平面幾何的立體幾何類比

從三角形到三棱錐 性質(zhì) 1 在平面上到 ABC 三個頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)是三角形三邊的垂直平分 線的交點(diǎn) 這個點(diǎn)也稱為三角形的外心 外接圓圓心 如果把 在平面上 幾個字去掉 再來研究到三角形三個頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)會 是一種什么情形呢 首先這樣的點(diǎn)肯定存在 三角形外心就是一例 在平面 ABC 外是否還有這樣的點(diǎn)呢 我們先把研究的問題具體化 ABC 所在平面外滿足 PA PB PC 的點(diǎn) P 是否存在 先考慮到 A B 距離相等的點(diǎn) 在平面中這樣的點(diǎn)的軌跡為線段 AB 的垂直 平分線 不難證明在空間滿足此條件的點(diǎn)的軌跡為線段 AB 的垂直平分面 即過 AB 中點(diǎn)且與 AB 垂直的平面 記為 同理 到 A C 兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的軌跡 為線段 AC 的垂直平分面 記為 顯然這兩個平面不平行 記交線為 m 因?yàn)橹?線 m 上的任意一點(diǎn) P 都滿足 PA PB PA PC 所以有 PB PC 可知點(diǎn) P 也應(yīng)在 線段 BC 的垂直平分面上 即直線 m 是 AB AC BC 三條線段的垂直平分面的 交線 由此可得 在空間到三角形三個頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在其三邊的垂直平分面 的交線上 易證 這條直線垂直于三角形所在平面且通過三角形的外心 這條直 線我們不妨稱之為三角形的外心線 這個結(jié)論還可以如下的角度來表述 如圖 1 如果平面 ABC 外有一點(diǎn) P 且 PA PB PC 那么點(diǎn) P 在過 ABC 外心且與平面 ABC 垂直的直線上 也可以說 到 ABC 三個頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在平面 ABC 內(nèi)的射影 是 ABC 的外心 思考 三角形還有哪些類似的性質(zhì)可以推廣到空間去 不難想到三角形的內(nèi)心 三條角平分線的交點(diǎn) 垂心 三條高線的交點(diǎn) 都 可以在空間找到對應(yīng)的圖形 對這些性質(zhì)我們不妨先大膽寫出結(jié)論 再進(jìn)行嚴(yán)格 證明 在類比中 我們看到 平面中的點(diǎn)常對應(yīng)空間中的線 平面中的線則常對應(yīng) 空 圖 1 間中的面 在平面幾何中有這樣一個性質(zhì) 如圖 2 ABC 中 B 和 C 分別在邊 AB AC 上 則有 ACAB CABA S S ABC CBA 用公式 S ABC 易證 Abcsin 2 1 將這一性質(zhì)類比到空間得到相應(yīng)結(jié)論 圖 2 性質(zhì) 2 如圖 3 已知四面體 A BCD 中 棱 AB AC AD 上各有一點(diǎn) B C D 則有 圖 ADACAB DACABA S V BCDA DCBA 3 證明 作 DP 平面 ABC 于 P 連結(jié) A P 并延長 AP 交 BC 于 E 則平面 APD 平 面 ABC 過 D 作 AP 于 Q 則 平面 ABC 于是有Q D Q D 3 1 3 1 ADACAB DACABA V V AD AD DP QD ACAB CABA S S DPSV QDSV BCDA DCBA ABC CBA ABCBCDA CBADCBA 所以 又因?yàn)?