北京市朝陽區(qū)2015年中考數(shù)學二模試卷含答案解析

第 1 頁（共 39 頁） 2015 年北京市朝陽區(qū)中考數(shù)學二模試卷 一、選擇題（本題共 30分，每小題 3分）下面各題均有四個選項，其中只有一個是符合題意的 1某種埃博拉病毒（ 右將 科學記數(shù)法表示應(yīng)為（ ） A 0 6 B 0 7 C 0 8 D 0 9 2下列二次根式中，能與 合并的是（ ） A B C D 3在下面的四個幾何體中，它們各自的左視圖與主視圖不相同的是（ ） A 正方體 B 三棱柱 C 圓柱 D 圓錐 4如圖，在 ， D 為 上一點， 點 E若 = ， ，則 長為（ ） 第 2 頁（共 39 頁） A 6 B 9 C 15 D 18 5在一個不透明的盒子中裝有 n 個小球，它們除了顏色不同外，其余都相同，其中有 4 個白球，每次試驗前，將盒子中的小球搖勻，隨機摸出一個球記下顏色后再 放回盒中大量重復(fù)上述試驗后發(fā)現(xiàn)，摸到白球的頻率穩(wěn)定在 么可以推算出 n 大約是（ ） A 10 B 14 C 16 D 40 6某射擊教練對甲、乙兩個射擊選手的 5 次成績（單位：環(huán)）進行了統(tǒng)計，如表 甲 10 9 8 5 8 乙 8 8 7 9 8 所示：設(shè)甲、乙兩人射擊成績的平均數(shù)分別為 、 ，射擊成績的方差分別為 、 ，則下列判斷中正確的是（ ） A ， B = ， C = ， D = ， 7一個隧道的橫截面如圖所示，它的形狀是以點 O 為圓心 ， 5 為半徑的圓的一部分， M 是 O 中弦中點， 過圓心 O 交 O 于點 E若 ，則隧道的高（ 長）為（ ） A 4 B 6 C 8 D 9 第 3 頁（共 39 頁） 8某數(shù)學課外活動小組利用一個有進水管與出水管的容器模擬水池蓄水情況：從某時刻開始， 5 分鐘內(nèi)只進水不出水，在隨后的 10 分鐘內(nèi)既進水又出水，每分鐘的進水量和出水量是兩個常數(shù)容器內(nèi)的蓄水量 y（單位： L）與時間 x（單位： 間的關(guān)系如圖所示，則第 12 分鐘容器內(nèi)的蓄水量為（ ） A 22 B 25 C 27 D 28 9如圖，點 M、 N 分別在矩形 ，將矩形 折后點 C 恰好與點 此時 = ，則 面積與 面積的比為（ ） A 1： 3 B 1： 4 C 1： 6 D 1： 9 10如圖，矩形 ， E 為 點，點 F 為 的動點（不與 B、 C 重合）連接 直徑的圓分別交 點 G、 H設(shè) 長度為 x，弦 長度和為 y，則下列圖象中，能表示 y 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系的圖象大致是（ ） 第 4 頁（共 39 頁） A B CD 二 、填空題（本題共 18分，每小題 3分） 11若分式 的值為 0，則 x 的值為 12分解因式： 312 13用一個圓心角為 120，半徑為 6扇形作一個圓錐的側(cè)面，則這個圓錐的底面圓的半徑為 14如圖， ， C， 中線，分別以點 A、 C 為圓心，以大于 為半徑畫弧，兩弧交點分別為點 E、 F，直線 交于 點 O，若 ，則 接圓的面積為 15如圖，點 B 在線段 ， 1= 2，如果添加一個條件，即可得到 么這個條件可以是 （要求：不在圖中添加其他輔助線，寫出一個條件即可） 第 5 頁（共 39 頁） 16如果一個平行四邊形一個內(nèi)角的平分線分它的一邊為 1： 2 的兩部分，那么稱這樣的平行四邊形為 “協(xié)調(diào)平行四邊形 ”，稱該邊為 “協(xié)調(diào)邊 ”當 “協(xié)調(diào)邊 ”為 3 時，它的周長 為 三、解答題（本題共 30分，每小題 5分） 17已知：如圖，在 ， 0， C， 點 E， 點 D求證：D 18計算： 19解不等式 x x ，并把它的解集在數(shù)軸上表示出來 20已知 a b= ，求（ a 2） 2+b（ b 2a） +4（ a 1）的值 21如圖，一次函數(shù) y=kx+b（ k0）的圖象與反比例函數(shù) y= （ m0）的圖象交于 A （ 3， 1），B （ 1， n）兩點 （ 1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達式； （ 2） 設(shè)直線 y 軸交于點 C，若點 P 在 x 軸上，使 C，請直接寫出點 P 的坐標 第 6 頁（共 39 