【數(shù)學(xué)理】2011屆高考模擬題(課標(biāo))分類匯編： 立體幾何

數(shù)學(xué)理 2011 屆高考模擬題 課標(biāo) 分類匯編 立體幾何 1 2011 北京朝陽(yáng)區(qū)期末 北京朝陽(yáng)區(qū)期末 設(shè)a b g是三個(gè)不重合的平面 l是直線 給出下列命題 若ab bg 則 若l上兩點(diǎn)到 的距離相等 則 l 若la lb 則ab 若 ab lb 且 la 則 lb 其中正確的命題是 D A B C D 2 2011 北京朝陽(yáng)區(qū)期末 北京朝陽(yáng)區(qū)期末 如圖 正方體 1111 ABCDABC D 中 E F分別為 棱 1 DD AB上的點(diǎn) 已知下列判斷 1 AC 平面 1 B EF 1 B EFD在側(cè)面 11 BCC B上 的正投影是面積為定值的三角形 在平面 1111 ABC D內(nèi)總存在與平面 1 B EF平行的直線 平 面 1 B EF與平面ABCD所成的二面角 銳角 的大小與點(diǎn)E的位置有關(guān) 與點(diǎn)F的位 置無(wú)關(guān) 其中正確判斷的個(gè)數(shù)有 B A 1 個(gè) B 2 個(gè) C 3 個(gè) D 4 個(gè) 3 2011 北京朝陽(yáng)區(qū)期末 北京朝陽(yáng)區(qū)期末 已知一個(gè)正三棱錐的正視圖如圖所示 則此正三棱錐的 側(cè)面積等于 9 3 4 2011 北京朝陽(yáng)區(qū)期末 北京朝陽(yáng)區(qū)期末 如圖 在三棱錐PABC 中 2ACBC 90ACB o 側(cè)面PAB為等邊三角形 側(cè)棱 2 2PC 求證 PCAB C AB P 求證 平面PAB 平面ABC 求二面角BAPC 的余弦值 解 設(shè)AB中點(diǎn)為D 連結(jié)PD CD 1 分 因?yàn)锳PBP 所以PDAB 又ACBC 所以CDAB 2 分 因?yàn)镻DCDD I 所以AB 平面PCD 因?yàn)镻C 平面PCD 所以PCAB 4 分 由已知90ACB o 2ACBC 所以2ADBDCD 2 2AB 又PABD為正三角形 且PDAB 所以6PD 6 分 因?yàn)? 2PC 所以 222 PCCDPD 所以90CDP o 由 知CDP 是二面角PABC 的平面角 所以平面PAB 平面ABC 8 分 方法方法 1 由 知CD 平面PAB 過(guò)D作DEPA 于E 連結(jié)CE 則CEPA 所以DEC 是二面角BAPC 的平面角 10 分 在RtCDED中 易求得 6 2 DE 因?yàn)?CD 所以 2 3 tan 3 CD DEC DE 12 分 所以 21 cos 7 DEC 即二面角BAPC 的余弦值為 21 7 方法方法 2 由 知DC DB DP兩兩垂直 以D為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 易知 0 0 0 D 2 0 0 C 0 2 0 A 0 0 6 P 所以 2 2 0 AC uuu r C AB P E D x C AB P D y z 正視圖俯視圖 2 1 6 2 1 5 2 0 6 PC uu u r 設(shè)平面PAC的法向量為 x y z n 則 0 0 AC PC uuu r uu u r n n 即 220 260 xy xz 令1x 則1y 3 3 z 所以平面PAC的一個(gè)法向量為 3 1 1 3 n 11 分 易知平面PAB的一個(gè)法向量為 2 0 0 DC uuu r 所以 21 cos 7 DC DC DC uuu r uuu r uuu r n n n 12 分 由圖可知 二面角BAPC 為銳角 所以二面角BAPC 的余弦值為 21 7 13 分 5 20112011 北京豐臺(tái)區(qū)期末 北京豐臺(tái)區(qū)期末 若一個(gè)螺栓的底面是正六邊形 它的正視圖和俯視圖如圖所示 則它的體積是 C A 3 332 225 B 32 3 3 25 C 32 9 3 25 D 128 9 3 25 6 20112011 北京豐臺(tái)區(qū)期末 北京豐臺(tái)區(qū)期末 直三棱柱 ABC A1B1C1中 AB 5 AC 4 BC 3 AA1 4 點(diǎn) D 在 AB 上 求證 AC B1C 若 D 是 AB 中點(diǎn) 求證 AC1 平面 B1CD 當(dāng) 1 3 BD AB 時(shí) 求二面角 1 BCDB 的余弦值 證明 在 ABC 中 因?yàn)?AB 5 AC 4 BC 3 A A1 B C D B1 C1 E 所以 AC2 BC2 AB2 所以 AC BC 因?yàn)?直三棱柱 ABC A1B1C1 所以 C C1 AC 因?yàn)?BC AC C 所以 AC 平面 B B1C1C 所以 AC B1C 5 分 證明 連結(jié) BC1 交 B1C 于 E DE 因?yàn)?直三棱柱 ABC A1B1C1 D 是 AB 中點(diǎn) 所以 側(cè)面 B B1C1C 為矩形 DE 為 ABC1的中位線 所以 DE AC1 因?yàn)?DE 平面 B1CD AC1 平面 B1CD 所以 AC1 平面 B1CD 解 由 知 AC BC 所以如圖 以 C 為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系 C xyz 則 B 3 0 0 A 0 4 0 A1 0 0 c B1 3 0 4 設(shè) D a b 0 0a 0b 因?yàn)?