鍋爐輔助設(shè)備第一章.ppt

第五章線性系統(tǒng)的頻域分析法 第五章 一 頻率特性 1 頻率特性 考察一個(gè)系統(tǒng)的好壞 通常用階躍信號(hào)輸入下系統(tǒng)的階躍響應(yīng)來分析系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能 有時(shí)也用正弦信號(hào)輸入時(shí)系統(tǒng)的響應(yīng)來分析 但這種響應(yīng)并不是單看某一個(gè)頻率的正弦信號(hào)輸入時(shí)的瞬態(tài)響應(yīng) 而是考察頻率由低到高無數(shù)個(gè)正弦信號(hào)輸入下所對(duì)應(yīng)的每個(gè)輸出的穩(wěn)態(tài)響應(yīng) 因此 這種響應(yīng)也叫頻率響應(yīng) 頻率響應(yīng)的概念 問題 對(duì)于線性定常系統(tǒng) 輸入是正弦信號(hào) 輸出信號(hào)的穩(wěn)態(tài)值 在正弦信號(hào)作用下 系統(tǒng)響應(yīng)特性 在不同頻率正弦信號(hào)作用下 系統(tǒng)響應(yīng)特性 頻率特性的概念 線性定常系統(tǒng) 當(dāng)輸入為正弦信號(hào)時(shí) 其輸出的穩(wěn)態(tài)分量一定是同頻率的正弦信號(hào) 當(dāng)然 正弦信號(hào)的幅值和相位會(huì)有所不同 且幅值比與相位差均是頻率的函數(shù) 定義 對(duì)于線性定常系統(tǒng) 在正弦信號(hào)的作用下 輸出的穩(wěn)態(tài)分量與輸入的復(fù)數(shù)比 稱為系統(tǒng)的頻率特性 討論正弦信號(hào)作用下系統(tǒng)響應(yīng)的一般規(guī)律 先看一個(gè)熟悉的例子 請(qǐng)注意輸入輸出信號(hào)之間幅值與相位的關(guān)系 并將之與傳遞函數(shù)對(duì)照 不難發(fā)現(xiàn) 輸出的穩(wěn)態(tài)信號(hào)與輸入信號(hào)相比 傳遞函數(shù) 輸入 輸出的穩(wěn)態(tài) 問題 這一結(jié)論是巧合還是必然 結(jié)論是肯定的 另一方面 令傳遞函數(shù)中則 幅值比 放大倍數(shù) 相位差 超前角 證明 設(shè)穩(wěn)定線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)當(dāng)系統(tǒng)輸入為諧波信號(hào)即系統(tǒng)輸出的拉氏變換為其中sk k 3 4 的實(shí)部為負(fù)數(shù) 且 因?yàn)橄到y(tǒng)穩(wěn)定 輸出響應(yīng)穩(wěn)態(tài)分量為 證明 去掉中間過程 設(shè)穩(wěn)定線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為當(dāng)系統(tǒng)輸入為諧波信號(hào)系統(tǒng)輸出響應(yīng)穩(wěn)態(tài)分量為兩相對(duì)照立即可得于是 依定義 系統(tǒng)的頻率特性是這就是要證的結(jié)論 頻率特性的傅氏定義 穩(wěn)定系統(tǒng)的頻率特性等于輸出和輸入的傅氏變換之比 性質(zhì) G j 是G s 中令s j 所得的復(fù)向量 頻率特性也是一種數(shù)學(xué)模型 頻率特性的三種表示方法 指數(shù)形式 三角式 代數(shù)式 U G j 的實(shí)部 實(shí)頻特性V G j 的虛部 虛頻特性 頻率特性物理意義明確 在工程應(yīng)用中很廣泛 獲取方便 試驗(yàn)方法 頻率特性是從正弦的穩(wěn)態(tài)相應(yīng)求出的 但表示的是系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性 頻率特性是指時(shí)的頻率響應(yīng) 在某一頻率下的響應(yīng)不能表示系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性 從穩(wěn)態(tài)響應(yīng)測(cè)頻率特性 給試驗(yàn)獲取頻率特性提供了方便 但不穩(wěn)定系統(tǒng)頻率特性是觀察不到的 微分方程 傳遞函數(shù) 脈沖響應(yīng)函數(shù)和頻率特性之間的關(guān)系如下 結(jié)論 當(dāng)傳遞函數(shù)中的復(fù)變量s用jw代替時(shí) 傳遞函數(shù)就轉(zhuǎn)變?yōu)轭l率特性 反之亦然 例子 設(shè)傳遞函數(shù)為 微分方程為 頻率特性為 頻率特性可以寫成復(fù)數(shù)形式 也可以寫成指數(shù)形式 其中 為實(shí)頻特性 為虛頻特性 為幅頻特性 為相頻特性 在控制工程中 頻率分析法常常是用圖解法進(jìn)行分析和設(shè)計(jì)的 因此有必要介紹常用的頻率特性的四種圖解表示 幅頻特性 相頻特性曲線極坐標(biāo)頻率特性曲線 又稱奈魁斯特Nyquist曲線 對(duì)數(shù)頻率特性曲線 又稱波德Bode圖 對(duì)數(shù)幅相特性曲線 又稱尼柯爾斯Nichols圖 2 