分?jǐn)?shù)乘除法應(yīng)用題教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法實(shí)踐探究.doc

分?jǐn)?shù)乘除法應(yīng)用題教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法實(shí)踐探究數(shù)學(xué)思想是對數(shù)學(xué)知識、方法、規(guī)律的本質(zhì)認(rèn)識，是數(shù)學(xué)思維的結(jié)晶和概括，是解決數(shù)學(xué)問題的靈魂和根本策略。小學(xué)數(shù)學(xué)課程中蘊(yùn)涵著豐富的數(shù)學(xué)思想，學(xué)生通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，形成一定的數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)課程的一個重要目的。如果教師在教學(xué)中，僅僅依照課本的安排，沿襲著從概念、公式到例題、練習(xí)這一傳統(tǒng)的教學(xué)過程，即使教師講深講透，要求學(xué)生記住結(jié)論，掌握解題的類型和方法，這樣培養(yǎng)出來的學(xué)生也只能是“知識型”“記憶型”的，將背離數(shù)學(xué)教育的目標(biāo)。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的“就意味著解題”（波利亞語），解題關(guān)鍵在于找到合適的解題思路，數(shù)學(xué)思想方法就是幫助構(gòu)建解題思路的指導(dǎo)思想。因此，向?qū)W生滲透一些基本的數(shù)學(xué)思想方法，提高學(xué)生的元認(rèn)知水平，是培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題能力的重要途徑。因此，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要根據(jù)小學(xué)生的年齡特點(diǎn)，不失時機(jī)地對學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法的滲透。但由于數(shù)學(xué)思想它蘊(yùn)含滲透在知識體系中，是無形的。教師如何讓學(xué)生學(xué)會知識的同時，又學(xué)會數(shù)學(xué)思想，一直是教師探究的課題。本人在這方面也作了一些初步探討。一、滲透數(shù)學(xué)思想方法的意義1、數(shù)學(xué)思想方法不僅是學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識所必須的，而且是進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，知識使學(xué)生受益一時，思想和方法使學(xué)生受益終生。在現(xiàn)代科技發(fā)展中，某些具體的數(shù)學(xué)知識更多的是依賴數(shù)學(xué)思想方法探索數(shù)學(xué)模型，去預(yù)測發(fā)展的前景。2、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的就意味著解決問題，解決問題的關(guān)鍵在于找到合理的解題思路，而數(shù)學(xué)思想方法是構(gòu)建解題思路的指導(dǎo)思想，是培養(yǎng)學(xué)生分析解決問題的重要措施。3、數(shù)學(xué)思想方法是增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)觀念、形成良好思維素質(zhì)的前提，有利于創(chuàng)造能力的培養(yǎng)。數(shù)學(xué)思想方法把傳統(tǒng)知識型教學(xué)轉(zhuǎn)化為能力型教學(xué)的關(guān)鍵。