練習(xí) 下面這些平面中的性質(zhì)類比到空間應(yīng)怎樣敘述 它是正確的嗎 如果正確 你能證明它嗎 性質(zhì) 3 如圖 4 正 ABC 過其內(nèi)任一點(diǎn) P 作三邊垂線 垂足分別為 D E F 則 PE PF PD 為定值 性質(zhì) 4 如圖 5 點(diǎn) O 是 ABC 內(nèi)任意一點(diǎn) 連結(jié) AO BO CO 并延長 交 BC CA AB 于點(diǎn) D E F 則 1 CF DF BE OE AD OD 圖 4 圖 5 性質(zhì) 3 4 向空間類比所得命題都是正確的 它們分別可表述為 性質(zhì) 3 如圖 6 過正四面體內(nèi)一點(diǎn) P 向四個面作垂線 垂足分別為 M1 M2 M3 M4 則 PM1 PM2 PM3 PM4為定值 性質(zhì) 4 如圖 7 P 為四面體 A BCD 內(nèi)任意一點(diǎn) 連結(jié) AP BP CP DP 并延長分別交 A B C D 所對的平面于 A1 B1 C1 D1 則 圖 6 圖 7 1 1 1 1 1 1 1 1 1 DD PD CC PC BB PB AA PA 這些性質(zhì)的證明方法與性質(zhì)本身的證明類似可以從相應(yīng)平面性質(zhì)的證 明中類比得到 如性質(zhì) 3 4 的證明用到了面積割補(bǔ)思想 類比到空間就是體 積割補(bǔ)思想 性質(zhì) 3 4 的證明問題就迎刃而解了 一 轉(zhuǎn)化的思想方法 研究問題時 將研究對象在一定條件下轉(zhuǎn)化為熟悉的 簡單的 基本的研究 對象的思維方法稱為轉(zhuǎn)化的思想方法 這種思想方法是立體幾何中最重要的思 想方法 貫穿在立體幾何教學(xué)的始終 立體幾何中轉(zhuǎn)化的思想方法主要體現(xiàn)在如 下幾個方面 1 空間問題向平面問題轉(zhuǎn)化 將空間問題轉(zhuǎn)化為熟知的平面問題是研究立體幾何問題最重要的數(shù)學(xué)方法之 一 如線面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為三角形全等的平面幾何問題 教材中的幾種多 面體和旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積公式的推導(dǎo) 除球面和球冠外 側(cè)面上最短線問題都是 通過側(cè)面展開轉(zhuǎn)化為平面幾何問題 旋轉(zhuǎn)體的有關(guān)問題不也是轉(zhuǎn)化為關(guān)于軸截面 的平面幾何問題嗎 其實(shí) 立體幾何中的三種角 線線角 線面角 二面角 和四 種距離 線線距 點(diǎn)面距 線面距 面面距 從定義到具體的計(jì)算以及三垂線定理 都體現(xiàn)了空間到平面的轉(zhuǎn)化 例 1 正三棱錐 A BCD 底面邊長為 a 側(cè)棱為 2a 過點(diǎn) B 作與側(cè)棱 AC AD 相交的截面 在這樣的截面三角形中 求周長的最小值 解析 沿側(cè)棱 AB 把正三棱錐的側(cè)面剪開展成平面圖 如圖 1 當(dāng)周長最小時 EF 在直線 BB 上 ABE B AF AE AF AC AD B B CD 1 2 3 BE BC a 同理 B F B D a FDB ADB DF a AF a BD DF BA BD a DF a a 22 1 2 1 2 3 又 AEF ACD BB a a a a 截面三角形的周長的最小值為a 4 3 4 11 4 11 評析 把曲面上的最短路線問題利用展開圖轉(zhuǎn)化為平面上兩點(diǎn)間距離的問題 從而使問題得到解決 這是求曲面上最短路線的一種常用方法 又如異面直線所成的角 線面角 面面角的計(jì)算 最終都是轉(zhuǎn)化為平面上兩 相交直線成的角來進(jìn)行的 實(shí)現(xiàn)空間問題向平面問題轉(zhuǎn)化的方法很多 常用的就有 平移法 射影法 展 開法和輔助面法等等 2 位置關(guān)系的轉(zhuǎn)化 線線 線面 面面平行與垂直的位置關(guān)系既互相依存 又在一定條件下不僅 能縱向轉(zhuǎn)化 線線平行 或垂直 線面平行 或垂直 面面平行 或垂直 而且 還可以橫向轉(zhuǎn)化 線線 線面 面面的平行 線線 線面 面面的垂直 這些轉(zhuǎn)化 關(guān)系在平行或垂直的判定和性質(zhì)定理中得到充分體現(xiàn) 