點(diǎn) D 在線段 AB 上 且 1 3 BD AB 即 1 3 BDBA 所以 2a 4 3 b 4 1 0 3 BD 所以 1 3 0 4 BC 3 4 0 BA 4 2 0 3 CD 平面 BCD 的法向量為 1 0 0 1 n 設(shè)平面 B1 CD 的法向量為 2 1 nx y 由 12 0BC n 2 0CD n 得 340 4 20 3 x xy 所以 4 3 x 2y 2 4 2 1 3 n 設(shè)二面角 1 BCDB 的大小為 所以 12 12 3 cos 61 nn nn A A1 B C D B1 C1 x y z 所以 二面角 1 BCDB 的余弦值為 3 61 61 7 7 20112011 北京西城區(qū)期末 北京西城區(qū)期末 如圖 四邊形ABCD中 1ABADCD 2BD BDCD 將四邊形ABCD沿 對(duì)角線BD折成四面體ABCD 使平面 A BD 平面BCD 則下列結(jié)論正確的是 B A A CBD B 90BA C C CA 與平面A BD 所成的角為30 D 四面體ABCD 的體積為 1 3 8 8 20112011 北京西城區(qū)期末 北京西城區(qū)期末 如圖 在三棱柱 111 ABCABC 中 側(cè)面 11 ABB A 11 ACC A均為正方形 90BAC 點(diǎn)D是棱 11 BC的中點(diǎn) 求證 1 AD 平面 11 BBC C 求證 1 AB平面 1 ADC 求二面角 1 DACA 的余弦值 證明 因?yàn)閭?cè)面 11 ABB A 11 ACC A均為正方形 所以 11 AAAC AAAB 所以 1 AA 平面ABC 三棱柱 111 ABCABC 是直三棱柱 1 分 因?yàn)?1 AD 平面 111 ABC 所以 11 CCAD 2 分 又因?yàn)?1111 ABAC D為 11 BC中點(diǎn) 所以 111 ADBC 3 分 因?yàn)?1111 CCBCC A B C DB C D A B1 A B C C11 A1 D x y z O A B C C11 B1 A1 D 所以 1 AD 平面 11 BBC C 4 分 證明 連結(jié) 1 AC 交 1 AC于點(diǎn)O 連結(jié)OD 因?yàn)?11 ACC A為正方形 所以O(shè)為 1 AC中點(diǎn) 又D為 11 BC中點(diǎn) 所以O(shè)D為 11 ABC 中位線 所以 1 ABOD 6 分 因?yàn)镺D 平面 1 ADC 1 AB 平面 1 ADC 所以 1 AB平面 1 ADC 8 分 解 因?yàn)閭?cè)面 11 ABB A 11 ACC A均為正方形 90BAC 所以 1 AB AC AA兩兩互相垂直 如圖所示建立直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz 設(shè)1AB 則 1 1 1 0 10 1 0 0 0 0 1 1 2 2 CBAD 11 1 1 0 0 11 2 2 ADAC 設(shè)平面 1 ADC的法向量為 x y zn 則有 1 1 0 0 AD AC n n 0 0 xy yz xyz 取1x 得 1 1 1 n 又因?yàn)锳B 平面 11 ACC A 所以平面 11 ACC A的法向量為 1 0 0 AB 13 cos 33 AB AB AB n n n 因?yàn)槎娼?1 DACA 是鈍角 所以 二面角 1 DACA 的余弦值為 3 3 9 20112011 巢湖一檢 巢湖一檢 已知一個(gè)多面體的三視圖如圖所示 則這個(gè)多面體的體積等于 20 3 10 20112011 巢湖一檢 巢湖一檢 如圖 在四棱錐 P ABCD 中 PD 平面 ABCD 四邊形 ABCD 是菱形 AC 6 BD 8 E 是 PB 上任一點(diǎn) 求證 AC DE 當(dāng) E 是 PB 的中點(diǎn)時(shí) 求證 PD 平面 EAC 若AEC 面積最小值是 6 求 PB 與平面 ABCD 所成角 P AB C E O D 解 PD 平面ABCD AC 平面ABCD PDAC 在菱形 ABCD 中 BDAC 又 PDBDD AC 平面 PDB 又 DE 平面 PDB AC DE 4 分 當(dāng) E 為 PB 中點(diǎn)時(shí) O 為 BD 中點(diǎn) EO PD EOAECPDAEC 平面 平面 PD 平面 AEC 8 分 PD 平面 ABCD PBD 就是 PB 與平面 ABCD 所成的角 由 的證明可知 AC 平面 PDB AC EO AC 6 1 3 2 AEC SAC EOEO 因其最小值為 6 EO 的最小值為 2 此時(shí) EO PB 1 4 2 OBBD 1 sin 2 EO PBD OB PB 與平面 ABCD 成30 的角 12 分 11 2011 2011 承德期末承德期末 已知集合 A 直線 B BbAaBAC 若 平面 Cc 則下列命題中正確的是 B A ca bc ba B ca bc ba C ca bc ba D ca bc ba 12 12 2011 2011 承德期末承德期末 如圖 直四棱柱 1111 DCBAABCD 中 底面ABCD是 60DAB的菱形 4 1 AA 2 AB 點(diǎn)E在棱 1 CC上 點(diǎn)F是棱 11D C的中點(diǎn) 若E是 1 CC的中點(diǎn) 求證 BDAEF 1 平面 求出CE的長(zhǎng)度 使得EBDA 1 為直二面角 解 解 1 BAEF BACD CDEF 1 11 1 而 11A ABBEF面 111 AABBBA面 所以BDAEF 1 平面 5 分 2 設(shè)xCE 連接OBDAC 因?yàn)镺EA1 就是二面角EBDA 1 的平面角 所以 要使 90 1OE A只需AOA1 OCE 所以 x 3 3 4 從而 4 3 x 12 1 D A F E 1 C 1 B DC B 1 A 1 D A F E 1 C 1 B DC B 1 A O 13 2011 2011 東莞期末東莞期末 三棱錐SABC 的三視圖如下 尺寸的長(zhǎng)度單位為m 則這個(gè)三棱錐的體積為 4 3 m 14 2011 2011 東莞期末東莞期末 如圖 在等腰直角ABC 中 90ACB 2 BCAC CDAB D為垂足 沿CD將 ABC 對(duì)折 連結(jié)A B 使得3 AB 1 對(duì)折后 在線段AB上是否存在點(diǎn)E 