四年級奧數(shù)第一講-一筆畫問題.doc

第十二講 一筆畫問題例2 下圖是國際奧委會的會標，你能一筆把它畫出來嗎？分析與解答 一個圖能否一筆畫出，關鍵取決于這個圖中奇點的個數(shù).通過觀察可以發(fā)現(xiàn)，上圖中所有的結點都是偶點，因此，這個圖可以一筆畫出.畫時可以任一結點作為起點。例3 下圖是某地區(qū)所有街道的平面圖.甲、乙二人同時分別從A、B出發(fā)，以相同的速度走遍所有的街道，最后到達C.如果允許兩人在遵守規(guī)則的條件下可以選擇最短路徑的話，問兩人誰能最先到達C？分析與解答本題要求二人都必須走遍所有的街道最后到達C，而且兩人的速度相同.因此，誰走的路程少，誰便可以先到達C。容易知道，在題目的要求下，每個人所走路程都至少是所有街道路程的總和。仔細觀察上圖，可以發(fā)現(xiàn)圖中有兩個奇點：A和C.這就是說，此圖可以以A、C兩點分別作為起點和終點而一筆畫成.也就是說，甲可以從A出發(fā)，不重復地走遍所有的街道，最后到達C；而從B出發(fā)的乙則不行.因此，甲所走的路程正好等于所有街道路程的總和，而乙所走的路程則必定大于這個總和，這樣甲先到達C。例4（1）能否用剪刀從左下圖中一次連續(xù)剪下三個正方形和兩個三角形？（2）能否用剪刀一次連續(xù)剪下右下圖中六個三角形？【解析】：上面兩個圖形都只有兩個奇點（紅色交點），都是一筆畫圖形，但用筆畫和用剪刀剪，這兩種操作是有區(qū)別的。第一、用筆畫，筆要經(jīng)過圖中的每一條線段，用剪刀剪只能剪圖形內(nèi)部線段，四周的邊框是不能剪的；第二，用筆畫一條經(jīng)過某個點的直線后，圖形還是完整的，用剪刀沿直線經(jīng)過某個點剪一刀后， 這個圖形會被剪成兩段。因此在剪的過程中要注意技巧，可以分別準備好這樣的兩張紙片，在紙片上畫出對應的線段，讓孩子在剪紙的操作中慢慢體驗這一點。這兩個圖形都可以按題目要求一次連續(xù)剪下。上面左邊圖形在剪的時候注意：可以從圖形左邊奇點開始先向右剪，遇到第一個交點后拐彎向上，再向右下，再向左剪，最后向下到第二個奇點結束。例5 下圖是某展覽廳的平面圖，它由五個展室組成，任兩展室之間都有門相通，整個展覽廳還有一個進口和一個出口，問游人能否一次不重復地穿過所有的門，并且從入口進，從出口出？分析與解答這種應用題，表面看起來不易解決，事實上，只要認真分析，就可以發(fā)現(xiàn)：我們并不關心展室的大小以及路程的遠近，關心的只是能否一次不重復地走遍所有的門，與七橋問題較為類似.因此，仿照七橋問題的解法，我們可以把每個展室看作一個結點，整個展廳的外部也看作一個點，兩室之間有門相通，可以看作兩點之間有邊相連.這樣，展廳的平面圖就轉化成了我們數(shù)學中的圖，一個實際問題也就轉化為這個圖（如下圖）能否一筆畫成的問題了，即能否從A出發(fā)，一筆畫完此圖，最后再回到A。上圖（b）中，所有的結點都是偶點，因此，一定可以以A作為起點和終點而一筆畫完此圖.也即游人可以從入口進， 一次不重復地穿過所有的門，最后從出口出來.下面僅給出一種參觀路線：AEBCEFCDFA。注意：本題中，必須以A分別作為起點和終點.這就要求圖中必須沒有奇點，否則，若有兩個奇點，雖能一筆畫出，但與從入口入、出口出（即游人的出發(fā)和終止點都在展廳外）有矛盾，其他有多個奇點的情況則根本不可能一筆畫出。另外，通過前面的學習，大家已經(jīng)知道：一個圖如果能夠一筆畫出，則畫的方法不止一種，但各種方法大同小異.因此，本書中，一筆畫的問題，一般我們只給出一種畫法。練習題1. 下面的圖形可以一筆畫成嗎？如果可以，請你用一筆畫成。2. 判斷下列各圖能否一筆畫出，并說明理由。3一只螞蟻由A點出發(fā)，到達B點，必須不重復地經(jīng)過每一條線，你能想出好辦法嗎？4游人在林間小路上（見圖）散步，問能否一次不重復地走遍所有的路線后回到出發(fā)點？5下圖是某個花房的平面圖，它由六間展室組成，每相鄰兩室有一門相同，請你設計一個出口，使參觀者能夠從入口處進去，一次不重復地經(jīng)過所有的門，最后由出口走出花房。答案：3： 螞蟻可以這樣走：4：圖中有6個單數(shù)點，因