遼寧省錦州市2016屆高考數(shù)學(xué)二模試卷(理科)含答案解析

第 1 頁（共 31 頁） 2016 年遼寧省錦州市高考數(shù)學(xué)二模試卷（理科） 一、選擇題：本大題共 12 個小題 ,每小題 5 分 ,共 60 分 有一項是符合題目要求的 . 1已知集合 A=x| 1x1， B=x|2x 0，則 A （ =（ ） A 1， 0 B 1， 2 C 0， 1 D（ ， 1 2， +） 2已知（ a+i）（ 1 =2i（其中 a， b 均為實數(shù)， i 為虛數(shù)單位），則 |a+于（ ） A 2 B C 1 D 1 或 3下列有關(guān)命題的說法正確的是（ ） A命題 “若 ，則 x=1”的否命題為： “若 ，則 x1” B “m=1”是 “直線 x 和直線 x+ 互相垂直 ”的充要條件 C命題 “xR，使得 x2+x+1 0”的否定是： “xR，均有 x2+x+1 0” D命題 “已知 x， y 為一個三角形的兩內(nèi)角，若 x=y，則 逆命題為真命題 4某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的各個面中，最大的面積是（ ）A B 1 C D 5如圖是秦九韶算法的一個程序框圖，則輸出的 S 為（ ） 第 2 頁（共 31 頁） A a1+a3+a0+的值 B a3+a2+a1+的值 C a0+a1+a2+的值 D a2+a0+a3+ 的值 6已知變量 x， y 滿足約束條件 ，則 z=x 2y 的最大值為（ ） A 3 B 0 C 1 D 3 7把 A、 B、 C、 D 四件玩具分給三個小朋友，每位小朋友至少分到一件玩具，且 A、 B 兩件玩具不能分給同一個人，則不同的分法有（ ） A 36 種 B 30 種 C 24 種 D 18 種 8已知 a= 二項式（ ） 6 的展開式中 ） A 20 B 20 C 160 D 160 9已知四棱錐 S 所有頂點在同一球面上，底面 正方形且球心 O 在此平面內(nèi)，當(dāng)四棱錐體積取得最大值時，其面積等于 16+16 ，則球 O 的體積等于（ ） A B C D 10已知頂點為坐標(biāo)原點 O 的拋物線 雙曲線 （ a 0， b 0）都過點 M（ ， ），且它們有共同的一個焦點 F則雙曲線 離心率是（ ） A 2 B 3 C D 第 3 頁（共 31 頁） 11設(shè)函數(shù) f（ x）是定義在 R 上的偶 函數(shù)，對任意 xR，都有 f（ x） =f（ x+4），且當(dāng) x 2， 0時， f（ x） =（ ） x 1，若在區(qū)間（ 2， 6內(nèi)關(guān)于 x 的方程 f（ x） x+2） =0（ a 1）恰有三個不同的實數(shù)根，則 a 的取值范圍是（ ） A（ ， 2） B（ ， 2） C ， 2） D（ ， 2 12不等式 x 解集為 P，且 0， 2P，則實數(shù) a 的取值范圍是（ ） A（ ， e 1） B（ e 1， +） C（ ， e+1） D（ e+1， +） 二、填空題：本大題共 4 小題，每小題 5 分 13已知函數(shù) f（ x） = ，則 f（ = 14若 三邊 a， b， c 及面積 S 滿足 S= b c） 2，則 15已知向量 與 的夾角為 120，且 ， 若 ，且 ，則實數(shù) = 16在 ，內(nèi)角 A， B， C 的所對邊分別是 a， b， c，有如下下列命題： 若 A B C，則 若 ，則 等邊三角形； 若 等腰三角形； 若（ 1+ 1+=2，則 鈍角三角形； 存在 A， B， C，使得 立 其中正確的命題為 （寫出所有正確命題的序號） 三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟 . 17已知數(shù)列 前 n 項和為 Sn=n（ n+1）（ nN*） （ ）求數(shù)列 通項公式； （ ） 若數(shù)列 足： ，求數(shù)列 通項公式； （ ）令 （ nN*），求數(shù)列 前 n 項和 第 4 頁（共 31 頁） 18某學(xué)校高一年級學(xué)生某次身體素質(zhì)體能測試的原始成績采用百分制，已知所有這些學(xué)生的原始成績均分布在 50， 100內(nèi)，發(fā)布成績使用等級制各等級劃分標(biāo)準(zhǔn)見表規(guī)定： A、 B、 C 三級為合格等級， D 為不合格等級 百分制 85 以及以上 70 分到 84 分 60 分到 69 分 60 分以下 等級 A B C D 為了解該校高一年級學(xué)生身體素質(zhì)情況，從中抽取了 n 名學(xué)生的原始成績作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計按照50， 60）， 60， 