頁） 22列方程或方程組解應(yīng)用題： 四、解答題（本題共 20分，每小題 5分） 23如圖，點 F 在 對角線 ，過點 F、 B 分別作 平行線相交于點 E，連接 （ 1）求證：四邊形 菱形； （ 2）若 ， ， ，求 長 24某校為了更好的開展 “學校特色體育教育 ”，從全校八年級的各班分別隨機抽取了 5 名男生和 5名女生，組成了一個容量為 60 的樣本，進行各項體育項目的測試，了解他們的身體素質(zhì)情況下表 第 7 頁（共 39 頁） 是整理樣本數(shù)據(jù)，得到的關(guān)于每個個體的測試成績的部分統(tǒng)計表、圖：某校 60 名學生體育測試成績頻數(shù)分布表 成績 劃記 頻數(shù) 百分比 優(yōu)秀 正正正 a 30% 良好 正 正正正正正 30 b 合格 正 9 15% 不合格 3 5% 合計 60 60 100% （說明： 40 55 分為不合格， 55 70 分為合格， 70 85 分為良好， 85 100 分為優(yōu)秀）請根據(jù)以上信息，解答下列問題： （ 1）表中的 a= ， b= ； （ 2）請根據(jù)頻數(shù)分布表，畫出相應(yīng)的頻數(shù)分布直方圖； （ 3）如果該校八年級共有 150 名學生，根據(jù)以上數(shù)據(jù)，估計該 校八年級學生身體素質(zhì)良好及以上的人數(shù)為 25如圖， O 是 外接圓， C， O 的直徑， 延長線交于點 P，連接 （ 1）求證： O 的切線； （ 2）若 ， ，求 長 第 8 頁（共 39 頁） 26閱讀下面材料： 小凱遇到這樣一個問題：如圖 1，在四邊形 ，對角線 交于點 O， ， ， 0，求四邊形 面積小凱發(fā)現(xiàn)，分別過點 A、 C 作直線 垂線，垂足分別為點 E、 F，設(shè) m，通過計算 面積和使問題得到解決（如圖 2）請回答： （ 1） 面積為 （用含 m 的式子表示） （ 2）求四邊形 面積 參考小凱思考問題的方法，解決問題：如圖 3，在四邊形 ，對角線 交于點 O，AC=a， BD=b， （ 0 90），則四邊形 面積為 （用含 a、 b、 的式子表示 ） 五、解答題（本題共 22分，第 27題 7分，第 28題 7 分，第 29題 8分） 27已知：關(guān)于 x 的一元二次方程 2（ a 1） x+a 2=0（ a 0） （ 1）求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根； （ 2）設(shè)方程的兩個實數(shù)根分別為 中 若 y 是關(guān)于 a 的函數(shù)，且 y=這個函數(shù)的表達式； （ 3）在（ 2）的條件下，結(jié)合函數(shù)的圖象回答：若使 y 3，則自變量 a 的取值范圍為 第 9 頁（共 39 頁） 28數(shù)學活動課上，老師提出這樣一個問題：如果 C， 0， 0，連接 么 間會有怎樣的等量關(guān)系呢？經(jīng)過思考后，部分同學進行了如下的交流： 小蕾：我將圖形進行了特殊化，讓點 P 在 長線上（如圖 1），得到了一個猜想： 小東：我假設(shè)點 P 在 內(nèi)部，根據(jù)題目條件，這個圖形具有 “共端點等線段 ”的特點，可以利用旋轉(zhuǎn)解決問題，旋轉(zhuǎn) 得到 P且可推出 別是等邊三角 形、直角三角形，就能得到猜想和證明方法 這時老師對同學們說，請大家完成以下問題： （ 1）如圖 2，點 P 在 內(nèi)部， ， ， 用等式表示 間的數(shù)量關(guān)系，并證明 （ 2）對于點 P 的其他位置，是否始終具有 中的結(jié)論？若是，請證明；若不是，請舉例說明 29如圖，頂點為 A（ 4， 4）的二次函數(shù)圖象經(jīng)過原點（ 0， 0），點 P 在該圖象上， 其 對稱軸 l 于點 M，點 M、 N 關(guān)于點 A 對稱，連接 （ 1）求該二次函數(shù)的表達式； （ 2）若點 P 的坐標是（ 6， 3），求 面積； 第 10 頁（共 39 頁） （ 3）當點 P 在對稱軸 l 左側(cè)的二次函數(shù)圖象上運動時，請解答下面問題： 求證： 若 直角三角形，請直接寫出所有符合條件的點 P 的坐標 第 11 頁（共 39 頁） 2015年北京市朝陽區(qū)中考數(shù)學二模試卷 參考答案與試題解析 一、選擇題（本題共 30分，每小題 3分）下面各題均有四個選項，其中只有一個是符 