因式分解掌握方法與技巧

精品文檔 1歡迎下載 因因式式分分解解 一 因式分解的技巧一 因式分解的技巧 1 1 首選提取公因式法 即首先觀察多項(xiàng)式中各項(xiàng)有沒有公因式 若有 則先提首選提取公因式法 即首先觀察多項(xiàng)式中各項(xiàng)有沒有公因式 若有 則先提 取公因式 再考慮其他方法 取公因式 再考慮其他方法 2 2 當(dāng)多項(xiàng)式各項(xiàng)無公因式或已提取公因式時(shí) 應(yīng)考察各多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù) 當(dāng)多項(xiàng)式各項(xiàng)無公因式或已提取公因式時(shí) 應(yīng)考察各多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù) 1 1 當(dāng)項(xiàng)數(shù)為兩項(xiàng)或可看作兩項(xiàng)時(shí) 考慮利用平方差公式 當(dāng)項(xiàng)數(shù)為兩項(xiàng)或可看作兩項(xiàng)時(shí) 考慮利用平方差公式 a a2 2 b b2 2 a a b b a a b b 2 2 當(dāng)項(xiàng)數(shù)為三項(xiàng)時(shí) 可考慮完全平方公式 十字相乘法 求根公式 當(dāng)項(xiàng)數(shù)為三項(xiàng)時(shí) 可考慮完全平方公式 十字相乘法 求根公式 法 配方法 法 配方法 3 3 當(dāng)項(xiàng)數(shù)為四項(xiàng)或四項(xiàng)以上時(shí) 可考慮分組分解法 當(dāng)項(xiàng)數(shù)為四項(xiàng)或四項(xiàng)以上時(shí) 可考慮分組分解法 a a 當(dāng)項(xiàng)數(shù)為四項(xiàng)時(shí) 可按公因式分組 也可按公式分組 當(dāng)項(xiàng)數(shù)為四項(xiàng)時(shí) 可按公因式分組 也可按公式分組 b b 當(dāng)項(xiàng)數(shù)為四項(xiàng)以上時(shí) 可按次數(shù)分組 即可將次數(shù)相同的項(xiàng)各分為當(dāng)項(xiàng)數(shù)為四項(xiàng)以上時(shí) 可按次數(shù)分組 即可將次數(shù)相同的項(xiàng)各分為 一組 一組 3 3 以上兩種思路無法進(jìn)行因式分解時(shí) 這時(shí)考慮展開后分解或拆 添 項(xiàng)后以上兩種思路無法進(jìn)行因式分解時(shí) 這時(shí)考慮展開后分解或拆 添 項(xiàng)后 再分解 再分解 二二 因式分解的方法 因式分解的方法 一 提公因式法 一 提公因式法 方法介紹 如果一個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)都含有公因式 那么就可以把這個(gè)公方法介紹 如果一個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)都含有公因式 那么就可以把這個(gè)公 因式提出來 從而將多項(xiàng)式化成兩個(gè)因式乘積的形式 因式提出來 從而將多項(xiàng)式化成兩個(gè)因式乘積的形式 例例 1 1 分析 此多項(xiàng)式各項(xiàng)都有公因式分析 此多項(xiàng)式各項(xiàng)都有公因式 x x 因此可提取公因式 因此可提取公因式 x x 解 解 二 應(yīng)用公式法 二 應(yīng)用公式法 方法介紹 應(yīng)用乘法公式 將其逆用 從而將多項(xiàng)式分解因式 如果是方法介紹 應(yīng)用乘法公式 將其逆用 從而將多項(xiàng)式分解因式 如果是 兩項(xiàng)的考慮平方差公式 如果是三項(xiàng)的考慮用完全平方公式 兩項(xiàng)的考慮平方差公式 如果是三項(xiàng)的考慮用完全平方公式 精品文檔 2歡迎下載 