張量及應(yīng)用1-1ppt課件.ppt

張量分析及其應(yīng)用 第一章張量代數(shù)第二章張量分析第三章張量應(yīng)用 1 1 1指標(biāo)記法1 1 1求和約定 啞指標(biāo) 第一章張量代數(shù) 2 顯然 指標(biāo)i j k與求和無關(guān) 可用任意字母代替 為簡化表達(dá)式 引入Einstein求和約定 每逢某個(gè)指標(biāo)在一項(xiàng)中重復(fù)一次 就表示對(duì)該指標(biāo)求和 指標(biāo)取遍正數(shù)1 2 n 這樣重復(fù)的指標(biāo)稱為啞標(biāo) 于是 3 是違約的 求和時(shí)要保留求和號(hào) n表示空間的維數(shù) 以后無特別說明 我們總?cè) 3 例題 4 雙重求和 簡寫成 展開式 9項(xiàng) 三重求和 27項(xiàng) 5 1 1 2自由指標(biāo) 例如 指標(biāo)i在方程的各項(xiàng)中只出現(xiàn)一次 稱之為自由指標(biāo) 一個(gè)自由指標(biāo)每次可取整數(shù)1 3 n 與啞標(biāo)一樣 無特別說明總?cè) 3 于是 上式表示3個(gè)方程的縮寫 6 i為自由指標(biāo) j為啞標(biāo) 表示 7 i為自由指標(biāo) j為啞標(biāo) 表示 8 i j為自由指標(biāo) k為啞標(biāo) 表示9個(gè)方程 9 例外 出現(xiàn)雙重指標(biāo)但不求和時(shí) 在指標(biāo)下方加劃線以示區(qū)別 或用文字說明 如i不求和 規(guī)定 這里i相當(dāng)于一個(gè)自由指標(biāo) 而i只是在數(shù)值上等于i 并不與i求和 10 又如 方程 用指標(biāo)法表示 可寫成 i不參與求和 只在數(shù)值上等于i 11 1 2Kronecker符號(hào) 在卡氏直角坐標(biāo)系下 Kronecker符號(hào)定義為 其中i j為自由指標(biāo) 取遍1 2 3 因此 可確定一單位矩陣 12 若 是相互垂直的單位矢量 則 但 而 故 13 注意 是一個(gè)數(shù)值 即 的作用 1 換指標(biāo) 2 選擇求和 例1 思路 把要被替換的指標(biāo)i變成啞標(biāo) 啞標(biāo)能用任意字母 因此可用變換后的字母k表示 14 例2 例3 個(gè)數(shù) 項(xiàng)的和 求 特別地 15 1 3置換符號(hào) i j k 為1 2 3的偶排列 i j k 為1 2 3的奇排列 i j k 不是1 2 3的排列 例如 16 可見 也稱為三維空間的排列符號(hào) 若 是右手卡氏直角坐標(biāo)系的單位基矢量 則 17 常見的恒等式 i ii iii iv 18 證明 令 即得 i 將 i 作相應(yīng)的指標(biāo)替換 展開化簡 將得其余三式 指標(biāo)任意排列 經(jīng)過行列調(diào)整總可用右邊表示 兩個(gè)置換符號(hào)分別反映行 列調(diào)換及指標(biāo)重復(fù)時(shí)的正 負(fù)及零 19 二維置換符號(hào) 其中 從三維退化得到 有下列恒等式 20 關(guān)鍵公式 21 二維關(guān)鍵公式 22 1 4指標(biāo)記法的運(yùn)算 1 4 1代入 設(shè) 1 2 把 2 代入 1 m norelse 3個(gè)方程 右邊為9項(xiàng)之和 23 1 4指標(biāo)記法的運(yùn)算 1 4 2乘積 設(shè) 則 不符合求和約定 24 1 4指標(biāo)記法的運(yùn)算 1 4 3因式分解 考慮 第一步用 表示 有換指標(biāo)的作用 所以 即 25 1 4指標(biāo)記法的運(yùn)算 1 4 4縮并 使兩個(gè)指標(biāo)相等并對(duì)它們求和的運(yùn)算稱為縮并 