因此，加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)不但有利于提高課堂教學(xué)質(zhì)量，而且有利于培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生認(rèn)知能力更好地構(gòu)建和完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，發(fā)揮學(xué)生的數(shù)學(xué)潛能。二、分?jǐn)?shù)乘除法應(yīng)用題要滲透哪些數(shù)學(xué)思想方法滲透數(shù)學(xué)思想方法的途徑主要有兩條：一是通過純數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)，逐步使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)的基本思想和方法，傾向于技巧性強(qiáng)的方法。二是通過解決實(shí)際問題使學(xué)生在掌握所要求的數(shù)學(xué)內(nèi)容的同時，形成對人的素質(zhì)有促進(jìn)作用的基本思想方法，傾向于一般的思考方法。我們在分?jǐn)?shù)乘除法應(yīng)用題教學(xué)中主要采用第二種途徑。在分?jǐn)?shù)乘除法應(yīng)用題解決中蘊(yùn)涵豐富的數(shù)學(xué)思想方法，主要有“數(shù)形結(jié)合思想”“類比思想”“建模思想”“對應(yīng)思想”“變換思想”“比較思想”等。（一）滲透數(shù)形結(jié)合的思想方法數(shù)學(xué)家華羅庚曾說：“人們對數(shù)學(xué)早就產(chǎn)生了干燥無味、神秘難懂的印象，成因之一便是脫離實(shí)際?！睌?shù)形結(jié)合的思維方法，便是理論與實(shí)際的有機(jī)聯(lián)系，是思維的起點(diǎn)，是兒童建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的基本方法。數(shù)形結(jié)合思想是充分利用“形”把復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系和抽象的數(shù)學(xué)概念變得形象、直觀，能豐富學(xué)生的表象，引發(fā)聯(lián)想。在分?jǐn)?shù)乘除應(yīng)用題教學(xué)時經(jīng)常通過畫線段圖或面積圖弄清題意，分析數(shù)量關(guān)系，拓寬解題思路，能引導(dǎo)學(xué)生迅速找到解決問題的方法。如：應(yīng)用題“水果批發(fā)公司有水果25000千克，賣出2/5，還剩下多少千克？”的教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)根據(jù)題意先畫出線段圖：賣出2/5還剩？千克25000千克學(xué)生從圖中很快找到了許多數(shù)量關(guān)系：（1）可以先求出賣出多少千克，就是求25000的2/5是多少，再用總數(shù)減去賣出千克數(shù)求出剩下的重量。（2）從圖上看出，先求出剩下的是總數(shù)的3/5，即（1-3/5），只要用總數(shù)乘（1-3/5）就可以了。（3）從圖上也可以先用250005求出一份是多少，再乘剩下的3份。顯然，學(xué)生借助線段圖分析抽象的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題，解題思路清晰，解法巧妙。又如一杯牛奶，甲第一次喝了半杯，第二次又喝了剩下的一半，就這樣每次都喝了上一次剩下的一半。甲五次一共喝了多少牛奶？此題若把五次所喝的牛奶加起來，即121418116132就為所求。但是，如果我們畫一個正方形，假設(shè)它的面積為單位“1”來表示一杯牛奶，然后圖上表示每次喝去的牛奶，最后由圖可知，還剩下1/32，那么（1132）就為所求，這樣在學(xué)生解題過程中讓學(xué)生很好地體會了數(shù)形結(jié)合思想的妙處。（二）滲透類比的思想方法類比是根據(jù)兩種事物在某些特征上的相似，得出它們在其他特征上也可能相似的結(jié)論，把熟悉的與不熟悉的事物聯(lián)系起來，以熟悉的事物特征為基礎(chǔ)去認(rèn)識不熟悉事物的思想方法。