合題意的 1某種埃博拉病毒（ 右將 科學記數(shù)法表示應(yīng)為（ ） A 0 6 B 0 7 C 0 8 D 0 9 【考點】 科學記數(shù)法 表示較小的數(shù) 【分析】 絕對值小于 1 的正數(shù)也可以利用科學記數(shù)法表示，一般形式為 a10 n，與較大數(shù)的科學記數(shù)法不同的是其所使用的是負指數(shù)冪，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的 0 的個數(shù)所決定 【解答】 解： 0 7； 故選： B 【點評】 此題考查了用科學記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為 a10 n，其中 1|a| 10， n 為由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的 0 的個數(shù)所決定 2下列二次根式中，能與 合并的是（ ） A B C D 【考點】 同類二次根式 【分析】 先化成最簡二次根式，再判斷即可 【解答】 解： A、 ，不能和 合并，故本選項錯誤； B、 ，不能和 合并，故本選項錯誤； C、 ，能和 合并，故本選項正確； D、 =2 不能和 合并，故本選項錯誤； 故選： C 【點評】 本題考查了二次根式的性質(zhì)，同類二次根式的應(yīng)用，注意：幾個二次根式，化成最簡二次根式后，如果被開方數(shù)相同，那么這幾個二次根式叫同類二次根式 3在下面的四個幾何體中，它們各自的左視圖與主視圖不相同的是（ ） 第 12 頁（共 39 頁） A 正方體 B 三棱柱 C 圓柱 D 圓錐 【考點】 簡單幾何體的三視圖 【分析】 主視圖、左視圖分別從物體正面、左面看所得到的圖形 【解答】 解： A、主視圖與左視圖都是正方形； B、主視圖為長方形，左視圖為中間有一條豎直的虛線的長方形，不相同； C、主視圖與左視圖都是矩形； D、主視圖與左視圖都是等腰三角形； 故選 B 【點評】 本題考查了三視圖的知識，主視圖是從物體的正面看得到的視圖，左 視圖是從物體的左面看得到的視圖注意所有的看到的棱都應(yīng)表現(xiàn)在三視圖中 4如圖，在 ， D 為 上一點， 點 E若 = ， ，則 長為（ ） A 6 B 9 C 15 D 18 【考點】 平行線分線段成比例 第 13 頁（共 39 頁） 【分析】 如圖，直接運用平行線分線段成比例定理列出比例式 ，借助已知條件求出 可解決問題 【解答】 解：如圖， ， = ， ， 故選 B 【點評】 該題主要考查了平行線分線段成比例定理及其應(yīng)用問題；運用平行線分線段成比例定理正確寫出比例式是解題的關(guān)鍵 5在一個不透明的盒子中裝有 n 個 小球，它們除了顏色不同外，其余都相同，其中有 4 個白球，每次試驗前，將盒子中的小球搖勻，隨機摸出一個球記下顏色后再放回盒中大量重復(fù)上述試驗后發(fā)現(xiàn)，摸到白球的頻率穩(wěn)定在 么可以推算出 n 大約是（ ） A 10 B 14 C 16 D 40 【考點】 利用頻率估計概率 【分析】 利用大量重復(fù)實驗時，事件發(fā)生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據(jù)這個頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率 【解答】 解： 通過大量重復(fù)試驗后發(fā)現(xiàn)，摸到紅球的頻率穩(wěn) 定于 = 解得： n=10 故選 A 【點評】 此題主要考查了利用頻率估計概率，正確運用概率公式是解題關(guān)鍵 第 14 頁（共 39 頁） 6某射擊教練對甲、乙兩個射擊選手的 5 次成績（單位：環(huán)）進行了統(tǒng)計，如表 甲 10 9 8 5 8 乙 8 8 7 9 8 所示：設(shè)甲、乙兩人射擊成績的平均數(shù)分別為 、 ，射擊成績的方差分別為 、 ，則下列判斷中正確的是（ ） A ， B = ， C = ， D = ， 【考點】 方差；算術(shù)平均數(shù) 【分析】 分別計算平均數(shù)和方差后比較即可得到答案 【解答】 解：（ 1） = （ 10+8+9+8+10） =9； = （ 9+8+9+10+9） =9； = （ 10 9） 2+（ 8 9） 2+（ 9 9） 2+（ 8 9） 2+（ 10 9） 2= = （ 9 