二元一次方程應(yīng)用題13種經(jīng)典習(xí)題.doc

知識(shí)回顧一、等式、方程1等式性質(zhì)等式兩邊加(或減)同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)整式，所得結(jié)果仍是等式；等式兩邊乘(或除以)同一個(gè)數(shù)(除數(shù)不能是0)，所得結(jié)果仍是等式2方程 (1)含有未知數(shù)的等式叫做方程(2)方程的解：使方程左右兩邊的值相等的未知數(shù)的值叫做方程的解(3)解方程：求方程解的過(guò)程叫做解方程二、一元一次方程1只含有_未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)都是_，系數(shù)不等于零的_方程叫做一元一次方程，其標(biāo)準(zhǔn)形式為_(kāi)，其解為x_.2解一元一次方程的一般步驟：(1)去分母；(2)_；(3)移項(xiàng)；(4)_；(5)未知數(shù)的系數(shù)化為1.三、二元一次方程組的有關(guān)概念1二元一次方程(1)概念：含有_未知數(shù)，并且未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是_，這樣的整式方程叫做二元一次方程(2)一般形式：axbyc(a0，b0)(3)使二元一次方程兩邊的值_的兩個(gè)未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的解(4)解的特點(diǎn)：一般地，二元一次方程有無(wú)數(shù)個(gè)解由這些解組成的集合，叫做這個(gè)二元一次方程的解集2二元一次方程組(1)概念：具有相同未知數(shù)的_二元一次方程合在一起，就組成了一個(gè)二元一次方程組(2)一般形式：(a1，a2，b1，b2均不為零)(3)二元一次方程組的解：一般地，二元一次方程組的兩個(gè)方程的_，叫做二元一次方程組的解四、二元一次方程組的解法解二元一次方程組的基本思想是_，即化二元一次方程組為一元一次方程，主要方法有_消元法和_消元法1用代入消元法-不要漏掉括號(hào)(1)從方程組中選定一個(gè)系數(shù)比較簡(jiǎn)單的方程進(jìn)行變形，用含有x(或y)的代數(shù)式表示出y(或x)，即變成yaxb(或xayb)的形式；(2)將yaxb(或xayb)代入另一個(gè)方程，消去y(或x)，得到關(guān)于x(或y)的一元一次方程；(3)解這個(gè)一元一次方程，求出x(或y)的值；(4)把x(或y)的值代入yaxb(或xayb)中，求y(或x)的值2用加減消元法-不要漏乘(1)在二元一次方程組中，若有同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相同(或互為相反數(shù))，則可以直接相減(或相加)，消去一個(gè)未知數(shù)；(2)在二元一次方程組中，若不存在(1)中的情況，可選一個(gè)適當(dāng)?shù)臄?shù)去乘方程的兩邊，使其中一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相同(或互為相反數(shù))，再把方程兩邊分別相減(或相加)，消去一個(gè)未知數(shù)；(3)解這個(gè)一元一次方程；(4)將求出的一元一次方程的解代入原方程組中系數(shù)比較簡(jiǎn)單的方程內(nèi)，求出另一個(gè)未知數(shù)考點(diǎn)一 -二元一次方程概念 與解法例1已知是二元一次方程組的解，則2mn= 例2小明和小佳同時(shí)解方程組，小明看錯(cuò)了m，解得，小華看錯(cuò)了n，解得，你能知道原方程組正確的解嗎？ 總結(jié)分析：靈活學(xué)會(huì)“方程解”概念解題。【鞏固】已知方程組和方程組的解相同，求的值。