第5講函數(shù)的圖像.doc

2013年普通高考數(shù)學(xué)科一輪復(fù)習(xí)精品學(xué)案第5講 函數(shù)的圖像一課標(biāo)要求：1掌握基本初等函數(shù)的圖象的畫法及性質(zhì)。如正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一元一次函數(shù)、一元二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等；2掌握各種圖象變換規(guī)則，如：平移變換、對稱變換、翻折變換、伸縮變換等；3識圖與作圖：對于給定的函數(shù)圖象，能從圖象的左右、上下分布范圍，變化趨勢、對稱性等方面研究函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性。甚至是處理涉及函數(shù)圖象與性質(zhì)一些綜合性問題；4通過實例，了解冪函數(shù)的概念；結(jié)合函數(shù)的圖像，了解它們的變化情況。二命題走向函數(shù)不僅是高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，還是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，所以在高考中，函數(shù)知識占有極其重要的地位。其試題不但形式多樣，而且突出考查學(xué)生聯(lián)系與轉(zhuǎn)化、分類與討論、數(shù)與形結(jié)合等重要的數(shù)學(xué)思想、能力。知識覆蓋面廣、綜合性強、思維力度大、能力要求高，是高考考數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法、考能力、考素質(zhì)的主陣地。從歷年高考形勢來看：（1）與函數(shù)圖象有關(guān)的試題，要從圖中（或列表中）讀取各種信息，注意利用平移變換、伸縮變換、對稱變換，注意函數(shù)的對稱性、函數(shù)值的變化趨勢，培養(yǎng)運用數(shù)形結(jié)合思想來解題的能力，會利用函數(shù)圖象，進一步研究函數(shù)的性質(zhì)，解決方程、不等式中的問題；（2）函數(shù)綜合問題多以知識交匯題為主，甚至以抽象函數(shù)為原型來考察；（3）與冪函數(shù)有關(guān)的問題主要以為主，利用它們的圖象及性質(zhì)解決實際問題；預(yù)測2013年高考函數(shù)圖象：（1）題型為1到2個填空選擇題；（2）題目多從由解析式得函數(shù)圖象、數(shù)形結(jié)合解決問題等方面出題；函數(shù)綜合問題：（1）題型為1個大題；（2）題目多以知識交匯題目為主，重在考察函數(shù)的工具作用；冪函數(shù)：單獨出題的可能性很小，但一些具體問題甚至是一些大題的小過程要應(yīng)用其性質(zhì)來解決；三要點精講1函數(shù)圖象（1）作圖方法：以解析式表示的函數(shù)作圖象的方法有兩種，即列表描點法和圖象變換法，掌握這兩種方法是本講座的重點。作函數(shù)圖象的步驟：確定函數(shù)的定義域；化簡函數(shù)的解析式；討論函數(shù)的性質(zhì)即單調(diào)性、奇偶性、周期性、最值（甚至變化趨勢）；描點連線，畫出函數(shù)的圖象。運用描點法作圖象應(yīng)避免描點前的盲目性，也應(yīng)避免盲目地連點成線要把表列在關(guān)鍵處，要把線連在恰當(dāng)處這就要求對所要畫圖象的存在范圍、大致特征、變化趨勢等作一個大概的研究。而這個研究要借助于函數(shù)性質(zhì)、方程、不等式等理論和手段，是一個難點用圖象變換法作函數(shù)圖象要確定以哪一種函數(shù)的圖象為基礎(chǔ)進行變換，以及確定怎樣的變換，這也是個難點。（2）三種圖象變換：平移變換、對稱變換和伸縮變換等等；平移變換：、水平平移：函數(shù)的圖像可以把函數(shù)的圖像沿軸方向向左或向右平移個單位即可得到；1）y=f(x)y=f(x+h)；2）y=f(x) y=f(x-h)；、豎直平移：函數(shù)的圖像可以把函數(shù)的圖像沿軸方向向上或向下平移個單位即可得到；1）y=f(x) y=f(x)+h；2）y=f(x) y=f(x)-h。對稱變換：、函數(shù)的圖像可以將函數(shù)的圖像關(guān)于軸對稱即可得到；y=f(x) y=f(-x)、函數(shù)的圖像可以將函數(shù)的圖像關(guān)于軸對稱即可得到；y=f(x) y= -f(x)、函數(shù)的圖像可以將函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱即可得到；y=f(x) y= -f(-x)、函數(shù)的圖像可以將函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱得到。