(shè)備所許用的起重量W 查型鋼表