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此文檔收集于網(wǎng)絡(luò),僅供學(xué)習(xí)與交流,如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除雙曲線知識(shí)點(diǎn) 指導(dǎo)教師:鄭軍一、 雙曲線的定義:1. 第一定義:到兩個(gè)定點(diǎn)F1與F2的距離之差的絕對(duì)值等于定長(zhǎng)(|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡(為常數(shù))這兩個(gè)定點(diǎn)叫雙曲線的焦點(diǎn) 要注意兩點(diǎn):(1)距離之差的絕對(duì)值.(2)2a|F1F2|. 當(dāng)|MF1|MF2|=2a時(shí),曲線僅表示焦點(diǎn)F2所對(duì)應(yīng)的一支; 當(dāng)|MF1|MF2|=2a時(shí),曲線僅表示焦點(diǎn)F1所對(duì)應(yīng)的一支; 當(dāng)2a=|F1F2|時(shí),軌跡是一直線上以F1、F2為端點(diǎn)向外的兩條射線;當(dāng)2a|F1F2|時(shí),動(dòng)點(diǎn)軌跡不存在. 2. 第二定義:動(dòng)點(diǎn)到一定點(diǎn)F的距離與它到一條定直線l的距離之比是常數(shù)e(e1)時(shí),這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡是雙曲線這定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn),定直線l叫做雙曲線的準(zhǔn)線二、 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程: (a0,b0)(焦點(diǎn)在x軸上); (a0,b0)(焦點(diǎn)在y軸上);1. 如果項(xiàng)的系數(shù)是正數(shù),則焦點(diǎn)在x軸上;如果項(xiàng)的系數(shù)是正數(shù),則焦點(diǎn)在y軸上. a不一定大于b.2. 與雙曲線共焦點(diǎn)的雙曲線系方程是3. 雙曲線方程也可設(shè)為:例題:已知雙曲線和橢圓有相同的焦點(diǎn),且過(guò)點(diǎn),求雙曲線的軌跡方程。三、 點(diǎn)與雙曲線的位置關(guān)系,直線與雙曲線的位置關(guān)系:1 點(diǎn)與雙曲線:點(diǎn)在雙曲線的內(nèi)部點(diǎn)在雙曲線的外部點(diǎn)在雙曲線上2 直線與雙曲線: (代數(shù)法)設(shè)直線,雙曲線聯(lián)立解得1) 時(shí),直線與雙曲線交于兩點(diǎn)(左支一個(gè)點(diǎn)右支一個(gè)點(diǎn)); ,或k不存在時(shí)直線與雙曲線沒(méi)有交點(diǎn);2) 時(shí),存在時(shí),若,直線與雙曲線漸近線平行,直線與雙曲線相交于一點(diǎn);若, 時(shí),直線與雙曲線相交于兩點(diǎn);時(shí),直線與雙曲線相離,沒(méi)有交點(diǎn);時(shí),直線與雙曲線有一個(gè)交點(diǎn);若不存在,時(shí),直線與雙曲線沒(méi)有交點(diǎn); 直線與雙曲線相交于兩點(diǎn); 3. 過(guò)定點(diǎn)的直線與雙曲線的位置關(guān)系:設(shè)直線過(guò)定點(diǎn),雙曲線1).當(dāng)點(diǎn)在雙曲線內(nèi)部時(shí):,直線與雙曲線兩支各有一個(gè)交點(diǎn);,直線與雙曲線漸近線平行,直線與雙曲線相交于一點(diǎn);或或不存在時(shí)直線與雙曲線的一支有兩個(gè)交點(diǎn);2).當(dāng)點(diǎn)在雙曲線上時(shí): 或,直線與雙曲線只交于點(diǎn);直線與雙曲線交于兩點(diǎn)(左支一個(gè)點(diǎn)右支一個(gè)點(diǎn));()或 ()或或不存在,直線與雙曲線在一支上有兩個(gè)交點(diǎn);當(dāng)時(shí),或不存在,直線與雙曲線只交于點(diǎn);或時(shí)直線與雙曲線的一支有兩個(gè)交點(diǎn);直線與雙曲線交于兩點(diǎn)(左支一個(gè)點(diǎn)右支一個(gè)點(diǎn));3).