例例 2 2 分析 此多項(xiàng)式可看作兩項(xiàng) 正好符合平方差公式 因此可利用平方差分析 此多項(xiàng)式可看作兩項(xiàng) 正好符合平方差公式 因此可利用平方差 公式分解 公式分解 解 解 例例 3 3 分析 此多項(xiàng)式有三項(xiàng) 正好符合完全平方公式 因此考慮用完全平方分析 此多項(xiàng)式有三項(xiàng) 正好符合完全平方公式 因此考慮用完全平方 公式分解 公式分解 解 解 三 分組分解法 三 分組分解法 方法介紹 分組分解法是因式分解中的重要方法和技巧之一 分組的目方法介紹 分組分解法是因式分解中的重要方法和技巧之一 分組的目 的是為提取公因式 應(yīng)用乘法公式或其它方法創(chuàng)造條件 以便順利地達(dá)到分解的是為提取公因式 應(yīng)用乘法公式或其它方法創(chuàng)造條件 以便順利地達(dá)到分解 因式的目的 下面介紹八種常見的思路 因式的目的 下面介紹八種常見的思路 1 1 按公因式分組 按公因式分組 例例 4 4 分析 此題有四項(xiàng) 考慮將它們分組 其中第分析 此題有四項(xiàng) 考慮將它們分組 其中第 1 1 2 2 項(xiàng)有公因式項(xiàng)有公因式 m m 第 第 3 3 4 4 項(xiàng)有公因式項(xiàng)有公因式 p p 可將它們分別分為一組 可將它們分別分為一組 解 解 2 2 按系數(shù)特點(diǎn)分組 按系數(shù)特點(diǎn)分組 例例 5 5 分析 由觀察發(fā)現(xiàn) 由系數(shù)特點(diǎn)第一 二項(xiàng)和第三 四項(xiàng)的系數(shù)比為分析 由觀察發(fā)現(xiàn) 由系數(shù)特點(diǎn)第一 二項(xiàng)和第三 四項(xiàng)的系數(shù)比為 1 1 2 2 所以可考慮將第一 二項(xiàng)和第三 四項(xiàng)分為一組 或第一 三項(xiàng)和第二 所以可考慮將第一 二項(xiàng)和第三 四項(xiàng)分為一組 或第一 三項(xiàng)和第二 四項(xiàng)分為一組 四項(xiàng)分為一組 精品文檔 3歡迎下載 解 解 3 3 按字母次數(shù)特點(diǎn)分組 按字母次數(shù)特點(diǎn)分組 例例 6 6 分析 此題有一次項(xiàng) 也有二次項(xiàng) 可將一次項(xiàng)分為一組 二次項(xiàng)分為分析 此題有一次項(xiàng) 也有二次項(xiàng) 可將一次項(xiàng)分為一組 二次項(xiàng)分為 一組 一組 解 解 4 4 按公式特點(diǎn)分組 按公式特點(diǎn)分組 例例 7 7 分析 此題可將第分析 此題可將第 2 2 3 3 4 4 項(xiàng)分為一組 運(yùn)用完全平方公式 再從整體項(xiàng)分為一組 運(yùn)用完全平方公式 再從整體 上運(yùn)用平方差公式 上運(yùn)用平方差公式 解 解 5 5 拆項(xiàng)分組 拆項(xiàng)分組 精品文檔 4歡迎下載 例例 8 8 分析 為了便于運(yùn)用乘法公式 可將分析 為了便于運(yùn)用乘法公式 可將 3 3 拆成拆成 4 4 1 1 再適當(dāng)分組 達(dá)到 再適當(dāng)分組 達(dá)到 因式分解的目的 因式分解的目的 解 解 6 6 添項(xiàng)分組 添項(xiàng)分組 例例 9 9 分析 分析 解 解 7 7 換元分組 換元分組 例例 10 10 分析 觀察代數(shù)式中的分析 觀察代數(shù)式中的 x x y y xyxy 可考慮用換元法 使之結(jié)構(gòu)簡化 再可考慮用換元法 使之結(jié)構(gòu)簡化 再 分組 分組 解 解 則 則 精品文檔 5歡迎下載 8 8 按主元分組 按主元分組 例例 11 11 分析 題中的多項(xiàng)式是關(guān)于分析 題中的多項(xiàng)式是關(guān)于 x x 的三項(xiàng)式排列的 