使ADCE 若存在 求出AE的長(zhǎng) 若不存在 說(shuō) 明理由 2 對(duì)折后 求二面角DACB 的平面角的正切值 解 1 在線段AB上存在點(diǎn)E 使ADCE 由等腰直角ABC 可知 對(duì)折后 CDAD CDBD 1ADBD 在ABD 中 22222 1131 cos 22 1 12 ADBDAB ADB AD BD 120ADB 30BADABD 過(guò)D作AD的垂線 與AB的交于點(diǎn)E 點(diǎn)E就是 滿足條件的唯一點(diǎn) 理由如下 A B C D B A D 第 19 題圖 正視圖 側(cè)視圖 俯視圖 3 1 2 2 3 2 BA C S 第 12 題圖 C F C E B A D 連結(jié)CE ADDE ADCD DECDD AD 平面CDE AD CE 即在線段AB上存在點(diǎn)E 使ADCE 在Rt ADE 中 30DAE 1AD 得 12 3 cos33 2 AD AE DAE 2 對(duì)折后 作DFAC 于F 連結(jié)EF CDAD CDBD ADBDD CD 平面ADB 平面ACD 平面ADB DEAD 且平面ACD 平面ADBAD ED 平面ACD 而DFAC 所以 AC平面DEF 即DFE 為二面角DACB 的平面角 11 分 在Rt ADE 中 30DAE 1AD 得 33 tan1 33 DEADDAE 在Rt ADF 中 45DAF 1AD 得 22 sin1 22 FDADDAF 在Rt EDF 中 90EDF 3 6 3 tan 32 2 DE DFE DF 即二面角DACB 的平面角的正切值等于 6 3 15 20112011 佛山一檢 佛山一檢 若一個(gè)圓臺(tái)的的正視圖如圖 所示 則其側(cè)面積等于 C A 6 B 6 C 3 5 D 6 5 16 20112011 佛山一檢 佛山一檢 如圖 已知E F分別是正方形ABCD邊BC CD的中點(diǎn) EF與AC交于點(diǎn)O PA NC都垂直于平面ABCD 且4PAAB 2NC M是線段PA上一動(dòng)點(diǎn) 第 4 題 圖 第 19 題圖 求證 平面PAC 平面NEF 若 PC平面MEF 試求 PM MA的值 當(dāng)M是PA中點(diǎn)時(shí) 求二面角MEFN 的余弦值 解 法解 法 1 連結(jié)BD PA 平面ABCD BD 平面ABCD PABD 又 BDAC ACPAA BD 平面PAC 又 E F分別是BC CD的中點(diǎn) EFBD EF 平面PAC 又EF 平面NEF 平面PAC 平面NEF 連結(jié)OM PC平面MEF 平面PAC 平面MEFOM PCOM 1 4 PMOC PAAC 故 1 3PM MA EF 平面PAC OM 平面PAC EF OM 在等腰三角形NEF中 點(diǎn)O為EF的中點(diǎn) NOEF MON 為所求二面角MEFN 的平面角 點(diǎn)M是PA的中點(diǎn) 2AMNC 所以在矩形MNCA中 可求得4 2MNAC 6NO 22MO 在MON 中 由余弦定理可求得 222 33 cos 233 MOONMN MON MO ON 二面角MEFN 的余弦值為 33 33 法法 2 同法 1 建立如圖所示的直角坐標(biāo)系 則 0 0 4 P 4 4 0 C 4 2 0 E 2 4 0 F 4 4 4 PC 2 2 0 EF 設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為 0 0 m 平面MEF的法向量為 nx y z 則 4 2 MEm 所以 0 0 n ME n EF 即 420 220 xymz xy 令1x 則1y 6 z m B A C A1 B1 C1 故 6 1 1 n m PC平面MEF 0PC n 即 24 440 m 解得3m 故3AM 即點(diǎn)M為線段PA上靠近P的四等分點(diǎn) 故 1 3PM MA 8 分 4 4 2 N 則 0 2 2 EN 設(shè)平面NEF的法向量為 mx y z 則 0 0 m EN m EF 即 220 220 yz xy 令1x 則1y 1z 即 1 1 1 m 當(dāng)M是PA中點(diǎn)時(shí) 2m 則 1 1 3 n 1 1 333 cos 33311 m n 二面角MEFN 的余弦值為 33 33 14 分 1717 20112011 廣東廣雅中學(xué)期末 廣東廣雅中學(xué)期末 從正方體的八個(gè)頂點(diǎn)中任意選擇 4 個(gè)頂點(diǎn) 它們可能是如下幾種幾何體 或平面圖形 的 4 個(gè)頂點(diǎn) 這 些幾何體 或平面圖形 是 寫出所有正確的結(jié)論的編號(hào) 矩形 不是矩形的平行四邊形 有三個(gè)面為等腰直角三角形 有一個(gè)面為等邊三角形的四面體 每個(gè)面都是等邊三角形的四面體 18 20112011 廣東廣雅中學(xué)期末 廣東廣雅中學(xué)期末 如圖 在三棱柱 111 ABCABC 中 ABAC 頂點(diǎn) 1 A在底面ABC 上的射影恰為點(diǎn) B 且 1 2ABACAB 1 求棱 1 AA與 BC 所成的角的大小 2 在線段 11 BC上確定一點(diǎn) P 使14AP 并求出二面角 1 PABA 的 平面角的余弦值 解析 1 如圖 以 A 為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系 則 11 2 0 00 2 00 2 20 4 2CBAB 1 0 2 2AA 11 22 0BCBC 1 1 1 41 cos 288 AA BC AABC AABC 故 1 AA與棱 BC 所成的角是 3 6 分 2 設(shè) 111 220B PBC 則 2422P 于是 2 2 1 442414 2 AP 3 2 舍去 則 P 為棱 11 BC的中點(diǎn) 其坐標(biāo)為 1 3 2P 8 分 設(shè)平面 1 PABA 