平行或垂直關(guān)系的證明 除少數(shù)命題外 大都可以利用上述相互轉(zhuǎn)化關(guān)系去證明 例 2 如圖 正方體 ABCD A1B1C1D1中 E 在 AB1上 F 在 BD 上 且 B1E BF 求證 EF 平面 BB1C1C 證法一 連 AF 延長交 BC 于 M 連結(jié) B1M AD BC AFD MFB BF DF FM AF 又 BD B1A B1E BF DF AE EB AE FM AF 1 EF B1M B1M平面 BB1C1C EF 平面 BB1C1C 證法二 作 FH AD 交 AB 于 H 連結(jié) HE AD BC FH BC BCBB1C1C FH 平面 BB1C1C 由 FH AD 可得 BA BH BD BF 又 BF B1E BD AB1 BA BH AB EB 1 1 EH B1B B1B平面 BB1C1C EH 平面 BB1C1C EH FH H 平面 FHE 平面 BB1C1C EF平面 FHE EF 平面 BB1C1C 說明 證法一用了證線面平行 先證線線平行 證法二則是證線面平行 先證面面 平行 然后說明直線在其中一個平面內(nèi) 3 位置關(guān)系中的定性與定量的轉(zhuǎn)化 立體幾何中對點(diǎn) 線 面在空間中特定位置關(guān)系的研究是從定性和定量兩個 方向進(jìn)行的 這兩者既有聯(lián)系又有區(qū)別 在一定條件下還可以互相轉(zhuǎn)化 線線 線面 面面平行 這些定性描述 表示線線 線面 面面的成角是 0 反之則不然 線 線 線面 面面的成角是 90 這些量的結(jié)果 則反映了它們的垂直關(guān)系 反之亦 然 可見教材中深刻地蘊(yùn)含著位置關(guān)系中的定性與定量的轉(zhuǎn)化關(guān)系 例 3 空間四邊形 PABC 中 PA PB PC 兩兩相互垂直 PBA 45 PBC 60 M 為 AB 的中點(diǎn) 1 求 BC 與平面 PAB 所成的角 2 求證 AB 平面 PMC 解析 此題數(shù)據(jù)特殊 先考慮數(shù)據(jù)關(guān)系及計(jì)算 發(fā)現(xiàn)解題思路 解 PA AB APB 90 在 Rt APB 中 ABP 45 設(shè) PA a 則 PB a AB a PB PC 在 Rt PBC 中 2 PBC 60 PB a BC 2a PC a 3 AP PC 在 Rt APC 中 AC 2a 22 PCPA 22 3 aa 1 PC PA PC PB PC 平面 PAB BC 在平面 PBC 上的射影是 BP CBP 是 CB 與平面 PAB 所成的角 PBC 60 BC 與平面 PBA 的角為 60 2 由上知 PA PB a AC BC 2a M 為 AB 的中點(diǎn) 則 AB PM AB CM AB 平面 PCM 說明 要清楚線面的垂直關(guān)系 線面角的定義 通過數(shù)據(jù)特點(diǎn) 發(fā)現(xiàn)解題捷徑 例 4 如圖 9 19 在棱長為 a 的正方體 ABCD 中 O 是 AC BD 的交 111 DCBA 點(diǎn) E F 分別是 AB 與 AD 的中點(diǎn) 圖 9 19 1 求異面直線與所成角的大小 1 OD 11C A 2 求異面直線 EF 與所成角的大小 11C A 解析 1 AC 與 AC 所成的銳角或直角就是與所成的 11C A 1 OD 1 OD 11C A 角 連結(jié) 在 和 1 AD 1 CD 11D AA 11D CC 1 AA 1 CC 1111 DCDA 11D AA 是等腰三角形 11D CC 90 11D AA 11D CC 11 CDAD CAD1 O 是底邊 AC 的中點(diǎn) 故與所成的角是 90 ACOD 11 OD 11C A 2 E F 分別是 AB AD 中點(diǎn) EF BD 又 AC AC 與 11C A BD 所成的銳角或直角就是 EF 與所成的角 四邊形 ABCD 是正方形 11C A AC BD EF 與所成的角為 90 11C A 4 體積問題中的轉(zhuǎn)化 