高中數(shù)學(xué) 第二章 數(shù)列 2.5 等比數(shù)列的前n項(xiàng)和（1）課件 新人教A版必修5.ppt

2 5等比數(shù)列的前n項(xiàng)和 一 第二章數(shù)列 1 掌握等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式及公式證明思路 2 會(huì)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式解決有關(guān)等比數(shù)列的一些簡(jiǎn)單問題 學(xué)習(xí)目標(biāo) 題型探究 問題導(dǎo)學(xué) 內(nèi)容索引 當(dāng)堂訓(xùn)練 問題導(dǎo)學(xué) 思考 知識(shí)點(diǎn)一等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo) 對(duì)于s64 1 2 4 8 262 263 用2乘以等式的兩邊可得2s64 2 4 8 262 263 264 對(duì)這兩個(gè)式子作怎樣的運(yùn)算能解出s64 答案 設(shè)等比數(shù)列 an 的首項(xiàng)是a1 公比是q 前n項(xiàng)和sn可用下面的 錯(cuò)位相減法 求得 sn a1 a1q a1q2 a1qn 1 則qsn a1q a1q2 a1qn 1 a1qn 由 得 1 q sn a1 a1qn 梳理 當(dāng)q 1時(shí) 由于a1 a2 an 所以sn na1 結(jié)合通項(xiàng)公式可得 等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式 知識(shí)點(diǎn)二等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用 思考 答案 要求等比數(shù)列前8項(xiàng)的和 1 若已知其前三項(xiàng) 用哪個(gè)公式比較合適 答案 2 若已知a1 a9 q的值 用哪個(gè)公式比較合適 梳理 一般地 使用等比數(shù)列求和公式時(shí)需注意 1 一定不要忽略q 1的情況 3 在通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式中共出現(xiàn)了五個(gè)量 a1 n q an sn 知道其中任意三個(gè) 可求其余兩個(gè) 題型探究 命題角度1前n項(xiàng)和公式的直接應(yīng)用例1求下列等比數(shù)列前8項(xiàng)的和 類型一等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用 解答 解答 求等比數(shù)列前n項(xiàng)和 要確定首項(xiàng) 公比或首項(xiàng) 末項(xiàng) 公比 應(yīng)特別注意q 1是否成立 反思與感悟 跟蹤訓(xùn)練1若等比數(shù)列 an 滿足a2 a4 20 a3 a5 40 則公比q 前n項(xiàng)和sn 設(shè)等比數(shù)列的公比為q a2 a4 20 a3 a5 40 20q 40 且a1q a1q3 20 解得q 2 且a1 2 2 2n 1 2 答案 解析 命題角度2通項(xiàng)公式 前n項(xiàng)和公式的綜合應(yīng)用例2在等比數(shù)列 an 中 a1 2 s3 6 求a3和q 由題意 得若q 1 則s3 3a1 6 符合題意 此時(shí) q 1 a3 a1 2 若q 1 則由等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式 解答 解得q 2 此時(shí) a3 a1q2 2 2 2 8 綜上所述 q 1 a3 2或q 2 a3 8 1 應(yīng)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí) 首先要對(duì)公比q 1或q 1進(jìn)行判斷 若兩種情況都有可能 則要分類討論 2 當(dāng)q 1時(shí) 等比數(shù)列是常數(shù)列 所以sn na1 當(dāng)q 1時(shí) 等比數(shù)列的前n項(xiàng)和sn有兩個(gè)公式 當(dāng)已知a1 q與n時(shí) 用 反思與感悟 跟蹤訓(xùn)練2在等比數(shù)列 an 中 s2 30 s3 155 求sn 解答 方法二若q 1 則s3 s2 3 2 而事實(shí)上 s3 s2 31 6 故q 1 類型二等比數(shù)列前n項(xiàng)和的實(shí)際應(yīng)用 例3借貸10000元 月利率為1 每月以復(fù)利計(jì)息 王老師從借貸后第二個(gè)月開始等額還貸 分6個(gè)月付清 試問每月應(yīng)支付多少元 1 016 1 061 1 015 1 051 精確到整數(shù) 解答 方法一設(shè)每個(gè)月還貸a元 第1個(gè)月后欠款為a0元 以后第n個(gè)月還貸a元后 還剩下欠款an元 1 n 6 n n 則a0 10000 a1 1 01a0 a a2 1 01a1 a 1 012a0 1 1 01 a a6 1 01a5 a 1 016a0 1 1 01 1 015 a 由題意 可知a6 0 即1 016a0 1 1 01 1 015 a 0 故每月應(yīng)支付1739元 方法二一方面 借款10000元 將此借款以相同的條件存儲(chǔ)6個(gè)月 則它的本利和為s1 104 1 0 01 6 104 1 01 6 元 另一方面 設(shè)每個(gè)月還貸a元 分6個(gè)月還清 到貸款還清時(shí) 其本利和為s2 a 1 0 01 5 a 1 0 01 4 a 故每月應(yīng)支付1739元 反思與感悟 解決此類問題的關(guān)鍵是建立等比數(shù)列模型及弄清數(shù)列的項(xiàng)數(shù) 所謂復(fù)利計(jì)息 即把上期的本利和作為下一期本金 在計(jì)算時(shí)每一期本金的數(shù)額是不同的 復(fù)利的計(jì)算公式為s p 1 r n 其中p代表本金 n代表存期 r代表利率 s代表本利和 跟蹤訓(xùn)練3一個(gè)熱氣球在第一分鐘上升了25m的高度 在以后的每一分鐘里 它上升的高度都是它在前一分鐘里上升高度的80 這個(gè)熱氣球上升的高度能超過(guò)125m嗎 解答 用an表示熱氣球在第n分鐘上升的高度 故這個(gè)熱氣球上升的高度不可能超過(guò)125m 當(dāng)堂訓(xùn)練 1 等比數(shù)列1 x x2 x3 的前n項(xiàng)和sn等于 答案 解析 當(dāng)x 1時(shí) sn n 1 2 3 4 1 2 3 4 答案 解析 3 等比數(shù)列 an 的各項(xiàng)都是正數(shù) 若a1 81 a5 16 則它的前5項(xiàng)的和是a 179b 211c 243d 275 1 2 3 4 答案 解析 4 某廠去年產(chǎn)值為a 計(jì)劃在5年內(nèi)每年比上一年產(chǎn)值增長(zhǎng)10 從今年起5年內(nèi) 該廠的總產(chǎn)值為 去年產(chǎn)值為a 今年起5年內(nèi)各年的產(chǎn)值分別為1 1a 1 12a 1 13a 1 14a 1 15a 1 1a 1 12a 1 13a 1 14a 1 15a 11a 1 15 1 1 2 3 4 答案 解析 11a 1 15 1 規(guī)律與方法 1 在等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式中 共涉及五個(gè)量 a1 an n q sn 其中首項(xiàng)a1和公比q為基本量 且 知三求二 2 前n項(xiàng)和公式的應(yīng)