9） 2+（ 8 9） 2+（ 9 9） 2+（ 10 9） 2+（ 9 9） 2= = ， 故選 D 【點評】 本題考查了方差，方差是用來衡量一組數(shù)據(jù)波動大小的量，方差越大，表明這組數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)越大，即波動越大，數(shù)據(jù)越不穩(wěn)定；反之，方差越小，表明這組數(shù)據(jù)分布比較集中，各數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)越小，即波動越小，數(shù)據(jù)越穩(wěn)定 7一個隧道的橫截面如圖所示，它的形狀是以點 O 為圓心， 5 為半徑的圓的一部分， M 是 O 中弦中點， 過圓心 O 交 O 于點 E若 ，則隧道的高（ 長）為（ ） A 4 B 6 C 8 D 9 第 15 頁（共 39 頁） 【考點】 垂徑定理的應(yīng) 用；勾股定理 【分析】 因為 M 是 O 弦 中點，根據(jù)垂徑定理， M=3，在 ，有 求得 而就可求得 【解答】 解： M 是 O 弦 中點， 根據(jù)垂徑定理： 又 則有： ， 設(shè) x 米， 在 ，有 即： 52=32+ 解得： x=4， 所以 +4=9 故選 D 【點評】 此題主要考查了垂徑定理的應(yīng)用，解決與弦有關(guān) 的問題時，往往需構(gòu)造以半徑、弦心距和弦長的一半為三邊的直角三角形，若設(shè)圓的半徑為 r，弦長為 a，這條弦的弦心距為 d，則有等式 r2= ） 2 成立，知道這三個量中的任意兩個，就可以求出另外一個 8某數(shù)學課外活動小組利用一個有進水管與出水管的容器模擬水池蓄水情況：從某時刻開始， 5 分鐘內(nèi)只進水不出水，在隨后的 10 分鐘內(nèi)既進水又出水，每分鐘的進水量和出水量是兩個常數(shù)容器內(nèi)的蓄水量 y（單位： L）與時間 x（單位： 間的關(guān)系如圖所示，則第 12 分鐘容 器內(nèi)的蓄水量為（ ） A 22 B 25 C 27 D 28 【考點】 一次函數(shù)的應(yīng)用 【分析】 用待定系數(shù)法求出 5x15 對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，當 x=12 時，求出對應(yīng)的值，即可解答 【解答】 解：當 5x15 時，設(shè) y=kx+b， 第 16 頁（共 39 頁） 把（ 5， 20），（ 15， 30）代入得： 解得： y=x+15， 當 x=12 時， y=12+15=27， 故選 ： C 【點評】 本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式 9如圖，點 M、 N 分別在矩形 ，將矩形 折后點 C 恰好與點 此時 = ，則 面積與 面積的比為（ ） A 1： 3 B 1： 4 C 1： 6 D 1： 9 【考點】 翻折變換（折疊問題） 【分析】 由 = ，可知 ，易證 M，得到 ，于是可求出 面積與 【解答】 解：根據(jù)折疊的性質(zhì)， N， 四邊形 矩形， N， = ， ， 第 17 頁（共 39 頁） ， 面積： 面積 =1： 3 故選： A 【點評】 本題主要考查了圖形的折疊問題、等高的三角形面積比等于底的比，把 面積與 面積的比轉(zhuǎn)化為邊的比，運用等高的三角形面積比等于底的比這一性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵 10如圖，矩形 ， E 為 點，點 F 為 的動點（不與 B、 C 重合）連接 直徑的圓分別交 點 G、 H設(shè) 長度為 x，弦 長度和為 y，則下列圖象中，能表示 y 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系的圖象大致是（ ） A B CD 【考點】 動點問題的函數(shù)圖象 【 分析】 作 M，設(shè) D=a， C=2b，根據(jù)勾股定理表示出 E= ，然后用銳角三角函數(shù)表示出 現(xiàn) H 為定值，即可得到結(jié)論 【解答】 解：如圖，作 M， 點 E 是矩形 邊 的中點， E， 點 M 是 中點， 第 18 頁（共 39 頁） 設(shè) D=a， C=2b， 則 M=b， EM=a， E= ， ， O 的直徑， 