頻率特性的幾何表示法 1 幅頻特性 相頻特性曲線 2 極坐標(biāo)頻率特性曲線 又稱奈魁斯特曲線 它是在復(fù)平面上用一條曲線表示由時(shí)的頻率特性 即用矢量的端點(diǎn)軌跡形成的圖形 是參變量 在曲線的上的任意一點(diǎn)可以確定實(shí)頻 虛頻 幅頻和相頻特性 極坐標(biāo)圖是以開環(huán)頻率特性的實(shí)部為直角坐標(biāo)橫坐標(biāo) 以其虛部為縱坐標(biāo) 以w為參變量畫出幅值與相位之間的關(guān)系 根據(jù)頻率特性和傳遞函數(shù)的關(guān)系 可知 頻率特性曲線是S平面上變量s沿正虛軸變化時(shí)在G s 平面上的映射 由于幅頻特性是w的偶函數(shù) 而相頻特性是w的奇函數(shù) 所以當(dāng)w從0 的頻率特性曲線和w從 0的頻率特性曲線是對(duì)稱于實(shí)軸的 極坐標(biāo)圖的優(yōu)點(diǎn)是可在一張圖上繪出整個(gè)頻率域的頻率響應(yīng)特性 缺點(diǎn)是不能明顯地表示出開環(huán)傳遞函數(shù)中每個(gè)典型環(huán)節(jié)的作用 3 對(duì)數(shù)頻率特性曲線 波德圖 Bode圖 Bode圖由對(duì)數(shù)幅頻特性和對(duì)數(shù)相頻特性兩條曲線組成 波德圖坐標(biāo) 橫坐標(biāo)是頻率 縱坐標(biāo)是幅值和相角 的分度 橫坐標(biāo) 稱為頻率軸 分度 它是以頻率w的對(duì)數(shù)值logw進(jìn)行線性分度的 但為了便于觀察仍標(biāo)以w的值 因此對(duì)w而言是非線性刻度 w每變化十倍 橫坐標(biāo)變化一個(gè)單位長(zhǎng)度 稱為十倍頻程 或十倍頻 用dec表示 類似地 頻率w的數(shù)值變化一倍 橫坐標(biāo)就變化0 301單位長(zhǎng)度 稱為 倍頻程 用oct表示 如下圖所示 由于w以對(duì)數(shù)分度 所以零頻率點(diǎn)在 處 更詳細(xì)的刻度如下圖所示 縱坐標(biāo)分度 對(duì)數(shù)幅頻特性曲線的縱坐標(biāo)以L w 20logA w 表示 其單位為分貝 dB 直接將20logA w 值標(biāo)注在縱坐標(biāo)上 相頻特性曲線的縱坐標(biāo)以度或弧度為單位進(jìn)行線性分度 一般將幅頻特性和相頻特性畫在一張圖上 使用同一個(gè)橫坐標(biāo) 頻率軸 當(dāng)幅制特性值用分貝值表示時(shí) 通常將它稱為增益 幅值和增益的關(guān)系為 增益 20log 幅值 使用對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖的優(yōu)點(diǎn) 可以展寬頻帶 頻率是以10倍頻表示的 因此可以清楚的表示出低頻 中頻和高頻段的幅頻和相頻特性 可以將乘法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為加法運(yùn)算 所有的典型環(huán)節(jié)的頻率特性都可以用分段直線 漸近線 近似表示 對(duì)實(shí)驗(yàn)所得的頻率特性用對(duì)數(shù)坐標(biāo)表示 并用分段直線近似的方法 可以很容易的寫出它的頻率特性表達(dá)式 RC網(wǎng)絡(luò)中取 其對(duì)數(shù)頻率特性曲線如圖所示 一階RC網(wǎng)絡(luò)的伯德圖 4 對(duì)數(shù)幅相特性曲線 又稱尼柯爾斯圖 尼柯爾斯圖是將對(duì)數(shù)幅頻特性和相頻特性兩條曲線合并成一條曲線 橫坐標(biāo)為相角特性 單位度或弧度 縱坐標(biāo)為對(duì)數(shù)幅頻特性 單位分貝 橫 縱坐標(biāo)都是線性分度 二 典型環(huán)節(jié)與開環(huán)系統(tǒng)頻率特性 典型環(huán)節(jié) 慣性環(huán)節(jié) 1 Ts 1 式中T 0 一階微分環(huán)節(jié) Ts 1 式中T 0 振蕩環(huán)節(jié) 1 s n 2 2 s n 1 式中 n 0 0 1 比例環(huán)節(jié) K K 0 積分環(huán)節(jié) 1 s 純微分環(huán)節(jié) s 二階微分環(huán)節(jié) s n 2 2 s n 1 式中 n 0 0 1 最小相位環(huán)節(jié) 零 極點(diǎn)在源點(diǎn)或S平面左半平面 最小相位系統(tǒng)非與最小相位系統(tǒng) 最小相位傳遞函數(shù) 非最小相位傳遞函數(shù) 在右半s平面內(nèi)既無極點(diǎn)也無零點(diǎn)的傳遞函數(shù) 在右半s平面內(nèi)有極點(diǎn)和 或 零點(diǎn)的傳遞函數(shù) 最小相位系統(tǒng) 非最小相位系統(tǒng) 具有最小相位傳遞函數(shù)的系統(tǒng) 具有非最小相位傳遞函數(shù)的系統(tǒng) 非最小相位環(huán)節(jié) 比例環(huán)節(jié) K K0 一階微分環(huán)節(jié) Ts 1 式中T 0 振蕩環(huán)節(jié) 1 s n 2 2 s n 1 式中 n 0 00 0 