2017中考復(fù)習(xí)-特殊四邊形綜合題

特殊四邊形綜合題1如圖，BD是正方形ABCD的對角線，BC=2，邊BC在其所在的直線上平移，將通過平移得到的線段記為PQ，連接PA、QD，并過點Q作QOBD，垂足為O，連接OA、OP（1）請直接寫出線段BC在平移過程中，四邊形APQD是什么四邊形？（2）請判斷OA、OP之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并加以證明；（3）在平移變換過程中，設(shè)y=SOPB，BP=x（0x2），求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出y的最大值2已知在矩形ABCD中，ADC的平分線DE與BC邊所在的直線交于點E，點P是線段DE上一定點（其中EPPD）（1）如圖1，若點F在CD邊上（不與D重合），將DPF繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90后，角的兩邊PD、PF分別交射線DA于點H、G求證：PG=PF； 探究：DF、DG、DP之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論（2） 拓展：如圖2，若點F在CD的延長線上（不與D重合），過點P作PGPF，交射線DA于點G，你認(rèn)為（1）中DF、DG、DP之間的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若成立，給出證明；若不成立，請寫出它們所滿足的數(shù)量關(guān)系式，并說明理由3已知正方形ABCD的邊長為4，一個以點A為頂點的45角繞點A旋轉(zhuǎn)，角的兩邊分別與邊BC、DC的延長線交于點E、F，連接EF設(shè)CE=a，CF=b（1）如圖1，當(dāng)EAF被對角線AC平分時，求a、b的值；（2）當(dāng)AEF是直角三角形時，求a、b的值；（3）如圖3，探索EAF繞點A旋轉(zhuǎn)的過程中a、b滿足的關(guān)系式，并說明理由4如圖，正方形ABCD的對角線相交于點O，點M，N分別是邊BC，CD上的動點（不與點B，C，D重合），AM，AN分別交BD于點E，F(xiàn)，且MAN始終保持45不變（1）求證：=；（2）求證：AFFM；（3）請?zhí)剿鳎涸贛AN的旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)BAM等于多少度時，F(xiàn)MN=BAM？寫出你的探索結(jié)論，并加以證明 5如圖，矩形ABCD中，點E為BC上一點，F(xiàn)為DE的中點，且BFC=90（1）當(dāng)E為BC中點時，求證：BCFDEC；（2）當(dāng)BE=2EC時，求的值；（3）設(shè)CE=1，BE=n，作點C關(guān)于DE的對稱點C，連結(jié)FC，AF，若點C到AF的距離是，求n的值6如圖1，在菱形ABCD中，AB=6，tanABC=2，點E從點D出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿著射線DA的方向勻速運動，設(shè)運動時間為t（秒），將線段CE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)一個角（=BCD），得到對應(yīng)線段CF（1）求證：BE=DF；（2）當(dāng)t= 秒時，DF的長度有最小值，最小值等于 ；（3）如圖2，連接BD、EF、BD交EC、EF于點P、Q，當(dāng)t為何值時，EPQ是直角三角形？（4）如圖3，將線段CD繞點C順時針旋轉(zhuǎn)一個角（=BCD），得到對應(yīng)線段CG在點E的運動過程中，當(dāng)它的對應(yīng)點F位于直線AD上方時，直接寫出點F到直線AD的距離y關(guān)于時間t的函數(shù)表達(dá)式 7已知四邊形ABCD是菱形，AB=4，ABC=60，EAF的兩邊分別與射線CB，DC相交于點E，F(xiàn)，且EAF=60（1）如圖1，當(dāng)點E是線段CB的中點時，直接寫出線段AE，EF，AF之間的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖2，當(dāng)點E是線段CB上任意一點時（點E不與B、C重合），求證：BE=CF；（3）如圖3，當(dāng)點E在線段CB的延長線上，且EAB=15時，求點F到BC的距離8如圖，AD為等腰直角ABC的高，點A和點C分別在正方形DEFG的邊DG和DE上，連接BG，AE（1）求證：BG=AE；（2）將正方形DEFG繞點D旋轉(zhuǎn)，當(dāng)線段EG經(jīng)過點A時，（如圖所示）求證：BGGE；設(shè)DG與AB交于點M，若AG：AE=3：4，求的值9如圖，在ABC中，BAC=90，AB=AC，點E在AC上（且不與點A，C重合），在ABC的外部作CED，使CED=90，DE=CE，連接AD，分別以AB，AD為鄰邊作平行四邊形ABFD，連接AF（1）請直接寫出線段AF，AE的數(shù)量關(guān)系 ；（2）將CED繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點E在線段BC上時，如圖，連接AE，請判斷線段AF，AE的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（3）在圖的基礎(chǔ)上，將CED繞點C繼續(xù)逆時針旋轉(zhuǎn)，請判斷（2）問中的結(jié)論是否發(fā)生變化？