70）， 70， 80）， 80， 90）， 90， 100的分組作出頻率分布直方圖如圖 1 所示，樣本中分?jǐn)?shù)在 80 分及以上的所有數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖 2 所示 （ I）求 n 和頻率分布直方圖中的 x， y 的值； （ ）根據(jù)樣本估計總體的思想，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率，若在該校高一學(xué)生中任選 3 人，求至少有 1 人成績是合格等級的概率； （ ）在選取的樣本中，從 A、 C 兩個等級的學(xué)生中隨機抽取了 3 名學(xué)生進(jìn)行調(diào) 研，記 表示所抽取的 3 名學(xué)生中為 C 等級的學(xué)生人數(shù)，求隨機變量 的分布列及數(shù)學(xué)期望 19如圖，多面體 ， 平面 面 菱形， ， 0，四邊形 正方形 （ ）求證： 平面 （ ）求直線 平面 成角的正弦值； （ ）在線段 是否存在點 P，使得 平面 存在，求出 的值；若不存在，說明理由 第 5 頁（共 31 頁） 20橢圓 C： + =1（ a b 0）的離心率為 ，且過其右焦點 F 與長軸垂直的直線被橢圓 （ ）求橢圓 C 的方程； （ ）設(shè)點 P 是橢圓 C 的一個動點，直線 l： y= x+ 與橢圓 C 交 于 A， B 兩點，求 積的最大值 21已知函數(shù) f（ x） =1+ a0） （ 1）若 f（ x）在 x=0 處取得極值，求 a 的值； （ 2）討論 f（ x）的單調(diào)性； （ 3）證明： 為自然對數(shù)的底數(shù)） 請考生在 22、 23、 24 三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分 選修 4何證明選講 22如圖，圓周角 平分線與圓交于點 D，過點 D 的切線與弦 延長線交 于點 E， C 于點 F （ ）求證： （ ）若 D， E， C， F 四點共圓，且 = ，求 第 6 頁（共 31 頁） 選修 4標(biāo)系與參數(shù)方程 23已知直線 l 的參數(shù)方程為 （ t 為參數(shù)），曲線 C 的參數(shù)方程為 （ 為參數(shù)） （ ）已知 在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系 相同的長度單位，且以原點 O 為極點，以 x 軸正半軸為極軸）中，點 P 的極坐標(biāo)為（ 4， ），判斷點 P 與直線 l 的位置關(guān)系； （ ）設(shè)點 Q 是曲線 C 上的一個動點，求點 Q 到直線 l 的距離的最小值與最大值 選修 4等式選講 24已知函數(shù) f（ x） =|x 2| （ 1）解不等式： f（ x+1） +f（ x+2） 4； （ 2）已知 a 2，求證： xR， f（ +x） 2 恒成立 第 7 頁（共 31 頁） 2016 年遼寧省錦州市高考數(shù)學(xué)二模試卷（ 理科） 參考答案與試題解析 一、選擇題：本大題共 12 個小題 ,每小題 5 分 ,共 60 分 有一項是符合題目要求的 . 1已知集合 A=x| 1x1， B=x|2x 0，則 A （ =（ ） A 1， 0 B 1， 2 C 0， 1 D（ ， 1 2， +） 【考點】 交、并、補集的混合運算 【專題】 集合 【分析】 解不等式求出集合 B，進(jìn)而結(jié)合集合的補集和并集運算，可得答案 【解答】 解： 集合 A=x| 1x1= 1， 1， B=x|2x 0=（ 0， 2）， ， 0 2， +）， A （ =（ ， 1 2， +）， 故選： D 【點評】 本題考查的知識點是集合的交集運算，并集運算和補集運算，難度不大，屬于基礎(chǔ)題 2已知（ a+i）（ 1 =2i（其中 a， b 均為實數(shù)， i 為虛數(shù)單位），則 |a+于（ ） A 2 B C 1 D 1 或 【考點】 復(fù)數(shù)求模 【專題】 數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù) 【 分析】 首先將已知不等式展開，利用復(fù)數(shù)相等求出 a， b，然后求模 【解答】 解：由（ a+i）（ 1 =2i 得（ a+b） +（ 1 i=2i，所以 ，解得 或者 ， 所以 |a+ = ； 故選： B 【點評】 本題考查了復(fù)數(shù)相等以及復(fù)數(shù)的 模，屬于基礎(chǔ)題 第 8 頁（共 31 頁） 3下列有關(guān)命題的說法正確的是（ ） A命題 “若 ，則 x=1”的否命題為： “若 ，則 x1” B “m=1”是 “直線 x 和直線 x+ 互相垂直 ”的充要條件 C命題 “xR，使得 x2+x+1 0”的否定是： “xR，均有 x2+x+1 0” D命題 “已知 x， y 為一個三角形的兩內(nèi)角，若 x=y，則 逆命題為真命題 【考點】 命題的真假判斷與應(yīng)用 【專題】 簡易邏輯 【分析】 對于 A 根據(jù)否命題的意義即可得出； 對于 B 按照垂直的條件判斷； 對于 C 按照含有一個量詞的命題的否定形式判斷； 對于 D 按照正弦定理和大角對大邊原理判斷 【解答】 解：對于 A，根據(jù)否命題的意義可得：命題 “若 ，則 x=1”的否命題為： “若 ，則 x1”，因此原命題不正確，違背否命題的形式； 對于 B， “m=1”是 “直線 x 和直線 x+ 互相垂直 ”的充要條件不準(zhǔn)確，因為 “直線 x 和直線 x+ 互相垂直 ”的充要條件是 ，即 m=1 對于命題 C： “xR，使得 x2+x+1 0”的否定的寫法應(yīng)該是： “xR，均有 x2+x+10”，故原結(jié)論不正確 對于 D，根據(jù)正弦定理， x=y所以逆命題為真命題是正確的 故答案選： D 【點評】 本題考查了四種命題之間的關(guān)系、命題的否定，屬于基礎(chǔ)題 4某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的各個面中，最大的面積是（ ）A B 1 C D 第 9 頁（共 31 頁） 【考點】 由三視 圖求面積、體積 【專題】 計算題；空間位置關(guān)系與距離 【分析】 根據(jù)幾何體的三視圖，得出該幾何體是直三棱錐，根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)，求出該三棱錐的 4 個面的面積，得出面積最大的三角形的面積 【解答】 解：根據(jù)幾何體的三視圖，得； 該幾何體是如圖所示的直三棱錐， 且側(cè)棱 底面 ， ，點 B 到 距離為 1； 底面 面積為 21=1， 側(cè)面 面積為 1= ， 側(cè)面 面積為 21=1， 在側(cè)面 ， ， = ， = ， 面積為 = ； 三棱錐 P 所有面中，面積最大的是 故選： A 【點評】 本題考查了 空間幾何體的三視圖的應(yīng)用問題，也考查了空間中的位置關(guān)系與距離的計算問題，是基礎(chǔ)題目 5如圖是秦九韶算法的一個程序框圖，則輸出的 S 為（ ） 第 10 頁（共 31 頁） A a1+a3+a0+的值 B a3+a2+a1+的值 C a0+a1+a2+的值 D a2+a0+a3+的值 【考點】 程序框圖 【專題】 圖表型；算法和程序框圖 【分析】 模擬執(zhí)行程序框圖，根據(jù)秦九韶算法即可得解 【解答】 解：由秦九韶算法， S=a0+a1+a2+， 故選： C 【點評】 本小題主要通過程序框圖的理解考查學(xué)生的邏輯推理能力，同時考查學(xué)生對算法思想的理解與剖析，本題特殊利用秦九韶算法，使學(xué)生更加深刻地認(rèn)識中國優(yōu)秀的傳統(tǒng)文化，屬于基礎(chǔ)題 6已知變量 x， y 滿足約束條件 ，則 z=x 2y 的最大值為（ ） A 3 B 0 C 1 D 3 【考點】 簡單線性規(guī)劃 【專題】 計算題；不等式的解法及應(yīng)用 【分析】 作出題中不等式組表示的平面區(qū)域，得如圖的 其內(nèi)部，再將目標(biāo) 函數(shù) z=x 2y 對應(yīng)的直線進(jìn)行平移，可得當(dāng) x=1， y=0 時， z 取得最大值 1 第 11 頁（共 31 頁） 【解答】 解：作出不等式組 表示的平面區(qū)域， 得到如圖的 其內(nèi)部，其中 A（ 1， 1）， B（ 2， 1）， C（ 1， 0） 設(shè) z=F（ x， y） =x 2y，將直線 l： z=x 2y 進(jìn)行平移， 當(dāng) l 經(jīng)過點 C 時，目標(biāo)函數(shù) z 達(dá)到最大值 z 最大值 =F（ 1， 0） =1 故選： C 【點評】 本題給出二元一次不等式組，求目標(biāo)函數(shù) z=x 2y 的最 大值，著重考查了二元一次不等式組表示的平面區(qū)域和簡單的線性規(guī)劃等知識，屬于基礎(chǔ)題 7把 A、 B、 C、 D 四件玩具分給三個小朋友，每位小朋友至少分到一件玩具，且 A、 B 兩件玩具不能分給同一個人，則不同的分法有（ ） A 36 種 B 30 種 C 24 種 D 18 種 【考點】 排列、組合的實際應(yīng)用 【專題】 計算題；概率與統(tǒng)計 【分析】 根據(jù)題意，運用排除法分 2 步進(jìn)行分析， 、先計算把 A、 B、 C、 D 四件玩具分給三個小朋友，每位小朋友至少分到一件玩具的分法數(shù)目， 再計算 A、 B 