1 延遲環(huán)節(jié) K 1 比例環(huán)節(jié) 1 典型環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖 比例環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖為實(shí)軸上的K點(diǎn) 頻率特性 2 積分環(huán)節(jié)的頻率特性 積分環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖為負(fù)虛軸 頻率w從0 特性曲線由虛軸的 趨向原點(diǎn) 若考慮負(fù)頻率部分 當(dāng)頻率w從 0 特性曲線由虛軸的原點(diǎn)趨向 3 慣性環(huán)節(jié)的頻率特性 極坐標(biāo)圖是一個(gè)圓 對(duì)稱于實(shí)軸 證明如下 整理得 下半個(gè)圓對(duì)應(yīng)于正頻率部分 而上半個(gè)圓對(duì)應(yīng)于負(fù)頻率部分 實(shí)頻 虛頻 幅頻和相頻特性分別為 討論時(shí)的情況 當(dāng)K 1時(shí) 頻率特性為 4 振蕩環(huán)節(jié)的頻率特性 當(dāng)時(shí) 曲線在3 4象限 當(dāng)時(shí) 與之對(duì)稱于實(shí)軸 實(shí)際曲線還與阻尼系數(shù)有關(guān) 由圖可見無論是欠阻尼還是過阻尼系統(tǒng) 其圖形的基本形狀是相同的 當(dāng)時(shí) 有諧振峰值 微分環(huán)節(jié)有三種 純微分 一階微分和二階微分 傳遞函數(shù)分別為 頻率特性分別為 5 微分環(huán)節(jié)的頻率特性 純微分環(huán)節(jié) 微分環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖為正虛軸 頻率w從0 特性曲線由原點(diǎn)趨向虛軸的 一階微分 一階微分環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖為平行于虛軸的直線 頻率w從0 特性曲線相當(dāng)于純微分環(huán)節(jié)的特性曲線向右平移一個(gè)單位 二階微分環(huán)節(jié) 幅頻和相頻特性為 極坐標(biāo)圖是一個(gè)圓心在原點(diǎn) 半徑為1的圓 6 延遲環(huán)節(jié)的頻率特性 傳遞函數(shù) 頻率特性 幅頻特性 相頻特性 2 開環(huán)系統(tǒng)極坐標(biāo)頻率特性的繪制 繪制奈氏圖 設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)由若干典型環(huán)節(jié)串聯(lián) 開環(huán)頻率特性 系統(tǒng)開環(huán)幅頻和相頻分別為 系統(tǒng)的開環(huán)極坐標(biāo)圖是當(dāng)從變化 頻率特性向量端點(diǎn)的運(yùn)行軌跡 繪制極坐標(biāo)圖當(dāng)然可以選一些頻率點(diǎn) 逐點(diǎn)計(jì)算的幅值和相角 然后用光滑曲線連接起來 然而 這樣作極坐標(biāo)圖非常麻煩 且沒有必要 事實(shí)上 只需要作概略圖即可 作極坐標(biāo)概略圖的基本方法步驟 1 確定起始點(diǎn)和終止點(diǎn) 極坐標(biāo)圖與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)至關(guān)重要 與虛軸和正實(shí)軸的交點(diǎn)則不那么重要 甚至可以不求 2 確定極坐標(biāo)圖與實(shí)軸和虛軸的交點(diǎn) 3 確定角度變化范圍 例1 系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 要求繪制它的幅相曲線 解 系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為 開環(huán)幅相曲線的終點(diǎn)為 1 開環(huán)幅相曲線的起點(diǎn)為 2 與實(shí)軸交點(diǎn) 令虛部等于零得到 與虛軸交點(diǎn) 令實(shí)部等于零得到 3 確定角度變化范圍 解 系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為 開環(huán)幅相曲線的終點(diǎn)為 1 開環(huán)幅相曲線的起點(diǎn)為 例 2某零型控制系統(tǒng) 開環(huán)傳遞函數(shù)為 試概略繪制系統(tǒng)開環(huán)幅相圖 2 與實(shí)軸交點(diǎn) 令虛部等于零得到 與虛軸交點(diǎn) 令實(shí)部等于零得到 3 確定角度變化范圍 例3 某單位反饋系統(tǒng) 其開環(huán)傳遞函數(shù)為 試概略繪制系統(tǒng)的開環(huán)幅相曲線 解 系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為 開環(huán)幅相曲線的終點(diǎn)為 1 開環(huán)幅相曲線的起點(diǎn)為 2 