若不變，結(jié)合圖寫出證明過程；若變化，請說明理由10如圖（1）矩形ABCD中，AB=2，BC=5，BP=1，MPN=90將MPN繞點P從PB處開始按順時針方向旋轉(zhuǎn)，PM交AB（或AD）于點E，PN交邊AD（或CD）于點F，當(dāng)PN旋轉(zhuǎn)至PC處時，MPN的旋轉(zhuǎn)隨即停止（1）特殊情形：如圖（2），發(fā)現(xiàn)當(dāng)PM過點A時，PN也恰好過點D，此時，ABPPCD（填：“”或“”（2）類比探究：如圖（3）在旋轉(zhuǎn)過程中，的值是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由；（3）拓展延伸：設(shè)AE=t，EPF面積為S，試確定S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)S=4.2時，求所對應(yīng)的t的值11已知：點P是平行四邊形ABCD對角線AC所在直線上的一個動點（點P不與點A、C重合），分別過點A、C向直線BP作垂線，垂足分別為點E、F，點O為AC的中點（1）當(dāng)點P與點O重合時如圖1，易證OE=OF（不需證明）（2）直線BP繞點B逆時針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)OFE=30時，如圖2、圖3的位置，猜想線段CF、AE、OE之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你對圖2、圖3的猜想，并選擇一種情況給予證明12如圖，在正方形ABCD中，點E為對角線AC上的一點，連接BE，DE（1）如圖1，求證：BCEDCE；（2）如圖2，延長BE交直線CD于點F，G在直線AB上，且FG=FB求證：DEFG；已知正方形ABCD的邊長為2，若點E在對角線AC上移動，當(dāng)BFG為等邊三角形時，求線段DE的長（直接寫出結(jié)果，不必寫出解答過程）13如圖1，在正方形ABCD內(nèi)作EAF=45，AE交BC于點E，AF交CD于點F，連接EF，過點A作AHEF，垂足為H（1）如圖2，將ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90得到ABG求證：AGEAFE；若BE=2，DF=3，求AH的長（2）如圖3，連接BD交AE于點M，交AF于點N請?zhí)骄坎⒉孪耄壕€段BM，MN，ND之間有什么數(shù)量關(guān)系？并說明理由14如圖，將矩形ABCD沿AF折疊，使點D落在BC邊的點E處，過點E作EGCD交AF于點G，連接DG（1）求證：四邊形EFDG是菱形；（2）探究線段EG、GF、AF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）若AG=6，EG=2，求BE的長15如圖1，ABC是等腰直角三角形，BAC=90，AB=AC，四邊形ADEF是正方形，點B、C分別在邊AD、AF上，此時BD=CF，BDCF成立（1）當(dāng)ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)（090）時，如圖2，BD=CF成立嗎？若成立，請證明，若不成立，請說明理由；（2）當(dāng)ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)45時，如圖3，延長BD交CF于點H求證：BDCF；當(dāng)AB=2，AD=3時，求線段DH的長16如圖1，在矩形ABCD中，BCAB，BAD的平分線AF與BD、BC分別交于點E、F，點O是BD的中點，直線OKAF，交AD于點K，交BC于點G（1）求證：DOKBOG；AB+AK=BG；（2）若KD=KG，BC=4求KD的長度；如圖2，點P是線段KD上的動點（不與點D、K重合），PMDG交KG于點M，PNKG交DG于點N，設(shè)PD=m，當(dāng)SPMN=時，求m的值17已知正方形ABCD，P為射線AB上的一點，以BP為邊作正方形BPEF，使點F在線段CB的延長線上，連接EA、EC（1）如圖1，若點P在線段AB的延長線上，求證：EA=EC；（2）若點P在線段AB上如圖2，連接AC，當(dāng)P為AB的中點時，判斷ACE的形狀，并說明理由；如圖3，設(shè)AB=a，BP=b，當(dāng)EP平分AEC時，求a：b及AEC的度數(shù)18在四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，設(shè)銳角AOB=，將DOC按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到DOC（0旋轉(zhuǎn)角90）連接AC、BD，AC與BD相交于點M（1）當(dāng)四邊形ABCD為矩形時，如圖1求證：AOCBOD（2）當(dāng)四邊形ABCD為平行四邊形時，設(shè)AC=kBD，如圖2猜想此時AOC與BOD有何關(guān)系，證明你的猜想；探究AC與BD的數(shù)量關(guān)系以及AMB與的大小關(guān)系，并給予證明19已知菱形ABCD的邊長為1，ADC=60，等邊AEF兩邊分別交DC、CB于點E、F（1）特殊發(fā)現(xiàn)：如圖1，若點E、F分別是邊DC、CB的中點，求證：菱形ABCD對角線AC、BD的交點O即為等邊AEF的外心；（2）若點E、F始終分別在邊DC、CB上移動，記等邊AEF的外心為P 