四年級奧數(shù)第一講-一筆畫問題.doc

第十二講 一筆畫問題例2 下圖是國際奧委會(huì)的會(huì)標(biāo)，你能一筆把它畫出來嗎？分析與解答 一個(gè)圖能否一筆畫出，關(guān)鍵取決于這個(gè)圖中奇點(diǎn)的個(gè)數(shù).通過觀察可以發(fā)現(xiàn)，上圖中所有的結(jié)點(diǎn)都是偶點(diǎn)，因此，這個(gè)圖可以一筆畫出.畫時(shí)可以任一結(jié)點(diǎn)作為起點(diǎn)。例3 下圖是某地區(qū)所有街道的平面圖.甲、乙二人同時(shí)分別從A、B出發(fā)，以相同的速度走遍所有的街道，最后到達(dá)C.如果允許兩人在遵守規(guī)則的條件下可以選擇最短路徑的話，問兩人誰能最先到達(dá)C？分析與解答本題要求二人都必須走遍所有的街道最后到達(dá)C，而且兩人的速度相同.因此，誰走的路程少，誰便可以先到達(dá)C。容易知道，在題目的要求下，每個(gè)人所走路程都至少是所有街道路程的總和。仔細(xì)觀察上圖，可以發(fā)現(xiàn)圖中有兩個(gè)奇點(diǎn)：A和C.這就是說，此圖可以以A、C兩點(diǎn)分別作為起點(diǎn)和終點(diǎn)而一筆畫成.也就是說，甲可以從A出發(fā)，不重復(fù)地走遍所有的街道，最后到達(dá)C；而從B出發(fā)的乙則不行.因此，甲所走的路程正好等于所有街道路程的總和，而乙所走的路程則必定大于這個(gè)總和，這樣甲先到達(dá)C。例4（1）能否用剪刀從左下圖中一次連續(xù)剪下三個(gè)正方形和兩個(gè)三角形？（2）能否用剪刀一次連續(xù)剪下右下圖中六個(gè)三角形？【解析】：上面兩個(gè)圖形都只有兩個(gè)奇點(diǎn)（紅色交點(diǎn)），都是一筆畫圖形，但用筆畫和用剪刀剪，這兩種操作是有區(qū)別的。第一、用筆畫，筆要經(jīng)過圖中的每一條線段，用剪刀剪只能剪圖形內(nèi)部線段，四周的邊框是不能剪的；第二，用筆畫一條經(jīng)過某個(gè)點(diǎn)的直線后，圖形還是完整的，用剪刀沿直線經(jīng)過某個(gè)點(diǎn)剪一刀后， 這個(gè)圖形會(huì)被剪成兩段。因此在剪的過程中要注意技巧，可以分別準(zhǔn)備好這樣的兩張紙片，在紙片上畫出對應(yīng)的線段，讓孩子在剪紙的操作中慢慢體驗(yàn)這一點(diǎn)。這兩個(gè)圖形都可以按題目要求一次連續(xù)剪下。上面左邊圖形在剪的時(shí)候注意：可以從圖形左邊奇點(diǎn)開始先向右剪，遇到第一個(gè)交點(diǎn)后拐彎向上，再向右下，再向左剪，最后向下到第二個(gè)奇點(diǎn)結(jié)束。例5 下圖是某展覽廳的平面圖，它由五個(gè)展室組成，任兩展室之間都有門相通，整個(gè)展覽廳還有一個(gè)進(jìn)口和一個(gè)出口，問游人能否一次不重復(fù)地穿過所有的門，并且從入口進(jìn)，從出口出？分析與解答這種應(yīng)用題，表面看起來不易解決，事實(shí)上，只要認(rèn)真分析，就可以發(fā)現(xiàn)：我們并不關(guān)心展室的大小以及路程的遠(yuǎn)近，關(guān)心的只是能否一次不重復(fù)地走遍所有的門，與七橋問題較為類似.因此，仿照七橋問題的解法，我們可以把每個(gè)展室看作一個(gè)結(jié)點(diǎn)，整個(gè)展廳的外部也看作一個(gè)點(diǎn)，兩室之間有門相通，可以看作兩點(diǎn)之間有邊相連.這樣，展廳的平面圖就轉(zhuǎn)化成了我們數(shù)學(xué)中的圖，一個(gè)實(shí)際問題也就轉(zhuǎn)化為這個(gè)圖（如下圖）能否一筆畫成的問題了，即能否從A出發(fā)，一筆畫完此圖，最后再回到A。上圖（b）中，所有的結(jié)點(diǎn)都是偶點(diǎn)，因此，一定可以以A作為起點(diǎn)和終點(diǎn)而一筆畫完此圖.也即游人可以從入口進(jìn)， 一次不重復(fù)地穿過所有的門，最后從出口出來.下面僅給出一種參觀路線：AEBCEFCDFA。注意：本題中，必須以A分別作為起點(diǎn)和終點(diǎn).這就要求圖中必須沒有奇點(diǎn)，否則，若有兩個(gè)奇點(diǎn)，雖能一筆畫出，但與從入口入、出口出（即游人的出發(fā)和終止點(diǎn)都在展廳外）有矛盾，其他有多個(gè)奇點(diǎn)的情況則根本不可能一筆畫出。另外，通過前面的學(xué)習(xí)，大家已經(jīng)知道：一個(gè)圖如果能夠一筆畫出，則畫的方法不止一種，但各種方法大同小異.因此，本書中，一筆畫的問題，一般我們只給出一種畫法。練習(xí)題1. 下面的圖形可以一筆畫成嗎？如果可以，請你用一筆畫成。2. 判斷下列各圖能否一筆畫出，并說明理由。3一只螞蟻由A點(diǎn)出發(fā)，到達(dá)B點(diǎn)，必須不重復(fù)地經(jīng)過每一條線，你能想出好辦法嗎？4游人在林間小路上（見圖）散步，問能否一次不重復(fù)地走遍所有的路線后回到出發(fā)點(diǎn)？5下圖是某個(gè)花房的平面圖，它由六間展室組成，每相鄰兩室有一門相同，請你設(shè)計(jì)一個(gè)出口，使參觀者能夠從入口處進(jìn)去，一次不重復(fù)地經(jīng)過所有的門，最后由出口走出花房。答案：3： 螞蟻可以這樣走：4：圖中有6個(gè)單數(shù)點(diǎn)，因