0 BF=x， b x， F， F， H= ， 定值， H= 為定值， 故選： D 【點評】 本題主要考查了動點問題的函數(shù)圖象，綜合運用勾股定理和銳角三角函數(shù)進行計算，通過計算發(fā)現(xiàn) H 為定值是解決問題的關(guān)鍵 二、填空題（本題共 18分，每小題 3分） 11若分式 的值為 0，則 x 的值為 3 【考點】 分式的值為零的條件 【分析】 分式的值為 0 的條件是：（ 1）分子為 0；（ 2）分母不為 0兩個條件需同時具備，缺一不可據(jù)此可以解答本題 第 19 頁（共 39 頁） 【解答】 解：由題意可得： 2x 6=0 且 x+10， 解得 x=3 故答案為： 3 【點評】 此題主要考查了分式值為零的條件，關(guān)鍵是掌握分式值為零的條件是分子等于零且分母不等于零注意： “分母不為零 ”這個條件不能少 12分解因式： 3123（ x 2y）（ x+2y） 【考點】 提公因式法與公式法的綜合運用 【分析】 先提取公因式 3，再對余下的多項式利用平方差公式繼續(xù)分解 【解答】 解： 312 =3（ 4 =3（ x+2y）（ x 2y） 【點評】 本題考查了提公因式法，公式法分解因式，關(guān)鍵在于提 取公因式后，可以利用平方差公式進行二次分解 13用一個圓心角為 120，半徑為 6扇形作一個圓錐的側(cè)面，則這個圓錐的底面圓的半徑為 2 【考點】 圓錐的計算 【分析】 易得扇形的弧長，除以 2即為圓錐的底面半徑 【解答】 解：扇形的弧長 = =4， 故圓錐的底面半徑為 42=2 故答案為： 2 【點評】 考查了扇形的弧長公式；圓的周長公式；用到的知識點為：圓錐的弧長等于底面周長 14如圖， ， C， 中線，分別以點 A、 C 為圓心，以大于 為半徑畫弧，兩弧交點分別為點 E、 F，直線 交于點 O，若 ，則 接圓的面積為 4 第 20 頁（共 39 頁） 【考點】 三角形的外接圓與外心 【分析】 利用等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合三角形外接圓的作法得出 O 點即為 接圓的圓心，進而求出其面積 【解答】 解： C， 中線， 直平分 分別以點 A、 C 為圓心，以大于 為半徑畫弧，兩弧交點分別為點 E、 F， 直平分 直線 交于點 O， 點 O 即為 接圓圓心， 接圓半徑， 接圓的面積為： 4 故答案為： 4 【點評】 此題主要考查了三角形的外心，得出 O 點即為 接圓圓心是解題關(guān)鍵 15如圖，點 B 在線段 ， 1= 2，如果添加一個條件，即可得到 么這個條件可以是 D 或 C= D （要求：不在圖中添加其他輔助線，寫出一個條件即可） 第 21 頁（共 39 頁） 【考點】 全等三角形的判定 【專題】 開放型 【分析】 已知已經(jīng)有一對角和一條公共邊，所以再找一對邊或一對角就可以得到兩三角形全等 【解答】 解：已經(jīng)有 B， 再添加 D，利用 明； 或添加 用 明； 或添加 C= D，利用 明，（答案只要符合即可） 故答案為 D 或 C= D 【點評】 本題考查了全等三角形的判定；本題是開放性題目，答案不確定，只要符合題意即可 16如果一個平行四邊形一個內(nèi)角的平分線分它的一邊為 1： 2 的兩部分，那么稱這樣的平行四邊形為 “協(xié)調(diào)平行四邊形 ”，稱該邊為 “協(xié)調(diào)邊 ”當 “協(xié)調(diào)邊 ”為 3 時，它的周長為 8 或 10 【考點】 平行四邊形的性質(zhì) 【專題】 分類討論 【分析】 由平行四邊形的性質(zhì)和角平分線的定義得出 E；分兩種情況： 當 ， 時；當 ， 時；即可求出平行四邊形 周長 【解答】 解：如圖所示： 當 ， 時， 四邊形 平行四邊形， D=3， D， 分 E=1， 平行四邊形 周長 =2（ D） =8； 當 ， 時， 同理得： E=2， 平行四邊形 周長 =2（ D） =10； 故答案為： 8 或 10 第 22 頁（共 39 頁） 【點評】 本題考查了 平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的判定；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，并能進行推理計算是解決問題的關(guān)鍵；注意分類討論思想的運用，避免漏解 三、解答題（本題共 30分，每小題 5分） 17已知：如圖，在 ， 0， C， 點 