《拉氏變換詳解》PPT課件

1 2 常用函數(shù)的拉氏變換 1 例1 求階躍函數(shù)f t A 1 t 的拉氏變換 單位階躍函數(shù)f t 1 t 的拉氏變換為 2 例2 求單位脈沖函數(shù)f t t 的拉氏變換 數(shù)學(xué)知識(shí)回顧 2 3 例3 求指數(shù)函數(shù)f t 的拉氏變換幾個(gè)重要的拉氏變換 3 3 拉氏變換的基本性質(zhì) 1 線性性質(zhì)原函數(shù)之和的拉氏變換等于各原函數(shù)的拉氏變換之和 2 微分性質(zhì)若 則有f 0 為原函數(shù)f t 在t 0時(shí)的初始值 4 證 根據(jù)拉氏變換的定義有原函數(shù)二階導(dǎo)數(shù)的拉氏變換依次類推 可以得到原函數(shù)n階導(dǎo)數(shù)的拉氏變換 5 3 積分性質(zhì)若則式中為積分當(dāng)t 0時(shí)的值 證 設(shè)則有由上述微分定理 有 6 即 同理 對f t 的二重積分的拉氏變換為若原函數(shù)f t 及其各重積分的初始值都等于0則有即原函數(shù)f t 的n重積分的拉氏變換等于其象函數(shù)除以 7 4 終值定理原函數(shù)的終值等于其象函數(shù)乘以s的初值 證 由微分定理 有等式兩邊對s趨向于0取極限 8 注 若時(shí)f t 極限不存在 則不能用終值定理 如對正弦函數(shù)和余弦函數(shù)就不能應(yīng)用終值定理 5 初值定理 證明方法同上 只是要將取極限 6 位移定理 a 實(shí)域中的位移定理 若原函數(shù)在時(shí)間上延遲 則其象函數(shù)應(yīng)乘以 9 b 復(fù)域中的位移定理 象函數(shù)的自變量延遲a 原函數(shù)應(yīng)乘以即 7 時(shí)間比例尺定理原函數(shù)在時(shí)間上收縮 或展寬 若干倍 則象函數(shù)及其自變量都增加 或減小 同樣倍數(shù) 即 證 10 8 卷積定理兩個(gè)原函數(shù)的卷積的拉氏變換等于兩個(gè)象函數(shù)的乘積 即證明 11 12 二 拉氏反變換1 定義 從象函數(shù)F s 求原函數(shù)f t 的運(yùn)算稱為拉氏反變換 記為 由F s 可按下式求出式中C是實(shí)常數(shù) 而且大于F s 所有極點(diǎn)的實(shí)部 直接按上式求原函數(shù)太復(fù)雜 一般都用查拉氏變換表的方法求拉氏反變換 但F s 必須是一種能直接查到的原函數(shù)的形式 13 若F s 不能在表中直接找到原函數(shù) 則需要將F s 展開成若干部分分式之和 而這些部分分式的拉氏變換在表中可以查到 例1 例2 求的逆變換 解 14 例3 15 2 拉式反變換 部分分式展開式的求法 1 情況一 F s 有不同極點(diǎn) 這時(shí) F s 總能展開成如下簡單的部分分式之和 16 17 18 2 情況2 F s 有共軛極點(diǎn)例2 求解微分方程 19 3 情況3 F s 有重極點(diǎn) 假若F s 有L重極點(diǎn) 而其余極點(diǎn)均不相同 那么 20 21 22 23 如果不記公式 可用以下方法求解 也可得解 24 3 線性定常微分方程的求解 例2 6P25 下圖中 若已知L 1H C 1F r 1 U0 0 0 1V i 0 0 1A ui t 1V 試求電路突然接通電源時(shí)電容電壓的變化規(guī)律 25 解 已求得微分方程為 拉氏變換得 26 代入得 根據(jù)初值定理 終值定理 27 三 傳遞函數(shù)1 定義 零初始條件下 系統(tǒng)輸出量的拉氏變換與輸入量拉氏變換的比值叫該系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 用G s 表示 設(shè)線性定常系統(tǒng) 元件 的微分方程是 28 c t 為系統(tǒng)的輸出 r t 為系統(tǒng)輸入 則零初始條件下 對上式兩邊取拉氏變換 得到系統(tǒng)傳遞函數(shù)為 分母中S的最高階次n即為系統(tǒng)的階次 29 因?yàn)榻M成系統(tǒng)的元部件或多或少存在慣性 所以G s 的分母次數(shù)大于等于分子次數(shù) 即 