高二數學上 8.2 橢圓的簡單幾何性質（一）優(yōu)秀教案

8 28 2 橢圓的簡單幾何性質橢圓的簡單幾何性質 一 教學目標一 教學目標 一 知識教學點 通過橢圓標準方程的討論 使學生掌握橢圓的幾何性質 能正確地畫出橢圓的圖形 并 了解橢圓的一些實際應用 二 能力訓練點 通過對橢圓的幾何性質的教學 培養(yǎng)學生分析問題和解決實際問題的能力 三 學科滲透點 使學生掌握利用方程研究曲線性質的基本方法 加深對直角坐標系中曲線與方程的關系 概念的理解 這樣才能解決隨之而來的一些問題 如弦 最值問題等 二 教材分析二 教材分析 1 重點 橢圓的幾何性質及初步運用 解決辦法 引導學生利用方程研究曲線的性質 最后進行歸納小結 2 難點 橢圓離心率的概念的理解 解決辦法 先介紹橢圓離心率的定義 再分析離心率的大小對橢圓形狀的 影響 3 疑點 橢圓的幾何性質是橢圓自身所具有的性質 與坐標系選擇無關 即不隨坐標系的改變而改變 解決辦法 利用方程分析橢圓性質之前就先給學生說明 三 活動設計三 活動設計 提問 講解 閱讀后重點講解 再講解 演板 講解后歸納 小結 四 教學過程四 教學過程 一 復習提問 1 橢圓的定義是什么 2 橢圓的標準方程是什么 3 橢圓中a b c的關系是 學生口述 教師板書 二 幾何性質 根據曲線的方程研究曲線的幾何性質 并正確地畫出它的圖形 是 b 0 來 研究橢圓的幾何性質 說明 橢圓自身固有幾何量所具有的性質是與坐標系選擇 無關 即不隨坐標系的改變而改變 1 范圍 即 x a y b 這說明橢圓在直線 x a 和直線 y b 所圍成的矩形里 圖 2 18 注意結合圖形講解 并指出描點畫圖時 就不能取范圍以外的點 2 對稱性 先請大家閱讀課本橢圓的幾何性質2 設問 為什么 把x 換成 x 或把 y 換成 y 或把 x y 同時換成 x y 時 方程都不變 所以圖形關于 y 軸 x 軸或原點對稱的 呢 事實上 在曲線的方程里 如果把x 換成 x 而方程不變 那么當點 P x y 在曲 線上時 點 P 關于 y 軸的對稱點 Q x y 也在曲線上 所以曲線關于 y 軸對 稱 類似可以證明其他兩個命題 同時向學生指出 如果曲線具有關于y 軸對稱 關于 x 軸對稱和關于原點對稱中 的任意兩種 那么它一定具有另一種對稱 如 如果曲線關于 x 軸和原點對稱 那么它一定關于 y 軸對稱 事實上 設P x y 在曲線上 因為曲線關于 x 軸對稱 所以點 P1 x y 必 在曲線上 又因為曲線關于原點對稱 所以 P1關于原點對稱點 P2 x y 必在曲 線上 因 P x y P2 x y 都在曲線上 所以曲線關于 y 軸對稱 最后指出 x 軸 y 軸是橢圓的對稱軸 原點是橢圓的對稱中心即橢圓中心 3 頂點 只須令x 0 得 y b 點 B1 0 b B2 0 b 是橢圓和 y 軸的兩個交點 令 y 0 得 x a 點 A1 a 0 A2 a 0 是橢圓和 x 軸的兩個交點 強調指出 橢圓有四個頂點 A1 a 0 A2 a 0 B1 0 b B2 0 b 教師還需指出 1 線段 A1A2 線段 B1B2分別叫橢圓的長軸和短軸 它們的長分別等于 2a 和 2b 2 a b 的幾何意義 a 是長半軸的長 b 是短半軸的長 這時 教師可以小結以下 由橢圓的范圍 對稱性和頂點 再進行描點畫圖 只須描出 較少的點 就可以得到較正確的圖形 根據前面所學有關知識畫出下列圖形 1 1 1625 22 yx 2 1 425 22 yx 4 離心率 教師直接給出橢圓的離心率的定義 等到介紹橢圓的第二定義時 再講清離心率e 的幾何意義 