猜想驗證：如圖2，猜想AEF的外心P落在哪一直線上，并加以證明；拓展運用：如圖3，當(dāng)E、F分別是邊DC、CB的中點時，過點P任作一直線，分別交DA邊于點M，BC邊于點G，DC邊的延長線于點N，請你直接寫出的值20在正方形ABCD中，BD是一條對角線，點E在直線CD上（與點C，D不重合），連接AE，平移ADE，使點D移動到點C，得到BCF，過點F作FGBD于點G，連接AG，EG（1）問題猜想：如圖1，若點E在線段CD上，試猜想AG與EG的數(shù)量關(guān)系是 ，位置關(guān)系是 ；（2）類比探究：如圖2，若點E在線段CD的延長線上，其余條件不變，小明猜想（1）中的結(jié)論仍然成立，請你給出證明；（3）解決問題：若點E在線段DC的延長線上，且AGF=120，正方形ABCD的邊長為2，請在備用圖中畫出圖形，并直接寫出DE的長度21如圖，正方形ABCD邊長為6，菱形EFGH的三個頂點E、G、H分別在正方形ABCD的邊AB、CD、DA上，連接CF（1）求證：HEA=CGF；（2）當(dāng)AH=DG=2時， 求證：菱形EFGH為正方形；（3）設(shè)AH=x，DG=2x，F(xiàn)CG的面積為y，試求y的最大值22如圖1，四邊形ABCD中，ADBC，ABBC，點E在邊AB上，DEC=90，且DE=EC（1）求證：ADEBEC；（2）若AD=a，AE=b，DE=c，請用圖1證明勾股定理：a2+b2=c2；（3）線段AB上另有一點F（不與點E重合），且DFCF（如圖2），若AD=2，BC=4，求EF的長23如圖1，正方形ABCD中，AC是對角線，等腰RtCMN中，CMN=90，CM=MN，點M在CD邊上，連接AN，點E是AN的中點，連接BE（1）若CM=2，AB=6，求AE的值；（2）求證：2BE=AC+CN；（3）當(dāng)?shù)妊黂tCMN的點M落在正方形ABCD的BC邊上，如圖2，連接AN，點E是AN的中點，連接BE，延長NM交AC于點F請?zhí)骄烤€段BE、AC、CN的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論24正方形ABCD的邊長為3，點E，F(xiàn)分別在射線DC，DA上運動，且DE=DF連接BF，作EHBF所在直線于點H，連接CH（1）如圖1，若點E是DC的中點，CH與AB之間的數(shù)量關(guān)系是 ；（2）如圖2，當(dāng)點E在DC邊上且不是DC的中點時，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立給出證明；若不成立，說明理由；（3）如圖3，當(dāng)點E，F(xiàn)分別在射線DC，DA上運動時，連接DH，過點D作直線DH的垂線，交直線BF于點K，連接CK，請直接寫出線段CK長的最大值25問題：如圖（1），點E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，EAF=45，試判斷BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系【發(fā)現(xiàn)證明】小聰把ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90至ADG，從而發(fā)現(xiàn)EF=BE+FD，請你利用圖（1）證明上述結(jié)論【類比引申】如圖（2），四邊形ABCD中，BAD90，AB=AD，B+D=180，點E、F分別在邊BC、CD上，則當(dāng)EAF與BAD滿足 關(guān)系時，仍有EF=BE+FD【探究應(yīng)用】如圖（3），在某公園的同一水平面上，四條通道圍成四邊形ABCD已知AB=AD=80米，B=60，ADC=120，BAD=150，道路BC、CD上分別有景點E、F，且AEAD，DF=40（1）米，現(xiàn)要在E、F之間修一條筆直道路，求這條道路EF的長（結(jié)果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：=1.41，=1.73）26如圖1，正方形OABC與正方形ODEF放置在直線l上，連結(jié)AD、CF，此時AD=CFADCF成立（1）正方形ODEF繞O點逆時針旋轉(zhuǎn)一定的角度，如圖2，試判斷AD與CF還相等嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由（2）正方形ODEF繞O點逆時針旋轉(zhuǎn)，使點E旋轉(zhuǎn)至直線l上，如圖3，求證：ADCF（3）在（2）小題的條件下，AD與OC的交點為G，當(dāng)AO=3，OD=時，求線段CG的長27如圖，在正方形ABCD與等腰直角三角形BEF中，BEF=90，BE=EF，連接PF，點P是FD的中點，連接PE、PC（1）如圖1，當(dāng)點E在CB邊上時， 