若m n 我們就說這是物理不可實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng) 30 2 性質(zhì) 1 傳遞函數(shù)與微分方程一一對應(yīng) 2 傳遞函數(shù)表征了系統(tǒng)本身的動(dòng)態(tài)特性 傳遞函數(shù)只取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)參數(shù) 而與輸入和初始條件等外部因素?zé)o關(guān) 可見傳遞函數(shù)有效地描述了系統(tǒng)的固有特性 3 只能描述線性定常系統(tǒng)與單輸入單輸出系統(tǒng) 且內(nèi)部許多中間變量的變化情況無法反映 4 如果存在零極點(diǎn)對消情況 傳遞函數(shù)就不能正確反映系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性了 5 只能反映零初始條件下輸入信號(hào)引起的輸出 不能反映非零初始條件引起的輸出 31 例1 RC電路如圖所示依據(jù) 基爾霍夫定律消去中間變量 則微分方程為 32 可用方框圖表示例2 雙T網(wǎng)絡(luò) 對上式進(jìn)行零初始條件下的拉氏變換得 33 解 方法一 根據(jù)基爾霍夫定理列出下列微分方程組 方程組兩邊取零初始條件下的拉氏變換得 34 35 方法二 雙T網(wǎng)絡(luò)不可看成兩個(gè)RC網(wǎng)絡(luò)的串聯(lián) 即 36 傳遞函數(shù)的基本概念例 例2 9P31 求電樞控制式直流電動(dòng)機(jī)的傳遞函數(shù) 解 已知電樞控制式直流電動(dòng)機(jī)的微分方程為 方程兩邊求拉氏變換為 令 得轉(zhuǎn)速對電樞電壓的傳遞函數(shù) 令 得轉(zhuǎn)速對負(fù)載力矩的傳遞函數(shù) 最后利用疊加原理得轉(zhuǎn)速表示為 37 38 2 4典型環(huán)節(jié)的特性 控制系統(tǒng)是由許多環(huán)節(jié)組成的 為了研究控制系統(tǒng)的特性 有必要首先研究其各個(gè)組成部分的特性 即研究各個(gè)環(huán)節(jié)的特性 不同物理性質(zhì) 不同結(jié)構(gòu)用途的環(huán)節(jié)可以表現(xiàn)出相同的動(dòng)態(tài)特性 可以有相同的數(shù)學(xué)模型 所以這里按數(shù)學(xué)模型對環(huán)節(jié)進(jìn)行分類 39 1 比例環(huán)節(jié) 1 微分方程c t Kr t K為常數(shù)任意時(shí)刻 輸出與輸入成比例 2 傳遞函數(shù)K為常數(shù) 3 動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖 4 動(dòng)態(tài)特性r t 1 t c t K 1 t 輸出不失真 不延遲 成比例地表現(xiàn)輸入信號(hào)的變化 迅速 準(zhǔn)確地表現(xiàn)輸入信號(hào)的變化 40 5 舉例 a 工作于線性狀態(tài)的電子放大器 其慣性很小可以近似地看成一個(gè)比例環(huán)節(jié) b 測速發(fā)電機(jī)空載時(shí) 它的輸出電壓與輸入轉(zhuǎn)速成正比例關(guān)系 帶負(fù)載時(shí) 略去其電樞反應(yīng)和電刷與換相器的接觸電壓 仍近似地把它視為一個(gè)比例環(huán)節(jié) 41 2 4結(jié)構(gòu)圖 一 結(jié)構(gòu)圖的概念和組成1 概念 我們可以用結(jié)構(gòu)圖表示系統(tǒng)的組成和信號(hào)流向 在引入傳遞函數(shù)后 可以把環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)標(biāo)在結(jié)構(gòu)圖的方塊里 并把輸入量和輸出量用拉氏變換表示 這時(shí)Y s G s X s 的關(guān)系可以在結(jié)構(gòu)圖中體現(xiàn)出來 42 3 比較點(diǎn) 綜合點(diǎn) 相加點(diǎn)加號(hào)常省略 