兩件玩具分給同一個人的分法數(shù)目；將全部 分法的數(shù)目減去 A、 B 兩件玩具分給同一個人的分法數(shù)目即可得答案 【解答】 解：根據(jù)題意，分 2 步進(jìn)行分析： 、先計算把 A、 B、 C、 D 四件玩具分給三個小朋友，每位小朋友至少分到一件玩具的分法數(shù)目： 首先將 4 件玩具分成 3 組，其中 1 組有 2 件，剩余 2 組各 1 件，有 種分組方法， 再將這 3 組對應(yīng)三個小朋友，有 種方法， 則有 66=36 種情況， 、計算 A、 B 兩件玩具分給同一個人的分法數(shù)目， 第 12 頁（共 31 頁） 若 A、 B 兩件玩具分給同一個人，則剩余的 2 件玩具分給其他 2 人，有 22=6 種情況， 綜合可得： A、 B 兩件玩具 不能分給同一個人的不同分法有 36 6=30 種； 故選： B 【點評】 本題考查排列組合的實際應(yīng)用，注意本題可以利用排除法分析，可以避免分類討論，即可以簡化計算 8已知 a= 二項式（ ） 6 的展開式中 ） A 20 B 20 C 160 D 160 【考點】 二項式系數(shù)的性質(zhì)；定積分 【專題】 計算題；二項式定理 【分析】 求定積分可得 a=2，在二項式（ ） 6 的展開式的通項公式中，令 x 的冪指數(shù)等于 3，求得 r 的值，可得展開式中含 的系數(shù) 【解答】 解： a= 2， 二項式（ ） 6的展開式的通項為 = ， 令 12 3r=3，可得 r=3， 所以二項式（ ） 6的展開式中 系數(shù)為 160 故選： C 【點評】 本題主要考查求定積分，二項式定理的應(yīng)用，二項式展開式的通項公式，求展開式中某項的系數(shù)，屬于基礎(chǔ)題 9已知四棱錐 S 所有頂點在同一球面上，底面 正方形且球心 O 在此平面內(nèi)，當(dāng)四棱錐體積取得最大值時，其面積等于 16+16 ，則球 O 的體積等于（ ） A B C D 【考點】 球的體積和表面積 【專題】 計算題；空間位置關(guān)系與距離 第 13 頁（共 31 頁） 【分析】 當(dāng)此四棱錐體積取得最大值時，四棱錐為正四棱錐，根據(jù)該四棱錐的表面積等于 16+16 ，確定該四棱錐的底面邊長和高，進(jìn)而可求球的半徑為 R，從而可求球的體積 【解答】 解：由題意，當(dāng)此四棱錐體積取得最大值時，四棱 錐為正四棱錐， 該四棱錐的表面積等于 16+16 ， 設(shè)球 O 的半徑為 R，則 R， ，如圖， 該四棱錐的底面邊長為 R， 則有（ R） 2+4 R =16+16 ， 解得 R=2 球 O 的體積是 故選： D 【點評】 本題考查球內(nèi)接多面體，球的體積，解題的關(guān)鍵是確定球的半徑，再利用公式求解 10已知頂點為坐標(biāo)原點 O 的拋物線 雙曲線 （ a 0， b 0）都過點 M（ ， ），且它們有共同的一個焦點 F則雙曲線 離心率是（ ） A 2 B 3 C D 【考點】 雙曲線的簡單性質(zhì) 【專題】 圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程 【分析】 設(shè)拋物線方程為 p 0），將 M（ ， ）代入，可求拋物線方程，再利用雙曲線的定義可求雙曲線的 a，再由離心率公式可得 e 【解答】 解：設(shè)拋物線方程為 p 0）， 將 M（ ， ）代入 p=2 第 14 頁（共 31 頁） 拋物線方程為 x，焦點為 F（ 1， 0）， 由題意知雙曲線的焦點為 1， 0）， 1， 0）， c=1， 對于雙曲線， 2a=| | = = ， a= ， e= =3 故選 B 【點評】 本題主要考查利用待定系數(shù)法求拋物線、雙曲線方程，注意 挖掘題目隱含，將問題等價轉(zhuǎn)化 11設(shè)函數(shù) f（ x）是定義在 R 上的偶函數(shù)，對任意 xR，都有 f（ x） =f（ x+4），且當(dāng) x 2， 0時， f（ x） =（ ） x 1，若在區(qū)間（ 2， 6內(nèi)關(guān)于 x 的方程 f（ x） x+2） =0（ a 1）恰有三個不同的實數(shù)根，則 a 的取值范圍是（ ） A（ ， 2） B（ ， 2） C ， 2） D（ ， 2 【考點】 函數(shù)的周期性；函數(shù)奇偶性的性質(zhì) 【專題】 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用 【分析】 由已知中 f（ x）是定義在 R 上的偶函數(shù)，對于任意的 xR，都有 f（ x 2） =f（ 2+x），我們可以得到函數(shù) f（ x）是一個周期函數(shù)，且周期為 4，則不難畫出函數(shù) f（ x）在區(qū)間（ 2， 