先分析橢圓的離心率e 的取值范圍 a c 0 0 e 1 再結合圖形分析離心率的大小對橢圓形狀的影響 2 當 e 接近 0 時 c 越接近 0 從而 b 越接近 a 因此橢圓接近圓 3 當 e 0 時 c 0 a b 兩焦點重合 橢圓的標準方程成為 x2 y2 a2 圖形 就是圓了 標準方程 范圍 x a y b 對稱性關于x軸 y軸成軸對稱 關于原點成中心對 稱 頂點坐標 a 0 a 0 0 b 0 b 焦點坐標 c 0 c 0 半軸長長半軸長為a 短半軸長為b a b 離心率 a b c 的關 系 a b c 標準方程 范圍 x a y b x b y a 對稱性關于x軸 y軸成軸對稱 關于原點成中心對稱 同前 頂點坐標 a 0 a 0 0 b 0 b b 0 b 0 0 a 0 a 焦點坐標 c 0 c 0 0 c 0 c 半軸長 長半軸長為a 短半 軸長為b a b 同前 離心率 同前 a b c 的關系 a b c 同前 三 應用 為了加深對橢圓的幾何性質的認識 掌握用描點法畫圖的基本方法 給出如下例1 例 1已知橢圓 16x2 25y2 400 它的長軸長是 短軸長是 焦距是 離心率等于 焦點坐標是 頂點坐標是 外切矩形的面積等于 22 22 1 0 xy ab ab c e a 22 22 1 0 xy ab ab 22 22 1 0 xy ab ba c e a 并用描點法畫出它的圖形 本例前一部分請一個同學板演 教師予以訂正 估計不難完成 后一部分由教師講解 以引起學生重視 步驟是 2 描點作圖 先描點畫出橢圓在第一象限內的圖形 再利用橢圓的對稱性就 可以畫出整個橢圓 圖 2 19 要強調 利用對稱性可以使計算量大大減少 練習 1 已知橢圓方程為 6x y 6 它的長軸長是 短軸長是 焦距是 離心率等于 焦點坐標是 頂點坐標是 外切矩形的面積等于 例 2 過適合下列條件的橢圓的標準方程 1 經過點 P 3 0 Q 0 2 2 長軸長等于 20 離心率等于 5 3 解 1 由題意 a 3 b 2 又 長軸在 x 軸上 所以 橢圓的標準方程為 1 49 22 yx 2 由已知 2a 20 e 5 3 a c a 10 c 6 64610 222 b 所以橢圓的標準方程為1 64100 22 yx 或 1 64100 22 xy 例 3 已知橢圓的中心在原點 焦點在坐標軸上 長軸是短軸的三倍 且橢圓經過 點 P 3 0 求橢圓的方程 橢圓的標準方程為1 9 2 2 y x 或 1 819 22 xy 四 小結 本節(jié)課我們學習了橢圓的幾個簡單幾何性質 范圍 對稱性 頂點坐標 離 心率等概念及其幾何意義 了解了研究橢圓的幾個基本量 a b c e 及頂點 焦點 對稱中心及其相互之間的關系 這對我們解決橢圓中的相關問題有很大的 幫助 給我們以后學習圓錐曲線其他的兩種曲線扎實了基礎 在解析幾何的學習 中 我們更多的是從方程的形式這個角度來挖掘題目中的隱含條件 需要我們認 識并熟練掌握數與形的聯系 在本節(jié)課中 我們運用了幾何性質 待定系數法來 求解橢圓方程 在解題過程中 準確體現了函數與方程以及分類討論的數學思想 解法研究圖形的性質是通過對方程的討論進行的 同一曲線由于坐標系選取不同 方程 的形式也不同 但是最后得出的性質是一樣的 即與坐標系的選取無關 布置學生最后小結 下列表格 五 布置作業(yè) 五 布置作業(yè) 4 23 1 2 1 求求橢橢圓圓的的標標準準方方程程過過點點 且且經經的的兩兩個個部部分分長長軸軸分分成成已已知知橢橢圓圓的的一一個個焦焦點點將將 補補充充 求求橢橢圓圓的的標標準準