離散系統(tǒng)的時(shí)域分析.ppt

第七章離散信號(hào)與系統(tǒng)時(shí)域分析 離散時(shí)間信號(hào)的定義以及典型的離散信號(hào) 差分方程的建立與經(jīng)典解法 離散系統(tǒng)的單位樣值響應(yīng) 零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)的概念 如何求零輸入響應(yīng) 如何利用卷積的方法求零狀態(tài)響應(yīng) 一 離散信號(hào)的表示方法 7 1離散時(shí)間信號(hào) 序列 波形 序列形式 解 二 離散信號(hào)的運(yùn)算 1 相加 2 相乘 3 移位 4 反褶 5 差分 6 累加 7 尺度倍乘 壓縮 擴(kuò)展 注意 有時(shí)需去除某些點(diǎn)或補(bǔ)足相應(yīng)的零值 8 序列的能量 例7 1 2 1 單位樣值信號(hào) 時(shí)移性 抽樣性 注意 單位取樣 單位函數(shù) 單位脈沖 單位沖激 三 常用離散信號(hào) 利用單位樣值信號(hào)表示任意序列 2 單位階躍序列 3 矩形序列 4 斜變序列 5 單邊指數(shù)序列 6 正弦序列 N稱為序列的周期 為任意正整數(shù) 正弦序列周期性的判別 正弦序列是周期的 解 解 7 復(fù)指數(shù)序列 復(fù)序列用極坐標(biāo)表示 復(fù)指數(shù)序列 一 線性時(shí)不變系統(tǒng) 1 線性 滿足均勻性和疊加性 7 3離散時(shí)間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 差分方程 2 時(shí)不變 3 因果離散時(shí)間系統(tǒng)如果系統(tǒng)響應(yīng)總是出現(xiàn)在激勵(lì)施加之后 則該系統(tǒng)稱為因果系統(tǒng) 否則稱之為非因果系統(tǒng) 例7 3 1 若已知n 0時(shí)三個(gè)系統(tǒng)的響應(yīng)分別為 1 y n nx n 線性時(shí)變離散時(shí)間系統(tǒng) 2 y n x n 非線性時(shí)不變系統(tǒng) 3 y n 2x n 3x n 1 線性時(shí)不變系統(tǒng)試判斷這三個(gè)系統(tǒng)各為哪類系統(tǒng) 解 設(shè)系統(tǒng)零輸入響應(yīng)為yzi n 零狀態(tài)響應(yīng)為yzs n 則根據(jù)線性時(shí)不變系統(tǒng)的特性 響應(yīng)y n yzi n yzs n 當(dāng)激勵(lì)u n 時(shí) 初始條件x1 0 1 x2 0 2 當(dāng)激勵(lì)為3u n 時(shí) 初始條件不變 解得 所以當(dāng)激勵(lì)為2u n 初始條件x1 0 2 x2 0 4 二 由微分方程導(dǎo)出差分方程 前向差分 列差分方程 若在t nT各點(diǎn)取得樣值 n代表序號(hào) 三 由系統(tǒng)框圖寫差分方程 1 基本單元 加法器 乘法器 延時(shí)器 D 例7 3 3 框圖如圖 寫出差分方程 解 一階后向差分方程 一階前向差分方程 D D 后向差分方程 若差分方程中含有未知序列項(xiàng)y n y n 1 y n m 其中變量序號(hào)由n開始按遞減方式排列 則這種方程稱為后向差分方程 前向差分方程 若方程中含有未知序列項(xiàng)y n y n 1 y n m 其中變量序號(hào)由n開始按遞增方式排列 則這種方程稱為前向差分方程 解 根據(jù)系統(tǒng)差分方程 可得 或 例7 3 4 已知系統(tǒng)的差分方程為y n 3 8y n 2 17y n 1 10y n 6x n 2 17x n 1 19x n 畫出該系統(tǒng)的時(shí)域模擬框圖 四 差分方程的特點(diǎn) 1 輸出序列的第n個(gè)值不僅決定于同一瞬間的輸入樣值 而且還與前面輸出值有關(guān) 每個(gè)輸出值必須依次保留 2 差分方程的階數(shù) 等于差分方程中未知 輸出 序列變量序號(hào)的最高和最低值之差 如果一個(gè)系統(tǒng)的第n個(gè)輸出決定于剛過去的幾個(gè)輸出值及輸入值 那么描述它的差分方程就是幾階的 4 差分方程描述離散時(shí)間系統(tǒng) 輸入序列與輸出序列間的運(yùn)算關(guān)系與系統(tǒng)框圖有對(duì)應(yīng)關(guān)系 3 微分方程可以用差分方程來逼近 微分方程解是精確解 差分方程解是近似解 兩者有許多類似之處 解法 1 迭代法 解差分方程的基礎(chǔ)方法差分方程本身是一種遞推關(guān)系 3 零輸入響應(yīng) 零狀態(tài)響應(yīng)利用卷積求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng) 2 時(shí)域經(jīng)典法 齊次解 特解 4 z變換法 反變換 y n 7 4離散系統(tǒng)時(shí)域分析經(jīng)典法 一 時(shí)域經(jīng)典法 1 齊次方程的解 