的法向量為 1 n x y z 則 1 1 0 0 n AP n AB A A 即 320 20 xyz y 令1z 故 1 n 2 0 1 11 分 而平面 1 ABA的法向量 2 n 2 1 0 0 則 12 12 12 22 5 cos 55 n n n n n n A 故二面角 1 PABA 的平面角的余弦值是 2 5 5 13 分 19 20112011廣州調(diào)研 廣州調(diào)研 一空間幾何體的三視圖如圖2所示 該幾何體的 體積為 8 5 12 3 則正視圖中x的值為 C A 5 B 4 C 3 D 2 M D C B A P z y x M D C B A P 20 20112011廣州調(diào)研 廣州調(diào)研 如圖4 在四棱錐P ABCD 中 底面ABCD是矩形 PA 平面ABCD 2PAAD 1AB BM PD 于點(diǎn)M 1 求證 AM PD 2 求直線CD與平面ACM所成的角的余弦值 本小題主要考查空間線面關(guān)系 直線與平面所成的角等知識(shí) 考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方 法 以及空間想象能力 推理論證能力和運(yùn)算求解能力 1 證明證明 PA 平面ABCD AB 平面ABCD PAAB AB AD ADPAA AD 平面PAD PA 平面PAD AB 平面PAD PD 平面PAD AB PD 3分 BM PD ABBMB AB 平面ABM BM 平面ABM PD 平面ABM AM 平面ABM AM PD 6分 2 解法解法1 1 由 1 知 AM PD 又PA AD 則M是PD的中點(diǎn) 在Rt PAD中 得 2AM 在Rt CDM中 得 22 3MCMDDC 16 22 ACM SAM MC 資料來(lái)源 數(shù)學(xué)驛站 設(shè)點(diǎn)D到平面ACM的距離為h 由 D ACMMACD VV 8分 得 111 332 ACMACD ShSPA AA 解得 6 3 h 10分 設(shè)直線CD與平面ACM所成的角為 則 6 sin 3 h CD 12分 3 cos 3 直線CD與平面ACM所成的角的余弦值為 3 3 14分 解法解法2 2 如圖所示 以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn) 建立空間直角坐標(biāo)系 Axyz 則 0 0 0A 0 0 2P 1 0 0B 1 2 0C 0 2 0D 0 1 1M 1 2 0 0 1 1 1 0 0ACAMCD 8分 設(shè)平面ACM的一個(gè)法向量為 nx y z 由 nAC nAM 可得 20 0 xy yz 令 1z 得 2 1xy 2 1 1 n 10分 設(shè)直線CD與平面ACM所成的角為 則 6 sin 3 CD n CD n 12分 3 cos 3 直線CD與平面ACM所成的角的余弦值為 3 3 14分 21 2011 哈爾濱期末 哈爾濱期末 已知三棱錐底面是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形 側(cè)棱長(zhǎng)均為2 則側(cè)棱與底面所成角的余弦值為 D F D E C1 B1 A1 C B A A 3 2 B 1 2 C 3 3 D 3 6 22 2011 哈爾濱期末 哈爾濱期末 如圖 三棱柱 111 CBAABC 中 側(cè)棱 1 AA 平面ABC ABC 為等腰直角三角形 90 BAC 且 1 AAAB FED 分別是BCCCAB 11 的中點(diǎn) 1 求證 FB1平面AEF 2 求二面角FAEB 1 的正切值 解 1 取AB中點(diǎn)O 連接DOCO 2 1 11 CEDOCEDOAADOAADO 平行四邊形DOCE DECODE 平面ABC CO平面ABC DE 平面ABC 2 等腰直角三角形ABC 中F為斜邊的中點(diǎn) BCAF 又 直三棱柱 111 CBAABC 面 ABC面CCBB 11 AF面BC1 FBAF 1 設(shè)EFFBEBEFFBEBEFFBAAAB 1 2 1 22 1111 2 3 2 3 2 6 1 又 FEFAF FB1面AEF 3 FB1 面AEF 作AEMB 1 于M 連接FM MFB1 為所求 10 3 FM 所求二面的正切值為5 23 2011 湖北重點(diǎn)中學(xué)二聯(lián) 湖北重點(diǎn)中學(xué)二聯(lián) 有一正方體 六個(gè)面上分別寫有數(shù)字 1 2 3 4 5 6 有三個(gè)人從不同的角度觀察的結(jié)果如圖所示 如果記 3 的對(duì)面的數(shù)字為 m 4 的對(duì)面的數(shù)字為 n 那 么 m n 的值為 C A 3B 7C 8D 11 24 2011 湖北重點(diǎn)中學(xué)二聯(lián) 湖北重點(diǎn)中學(xué)二聯(lián) 12 分 如圖 平面 ABEF 平面 ABCD 四邊形 ABEF 與 ABCD 都是直角梯形 11 90 22 BADFABBCAD BEAF I 證明 C D F E 四點(diǎn)共面 II 設(shè) AB BC BE 求二面角 A ED B 的大小 解 法 1 解 延長(zhǎng)DC交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G 由BC 1 2 AD得 1 2 GBGCBC GAGDAD 2 分 延長(zhǎng)FE交AB的延長(zhǎng)線于 G同理可得 1 2 G EG BBE G FG AAF 故 G BGB G AGA 即G與 G重合 4 分 因此直線CDEF 相交于點(diǎn)G 即 C D F E四點(diǎn)共面 6 分 證明 設(shè)1AB 則1BCBE 2AD 取AE中點(diǎn)M 則BMAE 又由已知得 AD 平面ABEF 故ADBM BM與平面ADE內(nèi)兩相交直線ADAE 都垂直 所以BM 平面ADE 