求證：PE=CE；（2）如圖2，當(dāng)點E在CB的延長線上時，線段PC、CE有怎樣的數(shù)量關(guān)系，寫出你的猜想，并給與證明28已知：l1l2l3l4，平行線l1與l2、l2與l3、l3與l4之間的距離分別為d1、d2、d3，且d1=d3=1，d2=2我們把四個頂點分別在l1、l2、l3、l4這四條平行線上的四邊形稱為“格線四邊形”（1）如圖1，正方形ABCD為“格線四邊形”，則正方形ABCD的邊長為 （2）矩形ABCD為“格線四邊形”，其長：寬=2：1，求矩形ABCD的寬（3）如圖1，EG過正方形ABCD的頂點D且垂直l1于點E，分別交l2，l4于點F，G將AEG繞點A順時針旋轉(zhuǎn)30得到AED（如圖2），點D在直線l3上，以AD為邊在ED左側(cè)作菱形ABCD，使B，C分別在直線l2，l4上，求菱形ABCD的邊長29正方形ABCD邊長為4cm，點E，M分別是線段AC，CD上的動點，連接DE并延長，交正方形ABCD的邊于點F，過點M作MNDF于H，交AD于N（1）如圖1，若點M與點C重合， 求證：DF=MN；（2）如圖2，若點M從點C出發(fā)，以1cm/s的速度沿CD向點D運動，點E同時從點A出發(fā)，以cm/s速度沿AC向點C運動，運動時間為t（t0）；當(dāng)點F是邊AB的中點時，求t的值；連結(jié)FM，F(xiàn)N，當(dāng)t為何值時MNF是等腰三角形（直接寫出t值）30已知，正方形ABCD中，MAN=45，MAN繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊長分別交CB、DC（或它們的延長線）于點M、N，AHMN于點H（1）如圖，當(dāng)MAN點A旋轉(zhuǎn)到BM=DN時，請你直接寫出AH與AB的數(shù)量關(guān)系： ；（2）如圖，當(dāng)MAN繞點A旋轉(zhuǎn)到BMDN時，（1）中發(fā)現(xiàn)的AH與AB的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？如果不成立請寫出理由，如果成立請證明；（3）如圖，已知MAN=45，AHMN于點H，且MH=2，NH=3，求AH的長特殊四邊形綜合題答案1如圖，BD是正方形ABCD的對角線，BC=2，邊BC在其所在的直線上平移，將通過平移得到的線段記為PQ，連接PA、QD，并過點Q作QOBD，垂足為O，連接OA、OP（1）請直接寫出線段BC在平移過程中，四邊形APQD是什么四邊形？（2）請判斷OA、OP之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并加以證明；（3）在平移變換過程中，設(shè)y=SOPB，BP=x（0x2），求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出y的最大值解：（1）四邊形APQD為平行四邊形；（2）OA=OP，OAOP，理由如下：四邊形ABCD是正方形，AB=BC=PQ，ABO=OBQ=45，OQBD， PQO=45，ABO=OBQ=PQO=45，OB=OQ，在AOB和OPQ中，AOBPOQ（SAS），OA=OP，AOB=POQ，AOP=BOQ=90，OAOP；（3）如圖，過O作OEBC于E如圖1，當(dāng)P點在B點右側(cè)時，則BQ=x+2，OE=，y=x，即y=（x+1）2，又0x2，當(dāng)x=2時，y有最大值為2；如圖2，當(dāng)P點在B點左側(cè)時，則BQ=2x，OE=，y=x，即y=（x1）2+，又0x2，當(dāng)x=1時，y有最大值為；綜上所述，當(dāng)x=2時，y有最大值為2；2已知在矩形ABCD中，ADC的平分線DE與BC邊所在的直線交于點E，點P是線段DE上一定點（其中EPPD）（1）如圖1，若點F在CD邊上（不與D重合），將DPF繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90后，角的兩邊PD、PF分別交射線DA于點H、G求證：PG=PF； 探究：DF、DG、DP之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論（2）拓展：如圖2，若點F在CD的延長線上（不與D重合），過點P作PGPF，交射線DA于點G，你認(rèn)為（1）中DF、DG、DP之間的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若成立，給出證明；若不成立，請寫出它們所滿足的數(shù)量關(guān)系式，并說明理由【分析】（1）若證PG=PF，可證HPGDPF，已知DPH=HPG，由旋轉(zhuǎn)可知GPF=HPD=90及DE平分ADC得HPD為等腰直角三角形，即DHP=PDF=45、PD=PH，即可得證；由HPD為等腰直角三角形，HPGDPF知HD=DP，HG=DF，根據(jù)DG+DF=DG+GH=DH即可得；（2）過點P作