E， 點 D求證：D 【考點】 全等三角形的判定與性質(zhì) 【專題】 證明題 【分析】 根據(jù)垂直的定義以及等量代換可知 據(jù)已知條件 C，根據(jù)全等三角形的判定 可證明 利用全等三角形的性質(zhì)證明即可 【解答】 證明： 0， 0， 又 0， 又 C， 在 ， ， D 第 23 頁（共 39 頁） 【點評】 本題考查了全等三角形的判定定理，關(guān)鍵是根據(jù) 明兩三角形全等，難度適中 18計算： 【考點】 實數(shù)的運算；零指數(shù)冪；負整數(shù)指數(shù)冪；特殊角的三角函數(shù)值 【專題】 計算題 【分析】 原式第一項利用負整數(shù)指數(shù)冪法則計算，第二項化為最簡二次根式，第三項利用特殊角的三角函數(shù)值計算，最后一項利用零指數(shù)冪法則計算即可得到結(jié)果 【解答】 解：原式 =4+2 4 1=2 1 【點評】 此題考查了實數(shù)的運算，熟練掌握運算法則是解本題的 關(guān)鍵 19解不等式 x x ，并把它的解集在數(shù)軸上表示出來 【考點】 解一元一次不等式；在數(shù)軸上表示不等式的解集 【專題】 計算題 【分析】 先去分母、移項得到 3x 4x 2+4，然后合并后把 x 的系數(shù)化為 1 即可得到不等式 的解集，再利用數(shù)軸表示解集 【解答】 解：去分母得 3x 44x 2， 移項得 3x 4x 2+4， 合并得 x2， 系數(shù)化為 1 得 x 2， 用數(shù)軸表示為： 【點評】 本題考查了解一元一次不等式：解一元一次不等式的一般步驟為：先去括號，再移項，接著合并同類項，然后把系數(shù)化為 1也考查了在數(shù)軸上表示不等式的解集 20已知 a b= ，求（ a 2） 2+b（ b 2a） +4（ a 1）的值 【考點 】 整式的混合運算 化簡求值 【專題】 計算題 第 24 頁（共 39 頁） 【分析】 原式利用完全平方公式，以及單項式乘以多項式法則計算，去括號合并得到最簡結(jié)果，把已知等式代入計算即可求出值 【解答】 解：（ a 2） 2+b（ b 2a） +4（ a 1） =4a+4+2a 4 =a2+2（ a b） 2， a b= ， 原式 =2 【點評】 此題考查了整式的混合運算化簡求值，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵 21如圖，一次函數(shù) y=kx+b（ k0）的 圖象與反比例函數(shù) y= （ m0）的圖象交于 A （ 3， 1），B （ 1， n）兩點 （ 1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達式； （ 2）設(shè)直線 y 軸交于點 C，若點 P 在 x 軸上，使 C，請直接寫出點 P 的坐標 【考點】 反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題 【分析】 （ 1）把 A （ 3， 1）代入 y= ，把 A （ 3， 1）， B（ 1， 3）代入 y=kx+b， 即可得到結(jié)果； （ 2）直線 y 軸交于點 C，求得 C（ 0， 2），求出 =3 ，由于點P 在 x 軸上，設(shè) P（ a， 0）根據(jù) B 和兩點間的距離公式得 3 = ，解得 a=4，或 a= 2，即可得到結(jié)果 【解答】 解：（ 1）把 A （ 3， 1）代入 y= ，得 ， 解得 m= 3， 反比例函數(shù)的表達式為 ， 第 25 頁（共 39 頁） 當 x=1 時， ， B（ 1， 3）； 把 A （ 3， 1）， B（ 1， 3）代入 y=kx+b， ， 解得： ， 一次函數(shù)的表達式為 y= x 2； （ 2） 直線 y 軸交于點 C， C（ 0， 2）， =3 ， 點 P 在 x 軸上， 設(shè) P（ a， 0） B， 3 = ， 解得： a=4，或 a= 2， P（ 4， 0）或（ 2， 0） 【點評】 本題主要考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式，兩點間的距離公式，正確的識圖是解題的關(guān)鍵 22列方程或方程組解 應(yīng)用題： 【考點】 分式方程的應(yīng)用；一元二次方程的應(yīng)用 【分析】 設(shè)小白家這兩年用水的年平均下降率為 