作MNDE 垂足為N 連結(jié)BN 由三垂線定理知BNEDBNM 為二面角AEDB 的平面角 9 分 213 223 ADAE BMMN DE 故 6 tan 2 BM BNM MN 所以二面角AEDB 的大小 6 arctan 2 12 分 25 2011 2011 淮南一模 淮南一模 已知某個(gè)幾何體的三視圖如右側(cè) 根據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸 單位 cm 可 得這個(gè)幾何體的體積是 B A 3 2 5 cm B 3 2 3 cm C 3 3cm D 3 2cm 36 2011 2011 淮南一模 淮南一模 給出命題 1 在空間里 垂直于同一平面的兩個(gè)平面平行 2 設(shè) ml 是不同的直線 是一個(gè)平面 若 l l m 則 m 3 已知 表示兩個(gè)不同平面 m為平面 內(nèi)的一條直線 則 是 m 的充要條件 4 若點(diǎn)P到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等 則點(diǎn)P在該三角形所在平面內(nèi)的射影是該三角形的外心 5 ba 是兩條異面直線 P為空間一點(diǎn) 過(guò)P總可以作一個(gè)平面與 ba 之一垂直 與另一個(gè)平行 其中正確的命題是 2 4 只填序號(hào) 27 2011 2011 淮南一模 淮南一模 本小題12分 在正 ABC 中 E F P分別是AB AC BC邊上的點(diǎn) 滿足 AE EB 1 2 CFCP FAPB 如圖 1 將 AEF 沿EF折起到 EFA1 的位置 使二面角 BEFA 1 成直二面角 連結(jié) BA1 PA1 如圖2 求證 EA1 平面 BEP 求直線 EA1 與平面 BPA1 所成角的大小 主 主 主 202020 主 主 主 40 主 主 主 10 50 解 不妨設(shè)正三角形ABC的邊長(zhǎng)為3 則 在圖1中 取BE中點(diǎn)D 連結(jié)DF 則 1 2 AECFCP EBFAPB 2AFAD 而 0 60A 即 ADF是正三角形 又 1AEED EF AD 在圖2中有 1 A EEF BE EF 1 A EB 為二面角 1 AEFB 的平面角 二面角 1 AEFB 為直二面角 1 A EBE 又 BE EFE 1 A E 平面BEF 即 1 A E 平面BEP 由 可知A1E 平面BEP BE EF 建立如圖的坐標(biāo)系 則 0 0 0 A1 0 0 1 B 2 0 0 F 0 3 0 在圖 中 不難得到 F P 且 F P FP且 FP 故點(diǎn) 的坐標(biāo) 1 3 0 1 2 0 1 A B 1 3 0 BP 1 0 0 1 EA 不妨設(shè)平面A1BP的法向量 1 nx y z 則 11 1 20 30 A B nxz BP nxy 令 3y 得 1 3 3 6 n 11 11 11 63 cos 2 1 4 3 nEA nEA nEA 故直線A1E與平面A1BP所成角的大小為3 28 2011 2011 惠州三調(diào)惠州三調(diào) 一簡(jiǎn)單組合體的三視圖及尺寸 如右圖示 單位 則該組合體的表面積為 12800 2 cm F FE E D D C CB B A A G F D E C B A 解析 該組合體的表面積為 2 22212800SSScm 側(cè)視圖主視圖俯視圖 29 2011 2011 惠州三調(diào)惠州三調(diào) 已知ABC 的三邊長(zhǎng)為cba 內(nèi)切圓半徑為r 用的面積表示 ABCS ABC 則 ABC S 2 1 cbar 類比這一結(jié)論有 若三棱錐 BCDA 的內(nèi)切球半徑為R 則三棱錐體積 BCDA V 1 3 ABCABDACDBCD R SSSS 解析 連接內(nèi)切球球心與各點(diǎn) 將三棱錐分割成四個(gè)小棱錐 它們的高都等于 R 底面分別為三棱錐 的各個(gè)面 它們的體積和等于原三棱錐的體積 答案 1 3 ABCABDACDBCD R SSSS 30 2011 2011 惠州三調(diào)惠州三調(diào) 本題滿分 14 分 已知梯形 ABCD 中 AD BC ABC BAD 2 AB BC 2AD 4 E F 分別是 AB CD 上的點(diǎn) EF BC AE x G 是 BC 的中點(diǎn) 沿 EF 將梯形 ABCD 翻折 使平面 AEFD 平面 EBCF 如圖 1 當(dāng) x 2 時(shí) 求證 BD EG 2 若以 F B C D 為頂點(diǎn)的三棱錐的體積記為 f x 求 f x的最大值 3 當(dāng) f x取得最大值時(shí) 求二面角 D BF C 的余弦值 1 方法一 方法一 平面AEFD 平面EBCF 2 AEFADEF AE EF AE 平面EBCF AE EF AE BE 又 BE EF 故可如圖建立空間坐標(biāo)系 E xyz 2 2 EBEA 又G 為 BC 的中點(diǎn) BC 4 2 BG 則 A 0 0 2 B 2 0 0 G 2 2 0 D 0 2 2 E 0 0 0 BD 2 2 2 EG 2 2 0 BD EG 2 2 2 A 2 2 0 0 BDEG 4 分 方法二 方法二 作 DH EF 于 H 連 BH GH 由平面AEFD 平面EBCF知 DH 平面 EBCF 而 EG 平面 EBCF 故 EG DH AEHDEFADDHAEEFAEEBCAEHBCEF 2 為平行四邊 形 2 BCEHBCEHADEH 且 2 2 BCBEEBC 四邊形 BGHE 為正方形 EG BH BH DH H 故 EG 平面 DBH 而 BD 平面 DBH EG BD 4 分 或者直接利用三垂線定理得出結(jié)果 2 AD 面 BFC 所以 f x BCFD V VA BFC AES BCF 3 1 xx 4 4 2 1 3 1 2 288 2 333 x 即2x 時(shí) f x有最大值為 8 3 8 