當(dāng)點(diǎn)在雙曲線外部時(shí):當(dāng)時(shí),直線與雙曲線兩支各有一個(gè)交點(diǎn);或或不存在,直線與雙曲線沒(méi)有交點(diǎn);當(dāng)點(diǎn)時(shí), 時(shí),過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線相切 時(shí),直線與雙曲線只交于一點(diǎn);幾何法:直線與漸近線的位置關(guān)系例:過(guò)點(diǎn)的直線和雙曲線,僅有一個(gè)公共點(diǎn),求直線的方程。四、 雙曲線與漸近線的關(guān)系:1. 若雙曲線方程為漸近線方程:2. 若雙曲線方程為(a0,b0)漸近線方程:3. 若漸近線方程為雙曲線可設(shè)為, .4. 若雙曲線與有公共漸近線則雙曲線的方程可設(shè)為(,焦點(diǎn)在x軸上,焦點(diǎn)在y軸上)五、 雙曲線與切線方程:1. 雙曲線上一點(diǎn)處的切線方程是.2. 過(guò)雙曲線外一點(diǎn)所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是.3. 雙曲線與直線相切的條件是.六、 雙曲線的性質(zhì): 雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程(焦點(diǎn)在軸)標(biāo)準(zhǔn)方程(焦點(diǎn)在軸)定義第一定義:平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn),的距離的差的絕對(duì)值是常數(shù)(小于)的點(diǎn)的軌跡叫雙曲線。這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn),兩焦點(diǎn)的距離叫焦距。PP第二定義:平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)和一條定直線的距離的比是常數(shù),當(dāng)時(shí),動(dòng)點(diǎn)的軌跡是雙曲線。定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn),定直線叫做雙曲線的準(zhǔn)線,常數(shù)()叫做雙曲線的離心率。PPPP范圍,對(duì)稱軸軸 ,軸;實(shí)軸長(zhǎng)為,虛軸長(zhǎng)為對(duì)稱中心原點(diǎn)焦點(diǎn)坐標(biāo) 焦點(diǎn)在實(shí)軸上,;焦距:頂點(diǎn)坐標(biāo)(,0) (,0)(0, ,) (0,)離心率1), , e越大則雙曲線開(kāi)口的開(kāi)闊度越大準(zhǔn)線方程準(zhǔn)線垂直于實(shí)軸且在兩頂點(diǎn)的內(nèi)側(cè);兩準(zhǔn)線間的距離:頂點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離頂點(diǎn)()到準(zhǔn)線()的距離為頂點(diǎn)()到準(zhǔn)線()的距離為焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離焦點(diǎn)()到準(zhǔn)線()的距離為焦點(diǎn)()到準(zhǔn)線()的距離為漸近線方程 () ()共漸近線的雙曲線系方程()()直線和雙曲線的位置雙曲線與直線的位置關(guān)系:利用轉(zhuǎn)化為一元二次方程用判別式確定。二次方程二次項(xiàng)系數(shù)為零直線與漸近線平行。相交弦AB的弦長(zhǎng)通徑:過(guò)雙曲線上一點(diǎn)的切線 或利用導(dǎo)數(shù) 或利用導(dǎo)數(shù)七、 弦長(zhǎng)公式: 若直線與圓錐曲線相交于兩點(diǎn)A、B,且分別為A、B的橫坐標(biāo),則,若分別為A、B的縱坐標(biāo),則。通徑的定義:過(guò)焦點(diǎn)且垂直于實(shí)軸的直線與雙曲線相交于A、B兩點(diǎn),則弦長(zhǎng)。若弦AB所在直線方程設(shè)為,則。