【變式】已知關(guān)于x，y的二元一次方程組的解為，你能求得關(guān)于x，y的二元一次方程組的解嗎？剖析總結(jié)：靈活學(xué)會(huì)“方程解”概念解題，利用解相同，可以將方程重新組合，換位聯(lián)立；在解題過(guò)程中，常常運(yùn)用類(lèi)比的思想【鞏固2】?？键c(diǎn)二-解決實(shí)際問(wèn)題列方程(組)解應(yīng)用題的一般步驟1、審：有什么，求什么，干什么；2、設(shè)：設(shè)未知數(shù)，并注意單位；3、找：等量關(guān)系；4、列：用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)出來(lái)；5、解：解方程(組)6、驗(yàn)：檢驗(yàn)方程(組)的解是否符合實(shí)際題意7、答：完整寫(xiě)出答案(包括單位)列方程組思想：找出相等關(guān)系“未知”轉(zhuǎn)化為“已知”.有幾個(gè)未知數(shù)就列出幾個(gè)方程，所列方程必須滿(mǎn)足：(1)方程兩邊表示的是同類(lèi)量；(2)同類(lèi)量的單位要統(tǒng)一；(3)方程兩邊的數(shù)值要相等.列二元一次方程-解決實(shí)際問(wèn)題類(lèi)型：（1）行程問(wèn)題：（2）工程問(wèn)題;（3）銷(xiāo)售中的盈虧問(wèn)題;（4）儲(chǔ)蓄問(wèn)題;（5）產(chǎn)品配套問(wèn)題;（6）增長(zhǎng)率問(wèn)題;（7）和差倍分問(wèn)題;（8）數(shù)字問(wèn)題; （9）濃度問(wèn)題; （10）幾何問(wèn)題; （11）年齡問(wèn)題;（12）優(yōu)化方案問(wèn)題.一、 行程問(wèn)題（1） 三個(gè)基本量的關(guān)系： 路程s=速度v時(shí)間t 時(shí)間t路程s速度V 速度V路程s時(shí)間t（2） 三大類(lèi)型： 相遇問(wèn)題：快行距慢行距原距 追及問(wèn)題：快行距慢行距原距 航行問(wèn)題：順?biāo)L(fēng)）速度靜水（風(fēng)）速度水流（風(fēng)）速度 逆水（風(fēng)）速度靜水（風(fēng)）速度水流（風(fēng)）速度順?biāo)倌嫠?= 2水速；順?biāo)?+ 逆速 = 2船速順?biāo)穆烦?= 逆水的路程甲、乙兩地相距160千米，一輛汽車(chē)和一輛拖拉機(jī)同時(shí)由甲、乙兩地相向而行，1小時(shí)20分相遇. 相遇后，拖拉機(jī)繼續(xù)前進(jìn)，汽車(chē)在相遇處停留1小時(shí)后調(diào)轉(zhuǎn)車(chē)頭原速返回，在汽車(chē)再次出發(fā)半小時(shí)后追上了拖拉機(jī). 這時(shí)，汽車(chē)、拖拉機(jī)各自行駛了多少千米？ 總結(jié)升華：根據(jù)題意畫(huà)出示意圖，再根據(jù)路程、時(shí)間和速度的關(guān)系找出等量關(guān)系，是行程問(wèn)題的常用的解決策略?！咀兪健?jī)傻叵嗑?80千米，一艘船在其間航行，順流用14小時(shí)，逆流用20小時(shí)，求船在靜水中的速度和水流速度。二、 工程問(wèn)題三個(gè)基本量的關(guān)系：工作總量工作時(shí)間工作效率；工作時(shí)間工作總量工作效率；工作效率工作總量工作時(shí)間甲的工作量乙的工作量甲乙合作的工作總量，注：當(dāng)工作總量未給出具體數(shù)量時(shí)，常設(shè)總工作量為“1”。一家商店要進(jìn)行裝修，若請(qǐng)甲、乙兩個(gè)裝修組同時(shí)施工，8天可以完成，需付兩組費(fèi)用共3520元；若先請(qǐng)甲組單獨(dú)做6天，再請(qǐng)乙組單獨(dú)做12天可完成，需付兩組費(fèi)用共3480元，問(wèn)：(1)甲、乙兩組工作一天，商店應(yīng)各付多少元？