6上的圖象，結(jié)合方程的解與函數(shù)的零點之間的關(guān)系，我們可將方程 f（ x） =0 恰有 3 個不同的實數(shù)解，轉(zhuǎn)化為函數(shù) f（ x）的與函數(shù) y= 的圖象恰有 3 個不同的交點，數(shù)形結(jié)合即可得到實數(shù)a 的取值范圍 【解答】 解：設(shè) x0， 2，則 x 2， 0， f（ x） =（ ） x 1=2x 1， f（ x）是定義在 R 上的偶函數(shù)， f（ x） =f（ x） =2x 1 對任意 xR，都有 f（ x） =f（ x+4）， 當(dāng) x2， 4時，（ x 4） 2， 0， f（ x） =f（ x 4） =4 1； 當(dāng) x4， 6時，（ x 4） 0， 2， 第 15 頁（共 31 頁） f（ x） =f（ x 4） =2x 4 1 若在區(qū)間（ 2， 6內(nèi)關(guān)于 x 的方程 f（ x） x+2） =0（ a 1）恰有三個不同的實數(shù)根， 函數(shù) y=f（ x）與函數(shù) y=x+2）在區(qū)間（ 2， 6上恰有三個交點， 通過畫圖可知：恰有三個交點的條件是 ，解得： a 2， 即 a 2，因此所求的 a 的取值范圍為（ ， 2） 故選： B 【點評】 本題考查的知識點是根的存在性及根的個數(shù)判斷，指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，其中根據(jù)方程的解與函數(shù)的零點之間的關(guān)系，將方程根的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點問題，是解答本題的關(guān)鍵，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題 12不等式 x 解集為 P，且 0， 2P，則實數(shù) a 的取值范圍是（ ） A（ ， e 1） B（ e 1， +） C（ ， e+1） D（ e+1， +） 【考點】 一元二次不等式的解法；集合的 包含關(guān)系判斷及應(yīng)用 【專題】 不等式的解法及應(yīng)用 【分析】 由不等式 x 解集為 P，且 0， 2P ， x0， 2，利用導(dǎo)數(shù)求出即可 【解答】 解： 當(dāng) x=0 時，不等式 0 0 對任意實數(shù) x 恒成立； 當(dāng) x 0 時，不等式 x 變形為 ， 由不等式 x 解集為 P，且 0， 2P ， x0， 2 設(shè) ， x（ 0， 2 g（ x） = = ，令 g（ x） =0，解得 x=1 第 16 頁（共 31 頁） 當(dāng) 0 x 1 時， g（ x） 0，函數(shù) g（ x）單調(diào)遞減；當(dāng) 1 x2 時， g（ x） 0，函數(shù) g（ x）單調(diào)遞增 由此可知：當(dāng) x=1 時，函數(shù) f（ x）取得極小值，也即最小值，且 f（ 1） =e 1+a e， a e 1 故選 A 【點評】 把問題正確等價轉(zhuǎn)化并熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值 是解題的關(guān)鍵 二、填空題：本大題共 4 小題，每小題 5 分 13已知函數(shù) f（ x） = ，則 f（ = 【考點】 抽象函數(shù)及其應(yīng)用 【專題】 計算題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用 【分析】 注意分段函數(shù)各段的范圍，由對數(shù)的性質(zhì)和運算法則，結(jié)合對數(shù)恒等式 =N，計算即可得到 【解答】 解：由于函數(shù) f（ x） = ， 則 f（ =f（ 1） 1 =f（ 1=f（ 1） 2=f（ 2 =f（ 1） 3=f（ 3=f（ 1） 4=f（ 4 = 4= 4= 故答案為： 【點評】 本題考查分段函數(shù)的運用：求函數(shù)值，注意各段的范圍，考查對數(shù)的性質(zhì)和運算法則及對數(shù)恒等式，屬于中檔題 14若 三邊 a， b， c 及面積 S 滿足 S= b c） 2，則 【考點】 余弦定理 【專題】 解三角形 第 17 頁（共 31 頁） 【分析】 由條件利用余弦定理求得 4 4利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、二倍角公式求得 值，可得 的值 【解答】 解： ，由于面積 S= b c） 2 =b2+2bc b2+2=22bc 而 S= bc 22bcbc得 4 4 4 4（ 1 2 ） =2 ， = = = ， 故答案為： 【點評】 