工程力學(xué)(天津大學(xué))第10章標準答案.doc

習(xí)題習(xí)題 10 1 一工字型鋼梁 在跨中作用集中力 F 已知 l 6m F 20kN 工字鋼的型號為 20a 求梁中 的最大正應(yīng)力 解 梁內(nèi)的最大彎矩發(fā)生在跨中 kN m30 max M 查表知 20a 工字鋼 3 cm237 z W 則 MPa 6 126Pa10 6 126 10237 1030 6 6 3 max max z W M 10 2 一矩形截面簡支梁 受均布荷載作用 梁的長度為 l 截面高度為 h 寬度為 b 材料的彈性 模量為 E 試求梁下邊緣的總伸長 解 梁的彎矩方程為 2 2 1 2 1 qxqlxxM 則曲率方程為 2 2 1 2 111 qxqlx EIEI xM x zz 梁下邊緣的線應(yīng)變 2 2 1 2 1 2 2 qxqlx EI h x h x z 下邊緣伸長為 2 3 0 2 0 22 1 2 1 2Ebh ql dxqxqlx EI h dxxl l z l 10 3 已知梁在外力作用下發(fā)生平面彎曲 當截面為下列形狀時 試分別畫出正應(yīng)力沿橫截面高度 的分布規(guī)律 解 各種截面梁橫截面上的正應(yīng)力都是沿高度線性分布的 中性軸側(cè)產(chǎn)生拉應(yīng)力 另一側(cè)產(chǎn)生壓應(yīng)力 10 4 一對稱 T 形截面的外伸梁 梁上作用均布荷載 梁的尺寸如圖所示 已知 q l A B b h F l 2l 2 A B l 1 5m q 8KN m 求梁中橫截面上的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力 解 1 設(shè)截面的形心到下邊緣距離為 y1 則有 cm33 7 41084 10410484 1 y 則形心到上邊緣距離 cm67 4 33 7 12 2 y 于是截面對中性軸的慣性距為 42 3 2 3 cm 0 86467 2 410 12 410 33 3 84 12 84 z I 2 作梁的彎矩圖 設(shè)最大正彎矩所在截面為 D 最大負彎矩所在截面為 E 則在 D 截面 MPa08 15Pa1008 15 10 0 864 1033 7 10778 1 6 8 23 1maxt y I M z D MPa61 9 Pa1061 9 10 0 864 1067 4 10778 1 6 8 23 2maxc y I M z D 在 E 截面上 MPa40 5 Pa1040 5 10 0 864 1067 4100 1 6 8 23 2maxt y I M z E MPa48 8 Pa1048 8 10 0 864 1033 7 100 1 6 8 23 1maxc y I M z E 所以梁內(nèi) MPa08 15 maxt MPa61 9 maxc 10 5 一矩形截面簡支梁 跨中作用集中力 F 已知 l 4m b 120mm h 180mm 彎曲時材料 l 3 B C q A l 10cm 8cm 4cm 4cm 1 778kN m 1 0kN m 0 667m 的許用應(yīng)力 10Mpa 求梁能承受的最大荷載 Fmax 解 梁內(nèi)的最大彎矩發(fā)生在跨中 4 max Fl M 矩形截面梁 6 2 bh Wz 則由 得 z W Mmax max 64 2 bhFl 即 N6480 43 18 0 12 0 2 1010 3 2 2 6 2 l bh F 10 6 由兩個 28a 號槽鋼組成的簡支梁 如圖所示 已知該梁材料為 Q235 鋼 其許用彎曲正應(yīng)力 170Mpa 求梁的許可荷載 F 解 作彎矩圖 梁內(nèi)的最大彎矩發(fā)生在跨中 FM4 max 矩形截面梁 3 max max cm656 6802 z zz z W y I y I W 則由 得 z W Mmax max z WF 4 即 N28927 4 10656 68010170 4 66 z W F 10 7 圓形截面木梁 梁上荷載如圖所示 已知 l 3m F 3kN q 3kN m 彎曲時木材的許用應(yīng) F l 2l 2 A B b h F 2m BA F F 2m2m2m 3F3F 4F 力 10MPa 試選擇圓木的直徑 d 解 作彎矩圖 則由 得 z W Mmax max max M Wz 即 得 6 33 1010 103 32 d 145mmm145 0 d 10 8 起重機連同配重等重 P 50kN 行走于兩根工字鋼所組成的簡支梁上 如圖所示 起重機的 起重量 F 10kN 梁材料的許用彎曲應(yīng)力 170Mpa 試選擇工字鋼的型號 設(shè)全部荷載平均分配在兩 根梁上 解 設(shè)起重機左輪距 A 端為 x 則有 2 650 xMC 80386 2 xxMD 從而確定出 kN m 2 104 max C MkN m 2 140 max D M 即梁內(nèi)出現(xiàn)的最大彎矩為kN m 2 140 則由 得 z W Mmax max 34 6 3 max m1025 8 10170 10 2 140 M Wz 又對于本題 max