(2)已知甲組單獨(dú)做需12天完成，乙組單獨(dú)做需24天完成，單獨(dú)請(qǐng)哪組，商店所付費(fèi)用最少？ 總結(jié)升華：工作效率是單位時(shí)間里完成的工作量，同一題目中時(shí)間單位必須統(tǒng)一，一般地，將工作總量設(shè)為1，也可設(shè)為a，需根據(jù)題目的特點(diǎn)合理選用；工程問(wèn)題也經(jīng)常利用線段圖或列表法進(jìn)行分析。【變式】小明家準(zhǔn)備裝修一套新住房，若甲、乙兩個(gè)裝飾公司合作6周完成需工錢(qián)5.2萬(wàn)元；若甲公司單獨(dú)做4周后，剩下的由乙公司來(lái)做，還需9周完成，需工錢(qián)4.8萬(wàn)元.若只選一個(gè)公司單獨(dú)完成，從節(jié)約開(kāi)支的角度考慮，小明家應(yīng)選甲公司還是乙公司？請(qǐng)你說(shuō)明理由. 三：商品銷(xiāo)售利潤(rùn)問(wèn)題利潤(rùn)問(wèn)題：利潤(rùn)=售價(jià)進(jìn)價(jià)，利潤(rùn)率=（售價(jià)進(jìn)價(jià)）進(jìn)價(jià)100%有甲、乙兩件商品，甲商品的利潤(rùn)率為5%,乙商品的利潤(rùn)率為4%,共可獲利46元。價(jià)格調(diào)整后，甲商品的利潤(rùn)率為4%，乙商品的利潤(rùn)率為5%，共可獲利44元，則兩件商品的進(jìn)價(jià)分別是多少元？ 【變式】某商場(chǎng)用36萬(wàn)元購(gòu)進(jìn)A、B兩種商品，銷(xiāo)售完后共獲利6萬(wàn)元，其進(jìn)價(jià)和售價(jià)如下表：AB進(jìn)價(jià)（元/件）12001000售價(jià)（元/件）13801200求該商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)A、B兩種商品各多少件；四、銀行儲(chǔ)蓄問(wèn)題銀行利率問(wèn)題：免稅利息=本金利率時(shí)間，稅后利息=本金利率時(shí)間本金利率時(shí)間稅率4小明的媽媽為了準(zhǔn)備小明一年后上高中的費(fèi)用，現(xiàn)在以?xún)煞N方式在銀行共存了2000元錢(qián)，一種是年利率為2.25的教育儲(chǔ)蓄，另一種是年利率為2.25的一年定期存款，一年后可取出2042.75元，問(wèn)這兩種儲(chǔ)蓄各存了多少錢(qián)？（利息所得稅利息金額20%，教育儲(chǔ)蓄沒(méi)有利息所得稅）總結(jié)升華: 我們?cè)诮庖恍┥婕暗叫谐獭⑹杖?、支出、增長(zhǎng)率等的實(shí)際問(wèn)題時(shí)，有時(shí)候不容易找出其等量關(guān)系，這時(shí)候我們可以借助圖表法分析具體問(wèn)題中蘊(yùn)涵的數(shù)量關(guān)系，題目中的相等關(guān)系隨之浮現(xiàn)出來(lái).【變式】小敏的爸爸為了給她籌備上高中的費(fèi)用，在銀行同時(shí)用兩種方式共存了4000元錢(qián).第一種，一年期整存整取，共反復(fù)存了3次，每次存款數(shù)都相同，這種存款銀行利率為年息2.25%；第二種，三年期整存整取，這種存款銀行年利率為2.70%.三年后同時(shí)取出共得利息303.75元(不計(jì)利息稅)，問(wèn)小敏的爸爸兩種存款各存入了多少元？五、生產(chǎn)中的配套問(wèn)題產(chǎn)品配套問(wèn)題：加工總量成比例某服裝廠生產(chǎn)一批某種款式的秋裝，已知每2米的某種布料可做上衣的衣身3個(gè)或衣袖5只. 現(xiàn)計(jì)劃用132米這種布料生產(chǎn)這批秋裝(不考慮布料的損耗)，應(yīng)分別用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？ 