PHPD交射線DA于點H，先證HPD為等腰直角三角形可得PH=PD，HD=DP，再證HPGDPF可得HG=DF，根據(jù)DH=DGHG=DGDF可得DGDF=DP解：（1）GPF=HPD=90，ADC=90，GPH=FPD，DE平分ADC，PDF=ADP=45，HPD為等腰直角三角形，DHP=PDF=45，在HPG和DPF中，HPGDPF（ASA），PG=PF；結(jié)論：DG+DF=DP，由知，HPD為等腰直角三角形，HPGDPF，HD=DP，HG=DF，HD=HG+DG=DF+DG，DG+DF=DP；（2）不成立，數(shù)量關(guān)系式應(yīng)為：DGDF=DP，如圖，過點P作PHPD交射線DA于點H，PFPG，GPF=HPD=90，GPH=FPD，DE平分ADC，且在矩形ABCD中，ADC=90，HDP=EDC=45，得到HPD為等腰直角三角形，DHP=EDC=45，且PH=PD，HD=DP，GHP=FDP=18045=135，在HPG和DPF中，HPGDPF，HG=DF，DH=DGHG=DGDF，DGDF=DP3已知正方形ABCD的邊長為4，一個以點A為頂點的45角繞點A旋轉(zhuǎn)，角的兩邊分別與邊BC、DC的延長線交于點E、F，連接EF設(shè)CE=a，CF=b（1）如圖1，當(dāng)EAF被對角線AC平分時，求a、b的值；（2）當(dāng)AEF是直角三角形時，求a、b的值；（3）如圖3，探索EAF繞點A旋轉(zhuǎn)的過程中a、b滿足的關(guān)系式，并說明理由【分析】（1）當(dāng)EAF被對角線AC平分時，易證ACFACE，因此CF=CE，即a=b（2）分兩種情況進(jìn)行計算，先用勾股定理得出CF2=8（CE+4），再用相似三角形得出4CF=CE（CE+4），兩式聯(lián)立解方程組即可；（3）先判斷出AFD=CEF，再判斷出AF=EF，從而得到ADFFCE即可解：（1）四邊形ABCD是正方形，BCF=DCE=90AC是正方形ABCD的對角線，ACB=ACD=45，ACF=ACE，EAF被對角線AC平分，CAF=CAE，在ACF和ACE中，ACFACE，CE=CE，CE=a，CF=b，a=b，ACFACE，AEF=AFE，EAF=45，AEF=AFE=67.5，CE=CF，ECF=90，AEC=AFC=22.5，CAF=CAE=22.5，CAE=CEA，CE=AC=4，即：a=b=4；（2）當(dāng)AEF是直角三角形時，當(dāng)AFE=90時，AFD+CFE=90，CEF+CFE=90，AFD=CEFAFE=90，EAF=45，AEF=45=EAFAF=EF，在ADF和FCE中ADFFCE，F(xiàn)C=AD=4，CE=DF=CD+FC=8，a=8，b=4當(dāng)AEF=90時，同的方法得，CF=4，CE=8，a=4，b=8（3）ab=32，理由：如圖，ABCDBAG=AFC，BAC=45，BAG+CAF=45，AFC+CAF=45，AFC+AEC=180（CFE+CEF）EAF=1809045=45，CAF=AEC，ACF=ACE=135，ACFECA，ECCF=AC2=2AB2=32ab=324（2016淄博）如圖，正方形ABCD的對角線相交于點O，點M，N分別是邊BC，CD上的動點（不與點B，C，D重合），AM，AN分別交BD于點E，F(xiàn)，且MAN始終保持45不變（1）求證：=；（2）求證：AFFM；（3）請?zhí)剿鳎涸贛AN的旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)BAM等于多少度時，F(xiàn)MN=BAM？寫出你的探索結(jié)論，并加以證明【分析】（1）先證明A、B、M、F四點共圓，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)即可證明AFM=90，根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)即可解決問題（2）由（1）的結(jié)論即可證明（3）由：A、B、M、F四點共圓，推出BAM=EFM，因為BAM=FMN，所以EFM=FMN，推出MNBD，得到=，推出BM=DN，再證明ABMADN即可解決問題（1）證明：四邊形ABCD是正方形，ABD=CBD=45，ABC=90，MAN=45，MAF=MBE，A、B、M、F四點共圓，ABM+AFM=180，AFM=90，F(xiàn)AM=FMA=45，AM=AF，=（2）由（1）可知AFM=90，AFFM（3）結(jié)論：BAM=22.5時，F(xiàn)MN=BAM理由：A、B、M、F四點共圓，BAM=EFM，BAM=FMN，EFM=FMN，MNBD，=，CB=DC，CM=CN，MB=DN，在ABM和ADN中，ABMADN，BAM=DAN，MAN=45，BAM+DAN=45，BAM=22.55（2016麗水）如圖，矩形ABCD中，點E為BC上一點，F(xiàn)為DE的中點，且BFC=90（1）當(dāng)E為BC中點時，求證：BCFDEC；（2）當(dāng)BE=2EC時，求的值；（3）設(shè)CE=1，BE=n，作點C關(guān)于DE的對稱點C，連結(jié)FC，AF，若點C到AF的距離是，求n的值【分析