高中數(shù)學(xué) 導(dǎo)數(shù)與微分.doc

二、導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)的概念在學(xué)習(xí)到數(shù)的概念之前，我們先來討論一下物理學(xué)中變速直線運(yùn)動的瞬時速度的問題。例：設(shè)一質(zhì)點沿x軸運(yùn)動時，其位置x是時間t的函數(shù)，求質(zhì)點在t0的瞬時速度？我們知道時間從t0有增量t時，質(zhì)點的位置有增量 ，這就是質(zhì)點在時間段t的位移。因此，在此段時間內(nèi)質(zhì)點的平均速度為：.若質(zhì)點是勻速運(yùn)動的則這就是在t0的瞬時速度，若質(zhì)點是非勻速直線運(yùn)動，則這還不是質(zhì)點在t0時的瞬時速度。我們認(rèn)為當(dāng)時間段t無限地接近于0時，此平均速度會無限地接近于質(zhì)點t0時的瞬時速度，即：質(zhì)點在t0時的瞬時速度=為此就產(chǎn)生了導(dǎo)數(shù)的定義，如下：導(dǎo)數(shù)的定義：設(shè)函數(shù)在點x0的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量x在x0處有增量x(x+x也在該鄰域內(nèi))時，相應(yīng)地函數(shù)有增量，若y與x之比當(dāng)x0時極限存在，則稱這個極限值為在x0處的導(dǎo)數(shù)。記為： 還可記為：，函數(shù)在點x0處存在導(dǎo)數(shù)簡稱函數(shù)在點x0處可導(dǎo)，否則不可導(dǎo)。若函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)每一點都可導(dǎo)，就稱函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)。這時函數(shù)對于區(qū)間(a,b)內(nèi)的每一個確定的x值，都對應(yīng)著一個確定的導(dǎo)數(shù)，這就構(gòu)成一個新的函數(shù)，我們就稱這個函數(shù)為原來函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)。 注：導(dǎo)數(shù)也就是差商的極限左、右導(dǎo)數(shù)前面我們有了左、右極限的概念，導(dǎo)數(shù)是差商的極限，因此我們可以給出左、右導(dǎo)數(shù)的概念。若極限存在，我們就稱它為函數(shù)在x=x0處的左導(dǎo)數(shù)。若極限存在，我們就稱它為函數(shù)在x=x0處的右導(dǎo)數(shù)。注：函數(shù)在x0處的左右導(dǎo)數(shù)存在且相等是函數(shù)在x0處的可導(dǎo)的充分必要條件函數(shù)的和、差求導(dǎo)法則函數(shù)的和差求導(dǎo)法則 法則：兩個可導(dǎo)函數(shù)的和(差)的導(dǎo)數(shù)等于這兩個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的和(差).用公式可寫為：。其中u、v為可導(dǎo)函數(shù)。例題：已知，求解答：例題：已知，求解答：函數(shù)的積商求導(dǎo)法則常數(shù)與函數(shù)的積的求導(dǎo)法則法則：在求一個常數(shù)與一個可導(dǎo)函數(shù)的乘積的導(dǎo)數(shù)時，常數(shù)因子可以提到求導(dǎo)記號外面去。用公式可寫成： 例題：已知，求解答：來源: 函數(shù)的積的求導(dǎo)法則法則：兩個可導(dǎo)函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)等于第一個因子的導(dǎo)數(shù)乘第二個因子，加上第一個因子乘第二個因子的導(dǎo)數(shù)。用公式可寫成：例題：已知，求解答：注：若是三個函數(shù)相乘，則先把其中的兩個看成一項。函數(shù)的商的求導(dǎo)法則法則：兩個可導(dǎo)函數(shù)之商的導(dǎo)數(shù)等于分子的導(dǎo)數(shù)與分母導(dǎo)數(shù)乘積減去分母導(dǎo)數(shù)與分子導(dǎo)數(shù)的乘積，在除以分母導(dǎo)數(shù)的平方。用公式可寫成： 例題：已知，求解答：復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則在學(xué)習(xí)此法則之前我們先來看一個例子!來源:來源: 例題：求=?解答：由于，故 這個解答正確嗎?這個解答是錯誤的，正確的解答應(yīng)該如下：我們發(fā)生錯誤的原因是是對自變量x求導(dǎo)，而不是對2x求導(dǎo)。下面我們給出復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)規(guī)則規(guī)則：兩個可導(dǎo)函數(shù)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)對中間變量的導(dǎo)數(shù)乘上中間變量對自變量的導(dǎo)數(shù)。用公式表示為：，其中u為中間變量例題：已知，求解答：設(shè),則可分解為,因此注：在以后解題中，我們可以中間步驟省去。例題：已知，求 解答：反函數(shù)求導(dǎo)法則來源: 根據(jù)反函數(shù)的定義，函數(shù)為單調(diào)連續(xù)函數(shù)，則它的反函數(shù),它也是單調(diào)連續(xù)的.為此我們可給出反函數(shù)的求導(dǎo)法則，如下(我們以定理的形式給出)：定理：若是單調(diào)連續(xù)的，且，則它的反函數(shù)在點x可導(dǎo)，且有： 注：通過此定理我們可以發(fā)現(xiàn)：反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于原函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)。注：這里的反函數(shù)是以y為自變量的，我們沒有對它作記號變換。即： 是對y求導(dǎo)，是對x求導(dǎo)例題：求的導(dǎo)數(shù).解答：此函數(shù)的反函數(shù)為，故則：來源: 例題：求的導(dǎo)數(shù).解答：此函數(shù)的反函數(shù)為，故則：高階導(dǎo)數(shù)我們知道，在物理學(xué)上變速直線運(yùn)動的速度v(t)是位置函數(shù)s(t)對時間t的導(dǎo)數(shù)，即： ，而加速度a又是速度v對時間t的變化率，即速度v對時間t的導(dǎo)數(shù)： ，或。這種導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做s對t的二階導(dǎo)數(shù)。下面我們給出它的數(shù)學(xué)定義：定義：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍然是x的函數(shù).我們把的導(dǎo)數(shù)叫做函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，記作或，即：或.相應(yīng)地，把的導(dǎo)數(shù)叫做函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù).類似地，二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)，叫做三階導(dǎo)數(shù)，三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)，叫做四階導(dǎo)數(shù)，一般地(n-1)階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做n階導(dǎo)數(shù).分別記作：，或，二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱高階導(dǎo)數(shù)。由此可見，求高階導(dǎo)數(shù)就是多次接連地求導(dǎo)，所以，在求高階導(dǎo)數(shù)時可運(yùn)用前面所學(xué)的求導(dǎo)方法。例題：已知，求 解答：因為=a，故=0例題：求對數(shù)函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)。解答：，一般地，可得隱函數(shù)及其求導(dǎo)法則我們知道用解析法表示函數(shù)，可以有不同的形式.若函數(shù)y可以用含自變量x的算式表示，像y=sinx，y=1+3x等，這樣的函數(shù)叫顯函數(shù).前面我們所遇到的函數(shù)大多都是顯函數(shù).一般地，如果方程F(x,y)=0中，令x在某一區(qū)間內(nèi)任取一值時，相應(yīng)地總有滿足此方程的y值存在，則我們就說方程F(x