4-2不定積分的基本公式和運算法則直接積分法.doc

復(fù)習(xí) 1 原函數(shù)的定義。2 不定積分的定義。3 不定積分的性質(zhì)。4 不定積分的幾何意義。引入 在不定積分的定義、性質(zhì)以及基本公式的基礎(chǔ)上，我們進一步來討論不定積分的計算問題，不定積分的計算方法主要有三種：直接積分法、換元積分法和分部積分法。講授新課第二節(jié) 不定積分的基本公式和運算 直接積分法一 基本積分公式由于求不定積分的運算是求導(dǎo)運算的逆運算，所以有導(dǎo)數(shù)的基本公式相應(yīng)地可以得到積分的基本公式如下：導(dǎo)數(shù)公式微分公式積分公式1 (0)2345 ()6789101112131415以上十五個公式是求不定積分的基礎(chǔ)，必須熟記，不僅要記右端的結(jié)果，還要熟悉左端被積函數(shù)的的形式。求函數(shù)的不定積分的方法叫積分法。例1.求下列不定積分.（1） （2） 解：（1）（2）此例表明，對某些分式或根式函數(shù)求不定積分時，可先把它們化為的形式，然后應(yīng)用冪函數(shù)的積分公式求積分。二 不定積分的基本運算法則法則1 兩個函數(shù)代數(shù)和的積分，等于各函數(shù)積分的代數(shù)和，即 法則1對于有限多個函數(shù)的和也成立的法則2 被積函數(shù)中不為零的常數(shù)因子可提到積分號外，即 （）例2 求解 =2+-=。注 其中每一項的不定積分雖然都應(yīng)當(dāng)有一個積分常數(shù)，但是這里并不需要在每一項后面加上一個積分常數(shù)，因為任意常數(shù)之和還是任意常數(shù)，所以這里只把它的和C寫在末尾，以后仿此。注 檢驗解放的結(jié)果是否正確，只把結(jié)果求導(dǎo)，看它的導(dǎo)數(shù)是否等于被積函數(shù)就行了。如上例由于=，所以結(jié)果是正確的。三 直接積分法在求積分的問題中，可以直接按基本積分公式和兩個基本性質(zhì)求出結(jié)果（如上例）但有時，被積函數(shù)常需要經(jīng)過適當(dāng)?shù)暮愕茸冃危òù鷶?shù)和三角的恒等變形）再利用積分的性質(zhì)和公式求出結(jié)果，這樣的積分方法叫直接積分法。例3 求下列不定積分.（1） （2）解：（1）首先把被積函數(shù)化為和式，然后再逐項積分得 。注：（1）求函數(shù)的不定積分時積分常數(shù)不能丟掉，否則就會出現(xiàn)概念性的錯誤。（2）等式右端的每個不定積分都有一個積分常數(shù)，因為有限個任意常數(shù)的代數(shù)和仍是一個常數(shù)，所以只要在結(jié)果中寫一個積分常數(shù)即可。（3）檢驗積分計算是否正確，只需對積分結(jié)果求導(dǎo)，看它是否等于被積函數(shù)。若相等，積分結(jié)果是正確的，否則是錯誤的。（2）。上例的解題思路是設(shè)法化被積函數(shù)為和式，然后再逐項積分，是一種重要的解題方法，須掌握。練習(xí) 1 ，2 ，3 。答案 1 ， 2 ，3 例4 求下列不定積分.（1） （2） 解：（1）（2）上例的解題思路也是設(shè)法化被積函數(shù)為和式，然后再逐項積分，不過它實現(xiàn)化和是利用三角式的恒等變換。練習(xí) 1 2 3 答案 1 2 3 例5 設(shè)，求.解：由于，所以，故知是的原函數(shù)，因此小結(jié) 基本積分公式，不定積分的性質(zhì)，直接積分法。練習(xí) 求下列不定積分.（1）（2），（3），（4），（5），（6），（7），（8），（9），（10），（11）。答案1 ， 2 ，3 ， 4 ，5 ， 6 ，7 ， 8 ，9 ， 10 ，11。小結(jié) 計算簡單的不定積分，有時只需按不定積分的性質(zhì)和基本公式進行計算；有時需要先利用代數(shù)運算或三角恒等變形