x，根據(jù)圖示可得，實用新型沖水馬桶之后，兩年之后全年用水量只剩下 64000 升，據(jù)此列方程求解 第 26 頁（共 39 頁） 【解答】 解：設(shè)小白家這兩年用水的年平均下降率為 x， 由題意，得 （ 1 x） 2=64000， 解得： x=符合題意，舍去， x=0% 答：小白家這兩年用水的 年平均下降率為 20% 【點評】 本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解答本題案的關(guān)鍵是讀懂題意，設(shè)出未知數(shù)，找出合適的等量關(guān)系，列方程求解 四、解答題（本題共 20分，每小題 5分） 23如圖，點 F 在 對角線 ，過點 F、 B 分別作 平行線相交于點 E，連接 （ 1）求證：四邊形 菱形； （ 2）若 ， ， ，求 長 【考點】 菱形的判定與性質(zhì)；勾股定理；平行四邊形的性質(zhì) 【分析】 （ 1）由外角的性質(zhì)可得 因為 得 F，由菱形的判定定理可得結(jié)論； （ 2）作 ，由特殊角的三角函數(shù)可得 0，由平行線的性質(zhì)可得 2= 0，利用銳角三角函數(shù)可得 菱形的性質(zhì)和勾股定理得 【解答】 （ 1）證明： 四邊形 平行四邊形 F， 第 27 頁（共 39 頁） 菱形； （ 2）解：作 點 H， ， 0， 1= 2= 1， 2= 0， ， ， D2=4， 四邊形 菱形， B=， ， ， 【點評】 本題主要考查了菱形的性質(zhì)及判定定理，銳角三角函數(shù)等，由銳角三角函數(shù)解得 24某校為了更好的開展 “學校特色體育教育 ”，從全校八年級的各班分別隨機抽取了 5 名男生和 5名女生，組成了一個容量為 60 的樣本，進行各項體育項目的測試，了解他們的身體素質(zhì)情況下表是整理樣本數(shù)據(jù)，得到的關(guān)于每個個體的測試成績的部分統(tǒng)計表、圖：某校 60 名學生體育測試成 績頻數(shù)分布表 成績 劃記 頻數(shù) 百分比 第 28 頁（共 39 頁） 優(yōu)秀 正正正 a 30% 良好 正正正正正正 30 b 合格 正 9 15% 不合格 3 5% 合計 60 60 100% （說明： 40 55 分為不合格， 55 70 分為合格， 70 85 分為良好， 85 100 分為優(yōu)秀）請根據(jù)以上信息，解答下列問題： （ 1）表中的 a= 18 ， b= 50% ； （ 2）請根據(jù)頻數(shù)分布表，畫出相應(yīng)的頻數(shù)分布直方圖； （ 3）如果該校八年級共有 150 名學生，根據(jù)以上數(shù)據(jù)，估計該校八年級學生身體素質(zhì)良好及以上的人數(shù)為 120 【考點】 頻數(shù)（率）分布直方圖；用樣本估計總體；頻數(shù)（率）分布表 【分析】 （ 1）根據(jù)樣本容量和百分比求出頻數(shù)，根據(jù)樣本容量和頻數(shù)求出百分比； （ 2）根據(jù)頻數(shù)畫出頻數(shù)分布直方圖； （ 3）求出八年級學生身體素質(zhì)良好及以上的人數(shù)的百分比，根據(jù)總?cè)藬?shù)求出答案 【解答】 解：（ 1） 6030%=18， 3060100%=50%， a=18， b=50%； （ 2）如圖， （ 3） 150（ 30%+50%） =120 第 29 頁（共 39 頁） 【點評】 本題考查讀頻數(shù)分布表的能力和利用統(tǒng)計圖獲取信息的能力，利用統(tǒng)計圖獲取信息時，必須認真觀察、分析、研究統(tǒng)計圖，才能作出正確的判斷和解決問題 25如圖， O 是 外接圓， C， O 的直徑， 延長線交于點 P，連接 （ 1）求證： O 的切線； （ 2）若 ， ，求 長 【考點】 切線的判定；勾股定理 【分析】 （ 1）連接 點 E，根據(jù)垂徑定理的推論求得 后根據(jù)平行線的性質(zhì)證得 0，即可證得結(jié)論 （ 2）根據(jù)勾股定理求得 出 ，根據(jù) D= C，得出 = ，從而求得 【解答】 （ 1）證明：連接 點 E， 由 C 可得 0 O 的半徑， O 的切線 第 30 頁（共 39 頁） （ 2）解：根據(jù)（ 1）可得 ， ， 直徑， 0， 又 D= C， = ， 【點評】 