如各向同性材料應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系 縮并 啞標(biāo)與求和無關(guān) 可用任意字母代替 為平均應(yīng)力應(yīng)變之間的關(guān)系 26 1 4指標(biāo)記法的運(yùn)算 1 4 5例題 熟悉指標(biāo)記法和普通記法的轉(zhuǎn)換 求和約定同樣適用于微分方程 不可壓縮牛頓流體的連續(xù)性方程 其普通記法 或 27 1 4指標(biāo)記法的運(yùn)算 1 4 5例題 熟悉指標(biāo)記法和普通記法的轉(zhuǎn)換 不可壓縮牛頓流體的Navier Stokes方程 寫出其普通記法 28 1 4指標(biāo)記法的運(yùn)算 1 4 5例題 熟悉指標(biāo)記法和普通記法的轉(zhuǎn)換 彈性力學(xué)平衡方程方程 寫出其指標(biāo)記法 29 1 5張量的定義 1 5 1坐標(biāo)系的變換關(guān)系 卡氏右手直角坐標(biāo)系 舊坐標(biāo)系 新舊基矢量夾角的方向余弦 單位基矢量 新坐標(biāo)系 單位基矢量 30 1 5 1坐標(biāo)系的變換關(guān)系 31 圖解 二維 在解析式中記 32 1 5 1坐標(biāo)系的變換關(guān)系 從坐標(biāo)變換的角度研究標(biāo)量 矢量和張量 對(duì)i求和 i 為自由指標(biāo) 33 1 5 2標(biāo)量 純量Scalar 在坐標(biāo)變換時(shí)其值保持不變 即滿足 如數(shù)學(xué)中的純數(shù) 物理中的質(zhì)量 密度 溫度等 時(shí)間是否標(biāo)量 34 1 5 3矢量 Vector 設(shè)a為任意矢量 其在新 舊坐標(biāo)系下的分量分別為 即 對(duì)i 求和 對(duì)i求和 滿足以下變換關(guān)系的三個(gè)量定義一個(gè)矢量 35 1 5 3矢量 Vector 啞標(biāo)換成k 比較上式兩邊 得 即該變換是正交的 36 1 5 4張量 Tensor 對(duì)于直角坐標(biāo)系 有九個(gè)量 按照關(guān)系 變換成 中的九個(gè)量 則此九個(gè)量定義一個(gè)二階張量 將矢量定義加以推廣 增加指標(biāo)和相應(yīng)的變換系數(shù) 37 38 39 40 1 6張量的分量 設(shè)ei為卡氏直角坐標(biāo)系xi軸的單位基矢量 a為任一矢量 其分量為ai 于是 41 對(duì)于一個(gè)二階張量T 它可以將a變換成另一個(gè)矢量b 即 稱為二階張量T的分量 令 42 可理解為矢量T ej在ei上的分量 即 43 因此 有下面三種等價(jià)的表達(dá)式 44 其中 稱為在基矢量組 e1 e2 e3 下二階張量T的矩陣 注意 矢量a b及張量T本身與坐標(biāo)系無關(guān) 但其分量ai bi Tij通過基矢量組 e1 e2 e3 與坐標(biāo)系相關(guān) 45 1 7 1張量的加法和減法 設(shè)T S均為二階張量 將它們的和 差用下式表示 仍為二階張量 46 若a為一矢量 則 其分量為 其矩陣形式為 47 1 7 2張量和標(biāo)量的乘積 設(shè)T為二階張量 為一標(biāo)量 它們的乘積記為 則 仍為二階張量 48 因?yàn)楦鶕?jù)坐標(biāo)變換 有 可見 為二階張量 49 1 7 3并矢積 并矢記法 基張量 矢量a和矢量b的并矢積ab定義為按下列規(guī)則變換任意矢量的變換 二階張量一階零階 50 關(guān)于是二階張量的證明 即證明滿足張量的定義 是一個(gè)線性變換 設(shè)有任意矢量 及標(biāo)量 則由并矢積定義 51 可見 滿足張量的定義 52 關(guān)于基矢量組的分量 有些文獻(xiàn)把寫成 53 矩陣形式 54 基矢量的并矢積 55 56 于是 二階張量可以表示成 即 這種并矢記法可以推廣到任意階張量 例