】（1）由矩形和直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得出CF=DE=EF，由等腰三角形的性質(zhì)得出FEC=FCE，證出CF=CE，由ASA證明BCFDEC即可；（2）設(shè)CE=a，則BE=2a，BC=3a，證明BCFDEC，得出對應(yīng)邊成比例=，得出ED2=6a2，由勾股定理得出DC=a，即可得出結(jié)果；（3）過C作CHAF于點H，連接CC交EF于M，由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得出FEC=FCE，證出ADF=BCF，由SAS證明ADFBCF，得出AFD=BFC=90，證出四邊形CMFH是矩形，得出FM=CH=，設(shè)EM=x，則FC=FE=x+，由勾股定理得出方程，解方程求出EM=，F(xiàn)C=FE=+；由（2）得：，把CE=1，BE=n代入計算即可得出n的值（1）證明；在矩形ABCD中，DCE=90，F(xiàn)是斜邊DE的中點，CF=DE=EF，F(xiàn)EC=FCE，BFC=90，E為BC中點，EF=EC，CF=CE，在BCF和DEC中，BCFDEC（ASA）；（2）解：設(shè)CE=a，由BE=2CE，得：BE=2a，BC=3a，CF是RtDCE斜邊上的中線，CF=DE，F(xiàn)EC=FCE，BFC=DCE=90，BCFDEC，=，即：=，解得：ED2=6a2由勾股定理得：，=；（3）解：過C作CHAF于點H，連接CC交EF于M，如圖所示：CF是RtDCE斜邊上的中線，F(xiàn)C=FE=FD，F(xiàn)EC=FCE，四邊形ABCD是矩形，ADBC，AD=BC，ADF=CEF，ADF=BCF，在ADF和BCF中，ADFBCF（SAS），AFD=BFC=90，CHAF，CCEF，HFE=CHF=CMF=90，四邊形CMFH是矩形，F(xiàn)M=CH=，設(shè)EM=x，則FC=FE=x+，在RtEMC和RtFMC中，由勾股定理得：CE2EM2=CF2FM2，12x2=（x+）2（）2，解得：x=，或x=（舍去），EM=，F(xiàn)C=FE=+；由（2）得：，把CE=1，BE=n代入上式計算得：CF=，解得：n=46如圖1，在菱形ABCD中，AB=6，tanABC=2，點E從點D出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿著射線DA的方向勻速運動，設(shè)運動時間為t（秒），將線段CE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)一個角（=BCD），得到對應(yīng)線段CF（1）求證：BE=DF；（2）當(dāng)t=6+6秒時，DF的長度有最小值，最小值等于12；（3）如圖2，連接BD、EF、BD交EC、EF于點P、Q，當(dāng)t為何值時，EPQ是直角三角形？（4）如圖3，將線段CD繞點C順時針旋轉(zhuǎn)一個角（=BCD），得到對應(yīng)線段CG在點E的運動過程中，當(dāng)它的對應(yīng)點F位于直線AD上方時，直接寫出點F到直線AD的距離y關(guān)于時間t的函數(shù)表達(dá)式【分析】（1）由ECF=BCD得DCF=BCE，結(jié)合DC=BC、CE=CF證DCFBCE即可得；（2）當(dāng)點E運動至點E時，由DF=BE知此時DF最小，求得BE、AE即可得答案；（3）EQP=90時，由ECF=BCD、BC=DC、EC=FC得BCP=EQP=90，根據(jù)AB=CD=6，tanABC=tanADC=2即可求得DE；EPQ=90時，由菱形ABCD的對角線ACBD知EC與AC重合，可得DE=6；（4）連接GF分別角直線AD、BC于點M、N，過點F作FHAD于點H，證DCEGCF可得3=4=1=2，即GFCD，從而知四邊形CDMN是平行四邊形，由平行四邊形得MN=CD=6；再由CGN=DCN=CNG知CN=CG=CD=6，根據(jù)tanABC=tanCGN=2可得GM=6+12，由GF=DE=t得FM=t612，利用tanFMH=tanABC=2即可得FH解：（1）ECF=BCD，即BCE+DCE=DCF+DCE，DCF=BCE，四邊形ABCD是菱形，DC=BC，在DCF和BCE中，DCFBCE（SAS），DF=BE；（2）如圖1，當(dāng)點E運動至點E時，DF=BE，此時DF最小，在RtABE中，AB=6，tanABC=tanBAE=2，設(shè)AE=x，則BE=2x，AB=x=6，則AE=6DE=6+6，DF=BE=12，故答案為：6+6，12；（3）CE=CF，CEQ90，當(dāng)EQP=90時，如圖2，ECF=BCD，BC=DC，EC=FC，CBD=CEF，BPC=EPQ，BCP=EQP=90，AB=CD=6，tanABC=tanADC=2，DE=6，t=6秒；當(dāng)EPQ=90時，如圖2，菱形ABCD的對角線ACBD，EC與AC重合，DE=6，t=6秒；（4）y=t12，如圖3，連接GF分別角直線AD、BC于點M、N，過點F作FHAD于點H，由（1）知1=2，又1+DCE=2+GCF，DCE=GCF，在DCE和GCF中，DCEGCF（SAS