研究簡單幾何體體積問題的過程中 利用祖暅定理 將一般柱體體積問題轉(zhuǎn) 化為長方體體積問題 一般錐體體積問題轉(zhuǎn)化為三棱錐體積問題 從而推導(dǎo)出柱 體和錐體體積公式等 三棱錐體積公式推導(dǎo)過程中 補(bǔ)法 和 割法 的先后運(yùn)用 臺體的體積 即補(bǔ)臺成錐 所展示的割補(bǔ)轉(zhuǎn)化 利用四面體 平面六面體等幾何體 體積的自等性 以體積為媒介溝通有關(guān)元素間的聯(lián)系 從而使問題獲解的等積轉(zhuǎn) 化等 均是轉(zhuǎn)化的思想方法在體積問題中的體現(xiàn) 所有上述這些都充分展現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想方法在立體幾何中的 用武之地 教 學(xué)中的適時揭示與恰當(dāng)運(yùn)用 確能強(qiáng)化學(xué)生思維的目標(biāo)意識 增強(qiáng)思維的敏捷性 和靈活性 提高學(xué)習(xí)效率 例 5 如圖 平行六面體 ABCD A1B1C1D1的底面是邊長為 1 的正方形 側(cè)棱 AA1 長為 2 且 A1AB A1AD 60 則此平行六面體的體積為 解析 一 求平行六面體 ABCD A1B1C1D 的體積 應(yīng)用公式 由于底面是正方形 所以關(guān)鍵是求高 即到底面 ABCD 的距離 1 A 解法一 過點(diǎn) A1做 A1O 平面 ABCD 垂足為 O 過 O 做 OE AB OF AD 垂足分別為 E F 連結(jié) A1E A1F 可知 O 在 BAD 的平分線 AC 上 cos A1AO cos OAF cos A1AF 1 AA OA AO AF 1 AA AF 即 cos A1AO cos45 cos60 cos A1AO 2 2 sin A1AO 2 2 A1O A1Asin A1AO 2 V SABCD A1O 2 分析二 如圖 平行六面體的對角面 B1D1DB 把平行六面體分割成兩個斜三棱柱 它們等底面積 等高 體積相等 考察其中之一三棱柱 A1B1D1 ABD 解法二 過 B 作 BE A1A 連結(jié) DE 可知面 BDE 是其直截面 把斜三棱柱分割成上 下兩部分 若把兩部分重新組合 讓面 A1D1B1與面 ADB 重合 則得到一直棱柱 BDE 是其底面 DD1是其側(cè)棱 并且和斜三棱柱 A1B1D1 ABD 的體積相等 取 BD 中點(diǎn) O 連結(jié) OE 易知 S BED BD OE BD 2 1 2 1 22 ODDE 2 1 2 22 2 2 2 3 4 2 V直棱柱 S DEB DD1 2 4 2 2 2 ABDDBA V 111 2 ABCDDCBA V 1111 ABDDBA V 111 2 點(diǎn)評 在解決體積問題時 割 補(bǔ) 是常用的手段 另外本題分析二給出了求斜棱 柱體積的另一方法 斜棱柱的體積 直截面面積 側(cè)棱長 例 6 求證 球的外切正四面體的高是球的直徑的 2 倍 證明 設(shè)球的半徑為 R 正四面體的高為 h 側(cè)面積為 S 則有 VA BCD VO ABC VO ABD VO BCD VO ACD如圖 即 Sh 4 SR h 4R 3 1 3 1 二 分類的思想方法 分類的思想方法在數(shù)學(xué)中較為普遍 如立體幾何中的一些知識和問題 空間 兩直線的位置關(guān)系分為相交 平行 異面三種 線面 面面的位置關(guān)系以它們公共 點(diǎn)的多少為標(biāo)準(zhǔn)分別分為相交 平行 線在面內(nèi)的三種和平行 相交兩種 而對 于相交的情形 根據(jù)其交角是否為直角又分為斜交和直交兩種 簡單幾何體可劃 分為柱體 錐體 臺體和球四類 每一類 除球外 又可分為若干個子類 教學(xué)直線 和平面所成的角時 要分直線和平面斜交 直線和平面垂直 直線和平面平行或 直線在平面內(nèi)三種情況加以說明 教學(xué)中 不失時機(jī)地揭示并幫助學(xué)生運(yùn)用分類 的思想方法 有助于學(xué)生全面系統(tǒng)地歸納整理 消化知識 