負(fù)號(hào)必須標(biāo)出 4 引出點(diǎn) 一條傳遞線上的信號(hào)處處相等 引出點(diǎn)的信號(hào)與原信號(hào)相等 2 組成 1 方框 有輸入信號(hào) 輸出信號(hào) 傳遞線 方框內(nèi)的函數(shù)為輸入與輸出的傳遞函數(shù) 一條傳遞線上的信號(hào)處處相同 2 信號(hào)線 帶箭頭的直線 箭頭表示信號(hào)的流向 在直線旁標(biāo)注信號(hào)的時(shí)間函數(shù)或象函數(shù) 43 結(jié)構(gòu)圖等效變換例子 例2 11 例1 利用結(jié)構(gòu)圖等效變換討論兩級(jí)RC串聯(lián)電路的傳遞函數(shù) 解 不能把左圖簡單地看成兩個(gè)RC電路的串聯(lián) 有負(fù)載效應(yīng) 根據(jù)電路定理 有以下式子 二 結(jié)構(gòu)圖的繪制 44 繪圖 ui s 為輸入 畫在最左邊 這個(gè)例子不是由微分方程組 代數(shù)方程組 結(jié)構(gòu)圖 而是直接列寫s域中的代數(shù)方程 畫出了結(jié)構(gòu)圖 45 若重新選擇一組中間變量 會(huì)有什么結(jié)果呢 剛才中間變量為i1 u1 i2 現(xiàn)在改為I I1 I2 從右到左列方程 46 這個(gè)結(jié)構(gòu)與前一個(gè)不一樣 選擇不同的中間變量 結(jié)構(gòu)圖也不一樣 但是整個(gè)系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系是不會(huì)變的 繪圖 47 三 結(jié)構(gòu)圖的等效變換 1 串聯(lián) 48 2 并聯(lián) 49 3 反饋這是個(gè)單回路的閉環(huán)形式 反饋可能是負(fù) 可能是正 我們用消去中間法來證明 C s 50 以后我們均采用 s 表示閉環(huán)傳遞函數(shù) 負(fù)反饋時(shí) s 的分母為1 回路傳遞函數(shù) 分子是前向通路傳遞函數(shù) 正反饋時(shí) s 的分母為1 回路傳遞函數(shù) 分子為前向通路傳遞函數(shù) 單位負(fù)反饋時(shí) 51 4 信號(hào)引出點(diǎn)的移動(dòng) 引出點(diǎn)從環(huán)節(jié)的輸入端移到輸出端 信號(hào)分支點(diǎn)的移動(dòng)和互換 52 信號(hào)相加點(diǎn)和分支點(diǎn)的移動(dòng)和互換 引出點(diǎn)從環(huán)節(jié)的輸出端移到輸入端 注意 相臨的信號(hào)相加點(diǎn)位置可以互換 見下例 53 信號(hào)相加點(diǎn)和分支點(diǎn)的移動(dòng)和互換 同一信號(hào)的分支點(diǎn)位置可以互換 見下例 相加點(diǎn)和分支點(diǎn)在一般情況下 不能互換 常用的結(jié)構(gòu)圖等效變換見表2 1 所以 一般情況下 相加點(diǎn)向相加點(diǎn)移動(dòng) 分支點(diǎn)向分支點(diǎn)移動(dòng) 54 結(jié)構(gòu)圖等效變換例子 例2 11 例2 利用結(jié)構(gòu)圖等效變換討論兩級(jí)RC串聯(lián)電路的傳遞函數(shù) 總的結(jié)構(gòu)圖如下 55 結(jié)構(gòu)圖等效變換例子 例2 11 為了求出總的傳遞函數(shù) 需要進(jìn)行適當(dāng)?shù)牡刃ё儞Q 一個(gè)可能的變換過程如下 56 結(jié)構(gòu)圖等效變換例子 例2 11 57 解 結(jié)構(gòu)圖等效變換如下 例3 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下 求傳遞函數(shù) 58 結(jié)構(gòu)圖等效變換例子 例2 12 59 小結(jié) 結(jié)構(gòu)圖的概念和繪制方法 結(jié)構(gòu)圖的等效變換 環(huán)節(jié)的合并和分支點(diǎn) 相加點(diǎn)的移動(dòng) 作業(yè) 2 2 b 2 4 b 2 8 2 9 2 11 2 17 e 60 2 5信號(hào)流圖 