），3=4，1=3，1=2，2=4，GFCD，又AHBN，四邊形CDMN是平行四邊形，MN=CD=6，BCD=DCG，CGN=DCN=CNG，CN=CG=CD=6，tanABC=tanCGN=2，GN=12，GM=6+12，GF=DE=t，F(xiàn)M=t612，tanFMH=tanABC=2，F(xiàn)H=（t612），即y=t127已知四邊形ABCD是菱形，AB=4，ABC=60，EAF的兩邊分別與射線CB，DC相交于點E，F(xiàn)，且EAF=60（1）如圖1，當(dāng)點E是線段CB的中點時，直接寫出線段AE，EF，AF之間的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖2，當(dāng)點E是線段CB上任意一點時（點E不與B、C重合），求證：BE=CF；（3）如圖3，當(dāng)點E在線段CB的延長線上，且EAB=15時，求點F到BC的距離【分析】（1）結(jié)論AE=EF=AF只要證明AE=AF即可證明AEF是等邊三角形（2）欲證明BE=CF，只要證明BAECAF即可（3）過點A作AGBC于點G，過點F作FHEC于點H，根據(jù)FH=CFcos30，因為CF=BE，只要求出BE即可解決問題（1）解：結(jié)論AE=EF=AF理由：如圖1中，連接AC，四邊形ABCD是菱形，B=60，AB=BC=CD=AD，B=D=60，ABC，ADC是等邊三角形，BAC=DAC=60BE=EC，BAE=CAE=30，AEBC，EAF=60，CAF=DAF=30，AFCD，AE=AF（菱形的高相等），AEF是等邊三角形，AE=EF=AF（2） 證明：如圖2中，BAC=EAF=60，BAE=CAE，在BAE和CAF中，BAECAF，BE=CF（3）解：過點A作AGBC于點G，過點F作FHEC于點H，EAB=15，ABC=60，AEB=45，在RTAGB中，ABC=60AB=4，BG=2，AG=2，在RTAEG中，AEG=EAG=45，AG=GE=2，EB=EGBG=22，AEBAFC，AE=AF，EB=CF=22，在RTCHF中，HCF=180BCD=60，CF=22，F(xiàn)H=CFsin60=（22）=3點F到BC的距離為38如圖，AD為等腰直角ABC的高，點A和點C分別在正方形DEFG的邊DG和DE上，連接BG，AE（1）求證：BG=AE；（2）將正方形DEFG繞點D旋轉(zhuǎn)，當(dāng)線段EG經(jīng)過點A時，（如圖所示）求證：BGGE；設(shè)DG與AB交于點M，若AG：AE=3：4，求的值【分析】（1）如圖，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得AD=BD，再根據(jù)正方形的性質(zhì)得GDE=90，DG=DE，則可根據(jù)“SAS“判斷BDGADE，于是得到BG=AE；（2）如圖，先判斷DEG為等腰直角三角形得到1=2=45，再由BDGADE得到3=2=45，則可得BGE=90，所以BGGE；設(shè)AG=3x，則AE=4x，即GE=7x，利用等腰直角三角形的性質(zhì)得DG=GE=x，由（1）的結(jié)論得BG=AE=4x，則根據(jù)勾股定理得AB=5x，接著由ABD為等腰直角三角形得到4=45，BD=AB=x，然后證明DBMDGB，則利用相似比可計算出DM=x，所以GM=x，于是可計算出的值（1）證明：如圖，AD為等腰直角ABC的高，AD=BD，四邊形DEFG為正方形，GDE=90，DG=DE，在BDG和ADE中，BDGADE，BG=AE；（2）證明：如圖，四邊形DEFG為正方形，DEG為等腰直角三角形，1=2=45，由（1）得BDGADE，3=2=45，1+3=45+45=90，即BGE=90，BGGE；解：設(shè)AG=3x，則AE=4x，即GE=7x，DG=GE=x，BDGADE，BG=AE=4x，在RtBGA中，ABD為等腰直角三角形，4=45，BD=AB=x，3=4，而BDM=GDB，DBMDGB，BD：DG=DM：BD，即x：x=DM：x，解得DM=x，GM=DGDM=xx=x，=9如圖，在ABC中，BAC=90，AB=AC，點E在AC上（且不與點A，C重合），在ABC的外部作CED，使CED=90，DE=CE，連接AD，分別以AB，AD為鄰邊作平行四邊形ABFD，連接AF（1）請直接寫出線段AF，AE的數(shù)量關(guān)系A(chǔ)F=AE；（2）將CED繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點E在線段BC上時，如圖，連接AE，請判斷線段AF，AE的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（3）在圖的基礎(chǔ)上，將CED繞點C繼續(xù)逆時針旋轉(zhuǎn)，請判斷（2）問中的結(jié)論是否發(fā)生變化？