分 3 設(shè)平面 DBF 的法向量為 1 nx y z AE 2 B 2 0 0 D 0 2 2 G F D E C B A H x G F D E C B A y z F 0 3 0 2 3 0 BF 10 分 BD 2 2 2 則 1 1 0 0 n BD n BF A A 即 2 2 2 0 2 3 0 0 x y z x y z A A 2220 230 xyz xy 取3 2 1xyz 1 3 2 1 n BCFAE面面 面 BCF 一個(gè)法向量為 2 0 0 1 n 12 分 則 cos 12 12 14 14 n n nn A 13 分 由于所求二面角 D BF C 的平面角為鈍角 所以此二面角的余弦值為 14 14 14 分 31 2011 2011 錦州期末錦州期末 連結(jié)球面上兩點(diǎn)的線段稱為球的弦 半徑為 4 的球的兩條弦 AB CD的長(zhǎng) 度分別等于 27 43 MN分別為 AB CD的中點(diǎn) 每條弦的兩端都在球面上運(yùn)動(dòng) 有下列 四個(gè)命題 弦 AB CD可能相交于點(diǎn)M 弦 AB CD可能相交于點(diǎn)N MN的最大值為 5 MN的最小值為 l 其中真命題的個(gè)數(shù)為 C A 1 個(gè) B 2 個(gè) C 3 個(gè) D 4 個(gè) 32 2011 2011 錦州期末錦州期末 本小題 12 分 下圖是一幾何體的直觀圖 主視圖 俯視圖 左視圖 若F為PD的中點(diǎn) 求證 AF 面PCD 證明 BD面PEC 求面PEC與面PCD所成的二面角 銳角 的余弦值 解 由幾何體的三視圖可知 底面 ABCD 是邊長(zhǎng)為 4 的正方形 PA 面 ABCD H E M F D B A C G PA EB PA 2EB 4 PA AD F 為 PD 的中點(diǎn) PD AF 又 CD DA CD PA PA DA A CD 面 ADP CD AF 又 CD DP D AF 面 PCD 4 分 取 PC 的中點(diǎn) M AC 與 BD 的交點(diǎn)為 N 連結(jié) MN MN 2 1 PA MN PA MN EB MN EB 故四邊形 BEMN 為平行四邊形 EM BN 又 EM 面 PEC BD 面 PEC 7 分 分別以 BC BA BE 為 x y z 軸建立空間直角坐標(biāo)系 則 C 4 0 0 D 4 4 0 E 0 0 2 A 0 4 0 P 0 4 4 F 為 PD 的中點(diǎn) F 2 4 2 AF 面 PCD FA為面 PCD 的一個(gè)法向量 FA 2 0 2 設(shè)平面 PEC 的法向量為n x y z 則 0 0 CPn CEn 0 2 zyx xz 令 x 1 2 1 1 n 10 分 2 3 cos nFA nFA nFA FA與n的夾角為 6 5 面 PEC 與面 PDC 所成的二面角 銳角 的余弦值為 2 3 12 分 33 2011 金華十二校一聯(lián) 金華十二校一聯(lián) 如圖 已知三棱柱 111 ABCABC 的各條棱長(zhǎng)都相等 且 1 CC 底面ABC M是側(cè)棱 1 CC的中點(diǎn) 則異面直線 1 AB和BM所成的角的大小是 A A 2 B 4 C 6 D 3 34 2011 金華十二校一聯(lián) 金華十二校一聯(lián) 若某幾何體的三視圖 單位 cm 如右圖所示 則該幾何 體的表面積為 7 2 cm 35 2011 金華金華十二校一聯(lián) 十二校一聯(lián) 已知 直線 a b 平面 給出下列四個(gè)命題 ab ab 則 ab ab 則 則 aab 則 ab 其中真命題是 填寫真命題的編號(hào) 36 2011 金華十二校一聯(lián) 金華十二校一聯(lián) 本題滿分 14 分 如圖 在長(zhǎng)方體 1111 ABCDABC D 中 1 22AAABAD 且 11 0 1 PCCC I 求證 對(duì)任意01 總有APBD II 若 1 3 求二面角 1 PABB 的余弦值 III 是否存在 使得AP在平面 1 B AC上的射影 平分 1 B AC 若存在 求出 的值 若不存 在 說(shuō)明理由 解 I 以D為坐標(biāo)原點(diǎn) 分別以 1 DADCDD 所在直線為x軸 y軸 z軸 建立空間直角坐標(biāo)系 設(shè)1AB 則 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 2 DABCB 1 0 1 2 0 1 2 2 CP 從而 1 1 0 1 1 22 BDAP 0BD AP A 即APBD 分 II 由 及 1 3 得 1 4 1 1 0 1 2 3 APAB 設(shè)平面 1 AB P的法向量為 1 nx y 則 43 10 33 20 2 x xy y xy 從而可取平面 1 AB P的法向量為 2 6 3 n 又取平面 1 ABB的法向量為 1 0 0 m 且設(shè)二面角 1 PABB 為 所以 2 cos 7 m n m n A A 分 III 假設(shè)存在實(shí)數(shù) 01 滿足條件 由題結(jié)合圖形 只需滿足AP 分別與 1 AC AB 所成的角相等 即 1 1 AP ABAP AC APACAPAB AA AA 即 22 254 48624865 AA 解得 510 0 1 4 所以存在滿足題意得實(shí)數(shù) 510 4 使得AP在平面 1 B AC上 的射影平分 1 B AC 14 分 EC1 B1 A1 C B A 37 2011 2011 九江七校二月聯(lián)考 九江七校二月聯(lián)考 三視圖已知三棱錐的主視圖與俯視圖如下圖 俯視圖是邊 長(zhǎng)為 2 的正三角形 那么該三棱錐的左視圖可能為 B 38 2011 2011 九江七校二月聯(lián)考 九江七校二月聯(lián)考 已知在平面內(nèi) 垂直于同一條直線的兩條直線平行垂直于同一條直線的兩條直線平行 在空 