總結(jié)升華：生產(chǎn)中的配套問(wèn)題很多，如螺釘和螺母的配套、盒身與盒底的配套、桌面與桌腿的配套、衣身與衣袖的配套等. 各種配套都有數(shù)量比例，依次設(shè)未知數(shù)，用未知數(shù)可把它們之間的數(shù)量關(guān)系表示出來(lái)，從而得到方程組，使問(wèn)題得以解決，確定等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.【變式】一張方桌由1個(gè)桌面、4條桌腿組成，如果1立方米木料可以做桌面50個(gè)，或做桌腿300條。現(xiàn)有5立方米的木料，那么用多少立方米木料做桌面，用多少立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿，恰好配成方桌？能配多少?gòu)埛阶溃苛?、增長(zhǎng)率問(wèn)題增長(zhǎng)率問(wèn)題：原量（1增長(zhǎng)率）=增長(zhǎng)后的量原量（1減少率）=減少后的量 某工廠去年的利潤(rùn)（總產(chǎn)值總支出）為200萬(wàn)元，今年總產(chǎn)值比去年增加了20%，總支出比去年減少了10%，今年的利潤(rùn)為780萬(wàn)元，去年的總產(chǎn)值、總支出各是多少萬(wàn)元？ （1）若條件不變，求今年的總產(chǎn)值、總支出各是多少萬(wàn)元？思考：本問(wèn)題還有沒(méi)有其它的設(shè)法？【變式2】某城市現(xiàn)有人口42萬(wàn)，估計(jì)一年后城鎮(zhèn)人口增加0.8%，農(nóng)村人口增加1.1%，這樣全市人口增加1%，求這個(gè)城市的城鎮(zhèn)人口與農(nóng)村人口。七、和差倍分問(wèn)題和差倍總分問(wèn)題：較大量=較小量+多余量，總量=倍數(shù)倍量“愛(ài)心”帳篷廠和“溫暖”帳篷廠原計(jì)劃每周生產(chǎn)帳篷共9千頂，現(xiàn)某地震災(zāi)區(qū)急需帳篷14千頂，兩廠決定在一周內(nèi)趕制出這批帳篷為此，全體職工加班加點(diǎn)，“愛(ài)心”帳篷廠和“溫暖”帳篷廠一周內(nèi)制作的帳篷數(shù)分別達(dá)到了原來(lái)的1.6倍、1.5倍，恰好按時(shí)完成了這項(xiàng)任務(wù)求在趕制帳篷的一周內(nèi)，“愛(ài)心”帳篷廠和“溫暖”帳篷廠各生產(chǎn)帳篷多少千頂？ 【變式】 游泳池中有一群小朋友，男孩戴藍(lán)色游泳帽，女孩戴紅色游泳帽。如果每位男孩看到藍(lán)色與紅色的游泳帽一樣多，而每位女孩看到藍(lán)色的游泳帽比紅色的多1倍，你知道男孩與女孩各有多少人嗎？八：數(shù)字問(wèn)題首先要正確掌握自然數(shù)、奇數(shù)偶數(shù)等有關(guān)的概念、特征及其表示 兩個(gè)兩位數(shù)的和是68，在較大的兩位數(shù)的右邊接著寫(xiě)較小的兩位數(shù)，得到一個(gè)四位數(shù)；在較大的兩位數(shù)的左邊寫(xiě)上較小的兩位數(shù)，也得到一個(gè)四位數(shù)，已知前一個(gè)四位數(shù)比后一個(gè)四位數(shù)大2178，求這兩個(gè)兩位數(shù)。【變式】一個(gè)兩位數(shù)，十位上的數(shù)字比個(gè)位上的數(shù)字大5，如果把十位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字交換位置，那么得到的新兩位數(shù)比原來(lái)的兩位數(shù)的一半還少9，求這個(gè)兩位數(shù)？【變式】某三位數(shù)，中間數(shù)字為0，其余兩個(gè)數(shù)位上數(shù)字之和是9，如果百位數(shù)字減1，個(gè)位數(shù)字加1，則所得新三位數(shù)正好是原三位數(shù)各位數(shù)字的倒序排列，求原三位數(shù)。