與實(shí)軸交點(diǎn) 令虛部等于零得到 3 確定角度變化范圍 例4 系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 要求繪制它的幅相曲線 解 系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為 開環(huán)幅相曲線的終點(diǎn)為 1 開環(huán)幅相曲線的起點(diǎn)為 2 與實(shí)軸的交點(diǎn) 變化范圍 開環(huán)幅相曲線位于第 象限或第 與第 象限 開環(huán)幅相曲線位于第 與第 象限 3 確定角度變化范圍 對(duì)數(shù)幅頻特性 相頻特性 3 典型環(huán)節(jié)的波德圖 頻率特性 可見斜率為 20dB dec 2 積分環(huán)節(jié)的頻率特性 對(duì)數(shù)幅頻特性 為了圖示簡(jiǎn)單 采用分段直線近似表示 方法如下 低頻段 當(dāng)時(shí) 稱為低頻漸近線 高頻段 當(dāng)時(shí) 稱為高頻漸近線 這是一條斜率為 20dB Dec的直線 表示每增加10倍頻程下降20分貝 當(dāng)時(shí) 對(duì)數(shù)幅頻曲線趨近于低頻漸近線 當(dāng)時(shí) 趨近于高頻漸近線 低頻高頻漸近線的交點(diǎn)為 得 稱為轉(zhuǎn)折頻率或交換頻率 可以用這兩段漸近線近似的表示慣性環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性 3 慣性環(huán)節(jié)的頻率特性 圖中 紅 綠線分別是低頻 高頻漸近線 藍(lán)線是實(shí)際曲線 波德圖誤差分析 實(shí)際頻率特性和漸近線之間的誤差 當(dāng)時(shí) 誤差為 當(dāng)時(shí) 誤差為 最大誤差發(fā)生在處 為 相頻特性 作圖時(shí)先計(jì)算幾個(gè)特殊點(diǎn) 由圖不難看出相頻特性曲線在半對(duì)數(shù)坐標(biāo)系中對(duì)于 w0 45 點(diǎn)是斜對(duì)稱的 這是對(duì)數(shù)相頻特性的一個(gè)特點(diǎn) 當(dāng)時(shí)間常數(shù)T變化時(shí) 對(duì)數(shù)幅頻特性和對(duì)數(shù)相頻特性的形狀都不變 僅僅是根據(jù)轉(zhuǎn)折頻率1 T的大小整條曲線向左或向右平移即可 而當(dāng)增益改變時(shí) 相頻特性不變 幅頻特性上下平移 4 振蕩環(huán)節(jié)的頻率特性 討論時(shí)的情況 頻率特性為 幅頻特性為 相頻特性為 對(duì)數(shù)幅頻特性為 低頻段漸近線 高頻段漸近線 兩漸近線的交點(diǎn)稱為轉(zhuǎn)折頻率 w w0后斜率為 40dB Dec 由圖可見 對(duì)數(shù)幅頻特性曲線有峰值 對(duì)求導(dǎo)并令等于零 可解得的極值對(duì)應(yīng)的頻率 該頻率稱為諧振峰值頻率 可見 諧振峰值頻率與阻尼系數(shù)z有關(guān) 當(dāng)時(shí) 當(dāng)時(shí) 無諧振峰值 當(dāng)時(shí) 有諧振峰值 當(dāng) 因此在轉(zhuǎn)折頻率附近的漸近線依不同阻尼系數(shù)與實(shí)際曲線可能有很大的誤差 由幅頻特性 幅值與的關(guān)系 左圖是不同阻尼系數(shù)情況下的對(duì)數(shù)幅頻特性和對(duì)數(shù)相頻特性圖 上圖是不同阻尼系數(shù)情況下的對(duì)數(shù)幅頻特性實(shí)際曲線與漸近線之間的誤差曲線 當(dāng)0 3 z 0 8 誤差約為 4dB 相頻特性 幾個(gè)特征點(diǎn) 相頻特性曲線在半對(duì)數(shù)坐標(biāo)中關(guān)于 w0 90 點(diǎn)是斜對(duì)稱的 這里要說明的是當(dāng)時(shí) 當(dāng)時(shí) 此時(shí)若根據(jù)相頻特性的表達(dá)式用計(jì)算器來計(jì)算只能求出 90 之間的值 tg 1函數(shù)的主值范圍 也就是說當(dāng)時(shí) 用計(jì)算器計(jì)算的結(jié)果要經(jīng)過轉(zhuǎn)換才能得到 即當(dāng)時(shí) 用計(jì)算器計(jì)算的結(jié)果要減180 才能得到 或用下式計(jì)算 5 微分環(huán)節(jié)的頻率特性 微分環(huán)節(jié)有三種 純微分 一階微分和二階微分 傳遞函數(shù)分別為 頻率特性分別為 純微分 一階微分 這是斜率為 20dB Dec的直線 低 高頻漸近線的交點(diǎn)為 相頻特性 幾個(gè)特殊點(diǎn)如下 相角的變化范圍從0到 一階微分環(huán)節(jié)的波德圖 慣性環(huán)節(jié)的波德圖 幅頻和相頻特性為 二階微分環(huán)節(jié) 低頻漸近線 高頻漸近線 轉(zhuǎn)折頻率為 高頻段的斜率 40dB Dec 6 延遲環(huán)節(jié)的頻率特性 傳遞函數(shù) 頻率特性 幅頻特性 相頻特性 對(duì)數(shù)幅頻特性 4 開環(huán)系統(tǒng)對(duì)數(shù)坐標(biāo)頻率特性的繪制 