齊次方程 特征方程 根據(jù)特征根 解的三種情況 2 有重根假定 1是K重根 相應(yīng)于 1的部分將有K項(xiàng) 3 有共軛復(fù)數(shù)根齊次解的形式可以是等幅 增幅或衰減等形式的正弦 余弦 序列 1 單根 無重根 由遞推關(guān)系 可得輸出值 例7 4 1 解 7 4 2 求解二階差分方程 特征方程 齊次解 解出 特征根 解 2 非齊次差分方程 例7 4 3 代入原方程求特解 特解 解 齊次解 全解形式 由邊界條件定系數(shù) 1 零輸入響應(yīng) 輸入為零 差分方程為齊次解 C由起始狀態(tài)確定 相當(dāng)于0 的條件 齊次解 2 零狀態(tài)響應(yīng) 起始狀態(tài)為0 即 求解方法 經(jīng)典法 齊次解 特解 卷積法 二 離散時(shí)間系統(tǒng)的響應(yīng)的分解方式零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)自由響應(yīng)和強(qiáng)迫響應(yīng)暫態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng) 用兩種方法求解此題方法一 經(jīng)典法方法二 雙零法 解 1 求齊次解 特征方程為 故特征根為 則齊次解為 由題知激勵(lì)是指數(shù)序列形式 可設(shè)特解為 將其代入差分方程得 2 求特解 3 求全解 由原差分方程得 解得 所以系統(tǒng)的全解為 1 求零輸入響應(yīng) 在零輸入情況下 響應(yīng)滿足齊次方程 解的形式為 而齊次方程的特征根 則 這一點(diǎn)一定要注意 如果已知系統(tǒng)的初始值 欲求零輸入響應(yīng) 還必須經(jīng)過迭代求出起始狀態(tài) 方法二 求零輸入和零狀態(tài)響應(yīng) 2 零狀態(tài)響應(yīng) 零狀態(tài)響應(yīng)是滿足非齊次方程 且起始狀態(tài)全部為零的解 即滿足 因此仍然可用經(jīng)典法求得 確定初始值 所以系統(tǒng)的全解為 7 5離散系統(tǒng)的單位序列響應(yīng) 對(duì)于線性時(shí)不變離散時(shí)間系統(tǒng) 若激勵(lì)為單位序列 n 時(shí) 其系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)h n 稱為單位序列響應(yīng) 一 迭代法 是一種遞推法 一個(gè)不斷迭代過程 稱之為迭代法 例7 5 1 已知離散時(shí)間系統(tǒng)的差分方程試求其單位樣值響應(yīng)h n 解 對(duì)于因果系統(tǒng) 迭代法 二 等效初值法單位樣值的激勵(lì)作用等效為一個(gè)起始條件h 0 1 因而 求單位樣值相應(yīng)的問題轉(zhuǎn)化為求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng) 例7 5 2 已知系統(tǒng)差分方程 求系統(tǒng)的單位樣值響應(yīng) 特征根 特征方程 解 零狀態(tài) 7 6卷積和一 離散系統(tǒng)的時(shí)域分解 時(shí)不變 齊次性 可加性 輸出 卷積和的公式表明 1 交換律 結(jié)合律和分配律 1 交換律 卷積和的性質(zhì) 二 卷積和設(shè)兩個(gè)離散時(shí)間信號(hào)為x1 n 和x2 n 定義x1 n 與x2 n 的卷積和運(yùn)算為 2 結(jié)合律 3 分配律 2 移位性質(zhì) 3 其它性質(zhì) 4 卷積和的計(jì)算 反褶 平移 相乘 求和四個(gè)步驟 解 波形 利用分配律 解 對(duì)位相乘求和法 y n 的元素個(gè)數(shù) 若 例如 三 卷積和的應(yīng)用對(duì)于線性時(shí)不變離散時(shí)間系統(tǒng) 若激勵(lì)為單位序列 單位序列響應(yīng)為h n 則激勵(lì)與系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)之間有如下關(guān)系 例7 6 3 描述離散時(shí)間系統(tǒng)的差分方程為已知y 1 1 求系統(tǒng)全響應(yīng)y n 解 1 求零輸入響應(yīng)yzi n 得C 0 9 故 2 求單位序列響應(yīng) 利用等效初值法 可求得 3 求激勵(lì)時(shí)零狀態(tài)響應(yīng) 全響應(yīng) 在y n x n h n 式中 若已知y n h n 如何求x n 對(duì)連續(xù)系統(tǒng)不易寫出明確的關(guān)系式 而對(duì)離散系統(tǒng)容易寫出 四 反卷積 寫為矩陣運(yùn)算形式 目的反求x n 同理 本章總結(jié) 1 離散時(shí)間信號(hào)2 常用的離散時(shí)間信號(hào)3 線形時(shí)不變系統(tǒng)4 離散時(shí)間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 差分方程