高數(shù)9-2二重積分的計(jì)算.ppt

第二節(jié) 二重積分的計(jì)算法 第九章 一 利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分 且在D上連續(xù)時(shí) 由曲頂柱體體積的計(jì)算可知 若D為X 型區(qū)域 則 若D為Y 型區(qū)域 則 X型區(qū)域的特點(diǎn) 穿過區(qū)域且平行于y軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn) Y型區(qū)域的特點(diǎn) 穿過區(qū)域且平行于x軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn) 若區(qū)域如圖 在分割后的三個(gè)區(qū)域上分別使用積分公式 則必須分割 例1 計(jì)算 其中D是直線y 1 x 2 及 y x所圍的閉區(qū)域 解法1 將D看作X 型區(qū)域 則 解法2 將D看作Y 型區(qū)域 則 作草圖 選擇類型 確定上下限 后積先定限 限內(nèi)化條線 例2 計(jì)算 其中D是拋物線 所圍成的閉區(qū)域 解1 及直線 1 例2 計(jì)算 其中D是拋物線 所圍成的閉區(qū)域 解2 為計(jì)算簡便 后對y積分 及直線 則 例3 計(jì)算 其中D是直線 所圍成的閉區(qū)域 解 由被積函數(shù)可知 先對x積分不行 說明 選擇積分序的原則 先積分的容易 并能為后積分創(chuàng)造條件 積分域的劃分 塊數(shù)越少越好 例4 交換下列積分順序 解 積分域由兩部分組成 視為Y 型區(qū)域 則 例5 計(jì)算 其中D由 所圍成 解 令 如圖所示 顯然 二 利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分 則除包含邊界點(diǎn)的小區(qū)域外 小區(qū)域的面積 及射線 常數(shù) 分劃區(qū)域D為 在極坐標(biāo)系下 用同心圓 常數(shù) 對應(yīng)有 在 內(nèi)取點(diǎn) 即 則 1 極點(diǎn)在邊界外 注意 積分域的邊界曲線用極坐標(biāo)表示 如何確定上下限 2 極點(diǎn)在邊界上 1 2 3 極點(diǎn)在邊界內(nèi) 何時(shí)選用極坐標(biāo) 積分域D形狀 圓域 環(huán)域 扇域 環(huán)扇域 被積函數(shù)形式 例6 計(jì)算 其中 解 在極坐標(biāo)系下 原式 的原函數(shù)不是初等函數(shù) 故本題無法用直角 由于 故 坐標(biāo)計(jì)算 注 利用例6可得到一個(gè) 反常積分公式 例7 求球體 被圓柱面 所截得的 含在柱面內(nèi)的 立體的體積 解 由對稱性可知 o 例8 其中D為由圓 所圍成的 及直線 解 平面閉區(qū)域 例9 交換積分順序 提示 積分域如圖 第三節(jié) 一 三重積分的概念 二 三重積分的計(jì)算 三重積分 第九章 一 三重積分的概念 類似二重積分解決問題的思想 采用 引例 設(shè)在空間有限閉區(qū)域 內(nèi)分布著某種不均勻的 物質(zhì) 求分布在 內(nèi)的物質(zhì)的 可得 大化小 常代變 近似和 求極限 解決方法 質(zhì)量M 密度函數(shù)為 定義 設(shè) 存在 稱為體積元素 若對 作任意分割 任意取點(diǎn) 則稱此極限為函數(shù) 在 上的三重積分 在直角坐標(biāo)系下常寫作 三重積分的性質(zhì)與二重積分相似 性質(zhì) 下列 乘 積和式 極限 二 三重積分的計(jì)算 1 利用直角坐標(biāo)計(jì)算三重積分 方法1 投影法 先一后二 方法2 截面法 先二后一 如圖 方法1 投影法 得 其中 為三個(gè)坐標(biāo) 例1 計(jì)算三重積分 所圍成的閉區(qū)域 解 面及平面 例2 計(jì)算三重積分 解 解 方法2 截面法 例2 計(jì)算三重積分 解 用 先二后一 注 被積函數(shù)為一元函數(shù)時(shí) 多選用截面法 例3 計(jì)算積分 其中 是兩個(gè)球 R 0 的公共部分 提示 由于被積函數(shù)缺x y 原式 利用 截面法 計(jì)算方便 小結(jié) 直角坐標(biāo)系三重積分的計(jì)算方法 方法1 先一后二 方法2 先二后一 三次積分 具體計(jì)算時(shí)應(yīng)根據(jù) 二種方法 包含6種次序 各有特點(diǎn) 被積函數(shù)及積分域的特點(diǎn)靈活選擇 例4 設(shè) 計(jì)算 提示 利用對稱性 原式 奇函數(shù) 靈活應(yīng)用對稱性 例5 計(jì)算 解 積分域關(guān)于y x y z x z平面對稱 1 將 用三次積分表示 其中 由 所 提示 六個(gè)平面 圍成 2 利用柱坐標(biāo)計(jì)算三重積分 就稱為點(diǎn)M的柱坐標(biāo) 直角坐標(biāo)與柱面坐標(biāo)的關(guān)系 坐標(biāo)面分別為 圓柱面 半平面 平面 如圖所示 在柱面坐標(biāo)系中體積元素為 因此 其中 適用范圍 1 積分域表面用柱面坐標(biāo)表示時(shí)方程簡單 2 被積函數(shù)用柱面坐標(biāo)表示時(shí)變量互相分離 其中 為由 例1 計(jì)算三重積分 所圍 解 在柱面坐標(biāo)系下 及平面 柱面 成半圓柱體 例2 計(jì)算三重積分 解 在柱面坐標(biāo)系下 所圍成 與平面 其中 由拋物面 原式 解 知交線為 解 所圍成的立體如圖 所圍成立體的投影區(qū)域如圖 3 利用球坐標(biāo)計(jì)算三重積分 就稱為點(diǎn)M的球坐標(biāo) 直角坐標(biāo)與球面坐標(biāo)的關(guān)系 坐標(biāo)面分別為 如圖所示 在球面坐標(biāo)系中體積元素為 因此有 其中 適用范圍 1 積分域表面用球面坐標(biāo)表示時(shí)方程簡單 2 被積函數(shù)用球面坐標(biāo)表示時(shí)變量互相分離 例5 計(jì)算三重積分 解 在球面坐標(biāo)系下 所圍立體 其中 與球面 例6 求曲面 所圍立體體積 解 由曲面方程可知 立體位于xoy面上部 利用對稱性