按其結(jié)構(gòu)分解有一定的的三項(xiàng)式排列的 按其結(jié)構(gòu)分解有一定的 難度 可考慮換個(gè)角度 選定難度 可考慮換個(gè)角度 選定 a a 為主元 即整理為關(guān)于為主元 即整理為關(guān)于 a a 的多項(xiàng)式 的多項(xiàng)式 解 解 四 利用特殊值法 四 利用特殊值法 方法介紹 比如說將方法介紹 比如說將 2 2 或或 1010 這些特殊值代入字母 比如說這些特殊值代入字母 比如說 x x 求出一 求出一 個(gè)數(shù)個(gè)數(shù) P P 然后將數(shù) 然后將數(shù) P P 分解質(zhì)因數(shù) 將質(zhì)因數(shù)適當(dāng)?shù)慕M合 并將組合后的每一個(gè)分解質(zhì)因數(shù) 將質(zhì)因數(shù)適當(dāng)?shù)慕M合 并將組合后的每一個(gè) 因式寫成因式寫成 2 2 或或 1010 的和與差的形式 將的和與差的形式 將 2 2 或或 1010 還原成還原成 x x 即可得因式分解的式 即可得因式分解的式 子 子 例例 12 12 解 令解 令 x x 2 2 則 則 精品文檔 6歡迎下載 將將 105105 分解成分解成 3 3 個(gè)質(zhì)因數(shù)的積 即個(gè)質(zhì)因數(shù)的積 即 105105 3 5 73 5 7 觀察到多項(xiàng)式中最高項(xiàng)的系數(shù)為觀察到多項(xiàng)式中最高項(xiàng)的系數(shù)為 1 1 而 而 3 3 5 5 7 7 分別為分別為 x x 1 1 x x 3 3 x x 5 5 在 在 x x 2 2 時(shí)的值 則原式 時(shí)的值 則原式 x x 1 1 x x 3 3 x x 5 5 五 待定系數(shù)法 五 待定系數(shù)法 方法介紹 首先判斷出分解因式的形式 然后設(shè)出相應(yīng)整式的字母系數(shù) 方法介紹 首先判斷出分解因式的形式 然后設(shè)出相應(yīng)整式的字母系數(shù) 求出字母系數(shù) 從而把多項(xiàng)式因式分解 求出字母系數(shù) 從而把多項(xiàng)式因式分解 例例 13 13 分析 觀察這個(gè)多項(xiàng)式?jīng)]有一次因式 因而只能分解為兩個(gè)二次因式 分析 觀察這個(gè)多項(xiàng)式?jīng)]有一次因式 因而只能分解為兩個(gè)二次因式 解 解 利用恒等式的性質(zhì)可得 利用恒等式的性質(zhì)可得 六 十字相乘法 六 十字相乘法 方法介紹 對(duì)于方法介紹 對(duì)于 mxmx2 2 pxpx q q 形式的多項(xiàng)式 如果形式的多項(xiàng)式 如果 abab m m cdcd q q 且且 acac bdbd p p 則多項(xiàng)式可因式分解為 則多項(xiàng)式可因式分解為 axax d d bxbx c c 例例 14 14 分析 這是一個(gè)三項(xiàng)式 它不符合完全平方公式 因此可考慮用十字相分析 這是一個(gè)三項(xiàng)式 它不符合完全平方公式 因此可考慮用十字相 乘法分解因式 乘法分解因式 精品文檔 7歡迎下載 解 解 七 雙十字相乘法 七 雙十字相乘法 方法介紹 可將其中的可用十字相乘法的三項(xiàng)放在一起 先分解因式后 方法介紹 可將其中的可用十字相乘法的三項(xiàng)放在一起 先分解因式后 然后再與剩下的項(xiàng)再用十字相乘法 然后再與剩下的項(xiàng)再用十字相乘法 例例 15 15 分析 可先將其先去括號(hào)后的項(xiàng)分析 可先將其先去括號(hào)后的項(xiàng) 6a6a2 2 11ab11ab 3b3b2 2應(yīng)用十字相乘法可分為應(yīng)用十字相乘法可分為 2a2a 3b3b 3a3a b b 解 解 八 巧用換元法 八 巧用換元法 方法介紹 對(duì)于較復(fù)雜的一些多項(xiàng)式 通過適當(dāng)?shù)膿Q元 