函數(shù)定義域值域求法(全十一種).doc

高中函數(shù)定義域和值域的求法總結(jié)一、常規(guī)型即給出函數(shù)的解析式的定義域求法，其解法是由解析式有意義列出關(guān)于自變量的不等式或不等式組，解此不等式（或組）即得原函數(shù)的定義域。例1 求函數(shù)的定義域。解：要使函數(shù)有意義，則必須滿足由解得 或。由解得 或和求交集得且或x5。故所求函數(shù)的定義域為。例2 求函數(shù)的定義域。解：要使函數(shù)有意義，則必須滿足由解得由解得由和求公共部分，得故函數(shù)的定義域為評注：和怎樣求公共部分？你會嗎？二、抽象函數(shù)型抽象函數(shù)是指沒有給出解析式的函數(shù)，不能常規(guī)方法求解，一般表示為已知一個抽象函數(shù)的定義域求另一個抽象函數(shù)的解析式，一般有兩種情況。（1） 已知的定義域，求的定義域。（2） 其解法是：已知的定義域是a，b求的定義域是解，即為所求的定義域。例3 已知的定義域為2，2，求的定義域。解：令，得，即，因此，從而，故函數(shù)的定義域是。（2）已知的定義域，求f(x)的定義域。其解法是：已知的定義域是a，b，求f(x)定義域的方法是：由，求g(x)的值域，即所求f(x)的定義域。例4 已知的定義域為1，2，求f(x)的定義域。解：因為。即函數(shù)f(x)的定義域是。三、逆向型即已知所給函數(shù)的定義域求解析式中參數(shù)的取值范圍。特別是對于已知定義域為R，求參數(shù)的范圍問題通常是轉(zhuǎn)化為恒成立問題來解決。例5 已知函數(shù)的定義域為R求實數(shù)m的取值范圍。分析：函數(shù)的定義域為R，表明，使一切xR都成立，由項的系數(shù)是m，所以應(yīng)分m=0或進行討論。解：當(dāng)m=0時，函數(shù)的定義域為R；當(dāng)時，是二次不等式，其對一切實數(shù)x都成立的充要條件是綜上可知。評注：不少學(xué)生容易忽略m=0的情況，希望通過此例解決問題。例6 已知函數(shù)的定義域是R，求實數(shù)k的取值范圍。解：要使函數(shù)有意義，則必須0恒成立，因為的定義域為R，即無實數(shù)當(dāng)k0時，恒成立，解得；當(dāng)k=0時，方程左邊=30恒成立。綜上k的取值范圍是。四、實際問題型這里函數(shù)的定義域除滿足解析式外，還要注意問題的實際意義對自變量的限制，這點要加倍注意，并形成意識。例7 將長為a的鐵絲折成矩形，求矩形面積y關(guān)于一邊長x的函數(shù)的解析式，并求函數(shù)的定義域。解：設(shè)矩形一邊為x，則另一邊長為于是可得矩形面積。由問題的實際意義，知函數(shù)的定義域應(yīng)滿足。故所求函數(shù)的解析式為，定義域為（0，）。例8 用長為L的鐵絲彎成下部為矩形上部為半圓的框架，如圖，若矩形底邊長為2x，求此框架圍成的面積y與x的函數(shù)關(guān)系式，并求定義域。解：由題意知，此框架圍成的面積是由一個矩形和一個半圓組成的圖形的面積，如圖。因為CD=AB=2x，所以，所以，故根據(jù)實際問題的意義知故函數(shù)的解析式為，定義域（0，）。五、參數(shù)型對于含參數(shù)的函數(shù)，求定義域時，必須對分母分類討論。例9 已知的定義域為0，1，求函數(shù)的定義域。解：因為的定義域為0，1，即。故函數(shù)的定義域為下列不等式組的解集：，即即兩個區(qū)間a，1a與a，1+a的交集，比較兩個區(qū)間左、右端點，知（1）當(dāng)時，F(xiàn)（x）的定義域為；（2）當(dāng)時，F(xiàn)（x）的定義域為；（3）當(dāng)或時，上述兩區(qū)間的交集為空集，此時F（x）不能構(gòu)成函數(shù)。六、隱含型有些問題從表面上看并不求定義域，但是不注意定義域，往往導(dǎo)致錯解，事實上定義域隱含在問題中，例如函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是其定義域的子集。因此，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，必須先求定義域。例10 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。解：由，即，解得。即函數(shù)y的定義域為（1，3）。函數(shù)是由函數(shù)復(fù)合而成的。，對稱軸x=1，由二次函數(shù)的單調(diào)性，可知t在區(qū)間上是增函數(shù)；在區(qū)間上是減函數(shù)，而在其定義域上單調(diào)增；，所以函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)。函數(shù)值域求法十一種 1. 直接觀察法對于一些比較簡單的函數(shù)，其值域可通過觀察得到。 例1. 求函數(shù)的值域。解：顯然函數(shù)的值域是： 例2. 求函數(shù)的值域。解：故函數(shù)的值域是： 2. 配方法配方法是求二次函數(shù)值域最基本的方法之一。 例3. 求函數(shù)的值域。解：將函數(shù)配方得：由二次函數(shù)的性質(zhì)可知：當(dāng)x=1時，當(dāng)時，故函數(shù)的值域是：4，8 3. 判別式法 例4. 求函數(shù)的值域。解：原函數(shù)化為關(guān)于x的一元二次方程（1）當(dāng)時，解得：（2）當(dāng)y=1時，而故函數(shù)的值域為 例5. 