間中可以類比得出以下一組命題 在空間中 垂直于同一直線的兩條直線平行 在空間中 垂直于同一直線的兩個(gè) 平面平行 在空間中 垂直于同一平面的兩條直線平行 在空間中 垂直于同一平 面的兩個(gè)平面平行 其中 正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)為 B A 1 B 2 C 3 D 4 39 2011 2011 九江七校二月聯(lián)考 九江七校二月聯(lián)考 本小題滿分 12 分 如圖 在 三棱柱 111 ABCABC 中 已知 1 1 2 BCBB 0 1 90BCC AB 側(cè)面 11 BBC C 1 求直線 C1B 與底面 ABC 所成角的正弦值 2 在棱 1 CC 不包含端點(diǎn) 1 C C上確定一點(diǎn)E的位置 使得 1 EAEB 要求說(shuō)明理由 3 在 2 的條件下 若2AB 求二面角 11 AEBA 的大小 解 如圖 以B為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系 則 0 0 0 B 1 1 2 0 C 1 0 2 0 B 主視圖 A B C D 俯視圖 1 直三棱柱 111 ABCABC 中 平面ABC的法向量 1 0 2 0 BB 又 1 1 2 0 BC 設(shè) 1 BCABC 與平面所成角為 則 11 2 5 sincos 5 BB BC 4分 2 設(shè) 1 0 0 0 EyAz 則 1 1 2 0 EBy 1 EAy z 1 EAEB 1 1 2 0EA EByy 1y 即 1 1 0 E 1 ECC 為的中點(diǎn) 8分 3 0 0 2 A 則 1 1 1 2 1 1 0 AEB E 設(shè)平面 1 AEB的法向量n 111 x y z 則 n n 1 0 0 AE B E 111 11 20 0 xyz xy 取n 1 1 2 10分 1 1 0 BE 1 1 10BE B E 1 BEB E 又 11 BEAB 11 BEAB E 平面 平面 11 AB E的法向量1 1 0BE cos n BE 2 2 BE n BE n 二面角 11 AEBA 為45 12分 40 2011 2011 南昌期末南昌期末 如圖所示 一個(gè)空間幾何體的主視圖和左視圖都是 邊長(zhǎng)為 1 的正方形 俯視圖是一個(gè)直徑為 1 的圓 那么這個(gè)幾何體的體積為 D A 3 2 B 2 C 3 D 4 41 2011 2011 南昌期末南昌期末 如圖 在透明塑料制成的長(zhǎng)方體 ABCD A1B1C1D1 容器內(nèi)灌進(jìn)一些水 將容 器底面一邊 BC 固定于地面上 再將容器傾斜 隨著傾斜度的不同 有下列四個(gè)說(shuō)法 水的部分始終呈棱柱狀 水面四邊形 EFGH 的面積不改變 棱 A1D1 始終與水面 EFGH 平行 當(dāng) 1 EAA 時(shí) AE BF 是定值 其中正確說(shuō)法是 D A B C D 42 2011 2011 南昌期末南昌期末 直三棱柱 111 ABCABC 的各頂點(diǎn)都在同一球面上 若 2 1 1 AAACAB 120BAC 則此球的表面積等于 8 43 2011 2011 南昌期末南昌期末 本小題滿分 12 分 在直角梯形 PBCD 中 4 2 2 PDCDBCCD A 為 PD 的中點(diǎn) 如下左圖 將 PAB 沿 AB 折到 SAB 的位置 使 BCSB 點(diǎn) E 在 SD 上 且 SDSE 3 1 如下右圖 1 求證 SA 平面 ABCD 2 求二面角 E AC D 的正切值 解 1 證明 在圖中 由題意可知 ABCDPDBA 為正方形 所以在圖中 2 SAABSA 四邊形 ABCD 是邊長(zhǎng)為 2 的正方形 因?yàn)?BCSB AB BC 所以 BC 平面 SAB 3 分 又 SA 平面 SAB 所以 BC SA 又 SA AB 所以 SA 平面 ABCD 6 分 2 解法一 在 AD 上取一點(diǎn) O 使 ADAO 3 1 連接 EO 因?yàn)?SDSE 3 1 所以 EO SA 7 分 所以 EO 平面 ABCD 過(guò) O 作 OH AC 交 AC 于 H 連接 EH 則 AC 平面 EOH 所以 AC EH 所以 EHO 為二面角 E AC D 的平面角 9 分 3 4 3 2 SAEO 在 AHORt 中 3 2 2 2 3 2 45sin 45 AOHOHAO 11 分 22tan OH EO EHO 即二面角 E AC D 的正切值為 22 12 分 解法二 如圖 以 A 為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系 2 4 0 0 0 2 0 0 2 2 0 0 2 0 0 0 2 0 3 3 ABCDSE 7 分 易知平面 ACD 的法向?yàn)?2 0 0 AS 設(shè)平面 EAC 的法向量為 zyxn 3 4 3 2 0 0 2 2 AEAC 9 分 由 0 0 AEn ACn 所以 02 0 zy yx 可取 1 2 2 z y x 所以 1 2 2 n 11 分 所以 3 1 32 2 cos ASn ASn ASn 所以 22 tan ASn 即二面角 E AC D 的正切值為 22 12 分 44 2011 日照一調(diào)日照一調(diào) 已知直線 l m 平面 且 l m 給出四個(gè)命題 C 若 則 l m 若 l m 則 若 則 l m 若 l m 則 其中真命題的個(gè)數(shù)是 A 4 B 3 C 2 D 1 45 2011 日照一調(diào)日照一調(diào) 右圖是某四棱錐的三視圖 則該 幾何體的表 面積等于 A A 346 5 B 66 54 3 C 66 34 13 D 176 5 46 2011 日照一調(diào)日照一調(diào) 給出如下定理 若Rt ABC 的斜邊 AB 上的高為 h 則有 111 222 CBCAh 在四面體 P ABC 中 