y=f(x) x=f(y)、函數(shù)的圖像可以將函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱即可得到；y=f(x) y=f(2a-x)。翻折變換：、函數(shù)的圖像可以將函數(shù)的圖像的軸下方部分沿軸翻折到軸上方，去掉原軸下方部分，并保留的軸上方部分即可得到； 、函數(shù)的圖像可以將函數(shù)的圖像右邊沿軸翻折到軸左邊替代原軸左邊部分并保留在軸右邊部分即可得到 伸縮變換：、函數(shù)的圖像可以將函數(shù)的圖像中的每一點橫坐標(biāo)不變縱坐標(biāo)伸長或壓縮（）為原來的倍得到；y=f(x)y=af(x)、函數(shù)的圖像可以將函數(shù)的圖像中的每一點縱坐標(biāo)不變橫坐標(biāo)伸長或壓縮（）為原來的倍得到。f(x)y=f(x)y=f()（3）識圖：分布范圍、變化趨勢、對稱性、周期性等等方面。2冪函數(shù)在第一象限的圖象，可分為如圖中的三類：在考查學(xué)生對冪函數(shù)性的掌握和運用函數(shù)的性質(zhì)解決問題時，所涉及的冪函數(shù)中限于在集合中取值。冪函數(shù)有如下性質(zhì)：它的圖象都過（1，1）點，都不過第四象限，且除原點外與坐標(biāo)軸都不相交；定義域為R或的冪函數(shù)都具有奇偶性，定義域為的冪函數(shù)都不具有奇偶性；冪函數(shù)都是無界函數(shù)；在第一象限中，當(dāng)時為減函數(shù)，當(dāng)時為增函數(shù)；任意兩個冪函數(shù)的圖象至少有一個公共點（1，1），至多有三個公共點；四典例解析題型1：作圖A BC D例1（2012沈陽二中階段考試）如圖所示，單位圓中弧AB的長為x,f(x)表示弧AB與弦AB所圍成的弓形面積的倍，則函數(shù)y=f(x)的圖象是（ ）解析：顯然當(dāng)時，陰影部分的面積等于圓的面積減去以圓的半徑為腰的等腰直角三角形的面積，即點在直線的下方，故應(yīng)在C、D中選擇。而當(dāng)當(dāng)時，陰影部分的面積等于圓的面積加上以圓的半徑為腰的等腰直角三角形的面積，即點在直線的上方，故應(yīng)選擇D。點評：該題屬于實際應(yīng)用的題目，結(jié)合函數(shù)值變化的趨勢和一些特殊點函數(shù)值解決問題即可。要明確函數(shù)圖像與函數(shù)自變量、變量值的對應(yīng)關(guān)系，特別是函數(shù)單調(diào)性與函數(shù)圖象個關(guān)系；例2在下列圖象中，二次函數(shù)y=ax2+bx與指數(shù)函數(shù)y=（）x的圖象只可能是（ ）解析一：由指數(shù)函數(shù)圖象可以看出01。拋物線方程是y=a（x+）2，其頂點坐標(biāo)為（，），又由01，可得0.觀察選擇支，可選A。解析二：求y=ax2+bx與x軸的交點，令ax2+bx=0，解得x=0或x=，而12時，f(x)0，從而有a0，b0。點評：通過觀察函數(shù)圖像，變形函數(shù)解析式，得參數(shù)的取值范圍。題型5：函數(shù)圖像變換的應(yīng)用例9已知，方程的實根個數(shù)為（ ）A2 B3 C4 D2或3或4根據(jù)函數(shù)與方程的關(guān)系，知方程的根的個數(shù)即為函數(shù)與函數(shù)的圖像交點的個數(shù)。該題通過作圖很可能選錯答案為A，這是我們作圖的易錯點。若作圖標(biāo)準(zhǔn)的話，在同一個直角坐標(biāo)系下畫出這兩個函數(shù)的圖像，由圖知當(dāng)時，圖像的交點個數(shù)為3個；當(dāng)時，圖像的交點個數(shù)為4個；當(dāng)時，圖像的交點個數(shù)為2個。選項為D。點評：該題屬于“數(shù)形結(jié)合”的題目。解題思路是將“函數(shù)的零點”問題轉(zhuǎn)化為“函數(shù)的交點問題”，借助函數(shù)的圖象以及函數(shù)的圖象變換規(guī)則求得結(jié)果即可。例10設(shè)，若，且，則的取值范圍是（ ）ABCD解析：保留函數(shù)在x軸上方的圖像，將其在x軸下方的圖像翻折到x軸上方區(qū)即可得到函數(shù)的圖像。通過觀察圖像，可知在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)，由，且可知，所以，從而，即，又，所以。選項為A。點評：考察函數(shù)圖像的翻折變換。體現(xiàn)了數(shù)學(xué)由簡到繁的原則，通過研究函數(shù)的圖像和性質(zhì)，進而得到的圖像和性質(zhì)。