在分?jǐn)?shù)乘除法應(yīng)用題教學(xué)中，我們根據(jù)教材的知識體系和學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，精心設(shè)計教學(xué)過程，有機(jī)滲透類比思想方法，引導(dǎo)學(xué)生利用已有的知識經(jīng)驗（倍數(shù)應(yīng)用題的解題思路）去理解分?jǐn)?shù)乘除應(yīng)用題數(shù)量關(guān)系與解題方法，（反對把分?jǐn)?shù)應(yīng)用題作為獨(dú)立的封閉系統(tǒng)，用一些理解生硬的分率、比較量等詞讓學(xué)生死記硬背）在類比中發(fā)現(xiàn)知識共同的本質(zhì)屬性，及時將新知同化到學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，實(shí)現(xiàn)正遷移。即分?jǐn)?shù)乘除法應(yīng)用題倍數(shù)應(yīng)用題引入，根據(jù)倍數(shù)關(guān)系句分析數(shù)量關(guān)系，確定算法。例如：我把例題改造成有一塊果園，梨樹的種植面積是6000平方米，桃數(shù)種植面積是梨樹的3倍，桃數(shù)種植面積是多少平方米？學(xué)生準(zhǔn)備練習(xí)后，我依次將其中“3倍”改為0.4倍、2/5、40%。引導(dǎo)學(xué)生小結(jié)：當(dāng)數(shù)量之間的倍數(shù)小于時，通常說成幾分之幾（或百分之幾），可以看作分?jǐn)?shù)倍。那么求一個數(shù)的幾倍用乘法計算，求一個數(shù)的幾分之幾也用乘法算，理解時可以把分?jǐn)?shù)（或百分?jǐn)?shù)）當(dāng)作倍數(shù)來思考。這樣就大大減輕了學(xué)生思考的負(fù)擔(dān)，從中也滲透了類比的數(shù)學(xué)思想。（三）滲透對應(yīng)的思想方法對應(yīng)關(guān)系體現(xiàn)在分?jǐn)?shù)乘除法應(yīng)用題比整數(shù)、小數(shù)應(yīng)用題更為直接。這源于分?jǐn)?shù)意義的單位“1”，這類應(yīng)用題一個數(shù)量對應(yīng)于一個分?jǐn)?shù)（或分?jǐn)?shù)倍）。學(xué)生掌握了這一思想方法，就會懂得復(fù)雜應(yīng)用題常常是對應(yīng)著簡單應(yīng)用題來分析其數(shù)量關(guān)系；分?jǐn)?shù)應(yīng)用題常常是對應(yīng)著整數(shù)的倍數(shù)應(yīng)用題來分析其數(shù)量關(guān)系的；分?jǐn)?shù)乘除法應(yīng)用題常常是運(yùn)用實(shí)際數(shù)量與份數(shù)（倍數(shù)）的對應(yīng)關(guān)系來判斷解題方法的。滲透這樣的對應(yīng)思想，使學(xué)生化繁為簡地思考問題，從而找到解題思路。因此，教學(xué)中，教師要通過觀察、操作、比較、類推等數(shù)學(xué)活動，有計劃地滲透對應(yīng)思想，培養(yǎng)學(xué)生的直覺思維，提高分析、理解和解答應(yīng)用題的能力。如：“工程隊修一條公路，第一周修了40米，第二周修了50米，還剩下55%沒修。這條公路全長多少米？”通過畫線段圖：“1”剩下55%40米 50米全長？米學(xué)生從圖中一目了然看出：這條公路的55%和剩下的米數(shù)對應(yīng)，這條公路的（1-55%）與兩周修的（40+50）米對應(yīng)，這樣使問題明朗化，學(xué)生能比較直觀地找準(zhǔn)數(shù)量關(guān)系，從而輕易地解決，并在不知不覺中發(fā)展對應(yīng)思想。（四）滲透變換的思想方法變換思想是將一種思維形式轉(zhuǎn)變成另一種思維形式的數(shù)學(xué)思想。它具有化復(fù)雜為簡單、化抽象為直觀、化生疏為熟悉等作用，以溝通數(shù)學(xué)知識間的聯(lián)系，是數(shù)學(xué)中常見的思想方法。尤其在分?jǐn)?shù)乘除法應(yīng)用題教學(xué)時經(jīng)常要求學(xué)生把復(fù)雜分?jǐn)?shù)應(yīng)用題中的數(shù)量關(guān)系熟練地轉(zhuǎn)化為簡單應(yīng)用題的數(shù)量關(guān)系，同樣分?jǐn)?shù)應(yīng)用題與份數(shù)、比、按比例分配應(yīng)用題也都有內(nèi)在聯(lián)系，可以互相轉(zhuǎn)化，拓展學(xué)生解題思路。