《量子力學(xué)》復(fù)習(xí)提綱

第 13 頁(yè) 共 13 頁(yè)量子力學(xué)復(fù)習(xí) 提綱一、基本假設(shè)1、（1）微觀粒子狀態(tài)的描述（2）波函數(shù)具有什么樣的特性（3）波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋2、態(tài)疊加原理（說(shuō)明了經(jīng)典和量子的區(qū)別）3、波函數(shù)隨時(shí)間變化所滿足的方程 薛定諤方程4、量子力學(xué)中力學(xué)量與算符之間的關(guān)系5、自旋的基本假設(shè)二、三個(gè)實(shí)驗(yàn)1、康普頓散射（證明了光子具有粒子性） 第一章2、戴維遜-革末實(shí)驗(yàn)（證明了電子具有波動(dòng)性） 第三章3、史特恩-蓋拉赫實(shí)驗(yàn)（證明了電子自旋） 第七章 三、證明1、粒子處于定態(tài)時(shí)幾率、幾率流密度為什么不隨時(shí)間變化；2、厄密算符的本征值為實(shí)數(shù)；3、力學(xué)量算符的本征函數(shù)在非簡(jiǎn)并情況下正交；4、力學(xué)量算符的本征函數(shù)組成完全系；5、量子力學(xué)測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系的證明；6、常見(jiàn)力學(xué)量算符之間對(duì)易的證明；7、泡利算符的形成。四、表象算符在其自身的表象中的矩陣是對(duì)角矩陣。五、計(jì)算1、力學(xué)量、平均值、幾率；2、會(huì)解簡(jiǎn)單的薛定諤方程。第一章 緒論1、德布洛意假設(shè)：德布洛意關(guān)系：戴維孫-革末電子衍射實(shí)驗(yàn)的結(jié)果：2、德布洛意平面波：3、光的波動(dòng)性和粒子性的實(shí)驗(yàn)證據(jù)：4、光電效應(yīng)：5、康普頓散射：附：（1）康普頓散射證明了光具有粒子性（2）戴維遜-革末實(shí)驗(yàn)證明了電子具有波動(dòng)性（3）史特恩-蓋拉赫實(shí)驗(yàn)證明了電子自旋第二章 波函數(shù)和薛定諤方程1量子力學(xué)中用波函數(shù)描寫微觀體系的狀態(tài)。2波函數(shù)統(tǒng)計(jì)解釋：若粒子的狀態(tài)用描寫，表示在t時(shí)刻，空間處體積元內(nèi)找到粒子的幾率（設(shè)是歸一化的）。3態(tài)疊加原理：設(shè)是體系的可能狀態(tài)，那么，這些態(tài)的線性疊加也是體系的一個(gè)可能狀態(tài)。也可以說(shuō),當(dāng)體系處于態(tài) 時(shí)，體系部分地處于態(tài)中。4.任何一個(gè)波函數(shù)都可以看做是各種不同動(dòng)量的平面波的迭加。5波函數(shù)隨時(shí)間的變化規(guī)律由薛定諤方程給出： 當(dāng)勢(shì)場(chǎng)不顯含時(shí)間時(shí)，其解是定態(tài)解滿足定態(tài)薛定諤方程 其中 注：定態(tài)薛定諤方程即能量算符的本征方程。6波函數(shù)的歸一化條件： （對(duì)整個(gè)空間積分） 相對(duì)幾率分布：波函數(shù)常數(shù)因子不定性；波函數(shù)相位因子不定性：7波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件：波函數(shù)一般應(yīng)滿足三個(gè)基本條件：連續(xù)性，有限性，單值性。8幾率流密度與幾率密度 滿足連續(xù)性方程9.定態(tài)所需的條件 ： 10一維無(wú)限深方勢(shì)阱 （1）若本征值 本征函數(shù) （2）若 則本征值 本征函數(shù)11.自由粒子波函數(shù)（推導(dǎo)過(guò)程） 12一維諧振子 本征值 本征函數(shù) 13、可以用分離變量法求解得到（在笛卡爾坐標(biāo)中）三維各向同性諧振子的能級(jí)和波函數(shù)。能級(jí) 第三章 量子力學(xué)中的力學(xué)量1量子力學(xué)中的力學(xué)量用線性厄米算符表示，并且要求該算符的本征函數(shù)構(gòu)成完備系。