亦有益于訓(xùn)練思維的 條理性和嚴(yán)密性 發(fā)展思維能力 另外 根據(jù)幾何圖形及位置存在的不同情況也需分類討論 例 7 若四面體各棱長是 1 或 2 且該四面體不是正四面體 則其體積的值是 只須寫出一個可能的值 解析 該題的顯著特點(diǎn)是結(jié)論發(fā)散而不惟一 本題表面上是考查錐體求積公式這 個知識點(diǎn) 實(shí)際上主要考查由所給條件構(gòu)造一個四面體的能力 首先得考慮每個 面的三條棱是如何構(gòu)成的 排除 1 1 2 可得 1 1 1 1 2 2 2 2 2 然后由這三類面在空間構(gòu)造滿 足條件的一個四面體 再求其體積 由平時所見的題目 至少可構(gòu)造出二類滿足條件的四面體 五條邊為 2 另一邊 為 1 對棱相等的四面體 對于五條邊為 2 另一邊為 1 的四面體 參看圖 1 所示 設(shè) AD 1 取 AD 的中點(diǎn)為 M 平面 BCM 把三棱錐分成兩個三棱錐 由對稱性可知 AD 面 BCM 且 VA BCM VD BCM 所以 VABCD S BCM AD 3 1 CM 設(shè) N 是 BC 的中點(diǎn) 則 MN BC MN 22 DMCD 22 2 1 2 2 15 從而 S BCM 2 22 CNCM 1 4 15 2 11 2 1 2 11 2 11 故 VABCD 1 3 1 2 11 6 11 對于對棱相等的四面體 可參見圖 2 其體積的計(jì)算可先將其置于一個長方體之 中 再用長方體的體積減去四個小三棱錐的體積來進(jìn)行 亦可套公式 V 12 2 bac acb cba 222222222 不妨令 a b 2 c 1 則 V 12 2 441 414 144 12 2 7 12 14 例 8 四面體的四個頂點(diǎn)到平面 M 的距離之比為 1 1 1 3 則平面 M 的個數(shù)應(yīng)有 多少個 解 這樣的平面應(yīng)分 4 種情況討論 1 4 個頂點(diǎn)都在平面 M 的同側(cè) 則有 C41 1 4 個 平面 2 距離比為 3 的頂點(diǎn)與其他 3 個頂點(diǎn)不同側(cè) 則有 C41 1 4 個 平面 3 距離比為 3 的頂點(diǎn)與其他 3 個頂點(diǎn)中的 1 個同側(cè) 則有 C31 C41 1 12 個 平 面 4 距離比為 3 的頂點(diǎn)與其他 3 個頂點(diǎn)中的 2 個同側(cè) 則有 C32 C41 1 12 個 平 面 一共應(yīng)有 4 4 12 12 32 個 平面 例 9 直線 上有兩點(diǎn)到平面 的距離相等 這條直線和平面 的位置如何 l 解析 1 若直線 上的兩點(diǎn)到平面 的距離都等于 0 這時直線 在平面 內(nèi) 如圖 ll 2 若直線 上的兩點(diǎn)在平面 的兩側(cè) 且到平面 的距離相等 這時直線 與平面ll 相交 如圖 3 若直線 l 上的兩點(diǎn)在平面 的同一側(cè) 且到平面 的距離相等 如圖 AA1 于點(diǎn) A1 BB1 于點(diǎn) B1 又 A B 均在 l 上 且在 的同側(cè) AA1 BB1 AA1BB1為一平行四邊形 AB A1B1 這時直線 l 與平面 平行 想一想 若直線 l 上各點(diǎn)到平面 的距離都相等 那么直線 l 和平面 的位置關(guān) 系又怎樣 三 運(yùn)動變化的思想方法 運(yùn)動變化的思想方法是數(shù)學(xué)中重要的思想方法 運(yùn)用它易于提示概念的本 質(zhì) 便于認(rèn)識事物的性質(zhì) 發(fā)現(xiàn)規(guī)律 立體幾何中 不少的知識和問題蘊(yùn)含著這 一思想方法 如圓柱 圓錐 圓臺 球面和旋轉(zhuǎn)面的含義 二面角可看作是一個半 平面以其棱為軸旋轉(zhuǎn)而成的 圓柱 或圓錐 亦可看作是當(dāng)圓臺上底面半徑和下底 面半徑相等 或縮小到其半徑等于零 時 轉(zhuǎn)化而成的 教學(xué)線面平行的性質(zhì)時 在定義的條件下 讓該直線和平面運(yùn)動起來 