在教學(xué)中，教師應(yīng)把隱含于數(shù)學(xué)知識中的轉(zhuǎn)化思想充分揭示出來，利用各種手段加以滲透，使學(xué)生在解決問題過程中發(fā)散思維，學(xué)會新知。如：稍復(fù)雜分?jǐn)?shù)應(yīng)用題教學(xué)中就要求學(xué)生把關(guān)鍵條件進(jìn)行順利轉(zhuǎn)化：六年級人數(shù)比五年級少1/5，可以變換成以下兩種說法，一是以五年級人數(shù)為單位1，六年級比五年級少的人數(shù)正好是五年級的1/5；二是六年級人數(shù)是五年級的4/5，即（1-1/5）。這樣如果再添上條件已知五年級人數(shù)240人，求六年級比五年級少的人數(shù)就是求240的1/5是多少，如果求六年級是多少人，就是求240人的（1-4/5）是多少。如換成六年級有240人，求五年級有多少人。就變成已知五年級人數(shù)的4/5是六年級240人，求五年級用240（1-1/5）。同樣教師對習(xí)題的設(shè)計及選擇應(yīng)該從變換的角度加以考慮，通過揭示已知條件與問題之間的聯(lián)系與變換，增加一題多變練習(xí)，以發(fā)現(xiàn)解題的關(guān)鍵步驟，形成解題方法。例如，在分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的教學(xué)中，可以提供學(xué)生三條信息：張麗看一本160頁的故事書，第一天看了全書的20%，第二天看了全書的1/4。問學(xué)生，可以解決哪些數(shù)學(xué)問題。學(xué)生由一步思考發(fā)展到兩步、三步思考。（1）第一天看幾頁？（2）第二天看幾頁？（3）兩天看了全書的百分之幾？（4）第二天比第一天多看全書的百分之幾？（5）還剩下全書的幾分之幾沒看？（6）兩天共看了多少頁？（7）第一天比第二天少看多少頁？（8）還剩下多少頁沒看？等。這樣不斷地讓學(xué)生變換問題，提高了對分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的理解和辨別能力，無形中滲透了變換思想，還滲透了比較、對應(yīng)等數(shù)學(xué)思想。（五）滲透數(shù)學(xué)建模思想數(shù)學(xué)建模是指根據(jù)具體問題，在一定假設(shè)條件下找出解決這個問題的數(shù)學(xué)框架，求出模型的解，并對它進(jìn)行驗證的全過程。新課程提出了課堂教學(xué)從傳統(tǒng)的集中于數(shù)學(xué)的內(nèi)容方面，轉(zhuǎn)變到數(shù)學(xué)的過程方面，其核心是給學(xué)生提供機(jī)會、創(chuàng)造機(jī)會，通過“問題情境建立數(shù)學(xué)模型解釋、應(yīng)用、拓展”的學(xué)習(xí)過程。教學(xué)過程中進(jìn)行數(shù)學(xué)建模思想的滲透，不僅可以使學(xué)生體會到數(shù)學(xué)并非只是一門抽象的學(xué)科，而且可以使學(xué)生感覺到利用數(shù)學(xué)建模的思想結(jié)合數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問題的妙處，進(jìn)而對數(shù)學(xué)產(chǎn)生更大的興趣。我們在分?jǐn)?shù)乘除法應(yīng)用題教學(xué)時一方面，教師要給學(xué)生足夠的空間獨(dú)立思考，嘗試從不同的角度去尋求解決問題的方法，使他們體驗到解決問題策略的多樣性。另一方面在解決問題的過程中，引導(dǎo)學(xué)生師生互動，生生互動，使學(xué)生獲取教科書中未能表達(dá)的知識層面，善于比較不同解題策略之間的差異，獲得解決問題的經(jīng)驗建構(gòu)應(yīng)用題條件中蘊(yùn)涵的數(shù)量關(guān)系模型來思考解題方法。例如稍復(fù)雜分?jǐn)?shù)除法應(yīng)用題教學(xué)中學(xué)生開始不習(xí)慣于用用建立數(shù)量關(guān)系來思考，導(dǎo)致錯誤解答，組織學(xué)生討論，引出用建構(gòu)數(shù)量關(guān)系去思考比較成功。