繪制波德圖 開環(huán)系統(tǒng)頻率特性為 寫成時(shí)間常數(shù)形式 幅頻特性 相頻特性 由以上的分析可得到開環(huán)系統(tǒng)對(duì)數(shù)頻率特性曲線的繪制方法 先畫出每一個(gè)典型環(huán)節(jié)的波德圖 然后各圖相加 例 開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為 試畫出該系統(tǒng)的波德圖 解 該系統(tǒng)由四個(gè)典型環(huán)節(jié)組成 一個(gè)比例環(huán)節(jié) 一個(gè)積分環(huán)節(jié)兩個(gè)慣性環(huán)節(jié) 手工將它們分別畫在一張圖上 然后 在圖上相加 實(shí)際上 畫波德圖不用如此麻煩 注意到 幅頻曲線由折線 漸進(jìn)線 組成 在轉(zhuǎn)折頻率處改變斜率 確定和各轉(zhuǎn)折頻率 并將這些頻率按小大順序依次標(biāo)注在頻率軸上 確定低頻漸進(jìn)線 就是第一條折線 其斜率為 過點(diǎn) 1 20logk 實(shí)際上是k和積分的曲線 具體步驟如下 將頻率特性寫為時(shí)間常數(shù)形式 高頻漸進(jìn)線的斜率為 20 n m dB dec 相頻特性還是需要點(diǎn)點(diǎn)相加 才可畫出 2 低頻漸進(jìn)線 斜率為 過點(diǎn) 1 20 3 波德圖如下 紅線為漸進(jìn)線 蘭線為實(shí)際曲線 解 1 2 低頻漸進(jìn)線斜率為 過 1 60 點(diǎn) 4 畫出波德圖如下頁 3 高頻漸進(jìn)線斜率為 紅線為漸進(jìn)線 蘭線為實(shí)際曲線 例 具有延遲環(huán)節(jié)的開環(huán)頻率特性為 試畫出波德圖 解 可見 加入了延遲環(huán)節(jié)的系統(tǒng)其幅頻特性不變 相位特性滯后了 例 已知 畫出其對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖 解 將傳函寫成時(shí)間常數(shù)形式 這可以看作是由五個(gè)典型環(huán)節(jié)構(gòu)成的 求20lgK 20dB 注意轉(zhuǎn)折頻率是時(shí)間常數(shù)的倒數(shù) 列表 w w L w j w 200 相頻特性 最小相角系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性一一對(duì)應(yīng) 只要根據(jù)其對(duì)數(shù)幅頻曲線就能寫出系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 如 最小相位系統(tǒng)對(duì)數(shù)幅頻漸近特性如圖所示 請(qǐng)確定系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 解 由圖知在低頻段漸近線斜率為0 故系統(tǒng)為0型系統(tǒng) 漸近特性為分段線性函數(shù) 在各交接頻率處 漸近特性斜率發(fā)生變化 在 0 1處 斜率從0dB dec變?yōu)?0dB dec 屬于一階微分環(huán)節(jié) 在 1處 斜率從20dB dec變?yōu)?dB dec 屬于慣性環(huán)節(jié) 在 2處 斜率從0dB dec變?yōu)?20dB dec 屬于慣性環(huán)節(jié) 在 3處 斜率從 20dB dec變?yōu)?40dB dec 屬于慣性環(huán)節(jié) 在 4處 斜率從 40dB dec變?yōu)?60dB dec 屬于慣性環(huán)節(jié) 因此系統(tǒng)的傳遞函數(shù)具有下述形式 式中K 1 2 3 4待定 由20lgK 30得K 31 62 確定 1 確定 4 4 82 54 確定 2 于是 所求的傳遞函數(shù)為 1 0 316 確定 3 3 34 81 2 3 481 三 頻域穩(wěn)定判據(jù) 1 引言 閉環(huán)穩(wěn)定性 勞斯判據(jù) 穩(wěn)定程度 奈氏判據(jù) 用開環(huán)頻率特性判斷閉環(huán)穩(wěn)定 穩(wěn)定度動(dòng)態(tài)性能 奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)是用開環(huán)頻率特性判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性 不僅能判斷系統(tǒng)的絕對(duì)穩(wěn)定性 而且可根據(jù)相對(duì)穩(wěn)定的概念 討論閉環(huán)系統(tǒng)的瞬態(tài)性能 指出改善系統(tǒng)性能的途徑 設(shè)F s 為單值連續(xù)的復(fù)變函數(shù) 幅角原理 F s 曲線從B點(diǎn)開始 繞原點(diǎn)順時(shí)針方向轉(zhuǎn)了一圈 F s B 在s平面上任選一點(diǎn)A通過映射 F s 平面上F A 設(shè) s只包圍zi 不包圍也不通過任何極點(diǎn)和其他零點(diǎn) 從A點(diǎn)出發(fā)順時(shí)針轉(zhuǎn)一周回到A