二重積分的定義.ppt

定積分中會求平行截面面積為已知的 一般立體的體積如何求 先從曲頂柱體的體積開始 而曲頂柱體的體積的計(jì)算問題 一般立體的體積可分成一些比較簡單的 回想 立體的體積 旋轉(zhuǎn)體的體積 曲頂柱體的體積 二重積分的一個模型 可作為 第九章重積分 第一節(jié)二重積分的概念與性質(zhì) 曲頂柱體體積 特點(diǎn) 1 曲頂柱體的體積 困難 曲頂柱體 以xOy面上的閉區(qū)域D為底 D的邊界曲線為準(zhǔn)線而母線平行于z軸的柱面 側(cè)面以 頂是曲面 且在D上連續(xù) 曲頂 頂是曲的 柱體體積 特點(diǎn) 分析 曲邊梯形面積是如何求 以直代曲 如何創(chuàng)造條件使 解決問題的思路 步驟與 回憶 思想是 分割 平頂 平 曲 這對矛盾互相轉(zhuǎn)化 與 以不變代變 曲邊梯形面積 的求法類似 取近似 求和 取極限 底面積 高 步驟如下 用若干個小平頂柱體體積之和 先任意分割曲頂柱體的底 曲頂柱體的體積 并任取小區(qū)域 近似表示 曲頂柱體的體積 1 分割 相應(yīng)地此曲頂 柱體分為n個小曲頂柱體 2 取近似 第i個小曲頂柱體的體積的近似式 用表示第i個子域的面積 將域D任意分為n個子域 在每個子域內(nèi)任取一點(diǎn) 3 求和 即得曲頂柱體體積的近似值 4 取極限 趨于零 求n個小平頂柱體體積之和 令n個子域的直徑中的最大值 記作 上述和式的極限即為曲頂柱體體積 2 非均勻平面薄片的質(zhì)量 1 將薄片分割成n個小塊 看作均勻薄片 2 3 4 設(shè)有一平面薄片 求平面薄片的質(zhì)量M 占有xOy面上的閉區(qū)域D 在點(diǎn) x y 處的面密度為 上連續(xù) 二重積分的定義 將區(qū)域D任意分成n個小區(qū)域 任取一點(diǎn) 若存在一個常數(shù)I 使 可積 在D上的二重積分 積分和 是定義在有界區(qū)域D上的有界函數(shù) 機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束 引例1中曲頂柱體體積 引例2中平面薄板的質(zhì)量 如果在D上可積 也常 二重積分記作 這時 分區(qū)域D 因此面積元素 可用平行坐標(biāo)軸的直線來劃 記作 機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束 二重積分可寫為 定積分中 1 重積分與定積分的區(qū)別 重積分中 可正可負(fù) 則面積元素為 D 二重積分的存在定理 設(shè)f x y 是有界閉區(qū)域D上的連續(xù)函數(shù) 存在 連續(xù)函數(shù)一定可積 注 今后的討論中 積分區(qū)域內(nèi)總是連續(xù)的 或是分片連續(xù)函數(shù)時 則 都假定被積函數(shù)在相應(yīng)的 2 二重積分的幾何意義 3 1 在D上的二重積分就等于 二重積分是 二重積分是 而在其它的部分區(qū)域上是負(fù)的 這些部分區(qū)域上的 柱體體積的代數(shù)和 那末 柱體體積的負(fù)值 柱體體積 在D上的若干部分區(qū)域上是正的 例設(shè)D為圓域 二重積分 解 上述積分等于 由二重積分的幾何意義可知 是上半球面 上半球體的體積 R D 性質(zhì)1 為常數(shù) 則 二重積分與定積分有類似的性質(zhì) 二重積分的性質(zhì) 根據(jù)二重積分的幾何意義 確定積分值 練習(xí) 以1為高的 性質(zhì)2 將區(qū)域D分為兩個子域 性質(zhì)3 若為D的面積 D1 D2 既可看成是以D為底 柱體體積 對積分區(qū)域的可加性質(zhì) D 又可看成是D的面積 特殊地 性質(zhì)4 比較性質(zhì) 設(shè) 則 例 的值 A 為正 B 為負(fù) C 等于0 D 不能確定 為負(fù) B 幾何意義 以m為高和以M為高的兩個 證 再用性質(zhì)1和性質(zhì)3 性質(zhì)5 估值性質(zhì) 則 為D的面積 則曲頂柱體 的體積介于以D為底 平頂柱體體積之間 證畢 性質(zhì)6 二重積分中值定理 體積等于 顯然 幾何意義 證 D上連續(xù) 為D的面積 則在D上至少存在一點(diǎn) 使得 則曲頂柱體 以D為底 為高的平頂柱體體積 將性質(zhì)5中不等式各除以 有 的最大值M與最小值m之間的 由閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的介值定理 兩端各乘以 點(diǎn)的值 證畢 即是說 確定的數(shù)值 是介于函數(shù) 在D上至少存在一點(diǎn) 使得函數(shù)在該 與這個確定的數(shù)值相等 即 以任意方式將區(qū)域D分割成 二重積分的幾何背景 曲頂柱體的母線平行于Oz軸 下底是xOy平面上的區(qū)域D 上頂是曲面S z f x y 其中f x y 0 求這個曲頂柱體的體積 解 表示它們的面積 任取一個小區(qū)域 Di 將以 Di為底 曲面S為頂?shù)那斨w 于是整個曲頂柱體就被分成若干小的曲頂柱體 并且在 Di內(nèi)任取一點(diǎn)Pi 若干小區(qū)域 地看作是以 Di為底 高度等于f Pi 柱體 因此這個小柱體的體積近似地等于 各個小柱體的體積之和 表示 Di的直徑 i 1 2 n 如果這個和式存在極限 那么這個極限值就是曲頂柱體的體積 這個方法的意義不僅在于求曲頂柱體的體積 而是給出了求連續(xù)變量之和的一種普遍的方法 就是整個柱體體積的近似值 二重積分背景之二 質(zhì)量非均勻分布的薄板的質(zhì)量 設(shè)xOy平面上有一塊薄板 用D表示薄板所占據(jù)的平面區(qū)域 假設(shè)薄板上任一點(diǎn) x y 處 方法 以任意方式將區(qū)域D分割成若干小區(qū)域 它們的面積表示為 任取一個小區(qū)域 Di 并且在 Di內(nèi)任取一點(diǎn)Pi Di的平均質(zhì)量密度近似的等于m Pi 于是