本題主要考查余弦定理、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、二倍角公式的應(yīng)用，屬于中檔題 15已知向量 與 的夾角為 120，且 ， 若 ，且 ，則實數(shù) = 【考點】 數(shù)量積表示兩個向量的夾角；向量的模 【專題】 平面向量及應(yīng)用 【分析】 利用 ， ，表示 向量，通過數(shù)量積為 0，求出 的值即可 【解答】 解：由題意可知： ， 因為 ， 所以 ， 所以 = = = 12+7=0 解得 = 故答案為： 第 18 頁（共 31 頁） 【點評】 本題考查向量的數(shù)量積的應(yīng)用，向量的垂直，考查轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)與計算能力 16在 ，內(nèi)角 A， B， C 的所對邊分別是 a， b， c，有如下下列命題： 若 A B C，則 若 ，則 等邊三角形； 若 等腰三角形； 若（ 1+ 1+=2，則 鈍角三角形； 存在 A， B， C，使得 立 其中正確的命題為 （寫出所有正確命題的序號） 【考點】 同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運用 【專題】 三角函數(shù)的求值 【分析】 已知不等式利用正弦定理化簡，整理得到結(jié)果，即可做出判斷； 已知等式利用正弦定理化簡，整理得到結(jié)果，即可做出判斷； 已知等式利用正弦函數(shù)的性質(zhì)化簡，整理得到結(jié)果 ，即可做出判斷； 已知等式整理后，利用兩角和與差的正切函數(shù)公式化簡，求出 C 的度數(shù)，即可做出判斷； 由 A， B， C 為三角形內(nèi)角，得到 A+B） = C） = 用兩角和與差的正切函數(shù)公式化簡，整理得到 本選項錯誤 【解答】 解： A B C， a b c， 又 = = =2R， ， ， ， 2R 為定值， 選項正確； = = ， 由正弦定理得： a=2Rb=2Rc=2R入，得 = = ， = = ，即 A=B=C， 則 等邊三角形，本選項正確； 第 19 頁（共 31 頁） 2A=2B 或 2A+2B=， 即 A=B 或 A+B= ， 則 等腰三角形或直角三角形，本選項錯誤； （ 1+ 1+=2，即 1+， ，即 =1，即 A+B） =1， A+B= ，即 C= ， 則 鈍角三角形，本選項正確； 若 A、 B、 C 有一個為直角時不成立， 若 A、 B、 C 都不為直角， A+B= C， A+B） = C），即 = 則 即 錯誤， 故答案為： 【點評】 此題考查了同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，正弦定理，兩角和與差的正切函數(shù)公式，熟練掌握 基本關(guān)系是解本題的關(guān)鍵 三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟 . 17已知數(shù)列 前 n 項和為 Sn=n（ n+1）（ nN*） （ ）求數(shù)列 通項公式； （ ）若數(shù)列 足： ，求數(shù)列 通項公式； （ ）令 （ nN*），求數(shù)列 前 n 項和 【考點】 數(shù)列的求和；數(shù)列的函數(shù)特性；等差數(shù)列的通項公式 【專題】 綜合題 第 20 頁（共 31 頁） 【分析】 （ ）當(dāng) n=1 時， 1=2，當(dāng) n2 時， n 1=n（ n+1）（ n 1） n=2n，由此能求出數(shù)列 通項公式 （ ）由 （ n1），知，所以 ，由此能求出 （ ） =n（ 3n+1） =n3n+n，所以 Tn=c1+c2+ 13+232+333+n3n） +（ 1+2+n），令 3+232+333+n3n，由錯位相減法能求出 ，由此能求出數(shù)列前 n 項和 【解答】 解：（ ）當(dāng) n=1 時， 1=2， 當(dāng) n2 時， n 1=n（ n+1）（ n 1） n=2n， 知 滿足該式， 數(shù)列 通項公式為 n （ ） （ n1） 得： ， =2（ 3n+1+1）， 故 （ 3n+1）（ nN*） （ ） =n（ 3n+1） =n3n+n， Tn=c1+c2+ 13+232+333+n3n） +（ 1+2+n） 令 3+232+333+n3n， 則 332+233+334+n3n+1 得： 2+32+33+3n n3n+1= 第 21 頁（共 31 頁） ， 數(shù)列 前 n 項和 【點評】 本題首先考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本量、通項，結(jié)合含兩個變量的不等式的處理問題，對數(shù)學(xué)思維的要求比較高，要求學(xué)生理解 “存在 ”、 “恒成立 ”，以及運用一般與特殊的關(guān)系進(jìn)行否定，本題有一定的探索性綜合性強，難度大，易出錯解題時要認(rèn)真審題，注意錯位相減法的靈活運用 18某學(xué)校高一年級學(xué)生某次身體 素質(zhì)體能測試的原始成績采用百分制，已知所有這些學(xué)生的原始成績均分布在 50， 100內(nèi)，發(fā)布成績使用等級制各等級劃分標(biāo)準(zhǔn)見表規(guī)定： A、 B、 C 三級為合格等級， D 為不合格等級 百分制 85 以及以上 70 分到 84 分 60 分到 69 分 60 分以下 等級 A B C D 為了解該校高一年級學(xué)生身體素質(zhì)情況，從中抽取了 n 名學(xué)生的原始成績作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計按照50， 60）， 60， 70）， 70， 80）， 80， 90）， 90， 100的分組作出頻率分布直方圖如圖 1 所示，樣本中分?jǐn)?shù)在 80 分及以上的所有數(shù)據(jù)的莖葉 圖如圖 2 所示 （ I）求 n 和頻率分布直方圖中的 x， y 的值； （ ）根據(jù)樣本估計總體的思想，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率，若在該校高一學(xué)生中任選 3 人，求至少有 1 人成績是合格等級的概率； （ ）在選取的樣本中，從 A、 C 兩個等級的學(xué)生中隨機抽取了 3 名學(xué)生進(jìn)行調(diào)研，記 表示所抽取的 3 名學(xué)生中為 C 等級的學(xué)生人數(shù)，求隨機變量 的分布列及數(shù)學(xué)期望 【考點】 列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率；頻率分布直方圖 【專題】 數(shù)形結(jié)合；綜合法；概率與統(tǒng)計 第 22 頁（共 31 頁） 【 分析】 （ I）結(jié)合圖形求出 n 的值，即可求出頻率分布直方圖中的 x， y 的值； （ ）找出成績是合格等級人數(shù)，進(jìn)而求出抽取 50 人成績合格等級的頻率，即可求出該校高一學(xué)生中任選 3 人，求至少有 1 人成績是合格等級的概率； （ ）找出 C 等級學(xué)生人數(shù)， A 等級學(xué)生人數(shù)，確定出 的取值，進(jìn)而求出 P（ ）的值，確定出 的分布，以及 【解答】 解：（ I）由題意得：樣本容量 n= =50， x= =y= = （ ）成績是合格等級人數(shù)為（ 1 50=45 人，抽取的 50 人中成績是合格等級的頻率為 ， 設(shè)該校高一學(xué)生中任選 3 人，至少有 1 人成績是合格等級的事件為 A， 則 P（ A） =1 （ 1 ） 2= ； （ ）由題意得： C 等級的學(xué)生人數(shù) 為 0=9 人， A 等級的人數(shù)為 3 人， 故 的取值為 0， 1， 2， 3， P（ =0） = = ， P（ =1） = = ， P（ =2） = = = ， P（ =3） = = = ， 的分布為 0 1 2 3 P 則 +1 +2 +3 = 【點評】 此題考查了列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率，以及頻率分布直方圖，弄清圖形的數(shù)據(jù)是解本題的關(guān)鍵 19如圖，多面體 ， 平面 面 菱形， ， 0，四 邊形 正方形 （ ）求證： 平面 （ ）求直線 平面 成角的正弦值； （ ）在線段 是否存在點 P，使得 平面 存在，求出 的值；若不存在，說明理由 第 23 頁（共 31 頁） 【考點】 直線與平面平行的判定；直線與平面所成的角 【專題】 空間位置關(guān)系與距離；空間角 【分析】 （ ）根據(jù)線面平行的判定定理，可得： 平面 平面 而由面面平等的判定定理，可得平 面 平面 而根據(jù)面面平行的性質(zhì)得到： 平面 （ ）建立空間直角坐標(biāo)系 O 出直線 方向向量與平面 法向量，代入向量夾角公式，可得直線 平面 成角的正弦值； （ ）設(shè) P（ x， y， z）， ，根據(jù) 平面 平面 向量為 滿足： ，根據(jù)無滿足條件的 值，可得不存在這樣的 P 點 【解答】 證 明：（ ）因為 菱形， 所以 又 面 面 所以 平面 又因為 正方形， 所以 因為 面 面 所以 平面 因為 面 面 F=B， 所以平面 平面 因為 面 所以 平面 . 