例題“學(xué)校六月份用水210噸，比五月份節(jié)約了1/8，五月份用水多少噸？”讓學(xué)生嘗試計算后，學(xué)生很快得出以下算法：210-2101/8、210+2101/8等，這樣計算的學(xué)生還占大部分，當(dāng)然也有210（1-1/8）。于是我組織學(xué)生及時進(jìn)行討論，自然暴露了前兩種思路的錯誤所在，因為這里的1/8不是六月份用水量的1/8。那么究竟怎樣思考才能正確呢？我又請用210（1-1/8）計算的學(xué)生來分析，他們抓住“比五月份節(jié)約1/8”建構(gòu)了五月份用水量（1-1/8）=六月份用水量的數(shù)量關(guān)系，所以已知六月份用水量求五月份用除法計算，得到同學(xué)的認(rèn)可后，我及時組織學(xué)生討論，得出：一般解決分?jǐn)?shù)（百分?jǐn)?shù)）乘除應(yīng)用題要先建構(gòu)數(shù)學(xué)模型數(shù)量關(guān)系式，然后根據(jù)已知條件與問題確定算法，這樣比較快。當(dāng)然這需要培養(yǎng)學(xué)生列數(shù)量關(guān)系式的能力：如“修一條公路 ，已修全長的” 可以引導(dǎo)學(xué)生建立以下的數(shù)量關(guān)系模型：全長已修的長度；全長（）剩下的長度；全長（）剩下的比已修的多的長度。這樣在學(xué)生學(xué)習(xí)知識的過程中自然而然地滲透數(shù)學(xué)建模的思想和培養(yǎng)建構(gòu)模型的能力，并運(yùn)用數(shù)學(xué)建模的思想提高了學(xué)生解決問題的能力。（六）滲透比較的思想方法比較是把事物的個別屬性加以分析、綜合，而后確定他們之間的異同，從而得出一定規(guī)律的數(shù)學(xué)思想方法，是一切理解和思維的基礎(chǔ)，這種思想在解題時運(yùn)用十分廣泛。學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)乘除應(yīng)用題時，需要對幾種不同形式的應(yīng)用題進(jìn)行縱橫比較，設(shè)計相應(yīng)的題組對比練習(xí)，找出它們之間的異同，加深對不同數(shù)量關(guān)系的理解，從而提高解題的熟練程度。例如學(xué)了已知比一個數(shù)少幾分之幾的數(shù)是多少后，安排學(xué)生先練后比較題組：東方小學(xué)有男生216人，男生占全校總?cè)藬?shù)的60%。全校有學(xué)生多少人？東方小學(xué)有男生216人，女生占全?？?cè)藬?shù)的40%。全校有學(xué)生多少人？學(xué)生獨(dú)立練習(xí)得出21660%216（1-40%）于是讓學(xué)生比較：為什么第一題直接除以60%，而第二題要除以（1-40%）呢？（因為第一題216人已經(jīng)直接告訴我們占總?cè)藬?shù)的60%。而第二題216人沒有直接告訴占學(xué)校總?cè)藬?shù)的百分之幾，所以要用（1-40%）求出占總?cè)藬?shù)百分之幾。）那么今后在解這樣的題時要注意什么呢？（要先找到已知數(shù)量占單位1的百分之幾，即找準(zhǔn)已知數(shù)量與倍數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，不可盲目相除），這不僅滲透了比較思想，還滲透了對應(yīng)的思想。因此教師對于這樣的習(xí)題，訓(xùn)練中千萬不可走過場，要充分發(fā)揮比較的價值，促進(jìn)學(xué)生解決問題后的深入思考。除課本上的對比練習(xí)外，可以補(bǔ)充針對性習(xí)題，使學(xué)生分清易混題的區(qū)別。如題中的已知數(shù)量相同，但數(shù)量表示的意義不同。楊樹的棵數(shù)是松樹的，楊樹有棵，松樹有多少棵？楊樹的棵數(shù)是松樹的，楊樹比松樹少棵，松樹有多少棵？題中的已知分率相同，但分率表示的意義不同。紅糖比白糖多千克，比白糖重量少，白糖有多少千克？白糖比紅糖少千克，少，白糖有多少千克？三、滲透的注意點(diǎn)1、數(shù)學(xué)知識、思想、方法是相互聯(lián)系、相互依存、相互交融的統(tǒng)一體。