S平面封閉曲線順時(shí)針包圍F s 個(gè)極點(diǎn)F s 平面F s 曲線逆時(shí)針圍繞原點(diǎn)轉(zhuǎn)周 S平面封閉曲線順時(shí)針包圍F s 個(gè)零點(diǎn)F s 平面F s 曲線順時(shí)針圍繞原點(diǎn)轉(zhuǎn)周 一 一 n n S平面曲線順時(shí)針包圍F s P個(gè)極點(diǎn) Z個(gè)零點(diǎn) F s 平面F s 曲線逆時(shí)針圍繞原點(diǎn)的周數(shù)N P Z 一 一 n n 映射定理 當(dāng)復(fù)變量s沿封閉曲線順時(shí)針移動(dòng)一周 在F s 平面上的映射曲線逆時(shí)針包圍坐標(biāo)原點(diǎn)P Z周 設(shè)F s 是復(fù)變量s的一個(gè)單值解析函數(shù) s平面上的封閉曲線包圍了F s 的P個(gè)極點(diǎn)和Z個(gè)零點(diǎn) 且此曲線不經(jīng)過F s 的任一零點(diǎn)和極點(diǎn) 閉環(huán)極點(diǎn)與開環(huán)極點(diǎn)的關(guān)系 設(shè)負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 其中 為前向通道傳遞函數(shù) 為反饋通道傳遞函數(shù) 閉環(huán)傳遞函數(shù)為 如下圖所示 令 顯然 輔助方程即是閉環(huán)特征方程 其階數(shù)為n階 且分子分母同階 則輔助方程可寫成以下形式 式中 為F s 的零 極點(diǎn) 由 a b 及 c 式可以看出 F s 的極點(diǎn)為開環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn) F s 的零點(diǎn)為閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn) 建立了系統(tǒng)的開環(huán)極點(diǎn)和閉環(huán)極點(diǎn)與F s 的零極點(diǎn)之間的直接聯(lián)系 2 奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù) 對(duì)于一個(gè)控制系統(tǒng) 若其特征根處于s右半平面 則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的 對(duì)于上面討論的輔助方程 其零點(diǎn)恰好是閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn) 因此 只要搞清F s 的的零點(diǎn)在s右半平面的個(gè)數(shù) 就可以給出穩(wěn)定性結(jié)論 如果F s 的右半零點(diǎn)個(gè)數(shù)為零 則閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的 我們這里是應(yīng)用開環(huán)頻率特性研究閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性 因此開環(huán)頻率特性是已知的 輔助方程也已知 設(shè)想 如果有一個(gè)s平面的封閉曲線能包圍整個(gè)s右半平面 則根據(jù)柯西幅角原理知 該封閉曲線在F s 平面上的映射包圍原點(diǎn)的次數(shù)應(yīng)為 N F s 的右半極點(diǎn)數(shù) F s 的右半零點(diǎn)數(shù) 開環(huán)系統(tǒng)右半極點(diǎn)數(shù) 閉環(huán)系統(tǒng)右半極點(diǎn)數(shù) 當(dāng)已知開環(huán)右半極點(diǎn)數(shù)時(shí) 便可由N判斷閉環(huán)右極點(diǎn)數(shù) 1 G s H s 在虛軸上沒有零 極點(diǎn)的情況 閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定 按順時(shí)針方向做一條曲線包圍整個(gè)s右半平面 這條封閉曲線稱為奈奎斯特路徑 如下圖所示 分為三部分 正虛軸 GH即Nyquist圖 負(fù)虛軸 該段 GH與Nyquist圖關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱 右半平面上半徑為無窮大的半圓 負(fù)號(hào)表示順時(shí)針 當(dāng)時(shí) GH映射為一點(diǎn) 不用單獨(dú)畫出 奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù) Nyquist 1 系統(tǒng)穩(wěn)定當(dāng)s沿 s順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一圈時(shí) s在GH平面上的映射曲線 GH 當(dāng) 不經(jīng)過 1 j0 點(diǎn) 且 GH繞 1 j0 