特別地,焦點(diǎn)弦的弦長(zhǎng)的計(jì)算是將焦點(diǎn)弦轉(zhuǎn)化為兩條焦半徑之和后,利用第二定義求解,例:直線與雙曲線相交于兩點(diǎn),則=_八、焦半徑公式:雙曲線(a0,b0)上有一動(dòng)點(diǎn)當(dāng)在左支上時(shí),當(dāng)在右支上時(shí),注:焦半徑公式是關(guān)于的一次函數(shù),具有單調(diào)性,當(dāng)在左支端點(diǎn)時(shí),當(dāng)在左支端點(diǎn)時(shí),九、等軸雙曲線:(a0,b0)當(dāng)時(shí)稱雙曲線為等軸雙曲線;則:1. ;2.離心率;3.兩漸近線互相垂直,分別為y=;4.等軸雙曲線的方程,;5. 等軸雙曲線上任意一點(diǎn)到中心的距離是它到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離的比例中項(xiàng)。 十、共軛雙曲線: 1.定義:以已知雙曲線的虛軸為實(shí)軸,實(shí)軸為虛軸的雙曲線叫做原雙曲線的共軛雙曲線,通常稱它們互為共軛雙曲線 2.方程: 3.性質(zhì):共軛雙曲線有共同的漸近線; 共軛雙曲線的四個(gè)焦點(diǎn)共圓它們的離心率的倒數(shù)的平方和等于1。 (a0;b0)的焦點(diǎn)為與,且p為曲線上任意一點(diǎn),。則的面積焦點(diǎn)三角形面積公式:雙曲線1. 點(diǎn)P處的切線PT平分PF1F2在點(diǎn)P處的內(nèi)角.2. PT平分PF1F2在點(diǎn)P處的內(nèi)角,則焦點(diǎn)在直線PT上的射影H點(diǎn)的軌跡是以長(zhǎng)軸為直徑的圓,除去長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn).3. 以焦點(diǎn)弦PQ為直徑的圓必與對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線相交.4. 以焦點(diǎn)半徑PF1為直徑的圓必與以實(shí)軸為直徑的圓相切.(內(nèi)切:P在右支;外切:P在左支)5. 若在雙曲線(a0,b0)上,則過(guò)的雙曲線的切線方程是.6. 若在雙曲線(a0,b0)外 ,則過(guò)Po作雙曲線的兩條切線切點(diǎn)為P1、P2,則切點(diǎn)弦P1P2的直線方程是.7. 雙曲線(a0,bo)的左右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn) 2,點(diǎn)P為雙曲線上任意一8. 點(diǎn),則雙曲線的焦點(diǎn)角形的面積為.9. 設(shè)過(guò)雙曲線焦點(diǎn)F作直線與雙曲線相交 P、Q兩點(diǎn),A為雙曲線長(zhǎng)軸上一個(gè)頂點(diǎn),連結(jié)AP 和AQ分別交相應(yīng)于焦點(diǎn)F的雙曲線準(zhǔn)線于M、N兩點(diǎn),則MFNF.10. 過(guò)雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)F的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)P、Q, A1、A2為雙曲線實(shí)軸上的頂點(diǎn),A1P和A2Q交于點(diǎn)M,A2P和A1Q交于點(diǎn)N,則MFNF.11. AB是雙曲線(a0,b0)的不平行于對(duì)稱軸的弦,M為AB的中點(diǎn),則,即。12. 若在雙曲線(a0,b0)內(nèi),則被Po所平分的中點(diǎn)弦的方程是.13. 目 錄14. 雙曲線知識(shí)點(diǎn)215. 1 雙曲線定義:216. 2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程:217. 3.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程判別方法是:218. 4.求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程219. 5.曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)220. 6曲線的內(nèi)外部321. 7曲線的方程與漸近線方程的關(guān)
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