求函數(shù)的值域。解：兩邊平方整理得：（1）解得：但此時的函數(shù)的定義域由，得由，僅保證關(guān)于x的方程：在實數(shù)集R有實根，而不能確保其實根在區(qū)間0，2上，即不能確保方程（1）有實根，由 求出的范圍可能比y的實際范圍大，故不能確定此函數(shù)的值域為?？梢圆扇∪缦路椒ㄟM一步確定原函數(shù)的值域。代入方程（1）解得：即當(dāng)時，原函數(shù)的值域為：注：由判別式法來判斷函數(shù)的值域時，若原函數(shù)的定義域不是實數(shù)集時，應(yīng)綜合函數(shù)的定義域，將擴大的部分剔除。 4. 反函數(shù)法直接求函數(shù)的值域困難時，可以通過求其原函數(shù)的定義域來確定原函數(shù)的值域。 例6. 求函數(shù)值域。解：由原函數(shù)式可得：則其反函數(shù)為：，其定義域為：故所求函數(shù)的值域為： 5. 函數(shù)有界性法直接求函數(shù)的值域困難時，可以利用已學(xué)過函數(shù)的有界性，反客為主來確定函數(shù)的值域。 例7. 求函數(shù)的值域。解：由原函數(shù)式可得：解得：故所求函數(shù)的值域為 例8. 求函數(shù)的值域。解：由原函數(shù)式可得：，可化為：即即解得：故函數(shù)的值域為 6. 函數(shù)單調(diào)性法 例9. 求函數(shù)的值域。解：令則在2，10上都是增函數(shù)所以在2，10上是增函數(shù)當(dāng)x=2時，當(dāng)x=10時，故所求函數(shù)的值域為： 例10. 求函數(shù)的值域。解：原函數(shù)可化為：令，顯然在上為無上界的增函數(shù)所以，在上也為無上界的增函數(shù)所以當(dāng)x=1時，有最小值，原函數(shù)有最大值顯然，故原函數(shù)的值域為 7. 換元法通過簡單的換元把一個函數(shù)變?yōu)楹唵魏瘮?shù)，其題型特征是函數(shù)解析式含有根式或三角函數(shù)公式模型，換元法是數(shù)學(xué)方法中幾種最主要方法之一，在求函數(shù)的值域中同樣發(fā)揮作用。 例11. 求函數(shù)的值域。解：令，則又，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知當(dāng)時，當(dāng)時，故函數(shù)的值域為 例12. 求函數(shù)的值域。解：因即故可令故所求函數(shù)的值域為 例13. 求函數(shù)的值域。解：原函數(shù)可變形為：可令，則有當(dāng)時，當(dāng)時，而此時有意義。故所求函數(shù)的值域為 例14. 求函數(shù)，的值域。解：令，則由且可得：當(dāng)時，當(dāng)時，故所求函數(shù)的值域為。 例15. 求函數(shù)的值域。解：由，可得故可令當(dāng)時，當(dāng)時，故所求函數(shù)的值域為： 8. 數(shù)形結(jié)合法其題型是函數(shù)解析式具有明顯的某種幾何意義，如兩點的距離公式直線斜率等等，這類題目若運用數(shù)形結(jié)合法，往往會更加簡單，一目了然，賞心悅目。 例16. 求函數(shù)的值域。解：原函數(shù)可化簡得：上式可以看成數(shù)軸上點P（x）到定點A（2），間的距離之和。由上圖可知，當(dāng)點P在線段AB上時，當(dāng)點P在線段AB的延長線或反向延長線上時，故所求函數(shù)的值域為： 例17. 求函數(shù)的值域。解：原函數(shù)可變形為：上式可看成x軸上的點到兩定點的距離之和，由圖可知當(dāng)點P為線段與x軸的交點時，故所求函數(shù)的值域為 例18. 求函數(shù)的值域。解：將函數(shù)變形為：上式可看成定點A（3，2）到點P（x，0）的距離與定點到點的距離之差。即：由圖可知：（1）當(dāng)點P在x軸上且不是直線AB與x軸的交點時，如點，則構(gòu)成，根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊，有即：（2）當(dāng)點P恰好為直線AB與x軸的交點時，有綜上所述，可知函數(shù)的值域為：注：由例17，18可知，求兩距離之和時，要將函數(shù)式變形，使A、B兩點在x軸的兩側(cè)，而求兩距離之差時，則要使A，B兩點在x軸的同側(cè)。如：例17的A，B兩點坐標(biāo)分別為：（3，2），在x軸的同側(cè)；例18的A，B兩點坐標(biāo)分別為（3，2），在x軸的同側(cè)。 9. 不等式法利用基本不等式，求函數(shù)的最值，其題型特征解析式是和式時要求積為定值，解析式是積時要求和為定值，不過有時需要用到拆項、添項和兩邊平方等技巧。 例19. 求函數(shù)的值域。解：原函數(shù)變形為：當(dāng)且僅當(dāng)即當(dāng)時，等號成立故原函數(shù)的值域為： 例20. 求函數(shù)的值域。解：當(dāng)且僅當(dāng)，即當(dāng)時，等號成立。由可得：故原函數(shù)的值域為： 10. 一一映射法原理：因為在定義域上x與y是一一對應(yīng)的。故兩個變量中，若知道一個變量范圍，就可以求另一個變量范圍。 例21. 求函數(shù)的值域。解：定義域為由得故或解得故函數(shù)的值域為 11. 多種方法綜合運用 例22. 求函數(shù)的值域。解：令，則（1）當(dāng)時，當(dāng)且僅當(dāng)t=1，即時取等號，所以（2）