點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的圈數(shù)R等于系統(tǒng)在S右半平面內(nèi)的開環(huán)極點(diǎn)個(gè)數(shù)P 2 當(dāng)系統(tǒng)不穩(wěn)定時(shí) 右半平面的閉環(huán)極點(diǎn)個(gè)數(shù)為Z P R 例 開環(huán)傳遞函數(shù)為 試用奈氏判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性 解 開環(huán)系統(tǒng)的奈氏圖如右 在s右半平面的極點(diǎn)數(shù)為0 繞 1 j0 點(diǎn)的圈數(shù)N 0 則閉環(huán)系統(tǒng)在s右半平面的個(gè)數(shù) 故閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的 作為對(duì)比可求出閉環(huán)傳遞函數(shù)特征方程為 由勞斯 赫爾維茨判據(jù)知閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的 例 設(shè)開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為 試用奈氏判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性 解 開環(huán)極點(diǎn)為 1 1j2 都在s左半平面 所以 奈氏圖如右 從圖中可以看出 奈氏圖順時(shí)針圍繞 1 j0 點(diǎn)2圈 所以閉環(huán)系統(tǒng)在s右半極點(diǎn)數(shù)為 所以閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的 例 設(shè)開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為 試用奈氏穩(wěn)定性判據(jù)確定閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)k的取值范圍 解 與實(shí)軸的交點(diǎn) 當(dāng)K 52時(shí) 開環(huán)極點(diǎn)為 1 1 j2 都在s左半平面 所以P 0 奈氏圖如右 從圖中可以看出 奈氏圖順時(shí)針圍繞 1 j0 點(diǎn)2圈 所以閉環(huán)系統(tǒng)在s右半極點(diǎn)數(shù)為 Z N P 2 閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的 若要系統(tǒng)穩(wěn)定 則 即K 16時(shí) 奈氏圖不圍繞 1 j0 點(diǎn) 當(dāng)K 1 則要求K 5 于是系統(tǒng)穩(wěn)定的條件為 5 K 16 上述結(jié)論同樣可由勞思 赫爾維茨判據(jù)得到 勞斯陣 要使系統(tǒng)穩(wěn)定 則第一列都大于0 于是得 5 K 16 解 系統(tǒng)的頻率特性如下 解 開環(huán)系統(tǒng)奈氏圖是一個(gè)半徑為k 2 圓心在 k 2 0 的圓 顯然 k 1時(shí) 包圍 1 j0 點(diǎn) k 1時(shí)不包圍 1 j0 點(diǎn) 由圖中看出 當(dāng)k 1時(shí) 奈氏曲線逆時(shí)針包圍 1 j0 點(diǎn)一圈 N 1 而 則閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的 當(dāng)K 1時(shí) 奈氏曲線通過 1 j0 點(diǎn) 屬臨界穩(wěn)定狀態(tài) 當(dāng)K 1時(shí) 奈氏曲線不包圍 1 j0 點(diǎn) N 0 P 1 所以Z N P 1 閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定 2 G s H s 在虛軸上有積分環(huán)節(jié)的情況 從Nyquist曲線起點(diǎn)處逆時(shí)針補(bǔ)畫一個(gè)四分之一圓弧 從Nyquist曲線起點(diǎn)處逆時(shí)針補(bǔ)畫兩個(gè)四分之一圓弧 例 設(shè) 型系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性如下圖所示 開環(huán)系統(tǒng)在s右半平面沒有極點(diǎn) 試用奈氏判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性 解 顯然這是 型系統(tǒng) 先根據(jù)奈氏路徑畫出完整的映射曲線 從圖上看出 映射曲線順時(shí)針包圍 1 j0 一圈 逆時(shí)針包圍 1 j0 一圈 所以N 1 1 0 而 故 閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的 例 某 型系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性如下圖所示 且s右半平面無極點(diǎn) 