信號(hào)流圖可以表示系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和變量傳送過程中的數(shù)學(xué)關(guān)系 它也是控制系統(tǒng)的一種數(shù)學(xué)模型 在求復(fù)雜系統(tǒng)的傳遞函數(shù)時(shí)較為方便 61 一 信號(hào)流圖及其等效變換組成 信號(hào)流圖由節(jié)點(diǎn)和支路組成的信號(hào)傳遞網(wǎng)絡(luò) 見下圖 信號(hào)流圖的概念 節(jié)點(diǎn) 節(jié)點(diǎn)表示變量 以小圓圈表示 支路 連接節(jié)點(diǎn)之間的有向線段 支路上箭頭方向表示信號(hào)傳送方向 傳遞函數(shù)標(biāo)在支路上箭頭的旁邊 稱支路增益 支路相當(dāng)于乘法器 信號(hào)流經(jīng)支路時(shí) 被乘以支路增益而變?yōu)榱硪环N信號(hào) 62 上圖中 兩者都具有關(guān)系 支路對節(jié)點(diǎn)來說是輸出支路 對輸出節(jié)點(diǎn)y來說是輸入支路 信號(hào)流圖的概念 63 信號(hào)流圖的術(shù)語 幾個(gè)術(shù)語 輸出節(jié)點(diǎn) 阱點(diǎn) 只有輸入支路的節(jié)點(diǎn) 如 C 混合節(jié)點(diǎn) 既有輸入支路又有輸出支路的節(jié)點(diǎn) 如 E P Q 混合節(jié)點(diǎn)相當(dāng)于結(jié)構(gòu)圖中的信號(hào)相加點(diǎn)和分支點(diǎn) 它上面的信號(hào)是所有輸入支路引進(jìn)信號(hào)的疊加 前向通路 信號(hào)從輸入節(jié)點(diǎn)到輸出節(jié)點(diǎn)傳輸時(shí) 每個(gè)節(jié)點(diǎn)只通過一次的通路叫前向通路 輸入節(jié)點(diǎn) 源點(diǎn) 只有輸出支路的節(jié)點(diǎn) 如 R N 64 回路 閉通路 起點(diǎn)和終點(diǎn)為同一節(jié)點(diǎn) 而且信號(hào)通過每一節(jié)點(diǎn)不多于一次的閉合通路稱為回路 互不接觸回路 回路之間沒有公共節(jié)點(diǎn)時(shí) 這種回路稱為互不接觸回路 信號(hào)流圖的術(shù)語 通路傳輸 增益 通路中各支路傳輸?shù)某朔e稱為通路傳輸或通路增益 前向通路中各支路傳輸?shù)某朔e稱為前向通路傳輸或前向通路增益 回路傳輸 增益 回路上各支路傳輸?shù)某朔e稱為回路傳輸或回路增益 65 信號(hào)流圖的等效變換 66 信號(hào)流圖的等效變換 67 信號(hào)流圖的性質(zhì) 節(jié)點(diǎn)表示系統(tǒng)的變量 一般 節(jié)點(diǎn)自左向右順序設(shè)置 每個(gè)節(jié)點(diǎn)標(biāo)志的變量是所有流向該節(jié)點(diǎn)的信號(hào)之代數(shù)和 而從同一節(jié)點(diǎn)流向支路的信號(hào)均用該節(jié)點(diǎn)的變量表示 支路相當(dāng)于乘法器 信號(hào)流經(jīng)支路時(shí) 被乘以支路增益而變換為另一信號(hào) 信號(hào)在支路上只能沿箭頭單向傳遞 即只有前因后果的因果關(guān)系 對于給定的系統(tǒng) 節(jié)點(diǎn)變量的設(shè)置是任意的 因此信號(hào)流圖不是唯一的 信號(hào)流圖的性質(zhì) 68 信號(hào)流圖的繪制 信號(hào)流圖的繪制 根據(jù)結(jié)構(gòu)圖例2已知結(jié)構(gòu)圖如下 可在結(jié)構(gòu)圖上標(biāo)出節(jié)點(diǎn) 如上圖所示 然后畫出信號(hào)流圖如下圖所示 69 信號(hào)流圖的繪制 按微分方程拉氏變換后的代數(shù)方程所表示的變量間數(shù)學(xué)關(guān)系繪制 如前例所對應(yīng)的代數(shù)方程為 按方程可繪制信號(hào)流圖 70 梅遜公式的推導(dǎo) 二 梅遜公式的推導(dǎo) 如前例已知信號(hào)流圖如圖所示 