本題考查了切線的判定，勾股定理的應(yīng)用，正切函數(shù)的應(yīng)用等；經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線在判定一條直線為圓的切線時，當已知條件中明確指出直線與圓有公共點時，常連接過該公共點的半徑，證明該半徑垂直于這條直線 26閱讀下面 材料： 小凱遇到這樣一個問題：如圖 1，在四邊形 ，對角線 交于點 O， ， ， 0，求四邊形 面積小凱發(fā)現(xiàn)，分別過點 A、 C 作直線 垂線，垂足分別為點 E、 F，設(shè) m，通過計算 面積和使問題得到解決（如圖 2）請回答： （ 1） 面積為 （用含 m 的式子表示） （ 2）求四邊形 面積 參考小凱思考問題的方法，解決問題：如圖 3，在四邊形 ，對角線 交 于點 O，AC=a， BD=b， （ 0 90），則四邊形 面積為 （用含 a、 b、的式子表示） 第 31 頁（共 39 頁） 【考點】 解直角三角形；三角形的面積；含 30 度角的直角三角形 【分析】 （ 1）首先得出 長，再利用三角形的面積公式求出即可； （ 2）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得 ，再根據(jù)三角形的面積公式可得 S ，同理再表示 ，然后再表示 面積，再求兩個三角形的面積和可得答案； （ 3）方法與（ 2）類似 【解答】 解：（ 1） AO=m， 0， m， 面積為： m6= ； 故答案為： m； （ 2）由題意可知 0 AO=m， 0， S 同理， S S 四邊形 解決問題：分別過 點 A、 C 作直線 垂線，垂足分別為點 E、 F，設(shè) x， AO=x， ， AE=x S E= 同理， 4 x） 第 32 頁（共 39 頁） S F= b（ 4 x） S 四邊形 故答案為： 【點評】 此題主要考查了含 30 度角的直角三角形的性質(zhì)，三角形的面積，三角函數(shù)，關(guān)鍵是掌握三角形的面積公式 五、解答題（本題共 22分，第 27題 7分，第 28題 7 分，第 29題 8分） 27已知：關(guān)于 x 的一元二次方程 2（ a 1） x+a 2=0（ a 0） （ 1）求證： 方程有兩個不相等的實數(shù)根； （ 2）設(shè)方程的兩個實數(shù)根分別為 中 若 y 是關(guān)于 a 的函數(shù)，且 y=這個函數(shù)的表達式； （ 3）在（ 2）的條件下，結(jié)合函數(shù)的圖象回答：若使 y 3，則自變量 a 的取值范圍為 0 a 【考點】 拋物線與 x 軸的交點；二次函數(shù)與不等式（組） 【專題】 計算題 【分析】 （ 1）由于 a 0，則計算判別式的值得到 0，于是根據(jù)判別式的意 義可判斷方程有兩個不相等的實數(shù)根； （ 2）利用求根公式可得到 ， ，于是得到 y=x1=a 1； 第 33 頁（共 39 頁） （ 3）把 y 3 理解為一次函數(shù) y=a 1 與二次函數(shù) y= 3 比較函數(shù)值的大小，先求出兩函數(shù)的交點坐標，然后寫出拋物線都在直線上方所對應(yīng)的自變量的范圍即可，注意 a 0 【解答】 （ 1）證明： = 2（ a 1） 2 4a（ a 2） =4 0， 方程有兩個不相等的實數(shù)根； （ 2）解： x= = a 0， ， ， y=x1=a 1， 即這個函數(shù)的表達式為 y=a 1（ a 0）； （ 3）解：如圖， 解方程組 得 或 ， 即拋物線 y= 3 與直線 y=a 1 的兩 個交點坐標為（ 1， 2）、（ ， ）， 當 y 3 時， 0 a 故答案為 0 a 【點評】 本題考查了拋物線與 x 軸的交點：求二次函數(shù) y=bx+c（ a， b， c 是常數(shù)， a0）與 x 軸的交點坐標，令 y=0，即 bx+c=0，解關(guān)于 x 的一元二次方程即可求得交點橫坐標二次函數(shù)y=bx+c（ a， b， c 是常數(shù)， a0）的交點與一元二次方程 bx+c=0 根之間的關(guān)系： =4x 軸的交點個數(shù) =40 時，拋物線與 x 軸有 2 個交點； =4 時，拋物線與 x 軸有 1 個交點； =40 時，拋物線與 x 軸沒有交點 第 34 頁（共 39 頁） 28數(shù)學活動課上，老師提出這樣一個問題：如果 C， 0， 0，連接 么 間會有怎樣的等量關(guān)系呢？經(jīng)過思 考后，部分同學進行了如下的交流： 小蕾：我將圖形進行了特殊化，讓點 P 在 長線上（如圖 1），