題型6：冪函數(shù)概念及性質(zhì)Oxy例11函數(shù)互質(zhì)）圖像如圖所示，則（ ）A均為奇數(shù)B一奇一偶C均為奇數(shù)D一奇一偶解析：該題考察了冪函數(shù)的性質(zhì)，由于冪函數(shù)在第一象限的圖像趨勢表明函數(shù)在上單調(diào)遞減，此時只需保證，即，有；同時函數(shù)只在第一象限有圖像，則函數(shù)的定義域為，此時定為偶數(shù)，即為偶數(shù)，由于兩個數(shù)互質(zhì)，則定為奇數(shù)。答案：選項為B。點評：該題突破了傳統(tǒng)借形言數(shù)思路，屬于“由圖形得解析式”的題目。為此需要分清冪函數(shù)在幾種不同情況下函數(shù)的圖像的特點，更甚至在同一種情形下取不同數(shù)值對函數(shù)圖像的影響也要了解。例12畫出函數(shù)的圖象，試分析其性質(zhì)。解析：先要找出它是哪一種函數(shù)平移而來的，它應(yīng)是由反比例函數(shù)平移而來，（這種變換是解決這類問題的關(guān)鍵），由此說明，是由圖象向右平移3個單位，再向下平移2個單位得到的，如圖所示：具體畫圖時對于圖象與坐標(biāo)軸的交點位置要大致準(zhǔn)確，即。故圖象一定過（0，1）和兩個關(guān)鍵點。再觀察其圖象可以得到如下性質(zhì)：定義域，單調(diào)區(qū)間上單調(diào)遞增；既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，但是圖象是中心對稱圖形，對稱中心是（3，2）。點評：冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解決該類問題基礎(chǔ)。注意此題兩個增區(qū)間之間不能用并集號。題型7：抽象函數(shù)問題例13函數(shù)的定義域為D：且滿足對于任意，有（）求的值；（）判斷的奇偶性并證明；（）如果上是增函數(shù)，求x的取值范圍。（）解：令（）證明：令令為偶函數(shù)。（） （1）上是增函數(shù)， （1）等價于不等式組： x的取值范 圍為點評：以抽象函數(shù)為模型，考查函數(shù)概念，圖象函數(shù)的奇偶性和周期性以及數(shù)列極限等知識，還考查運算能力和邏輯思維能力。認真分析處理好各知識的相互聯(lián)系，抓住條件f(x1+x2)f(x1)f(x2)找到問題的突破口，由f(x1+x2)=f(x1)f(x2)變形為是解決問題的關(guān)鍵。例14設(shè)函數(shù) 上滿足，且在閉區(qū)間0，7上，只有（）試判斷函數(shù)的奇偶性；（）試求方程在閉區(qū)間2005，2005上的根的個數(shù)，并證明你的結(jié)論。解析：（）由，從而知函數(shù)的周期為又，所以故函數(shù)是非奇非偶函數(shù)；(II) 又故f(x)在0,10和10,0上均有有兩個解，從而可知函數(shù)在0,2005上有402個解，在2005.0上有400個解,所以函數(shù)在2005,2005上有802個解。點評：充分利用函數(shù)的數(shù)字特征，并將其轉(zhuǎn)化為函數(shù)的性質(zhì)，再來解題。題型8：函數(shù)圖象綜合問題例15如圖，點A、B、C都在函數(shù)y=的圖象上，它們的橫坐標(biāo)分別是a、a+1、a+2。又A、B、C在x軸上的射影分別是A、B、C,記ABC的面積為f(a)，ABC的面積為g(a)。 （1）求函數(shù)f(a)和g(a)的表達式；（2）比較f(a)與g(a)的大小，并證明你的結(jié)論。解： (1)連結(jié)AA、BB、CC,則f(a)=SABC=S梯形AACCSAABSCCB=(AA+CC)=(),g(a)=SABC=ACBB=BB=。f(a)g(a)。點評：本題考查函數(shù)的解析式、函數(shù)圖象、識圖能力、圖形的組合等，充分借助圖象信息，利用面積問題的拆拼以及等價變形找到問題的突破口，解題思路：圖形面積不會拆拼、數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)化。例16設(shè)曲線的方程是，將沿軸、軸正方向分別平移、個單位長度后得到曲線，（1）寫出曲線的方程；（2）證明曲線與關(guān)于點對稱；（3）如果曲線與有且僅有一個公共點，證明：解析：（1）曲線的方程為；（2）證明：在曲線上任意取一點，設(shè)是關(guān)于點的對稱點，則有，。代入曲線的方程，得的方程：。即可知點在曲線上。反過來，同樣證明，在曲線上的點的對稱點在曲線上。因此，曲線與關(guān)于點對稱。（3）證明：因為曲線與有且僅有一個公共點，方程組有且僅有一組解，消去，整理得，這個關(guān)于的一元二次方程有且僅有一個根，即得，因為，所以。點評：充分利用函數(shù)圖像變換的原則，解決復(fù)合問題。五思維總結(jié)函數(shù)圖象的幾何特征與函數(shù)性質(zhì)的數(shù)量特征緊密結(jié)合，有效地揭示了各類函數(shù)