max 2 z zz z W y I y I W 所以 334 4 cm 5 412m10125 4 2 1025 8 2 z z W W A B P F 1m 4m 10m CD 1m q d F ll 3 A B C 3kN m1 167m 2 042kN m 查表選 25b 號工字鋼 10 9 兩個矩形截面的簡支木梁 其跨度 荷載及截面面積都相同 一個是整體 另一個是由兩根 方木疊置而成 試分別計算二梁中的最大正應(yīng)力 解 1 第一種情況 梁內(nèi)的最大彎矩發(fā)生在跨中 8 2 max ql M 矩形截面梁 3 2 6 32 abh Wz 則 3 3 3 2 max max 16 3 28 3 a ql a ql W M z 2 第二種情況 梁內(nèi)的最大彎矩發(fā)生在跨中 16 2 max ql M 矩形截面梁 66 32 abh Wz 則 3 3 3 2 max max 8 3 16 6 a ql a ql W M z 10 10 直徑 d 0 6mm 的鋼絲繞在直徑 D 600mm 的圓筒上 已知鋼絲的彈性模量 E 2 105MPa 試求鋼絲中的最大正應(yīng)力 解 由 得 z EI M 1 N m1024115 4 103 03 0 64 106 0 102 3 3 124 11 z EI M 200MPaPa10200 32 106 0 1024115 4 32 6 93 3 3max d M W M z 或 200MPaPa10200 103 03 0 103 0102 6 3 311 max max Ey q l BA aa 2a a a 10 11 一矩形截面簡支梁由圓柱形木料鋸成 已知 F 5kN a 1 5m 10Mpa 試確定彎曲截 面系數(shù)最大時矩形截面的高寬比 h b 以及梁所需木料的最小直徑 d 解 66 222 bdbbh Wz 由 得 又 所以 時 取0 6 3 22 bd db dWz db 3 3 0 2 2 b db Wd z db 3 3 z W 極大值 所以彎曲截面系數(shù)最大時 即 db 3 3 dh 3 6 1 2 bh 梁內(nèi)的最大彎矩 kN m5 7 max FaM 矩形截面梁 3 2 27 3 6 d bh Wz 則由 得 z W Mmax max max M Wz 即 max 3 27 3M d 227mmm227 0 1010 105 73939 3 6 3 3 max M d 10 12 一鑄鐵梁如圖所示 已知材料的拉伸強度極限 b 150Mpa 壓縮強度極限 bc 630Mpa 試 求梁的安全因數(shù) 解 1 設(shè)截面形心距離下邊緣為 y1 則有 mm33 53 21601040160 2120160102040160 1 y b h d A B a FF a 3a C D 1m0 5m1m A B D 16kN C 32kN 160 200 40 1010 則形心到上邊緣距離 mm67 14633 53200 2 y 于是截面對中性軸的慣性距為 42 3 2 3 mm 4 29013333267 6616010 12 16010 33 3340160 12 40160 z I 2 作梁的彎矩圖 C 截面 MPa057 22Pa10057 22 10 4 29013333 1033 531012 6 12 33 1maxt y I M z C MPa663 60Pa10663 60 10 4 29013333 1067 1461012 6 12 33 2maxc y I M z C B 截面上 MPa442 40Pa10442 40 10 4 29013333 1067 146108 6 12 33 2maxt y I M z B MPa705 14Pa10705 14 10 4 29013333 1033 53108 6 12 33 1maxc y I M z B 所以有 取安全系數(shù)為 3 709 709 3 442 40 150 t n tc 385 10 663 60 630 nn 10 13 一簡支工字型鋼梁 工字鋼的型號為 28a 梁上荷載如圖所示 已知 l 6m F1 60kN F2 40kN q 8kN m 鋼材的許用應(yīng)力 170Mpa 100Mpa 試校核梁的強度 解 作內(nèi)力圖 q AB l 6 F1F2 l 62l 3 8kN m 12kN m 80 7kN 67 3kN 12 7kN 72 7kN 59 3kN 19 3kN 2 588m 76 7kN m 63 3kN m 86 8kN m 則有 MPa 8 170Pa10 8 170 1015 508 10 8 86 6 6 3 max max z W M 而 5 47 0 170 170 8 170 max MPa56 38Pa1056 38 0085 01062 24 10 7 80 6 2 3 max maxS max bI SF z z 10 14 一簡支工字型鋼梁 梁上荷載如圖所示 已知 l 6m q 6kN m F 20kN 鋼材的許用應(yīng) 力 170Mpa 100Mpa 試選擇工字鋼的型號 解 作內(nèi)力圖 由 得 z W