2.厄米算符的定義： 此為坐標(biāo)表像中的表示式厄米算符的本征值是實(shí)數(shù)。厄米算符的屬于不同本征值的本征函數(shù)一定正交。附：力學(xué)量算符的本征函數(shù)系滿足正交、歸一、完備、封閉等條件。3力學(xué)量的測(cè)量值：在力學(xué)量的本征態(tài)中測(cè)量，有確定值，即它的本征值；在非的本征態(tài)中測(cè)量，可能值是的本征值。將用算符的正交歸一的本征函數(shù)展開(kāi)：則在態(tài)中測(cè)量力學(xué)量得到結(jié)果為的幾率為，得到結(jié)果在范圍內(nèi)的幾率為。 力學(xué)量的平均值是 或 附：本書(shū)中五個(gè)基本原理（1）量子力學(xué)中態(tài)的表示 波函數(shù)（2）態(tài)疊加原理：（3）定態(tài)薛定諤方程：（4）力學(xué)量與算符的關(guān)系：（5）自旋：4 連續(xù)譜的本征函數(shù)可以歸一化為函數(shù)。5簡(jiǎn)并：屬于算符的某一個(gè)本征值的線性無(wú)關(guān)的本征函數(shù)有若干個(gè)，這種現(xiàn)象稱為簡(jiǎn)并。簡(jiǎn)并度：算符的屬于本征值的線性無(wú)關(guān)的本征函數(shù)有個(gè)，我們稱的第n個(gè)本征值是度簡(jiǎn)并。6 動(dòng)量算符的本征函數(shù)(即自由粒子波函數(shù)) 正交歸一性 7 角動(dòng)量分量 本征函數(shù) 的本征值 8 平面轉(zhuǎn)子（設(shè)繞軸旋轉(zhuǎn)） 課本P101 3.5題哈密頓量 能量本征態(tài) 能量本征值 9 有共同的本征函數(shù) 球諧函數(shù)： 1中心力場(chǎng)中，勢(shì)場(chǎng)，角動(dòng)量為守恒量。10中心力場(chǎng)中，定態(tài)薛定諤方程 選為體系的守恒量完全集，其共同的本征函數(shù)為 11氫原子 能級(jí)簡(jiǎn)并度 軌道磁矩 （為玻爾磁子） 旋磁比 類氫離子 12 守恒力學(xué)量的定義：若（即力學(xué)量的平均值不隨時(shí)間變化），則稱為守恒量。力學(xué)量的平均值隨時(shí)間的變化滿足因而力學(xué)量為守恒量的條件為： ， 且 13宇稱算符宇稱算符的定義：本征值本征函數(shù)。 注：宇稱出現(xiàn)在一維無(wú)限深勢(shì)阱、自旋中。14 對(duì)易式定義： 15 對(duì)易式滿足的基本恒等式： （Jacobi恒等式）16 一些重要的對(duì)易關(guān)系： 附：要會(huì)證明對(duì)易關(guān)系 注：量子力學(xué)證明題多關(guān)于算符和自旋。17若算符對(duì)易，即，則和有共同的本征函數(shù)系。在和的共同的本征函數(shù)表示的態(tài)中測(cè)量，都有確定值。18.不確定關(guān)系:若算符不對(duì)易，即，則必有簡(jiǎn)記為 特別地， 第四章 態(tài)和力學(xué)量的表象1 表象是以的本征函數(shù)系為基底的表象，在這個(gè)表象中，有 算符對(duì)應(yīng)一個(gè)矩陣（方陣），矩陣元是，選定表象后，算符和量子態(tài)都用矩陣表示。平均值公式是，歸一化條件是，本征值方程是。附：在自身表象中表示算符的矩陣為對(duì)角矩陣。2 幺正變換：在量子力學(xué)中，兩個(gè)表象之間的變換是幺正變換，滿足；態(tài)的變換是； 算符的變換是。幺正變換不改變算符的本征值。附：在自身表象中，本征函數(shù)是函數(shù)。附：證明某個(gè)算符勢(shì)厄密算符坐標(biāo)表像中用厄密算符的性質(zhì) 來(lái)證明。任意表象中則用幺正變換（即：表示算符的矩陣的轉(zhuǎn)置共厄等于算符本身）來(lái)證明。3 量子態(tài)可用狄拉克符號(hào)右矢或左矢表示。狄拉克符號(hào)的最大好處是它可以不依賴于表象來(lái)闡述量子力學(xué)理論，而且使用十分方便?；傅耐陚湫裕?