所對應(yīng)的代數(shù)方程為 以R為輸入 V2為輸出則可整理成下列方程 71 于是可求得該方程組的系數(shù)行列式 和 梅遜公式的推導(dǎo) 72 根據(jù)克萊姆法則得 于是傳遞函數(shù)為 分析上式可以看到 傳遞函數(shù)的分子和分母取決于方程組的系數(shù)行列式 而系數(shù)行列式又和信號(hào)流圖的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)有著密切的關(guān)系 從拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的觀點(diǎn) 信號(hào)流圖的主要特點(diǎn)取決于回路的類型和數(shù)量 而信號(hào)流圖所含回路的主要類型有兩種 單獨(dú)的回路和互不接觸回路 梅遜公式的推導(dǎo) 73 圖中所示信號(hào)流圖共含有五個(gè)單獨(dú)回路和三對互不接觸回路 回路 和 和 和 所有單獨(dú)回路增益之和為 兩兩互不接觸回路增益乘積之和為 而 值恰好為 可見 傳遞函數(shù)的分母 取決于信號(hào)流圖的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)特征 梅遜公式的推導(dǎo) 74 如果把 中與第k條前向通道有關(guān)的回路去掉后 剩下的部分叫做第k條前向通道的余子式 并記為 k 由圖可得 從輸入到輸出的前向通道和其增益以及響應(yīng)的余子式如下表所示 梅遜公式的推導(dǎo) 75 故用信號(hào)流圖拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的術(shù)語 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)可表示為 梅遜公式的推導(dǎo) 傳遞函數(shù)的分子等于系數(shù)行列式 除以R s 而恰好為 76 梅遜公式 用梅遜公式可不必簡化信號(hào)流圖而直接求得從輸入節(jié)點(diǎn)到輸出節(jié)點(diǎn)之間的總傳輸 即總傳遞函數(shù) 其表達(dá)式為 式中 總傳輸 即總傳遞函數(shù) 從輸入節(jié)點(diǎn)到輸出節(jié)點(diǎn)的前向通道總數(shù) 第k個(gè)前向通道的總傳輸 流圖特征式 其計(jì)算公式為 二 梅遜公式 77 第k個(gè)前向通道的特征式的余子式 其值為中除去與第k個(gè)前向通道接觸的回路后的剩余部分 梅遜公式 78 梅遜公式 例2 13a 解 前向通道有一條 有一個(gè)回路 例2 13a 求速度控制系統(tǒng)的總傳輸 不計(jì)擾動(dòng) 79 梅遜公式 例4 解 先在結(jié)構(gòu)圖上標(biāo)出節(jié)點(diǎn) 再根據(jù)邏輯關(guān)系畫出信號(hào)流圖如下 例4 繪出兩級(jí)串聯(lián)RC電路的信號(hào)流圖并用Mason公式計(jì)算總傳遞函數(shù) 80 有兩個(gè)互不接觸回路 梅遜公式 例4 81 梅遜公式 例4 討論 信號(hào)流圖中 a點(diǎn)和b點(diǎn)之間的傳輸為1 是否可以將該兩點(diǎn)合并 使得將兩個(gè)不接觸回路變?yōu)榻佑|回路 如果可以的話 總傳輸將不一樣 不能合并 因?yàn)閍 b兩點(diǎn)的信號(hào)值不一樣 上圖中 ui和ue I1和I a和b可以合并 為什么 82 梅遜公式 例5 例5 使用Mason公式計(jì)算下述結(jié)構(gòu)圖的傳遞函數(shù) 解 在結(jié)構(gòu)圖上標(biāo)出節(jié)點(diǎn) 如上 然后畫出信號(hào)流圖 如下 83 回路有三 分別為 有兩個(gè)不接觸回路 所以 梅遜公式 例5 84 梅遜公式 例5 注意 上面講不變 為什么 是流圖特征式 也就是傳遞函數(shù)的特征表達(dá)式 對于一個(gè)給定的系統(tǒng) 特征表達(dá)式總是不變的 可以試著求一下 85 梅遜公式注意事項(xiàng) 注意 梅森公式只能求系統(tǒng)的總增益 即輸出對輸入的增益 而輸出對混合節(jié)點(diǎn) 中間變量 的增益就不