九：濃度問(wèn)題溶液濃度=溶質(zhì)現(xiàn)有兩種酒精溶液，甲種酒精溶液的酒精與水的比是37，乙種酒精溶液的酒精與水的比是41，今要得到酒精與水的比為32的酒精溶液50kg，問(wèn)甲、乙兩種酒精溶液應(yīng)各取多少？ 總結(jié)升華：解這類(lèi)問(wèn)題常用的相等關(guān)系是：混合前后所含溶質(zhì)相等或混合前后所含溶劑相等。有時(shí)候需要設(shè)間接未知數(shù)，有時(shí)候需要設(shè)輔助未知數(shù)?！咀兪健恳环N35%的新農(nóng)藥，如稀釋到1.75%時(shí)，治蟲(chóng)最有效。用多少千克濃度為35%的農(nóng)藥加水多少千克，才能配成1.75%的農(nóng)藥800千克？十、幾何問(wèn)題必須掌握幾何圖形的性質(zhì)、周長(zhǎng)、面積等計(jì)算公式如圖，用8塊相同的長(zhǎng)方形地磚拼成一個(gè)長(zhǎng)方形，每塊長(zhǎng)方形地磚的長(zhǎng)和寬分別是多少？ 總結(jié)升華：幾何應(yīng)用題的相等關(guān)系一般隱藏在某些圖形的性質(zhì)中，解答這類(lèi)問(wèn)題時(shí)應(yīng)注意認(rèn)真分析圖形特點(diǎn)，找出圖形的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，再列出方程求解?！咀兪健坑瞄L(zhǎng)48厘米的鐵絲彎成一個(gè)矩形，若將此矩形的長(zhǎng)邊剪掉3厘米，補(bǔ)到較短邊上去，則得到一個(gè)正方形，求正方形的面積比矩形面積大多少？總結(jié)升華：解題的關(guān)鍵找兩個(gè)等量關(guān)系，最關(guān)鍵的是本題設(shè)的未知數(shù)不是該題要求的，本題要是設(shè)正方形的面積比矩形面積大多少，問(wèn)題就復(fù)雜了。設(shè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬，本題就簡(jiǎn)單多了，所以列方程解應(yīng)用題設(shè)未知數(shù)是關(guān)鍵。十一、年齡問(wèn)題人與人的歲數(shù)是同時(shí)增長(zhǎng)的今年父親的年齡是兒子的5倍，6年后父親的年齡是兒子的3倍，求現(xiàn)在父親和兒子的年齡各是多少？ 總結(jié)升華：解決年齡問(wèn)題，要注意一點(diǎn)：一個(gè)人的年齡變化（增大、減?。┝耍渌艘惨粯釉龃蠡驕p小，并且增大（或減?。┑臍q數(shù)是相同的（相同的時(shí)間內(nèi)）?！咀兪?】今年，小李的年齡是他爺爺?shù)奈宸种?小李發(fā)現(xiàn)，12年之后，他的年齡變成爺爺?shù)娜种?試求出今年小李的年齡.十二、優(yōu)化方案問(wèn)題：某地生產(chǎn)一種綠色蔬菜，若在市場(chǎng)上直接銷(xiāo)售，每噸利潤(rùn)為1000元；經(jīng)粗加工后銷(xiāo)售，每噸利潤(rùn)可達(dá)4500元；經(jīng)精加工后銷(xiāo)售，每噸利潤(rùn)漲至7500元. 當(dāng)?shù)匾患肄r(nóng)工商公司收獲這種蔬菜140噸，該公司加工廠的生產(chǎn)能力是：如果對(duì)蔬菜進(jìn)行粗加工，每天可以加工16噸；如果進(jìn)行細(xì)加工，每天可加工6噸. 但兩種加工方式不能同時(shí)進(jìn)行. 受季節(jié)條件的限制，公司必須在15天之內(nèi)將這批蔬菜全部銷(xiāo)售或加工完畢，為此公司研制了三種加工方案方案一：將蔬菜全部進(jìn)行粗加工；方案二：盡可能多的對(duì)蔬菜進(jìn)行精加工，沒(méi)來(lái)得及加工的蔬菜在市場(chǎng)上直接銷(xiāo)售；方案三：將部分蔬菜進(jìn)行精加工，其余蔬菜進(jìn)行粗加工