可達(dá)到減元降方法介紹 對(duì)于較復(fù)雜的一些多項(xiàng)式 通過適當(dāng)?shù)膿Q元 可達(dá)到減元降 次 化繁為簡的目的 次 化繁為簡的目的 1 1 取相同部分換元取相同部分換元 例例 16 16 分析 若將上式展開 得到一個(gè)四次多項(xiàng)式 更加難分解了 如將分析 若將上式展開 得到一個(gè)四次多項(xiàng)式 更加難分解了 如將 m m2 2 5m5m 看作一個(gè)整體 這樣乘積得到的式子就簡化了 看作一個(gè)整體 這樣乘積得到的式子就簡化了 解 解 精品文檔 8歡迎下載 2 2 取部分式子換元取部分式子換元 例例 17 17 分析 觀察題目特點(diǎn) 可考慮設(shè)分析 觀察題目特點(diǎn) 可考慮設(shè) 1 1 x x x x2 2 y y 解 解 3 3 取倒數(shù)換元取倒數(shù)換元 例例 18 18 解 解 精品文檔 9歡迎下載 以上我介紹了八種方法 除了這些方法外 還有求根法 圖像法 配方法以上我介紹了八種方法 除了這些方法外 還有求根法 圖像法 配方法 等 因?yàn)檫@些知識(shí)將在九年級(jí)的學(xué)習(xí)中將會(huì)學(xué)到 所以以后將繼續(xù)介紹這些方等 因?yàn)檫@些知識(shí)將在九年級(jí)的學(xué)習(xí)中將會(huì)學(xué)到 所以以后將繼續(xù)介紹這些方 法 法 三 分解因式 三 分解因式 3030 分 分 1 2 234 352xxx 26 33xx 3 4 5 22 2 4 2 25xyyx 22 414yxyx xx 5 6 7 8 1 3 x 2 axabaxbxbx 2 8118 24 xx 9 10 24 369yx 24 4 3 2 1 xxxx 1 x p 2 x q 2 2 16 a b 2 9 a b 2 3 x2 6x 9 4 16x2 24x 9 5 25x4 10 x2 1 6 4 x p 2 12 x p x q 9 x q 2 1 2 3 4 21112 2 xx 675 2 xx 215 2 xx 4256 2 xx 5 6 7 4254 xx 4255 2 xx 307 2 xx 8 9 10 11 25309 2 xx 6197 2 xx 20920 2 xx 93936 2 xx 12 13 14 4359 24 xx 4379 24 xx 22 22021417yyxx 15 16 1232 22 yyxxyxy cabcbabca 3223 20920 17 18 1212 33 xxxx baaba24 23 19 20 2222 1baba yzyzyx 22 精品文檔 10歡迎下載 21 22 23 4bayxyx 1 23 aabba 23 24 xxxx2121 33 3649 2222 yxyx 25 26 22 822baba 222 2zyzyx 27 28 4224 2bbaa 22 1yxxy 29 30 acbcabcba222 222 1444 2 baba 31 32 222 2zyzyx 12 2 baaba 33 34 22 2cbacbcab baaxb2 22 35 36 1222 2 yxxyx 122 22 yxyxyxy 37 38 abxybayx244 2222 4914 2 xx 39 40 169 2 xx 121669 2 xx 41 42 xx12136 2 22 16249baba 43 44 2 9 4 15 4 2 25 1 yxyx 422 16249yxyx 45 46 4224 2bbaa 252102 2 baba 47 48 2 2 94249xxbaba aaa5105 23 49 50 81 2 x 4916 2 x 51 52 22 254ba 22 41yx 53 54 2 182x xx416 3 55 56 222 4baa 2 3216yx 57 58 22 3412xx 2524 2 yx 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