在運(yùn)動中保持不變的性質(zhì)就是線面 平行的性質(zhì) 研究平面圖形折疊問題時 需要從運(yùn)動變化的角度出發(fā) 弄清圖形 中涉及的元素在折疊前后的數(shù)量及位置關(guān)系的變化等 教學(xué)實(shí)踐表明 有意識而 及時地對這一思想方法的揭示與滲透 可使學(xué)生對知識的理解更深刻 運(yùn)用更得 心應(yīng)手 思維能力得到發(fā)展 同時使學(xué)生受到辯證唯物主義教育 例 10 求正三棱錐相鄰的兩個側(cè)面所成的二面角大小的取值范圍 分析 因?yàn)檫@個正三棱錐是動態(tài)的 無法作出相鄰的兩個側(cè)面所成的二面角的平 面角 故不能通過正常的途徑算出其范圍 既然是動態(tài)的圖形 我們則可以從圖 形的極限思想出發(fā)思考這個問題 當(dāng)正三棱錐的高接近于零時 相鄰的兩個側(cè)面 趨向于在底面內(nèi) 故二面角大小趨向于 但不能等于 當(dāng)正三棱錐的高趨向 于時 正三棱錐趨向于正三棱柱 故二面角大小趨向于 但不能等于 故 3 3 相鄰的兩個側(cè)面所成的二面角大小的取值范圍為 3 例 11 如圖 3 在棱長為 a 的正方體中 EF 是棱 AB 上的一條線段 1111 ABCDABC D 且 EF b a 若 Q 是上的定點(diǎn) P 在上滑動 則四面體 PQEF 的體積 11 AD 11 C D A 是變量且有最大值 B 是變量且有最小值 C 是變量無最大最小值 D 是常 量 分析 此題的解決需要我們仔細(xì)分析圖形的特點(diǎn) 這個圖形有很多不確定因素 線段 EF 的位置不定 點(diǎn) P 在滑動 但在這一系列的變化中是否可以發(fā)現(xiàn)其中的穩(wěn)定因素 求四面體 的體積要具備哪些條件 仔細(xì)觀察圖形 應(yīng)該以哪個面為底面 觀察 我們發(fā)現(xiàn)它的形狀位置是要變化PEF 的 但是底邊 EF 是定值 且 P 到 EF 的距離也是定值 故它的面積是定值 再發(fā)現(xiàn)點(diǎn) Q 到面 PEF 的距離也是定值 因此 四面體 PQEF 的體積是定值 我們沒有一點(diǎn)計(jì)算 對圖形的分析 幫助我們解決了問題 四 數(shù)與方程的思想方法 函數(shù)與方程的思想方法滲透到中學(xué)數(shù)學(xué)的全過程 具有廣泛應(yīng)用性 它們是 根據(jù)問題的數(shù)量特征及其相互關(guān)系設(shè)定變量 建立函數(shù)關(guān)系或方程 通過對函數(shù) 性態(tài)或方程的研究而求得原問題的解的一種思維方法 函數(shù)與方程的思想方法在立體幾何中亦大有 用武之地 如立體幾何中求 某些量的最值問題大都需要用函數(shù)的思想方法去處理 多面體和旋轉(zhuǎn)體的表面 積與體積的計(jì)算中 也經(jīng)常要用方程的思想方法去解決有關(guān)問題 教學(xué)中適時啟 發(fā)和引導(dǎo)學(xué)生用函數(shù)與方程的思想方法去思考和解決問題 有利于學(xué)生將某些 研究對象或?qū)嶋H問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的意識和習(xí)慣的形成 同時學(xué)生分析 解決 問題的能力也必將得到提高 例 12 如圖 正方形 ABCD ABEF 的邊長都是 1 而 且平面 ABCD ABEF 互相垂直 點(diǎn) M 在 AC 上移動 點(diǎn) N 在 BF 上移動 若 CM BN a 1 求 MN 的長 20 a 2 當(dāng)為何值時 MN 的長最小 3 當(dāng) MNa 長最小時 求面 MNA 與面 MNB 所成的二面角 的大小 解析 1 作 MP AB 交 BC 于點(diǎn) P NQ AB 交 BE 于點(diǎn) Q 連接 PQ 依題意可得 MP NQ 且 MP NQ 即 MNQP 是平行四邊形 MN PQ 由已知 CM BN a CB AB BE 1 即 2 BFAC 21 21 aBQaCP 2 a BQCP 22 1 BQC