Mmax max 334 6 3 max cm 3 335m10353 3 10170 1057 M Wz 查表選 25a 考慮 5 誤差可以選則 22b 對于所選型號 梁內(nèi)出現(xiàn)的最大切應(yīng)力為 q AB l 2 F l 2 28kN 10kN 57kN m 10kN 28kN MPa21 16Pa1021 16 008 0 1058 21 1028 6 2 3 max maxS max bI SF z z 如為 22b MPa 8 15 max 所以工字鋼型號為 25a 或 22b 10 15 由工字鋼制成的簡支梁受力如圖所示 已知材料的許用彎曲應(yīng)力 170Mpa 許用切應(yīng)力 100Mpa 試選擇工字鋼型號 解 作內(nèi)力圖 由 得 z W Mmax max 334 6 3 max cm 6 488m10886 4 10170 1005625 83 M Wz 查表選 28a 對于所選型號 梁內(nèi)出現(xiàn)的最大切應(yīng)力為 MPa06 54Pa1006 54 0085 0 1062 24 10125 113 6 2 3 max maxS max bI SF z z 所以工字鋼型號為 28a 10 16 外伸梁 AC 承受荷載如圖所示 Me 40KN m q 20KN m 材料的許用應(yīng)力 170Mpa 100Mpa 試選擇工字鋼的型號 q 2m1m1m A B C Me 20kN m AB 0 5m 80kN60kN 1m2 5m CD 113 125k N 1 85m 56 5625kN m 76 875kN m 83 05625kN m 33 125kN 76 875kN 16 875kN 解 作內(nèi)力圖 由 得 z W Mmax max 334 6 3 max cm 3 235m10353 2 10170 1040 M Wz 查表選 20a 對于所選型號 梁內(nèi)出現(xiàn)的最大切應(yīng)力為 MPa22 33Pa1022 33 007 0 10 2 17 1040 6 2 3 max maxS max bI SF z z 所以工字鋼型號為 20a 10 17 圖示簡支梁是由三塊截面為 40mm 90mm 的木板膠合而成 已知 l 3m 膠縫的許用切應(yīng)力 0 5Mpa 試按膠縫的切應(yīng)力強度確定梁所能承受的最大荷載 F 解 梁內(nèi)的最大剪力值為 0 5F 則膠縫處的最大切應(yīng)力為 F F bI SF z z 73 61 109010 12 12090 104040905 0 312 3 9 maxS max 由 得 F 8100N max 10 18 圖示結(jié)構(gòu)中 AB 梁與 CD 梁所用材料相同 二梁的高度與寬度分別為 h b 和 h1和 b 已知 l 3 6m a 1 3m h 150mm h1 100mm b 100mm 材料的許用應(yīng)力 10Mpa 2 2Mpa 試求該結(jié)構(gòu)所能承受的最大荷載 Fmax 0 5l0 5l BA 90mm 40mm 40mm 40mm F 0 5l0 5la a BA DC h b b h1 F 40kN 40kN m 解 1 對于上梁 作內(nèi)力圖 由 得 即 z W Mmax max z WM max z W Fl 4 所以有 kN852 1 N10852 1 6 3 6 1 01 0 10104 4 3 2 6 l W F z 又由 得 即 A F 2 3 maxS max 3 2 maxS A F 3 2 2 AF 所以有 kN33 29N1033 29 3 1 01 0102 24 3 4 3 6 A F 2 對于下梁 作內(nèi)力圖 由 得 即 1 max max z W M 1maxz WM 1 2 z W Fa 所以有 kN77 5 N1077 5 3 1 6 15 0 1 0 10102 2 3 2 6 1 a W F z 又由 得 即 1 maxS max 2 3 A F 3 2 1 maxS A F 3 2 2 1 AF 所以有 kN 0 44N10 0 44 3 15 0 1 0102 24 3 4 3 6 1 A F F 2 1 F 2 1 Fl 4 1 F 2 1 F 2 1 Fa 2 1 綜上 取 kN852 1 F 10 19 圖示木梁受一可移動的荷載 F 40KN 作用 已知 10Mpa 3Mpa 木梁的橫截面為 矩形 其高寬比 試選擇梁的截面尺寸 2 3 b h 解 當F位于跨中時 梁內(nèi)出現(xiàn)最大彎矩 kN10N1010 4 11040 4 3 3 max Fl M 由 得 即 z W Mmax max max M Wz 從而有 33 6 3 max 32 m100 1 1010 1010 24 9 6 Mbbh 138 7mmm1387 0 b 又當F位于靠近左右支座時 梁內(nèi)出現(xiàn)最大剪力 kN20 2 maxS F F 由 得 即 A F 2 3 maxS max 2 3 maxS F A 從而有 23 6 3 maxS 2 m1010 1032 10203 2 3