試用奈氏判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性 解 首先畫出完整的奈氏曲線的映射曲線 如右圖 從圖上可以看出 映射曲線順時(shí)針包圍 1 j0 兩圈 因 所以 閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的 奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)的應(yīng)用步驟 確定開環(huán)右極點(diǎn)數(shù)P 畫出開環(huán)系統(tǒng)奈奎斯特圖 包括正負(fù)頻率及s平面中特定路徑在Gk s 平面的映射 確定N 計(jì)算Z P N 當(dāng)Z 0時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定 當(dāng)Z 0時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定 當(dāng)Z 0時(shí)計(jì)算有誤 Nyquist判據(jù)的另一種形式 四 在對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖上判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性 開環(huán)系統(tǒng)的極坐標(biāo)圖 奈氏圖 和對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖 波德圖 有如下的對(duì)應(yīng)關(guān)系 1 奈氏圖上單位圓對(duì)應(yīng)于對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖上的零分貝線 2 奈氏圖上的負(fù)實(shí)軸對(duì)應(yīng)于對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖上的 180度相位線 奈氏圖頻率特性曲線在上的正負(fù)穿越在對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖上的對(duì)應(yīng)關(guān)系 在對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖上的范圍內(nèi) 當(dāng)增加時(shí) 相頻特性曲線從下向上穿過 180度相位線稱為正穿越 因?yàn)橄嘟侵翟黾恿?反之稱為負(fù)穿越 對(duì)照?qǐng)D如下 對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖上奈氏穩(wěn)定判據(jù)如下 設(shè)開環(huán)頻率特性在s右半平面的極點(diǎn)數(shù)為P 則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是 對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖上幅頻特性的所有頻段內(nèi) 當(dāng)頻率增加時(shí) 對(duì)數(shù)相頻特性對(duì) 180度線的正負(fù)穿越次數(shù)差為P 2 閉環(huán)系統(tǒng)右半s極點(diǎn)數(shù)為 式中為正負(fù)穿越次數(shù)差 若Z 0 閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定 若Z 0 閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定 5 4頻域穩(wěn)定裕度 當(dāng)頻率特性曲線穿過 1 j0 點(diǎn)時(shí) 系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài) 這時(shí) 對(duì)于最小相位系統(tǒng) 可以用和來表示頻率特性曲線接近 1 j0 點(diǎn)的程度 或稱為穩(wěn)定裕度 穩(wěn)定裕度越大 穩(wěn)定性越好 穩(wěn)定裕度的定義 穩(wěn)定裕度的定義 幅值裕度 相角裕度 顯然 當(dāng)時(shí) 即和時(shí) 閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的 否則是不穩(wěn)定的 對(duì)于最小相位系統(tǒng) 和是同時(shí)發(fā)生或同時(shí)不發(fā)生的 所以經(jīng)常只用一種穩(wěn)定裕度來表示系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度 常用相角裕度 幅值穩(wěn)定裕度物理意義 穩(wěn)定系統(tǒng)在相角穿越頻率處將幅值增加倍 奈氏圖 或增加分貝 波德圖 則系統(tǒng)處于臨界狀態(tài) 若增加的倍數(shù)大于倍 或分貝 則系統(tǒng)變?yōu)椴环€(wěn)定 比如 若增加開環(huán)放大系數(shù)K 則對(duì)數(shù)幅頻特性曲線將上升 而相