坐標(biāo)表象 狄拉克符號(hào)第五章 微擾理論1定態(tài)微擾理論適用范圍：求分立能級(jí)及所屬波函數(shù)的修正。適用條件是：一方面要求的本征值和本征函數(shù)已知或較易計(jì)算，另一方面又要求把的主要部分盡可能包括進(jìn)去，使剩下的微擾比較小，以保證微擾計(jì)算收斂較快，即 （1）非簡(jiǎn)并情況（2）簡(jiǎn)并情況 能級(jí)的一級(jí)修正由久期方程 即給出。有個(gè)實(shí)根，記為，分別把每一個(gè)根代入方程 ，即可求得相應(yīng)的解，記為，于是得出新的零級(jí)波函數(shù)相應(yīng)能量為2變分法選擇嘗試波函數(shù)，計(jì)算的平均值，它是變分參量的函數(shù)，由極值條件定出，求出，它表示基態(tài)能量的上限。3由的躍遷幾率是此公式適用的條件是 ， 對(duì)于4周期性微擾：光的吸收和發(fā)射，選擇定則等。 第七章 自旋與全同粒子1自旋基本假設(shè)的內(nèi)容：2.自旋實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)：3.自選角動(dòng)量、軌道角動(dòng)量及相應(yīng)磁矩：4.自旋角動(dòng)量算符5.自選波函數(shù)的形成及當(dāng)自旋與軌道作用可忽略時(shí)的波函數(shù)6.什么情況有奇宇稱、偶宇稱？7.電子自旋假設(shè)的兩個(gè)要點(diǎn)：（）； （）內(nèi)稟磁矩的值即玻爾磁子的值： 因子（回轉(zhuǎn)磁比值）： 8旋量波函數(shù)的意義及其歸一化。9.自旋與軌道無(wú)耦合時(shí)：的本征態(tài)： 一般自旋態(tài)： 10自旋算符與泡利矩陣 （單位算符） , , ， ， 附：會(huì)證明泡利矩陣11總角動(dòng)量在中心力場(chǎng)（例如Coulomb場(chǎng)）中運(yùn)動(dòng)的電子的相對(duì)論波動(dòng)方程（Dirac方程），在非相對(duì)論極限下，Hamilton量中將出現(xiàn)一項(xiàng)自旋軌道耦合作用電子的能量本征態(tài)可選為（）的共同本征態(tài)，而空間角度部分與自旋部分的波函數(shù)則可取為（）的共同本征態(tài):本征值分別為12. 堿金屬原子光譜的雙線結(jié)構(gòu)由于項(xiàng)的存在，使得。例如Na： 還可以解釋反常塞曼效應(yīng)。附：只有考慮了電子的自旋光譜線的精細(xì)結(jié)構(gòu)才能得到解釋。13兩個(gè)電子的自旋單態(tài)與三重態(tài)（）的共同本征函數(shù) （三重態(tài)） 0 0 （單態(tài)）14. 兩個(gè)角動(dòng)量的耦合若是兩個(gè)獨(dú)立的角動(dòng)量，則也是角動(dòng)量。C-G系數(shù)的性質(zhì)：，j的取值：15全同粒子（1）量子力學(xué)中，把內(nèi)稟屬性（靜質(zhì)量、電荷、自旋、磁矩、壽命等）相同的粒子稱為全同粒子。（2）全同性原理：由于全同粒子的不可區(qū)分性，使得全同粒子所組成的體系中，二全同粒子相互代換不引起物理狀態(tài)的改變。全同性原理或表述為交換對(duì)稱性：任何可觀測(cè)量，特別是Hamilton量，對(duì)于任何兩個(gè)粒子交換是不變的。這就給描述全同粒子系的波函數(shù)帶來(lái)很強(qiáng)的限制，即要求全同粒子體系的波函數(shù)具有交換對(duì)稱性或者交換反對(duì)稱性。（3） 全同粒子系的波函數(shù)的交換對(duì)稱性與粒子的自旋有確定的聯(lián)系。玻色子：自旋為整數(shù)倍（）的粒子，波函數(shù)對(duì)于兩個(gè)粒子交換總是對(duì)稱的，例如介子（），光子（）。它們遵守Bose統(tǒng)計(jì)，稱為Bose子。費(fèi)米子：自旋為半奇數(shù)倍（）的粒子，波函數(shù)對(duì)于兩個(gè)粒子交換總是反對(duì)稱的，例如電子，質(zhì)子，中子等。它們遵守Fermi 統(tǒng)計(jì)，稱為Fermi子。由“基本粒子”組成的復(fù)雜粒子，例如粒子（氦核）或其它原子核，如在討論的問(wèn)題