若 PA PB PC 兩兩垂直 底面 ABC 上的高為 h 類比上 述定理 得到的正確結(jié)論是 2222 1111 PCPBPAh 47 2011 三明三校二月聯(lián)考 三明三校二月聯(lián)考 已知某幾何體的三視圖如下 則該幾何體的表面積是 B A 24 B 36 6 2 C 36 D 36 12 2 48 2011 三明三校二月聯(lián)考 三明三校二月聯(lián)考 給出下列關(guān)于互不相同的直線 m n l 和平面 的四個(gè) 命題 mlA Amlm 則與不共面 l m 是異面直線 lmnl nmn 且則 若 lmlmA lm 則 若 lmlm 則 其中假命題是 49 2011 三明三校二月聯(lián)考 三明三校二月聯(lián)考 本題滿分 本題滿分 13 分 分 如 圖已知直角梯形ACDE所在的平面 垂直于平面ABC 90BACACD 60EAC ABACAE 1 在直線BC上是否存在一點(diǎn)P 使得 DP平面EAB 請(qǐng)證明你的結(jié)論 2 求平面EBD與平面ABC所成的銳二面角 的余弦值 解解 1 線段BC的中點(diǎn)就是滿足條件的點(diǎn)P 1 分 證明如下 取AB的中點(diǎn)F連結(jié)DPPFEF 則 ACFP ACFP 2 1 2 分 取AC的中點(diǎn)M 連結(jié)EMEC ACAE 且60EAC EAC是正三角形 ACEM 四邊形EMCD為矩形 ACMCED 2 1 又 ACED 3 分 正視圖正視圖 側(cè)視圖側(cè)視圖 俯視圖俯視圖 4 4 4 4 3 3 A B C DE 5圖 A B C DE P M F FPED 且EDFP 四邊形EFPD是平行四邊形 4 分 EFDP 而EF 平面EAB DP 平面EAB DP平面EAB 2 法 1 過(guò)B作AC的平行線l 過(guò)C作l的垂線交l于G 連結(jié)DG ACED lED l是平面EBD與平面ABC所成二面角的棱 8 分 平面EAC 平面ABC ACDC DC平面ABC 又 l平面ABC DCl l平面DGC DGl DGC 是所求二面角的平面角 10 分 設(shè)aAEACAB2 則aCD3 aGC2 aCDGCGD7 22 7 72 coscos GD GC DGC 13 分 法 2 90BAC 平面EACD 平面ABC 以點(diǎn)A為原點(diǎn) 直線AB為x軸 直線AC為y軸 建立空間直角坐標(biāo)系xyzA 則z軸在平面 EACD內(nèi) 如圖 設(shè)aAEACAB2 由已知 得 0 0 2 aB 3 0 aaE 3 2 0 aaD 3 2 aaaEB 0 0 aED 8 分 設(shè)平面EBD的法向量為 nx y z 則nEB 且nED 0 0 n EB n ED 0 032 ay azayax 解之得 0 2 3 y zx 取2z 得平面EBD的一個(gè)法向量為 3 0 2 n 10 分 又 平面ABC的一個(gè)法向量為 0 0 1 n 11 分 222222 300 02 12 7 coscos 7 3 02001 n n 13 分 50 2011 汕頭期末汕頭期末 若m n為兩條不重合的直線 為兩個(gè)不重合的平面 則下列命題 中的真命題個(gè)數(shù)是 若m n都平行于平面 則m n一定不是相交直線 若m n都垂直于平面 則m n一定是平行直線 已知 互相垂直 m n互相垂直 若 m 則 n m n在平面 內(nèi)的射影互相垂直 則m n互相垂直 A 1 B 2 C 3 D 4 解 為假命題 為真命題 在 中n可以平行于 也可以在 內(nèi) 是假命題 中 A B C DE P M F G A B C DE P M F y x z m n也可以不互相垂直 為假命題 故選 A 51 2011 汕頭期末汕頭期末 已知三棱錐PABC 的四個(gè)頂點(diǎn)均在半徑為3的球面上 且PA PB PC兩 兩互相垂直 則三棱錐PABC 的側(cè)面積的最大值為 解 依題意知 PA PB PC 兩兩垂直 以 PA PB PC 為棱構(gòu)造長(zhǎng)方體 則該長(zhǎng)方體的對(duì)角線即 為球的直徑 所以 2222 222222 436 11 18 22222 2 3 PAPBPCR PAPBPBPCPCPA SPA PBPB PCPC PA PAPBPC AAA 當(dāng)時(shí) 取等號(hào) 52 2011 汕頭期末汕頭期末 本小題滿分14分 已知幾何體BCDEA 的三視圖如圖所示 其中俯視圖和側(cè)視圖都是腰長(zhǎng)為4的等腰直角三角形 正 視圖為直角梯形 求此幾何體的體積 求異面直線DE與AB所成角的余弦值 探究在DE上是否存在點(diǎn)Q 使得BQAQ 并說(shuō)明理由 解 由該幾何體的三視圖可知AC垂直于底面BCED 且4 ACBCEC 1 BD 104 14 2 1 BCED S 3 40 410 3 1 3 1 ACSV BCED 此幾何體 的體積為 3 40 5 分 解法一 過(guò)點(diǎn)B作EDBF 交EC于F 連接AF 則FBA 或其補(bǔ)角即為異面直線DE與AB所成角 在 BAF 中 24 AB 5916 AFBF 5 22 2 cos 222 ABBF AFABBF ABF 即異面直 線DE與 AB所成角的余弦值為 5 22 9 分 在DE上存在點(diǎn) Q 使得BQAQ 取BC中點(diǎn)O 過(guò)點(diǎn)O作DEOQ 于點(diǎn)Q 則點(diǎn) Q為所求點(diǎn) 連接EO DO 在ECORt 和OBDRt 中 2 BD OB CO EC ECORt OBDRt BODCEO 0 90 CEOEOC 0 90 DOBEOC 0 90 EOD 52 22 COCEOE 5 22 BDOBOD 2 5 552 ED ODOE OQ 以O(shè)為圓心 BC為直徑的圓與DE相切 切點(diǎn)為Q 連接BQ CQ 可得CQBQ ACBCED 平面 BCEDBQ BQAC ACQ