數(shù)學(xué)知識是數(shù)學(xué)思想方法的載體。因此，數(shù)學(xué)思想方法的滲透必須要與數(shù)學(xué)知識、技能教學(xué)同步進(jìn)行。2、要精心設(shè)計，有機(jī)結(jié)合，自然滲透，潛移默化地啟發(fā)學(xué)生領(lǐng)悟蘊(yùn)含于數(shù)學(xué)之中的種種數(shù)學(xué)思想方法，切忌生搬硬套，和盤托出，脫離實(shí)際等錯誤做法。要根據(jù)“數(shù)學(xué)思想方法隱含于數(shù)學(xué)之中”的特點(diǎn)，滲透應(yīng)遵循下列模式：操作掌握領(lǐng)悟。針對不同的數(shù)學(xué)內(nèi)容，靈活設(shè)計教法，積極引導(dǎo)學(xué)生在主動探究數(shù)學(xué)知識的過程中，領(lǐng)悟和掌握數(shù)學(xué)思想方法。3、注重滲透的反復(fù)性。數(shù)學(xué)思想方法是在啟發(fā)學(xué)生思維過程中逐步積累和形成的。為此，在教學(xué)中，首先要特別強(qiáng)調(diào)解決問題以后的“反思”，因為在這個過程中提煉出來的數(shù)學(xué)思想方法，對學(xué)生來說才是易于體會、易于接受的。如通過分?jǐn)?shù)和百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題有規(guī)律的對比板演，指導(dǎo)學(xué)生小結(jié)解答這類應(yīng)用題的關(guān)鍵，找到具體數(shù)量的對應(yīng)倍數(shù)，從而使學(xué)生自己體驗到對應(yīng)思想和化歸思想。其次要注意滲透的長期性，應(yīng)該看到，對學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法的滲透不是一朝一夕就能見到學(xué)生數(shù)學(xué)能力提高的，而是有一個過程。4、滲透數(shù)學(xué)思想要與解決實(shí)際問題相聯(lián)系。要把生活中鮮活的題材引入學(xué)習(xí)的課堂，甚至走進(jìn)社會這個大課堂，讓學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法解決實(shí)際問題，體驗到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的價值，感悟到掌握數(shù)學(xué)思想方法的價值。另外，由于小學(xué)生的認(rèn)知能力的限制，只能將部分重要的數(shù)學(xué)思想方法潛移默化地滲透到教學(xué)過程中去，滲透要求不宜過高。四、取得的效果1、學(xué)生數(shù)學(xué)審美情趣有所提高，學(xué)習(xí)興趣濃厚。數(shù)學(xué)美是一種理性的美、抽象形式的美。數(shù)學(xué)思想方法中的建模思想體現(xiàn)了簡潔性；類比思想充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識的統(tǒng)一性；數(shù)形結(jié)合與類比思想，體現(xiàn)了知識結(jié)構(gòu)統(tǒng)一的美，等等。學(xué)生領(lǐng)悟了數(shù)學(xué)美，解題思路簡潔清晰，語言表達(dá)簡單明晰，操作設(shè)計美觀和諧。使學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生了較為持久地濃厚興趣，學(xué)習(xí)的積極性明顯增強(qiáng)，舉手發(fā)言積極，學(xué)生學(xué)起數(shù)學(xué)來感覺輕松多了。據(jù)課堂觀察，部分學(xué)習(xí)困難學(xué)生在學(xué)習(xí)應(yīng)用題時變得主動而更有信心了，打消了他們的恐懼感。2、學(xué)生的探究能力增強(qiáng)。掌握一定的數(shù)學(xué)思想方法能有效指導(dǎo)學(xué)生掌握學(xué)習(xí)方法，從而大大提高了學(xué)生解決分?jǐn)?shù)乘除法應(yīng)用題的能力。特別是遇到比較困難的思考題，學(xué)生都能自己動腦思考，而且學(xué)生思維很發(fā)散。如：習(xí)題中“一條公路