若不變，結(jié)合圖寫出證明過程；若變化，請說明理由【分析】（1）如圖中，結(jié)論：AF=AE，只要證明AEF是等腰直角三角形即可（2）如圖中，結(jié)論：AF=AE，連接EF，DF交BC于K，先證明EKFEDA再證明AEF是等腰直角三角形即可（3）如圖中，結(jié)論不變，AF=AE，連接EF，延長FD交AC于K，先證明EDFECA，再證明AEF是等腰直角三角形即可解：（1）如圖中，結(jié)論：AF=AE理由：四邊形ABFD是平行四邊形，AB=DF，AB=AC，AC=DF，DE=EC，AE=EF，DEC=AEF=90，AEF是等腰直角三角形，AF=AE故答案為AF=AE（2）如圖中，結(jié)論：AF=AE理由：連接EF，DF交BC于K四邊形ABFD是平行四邊形，ABDF，DKE=ABC=45，EKF=180DKE=135，EK=ED，ADE=180EDC=18045=135，EKF=ADE，DKC=C，DK=DC，DF=AB=AC，KF=AD，在EKF和EDA中，EKFEDA，EF=EA，KEF=AED，F(xiàn)EA=BED=90，AEF是等腰直角三角形，AF=AE（3）如圖中，結(jié)論不變，AF=AE理由：連接EF，延長FD交AC于KEDF=180KDCEDC=135KDC，ACE=（90KDC）+DCE=135KDC，EDF=ACE，DF=AB，AB=AC，DF=AC在EDF和ECA中，EDFECA，EF=EA，F(xiàn)ED=AEC，F(xiàn)EA=DEC=90，AEF是等腰直角三角形，AF=AE10如圖（1）矩形ABCD中，AB=2，BC=5，BP=1，MPN=90將MPN繞點P從PB處開始按順時針方向旋轉(zhuǎn)，PM交AB（或AD）于點E，PN交邊AD（或CD）于點F，當(dāng)PN旋轉(zhuǎn)至PC處時，MPN的旋轉(zhuǎn)隨即停止（1）特殊情形：如圖（2），發(fā)現(xiàn)當(dāng)PM過點A時，PN也恰好過點D，此時，ABPPCD（填：“”或“”（2）類比探究：如圖（3）在旋轉(zhuǎn)過程中，的值是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由；（3）拓展延伸：設(shè)AE=t，EPF面積為S，試確定S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)S=4.2時，求所對應(yīng)的t的值【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)找出B=C=90，再通過角的計算得出BAP=CPD，由此即可得出ABPPCD；（2）過點F作FHPC于點H，根據(jù)矩形的性質(zhì)以及角的計算找出B=FHP=90、BEP=HPE，由此即可得出BEPHPE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，找出邊與邊之間的關(guān)系即可得出結(jié)論；（3）分點E在AB和AD上兩種情況考慮，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)找出各邊的長度，再利用分割圖形求面積法找出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，令S=4.2求出t值，此題得解解：（1）四邊形ABCD為矩形，B=C=90，BAP+BPA=90MPN=90，BPA+CPD=90，BAP=CPD，ABPPCD故答案為：（2）是定值如圖3，過點F作FHPC于點H，矩形ABCD中，AB=2，B=FHP=90，HF=AB=2，BPE+BEP=90MPN=90，BPE+HPE=90，BEP=HPE，BEPHPE，BP=1，（3）分兩種情況：如圖3，當(dāng)點E在AB上時，0t2AE=t，AB=2，BE=2t由（2）可知：BEPHPE，即，HP=42tAF=BH=PB+BH=52t，S=S矩形ABHFSAEFSBEPSPHF=ABAFAEAFBEPBPHFH=t24t+5（0t2）當(dāng)S=4.2時，t24t+5=4.2，解得：t=20t2，t=2；如圖4，當(dāng)點E在AD上時，0t1，過點E作EKBP于點K，AE=t，BP=1，PK=1t同理可證：PKEFCP，即，F(xiàn)C=22tDF=CDFC=2t，DE=ADAE=5t，S=S矩形EKCDSEKPSEDFSPCF=CDDEEKKPDEDFPCFC=t22t+5（0t1）當(dāng)S=4.2時，t22t+5=4.2，解得：t=10t1，t=1綜上所述：當(dāng)點E在AB上時，S=t24t+5（0t2），當(dāng)S=4.2時，t=2；當(dāng)點E在AD上時，S=t22t+5（0t1），當(dāng)S=4.2時，t=111（2016龍東地區(qū)）已知：點P是平行四邊形ABCD對角線AC所在直線上的一個動點（點P不與點A、C重合），分別過點A、C向直線BP作垂線，垂足分別為點E、F，點O為AC的中點（1）當(dāng)點P與點O重合時如圖1，易證OE=OF（不需證明）（2）直線BP繞點B逆時針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)OFE=30時，如圖2、圖3的位置，猜想線段CF、AE、OE之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你對圖2、圖3的猜想，并選擇一種情況給予證明【分析】（1）由AOECOF即可得出結(jié)論（2）圖