解：（ ） 因為四邊形 菱形，且 0， 所以 等邊三角形 取 中點 O， 所以 第 24 頁（共 31 頁） 取 中點 G，連結(jié) 為 平面 所以 平面 如圖建立空間直角坐標(biāo)系 O 因為 所以 所以 ， ， 設(shè)平面 向量為 =（ x， y， z）， 則有 得 ， 令 y=1則 設(shè) 平面 成的角為 ，則 ， 所以直線 平面 成角的正弦值為 . （ ）不存在 ， 設(shè) P（ x， y， z）， ， 由 ， 得 因為平面 法向量為 若 平面 ，即 ， . 第 25 頁（共 31 頁） 得 方程組無解，不符合題意 綜上，不存在 使得 平面 . 【點評】 本題考查的知識點是直線與平面平行的判定，直線與平面所成的角，向量法求線面夾角，難度中檔 20橢圓 C： + =1（ a b 0）的離心率為 ，且過其右焦點 F 與長軸垂直的直線被橢圓 （ ）求橢圓 C 的方程； （ ）設(shè)點 P 是橢圓 C 的一個動點，直線 l： y= x+ 與橢圓 C 交于 A， B 兩點，求 積的最大值 【考點】 橢圓的簡單性質(zhì) 【專題】 圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程 【分析】 （ ）通過題意及 b2=得 、 6，從而得到橢圓 C 的方程； （ ）設(shè)過 P 點且與 行的直線 L 方程為 ， L 與 離就是 P 點到 距離，也就是 上的高，只要 L 與橢圓相切，就可得 L 與 A 的 B 最 大距離，從而可得最大面積 【解答】 解：（ ） 橢圓 C： + =1（ a b 0）的離心率為 ， ， ，即 4 又 過橢圓右焦點 F 與長軸垂直的直線被橢圓 C 截得的弦長為 2， 第 26 頁（共 31 頁） ， ，即 ， 又 b2=以 a2=b2+ ，即 6， 所以橢圓 C 的方程為： ； （ ）聯(lián)立直線直線 l： y= x+ 與橢圓 C 的方程，得 ，消去 y，整 理可得 72x 52=0， 即（ 7x+26）（ x 2） =0，解得 x=2 或 ， 所以不妨設(shè) A（ 2， ）， B（ ， ）， 則 = ， 設(shè)過 P 點且與直線 l 平行的直線 L 的方程為： ， L 與 l 的距離就是 P 點到 距離，即 邊 上的高， 只要 L 與橢圓相切，就有 L 與 最大距離，即得最大面積， 將 代入 ， 消元、整理，可得： ， 令判別式 = = 256864 =0，解得 c= = ， L 與 最大距離為 = ， 積的最大值為： = 第 27 頁（共 31 頁） 【點評】 本題考查 橢圓方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查三角形面積的計算，解題的關(guān)鍵是求出L 與 大距離，屬于中檔題 21已知函數(shù) f（ x） =1+ a0） （ 1）若 f（ x）在 x=0 處取得極值，求 a 的值； （ 2）討論 f（ x）的單調(diào)性； （ 3）證明： 為自然對數(shù)的底數(shù)） 【考點】 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；不等式的證明 【專題】 計算題；證明題；分類討論 【分析】 （ 1）求出 f（ x），因為 f（ x）在 x=0 時取得極值，所以 f（ 0） =0，代入求出 a 即可； （ 2）分三種情況： a=0； a 1； 1 a 0，令 f（ x） 0 得到函數(shù)的遞增區(qū)間；令 f（ x） 0 得到函數(shù)的遞減區(qū)間即可；（ 3）由（ 2）知當(dāng) a= 1 時函數(shù)為減函數(shù)，所以得到 1+ x，利用這個結(jié)論根據(jù)對數(shù)的運算法則化簡不等式的左邊得證即可 【解答】 解：（ 1） ， x=0 使 f（ x）的一個極值點，則 f（ 0） =0， a=0，驗證知 a=0 符合條件 （ 2） 若 a=0 時， f（ x）在（ 0， +）單調(diào)遞增，在（ ， 0）單調(diào)遞減； 若 得，當(dāng) a 1 時， f（ x） 0 對 xR 恒成立， f（ x）在 R 上單調(diào)遞減 若 1 a 0 時，由 f（ x） 0 得 x+a 0 再令 f（ x） 0，可得 上單調(diào)遞增， 在 第 28 頁（共 31 頁） 綜上所述，若 a 1 時， f（ x）在（ ， +）上單調(diào)遞減； 若 1 a 0 時， 上單調(diào)遞增上單調(diào)遞減； 若 a=0 時， f（ x）在（ 0， +）單調(diào)遞增，在（ ， 0）單調(diào)遞減 （ 3）由（ 2）知，當(dāng) a= 1 時， f（ x）在（ ， +）單調(diào)遞減 當(dāng) x（ 0， +）時，由 f（ x） f（ 0） =0 1+ x， 1+ ）（ 1+ ） （ 1+ ） =1+ ） +1+ ） +1+ ） + + = = （ 1