中學(xué)數(shù)學(xué)教育中數(shù)學(xué)觀念的培養(yǎng).doc

中學(xué)數(shù)學(xué)教育中數(shù)學(xué)觀念的培養(yǎng)北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué) 張繼林 一、問(wèn)題的提出 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱明確指出，中學(xué)數(shù)學(xué)教育的目的是：使學(xué)生學(xué)好從事社會(huì)主義現(xiàn)代化建設(shè)和進(jìn)一步學(xué)習(xí)現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)所必需的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力、邏輯思維能力和空間想象能力，以逐步形成運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)分析問(wèn)題和解決實(shí)際問(wèn)題的能力。要培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣，激勵(lì)學(xué)生為實(shí)現(xiàn)四個(gè)現(xiàn)代化學(xué)好數(shù)學(xué)的積極性，培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)態(tài)度和辯證唯物主義的觀點(diǎn)。 普通教育的目的，在于養(yǎng)成學(xué)生許多各種不同的品質(zhì)，可以按照一定條件把這些品質(zhì)分為兩個(gè)范疇：一般的和特殊的。屬于一般的品質(zhì)，它不僅是在某一學(xué)科的教學(xué)的過(guò)程中，而且是在學(xué)校全部的教學(xué)和教育過(guò)程中，乃至是在學(xué)生的全部生活過(guò)程中形成的。屬于一般品質(zhì)的有，辯證唯物主義世界觀和思維，記憶力，注意力，言語(yǔ)的一般發(fā)展水平，道德理想，審美能力等等。 在這里我思考的問(wèn)題是：有哪些特殊的品質(zhì)對(duì)于學(xué)生個(gè)性的全面發(fā)展和社會(huì)成熟來(lái)說(shuō)是必須的。中學(xué)的數(shù)學(xué)教育就是為了形成這些品質(zhì)。 布魯納這樣寫(xiě)道：“在評(píng)價(jià)數(shù)學(xué)課程的時(shí)候，通過(guò)數(shù)學(xué)課所傳授的專(zhuān)業(yè)知識(shí)的重要程度，并不如它提供的智慧課，也不如學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)課所傳授的知識(shí)的信任感。實(shí)際上兩個(gè)目的密不可分，缺少一個(gè)，另一個(gè)就不能達(dá)到。這門(mén)具體課程，就象其他任何課程一樣，它的真正內(nèi)容就是人，作為生物的人的本性以及正在形成和將形成人類(lèi)品質(zhì)的那些因素”。 那些只能在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中養(yǎng)成的特殊的品質(zhì)有：建立現(xiàn)實(shí)的現(xiàn)象或過(guò)程的數(shù)學(xué)模型的能力，運(yùn)用數(shù)學(xué)的方法分析現(xiàn)象的習(xí)慣和能力；掌握研究某些數(shù)學(xué)模型的工具等等。為了培養(yǎng)學(xué)生的這些特殊品質(zhì)，就要求在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識(shí)和以這些知識(shí)為基礎(chǔ)的技能技巧形成一個(gè)系統(tǒng)，以便使學(xué)生： 科學(xué)地、正確地了解數(shù)學(xué)反映自然、社會(huì)和生產(chǎn)中數(shù)量關(guān)系和空間形式的最簡(jiǎn)單的法則的特點(diǎn)，并對(duì)這些知識(shí)的歷史、來(lái)源和發(fā)展有清楚的認(rèn)識(shí)； 清楚地懂得數(shù)學(xué)中采用科學(xué)研究和證明的基本方法的實(shí)質(zhì)； 能夠運(yùn)用掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)解決一些實(shí)際問(wèn)題。 教育的根本宗旨是培養(yǎng)人，確切地說(shuō)，是為未來(lái)培養(yǎng)人。因此就不能僅教給學(xué)生知識(shí)。技能，更重要的是教會(huì)學(xué)生思維，培養(yǎng)他們的能力。而數(shù)學(xué)觀念的培養(yǎng)，就能達(dá)到這一目的。所謂數(shù)學(xué)觀念，也就是人們常說(shuō)的數(shù)學(xué)頭腦、數(shù)學(xué)教養(yǎng)。準(zhǔn)確地說(shuō)，是指用數(shù)學(xué)的思維方式去考慮問(wèn)題，處理問(wèn)題的自覺(jué)意識(shí)或思維習(xí)慣。比如；推理意識(shí)、整體意識(shí)、抽象意識(shí)、化歸意識(shí)等等。 為達(dá)到數(shù)學(xué)教學(xué)目的，需取決于下列因素： 教學(xué)內(nèi)容、知識(shí)的序列如何安排，知識(shí)的深度和廣度、技能技巧要求的程度。 教學(xué)中理論聯(lián)系實(shí)際的程度，特別是抽象的數(shù)學(xué)概念的形成以及其它的數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生和發(fā)展的過(guò)程的教學(xué)的情況。 在課程體系中數(shù)學(xué)和其它學(xué)科的關(guān)系。 教師運(yùn)用的數(shù)學(xué)方法是否得當(dāng)。 學(xué)生對(duì)待數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的態(tài)度和方法。 二、數(shù)學(xué)觀念的具體內(nèi)容及教育作用 數(shù)學(xué)觀念與數(shù)學(xué)氣質(zhì)是不盡相同的。數(shù)學(xué)氣質(zhì)是指具有數(shù)學(xué)天才的人身上具有的獨(dú)特的心理品質(zhì)。它表現(xiàn)為力求把周?chē)默F(xiàn)象數(shù)學(xué)化，總是處處注意現(xiàn)象的數(shù)學(xué)因素，注意空間和數(shù)量的關(guān)系、聯(lián)結(jié)及各種函數(shù)的依存關(guān)系，總之是通過(guò)數(shù)學(xué)的眼光來(lái)看世界。它是數(shù)學(xué)能力強(qiáng)的人所具有的一種特性。而數(shù)學(xué)觀念是任何一個(gè)學(xué)生經(jīng)過(guò)學(xué)習(xí)訓(xùn)練以后都可形成的運(yùn)用數(shù)學(xué)思維方式的習(xí)慣。具有數(shù)學(xué)氣質(zhì)的人一定有數(shù)學(xué)觀念，反之則不然。 要理解數(shù)學(xué)觀念的內(nèi)容，先要知道所謂數(shù)學(xué)思維。奧加涅認(rèn)為真正完美的數(shù)學(xué)思維首先是辯證的思維，它又是自然科學(xué)的思維，即具有科學(xué)思緒的素質(zhì)，如靈活性、獨(dú)創(chuàng)性、深刻性、目的性、合理性、概括性等等。數(shù)學(xué)思維的特點(diǎn)不僅表現(xiàn)為它具有科學(xué)思維的全部素質(zhì)因素。還表現(xiàn)為它有自身的獨(dú)特形式，即具體思維和抽象思維，函數(shù)思維，直覺(jué)思維等。對(duì)于數(shù)學(xué)思維的特點(diǎn)，數(shù)學(xué)家莫洛德希認(rèn)為：能把不同內(nèi)容的純粹形式抽象出來(lái)，這就是數(shù)學(xué)思維的特征?？?tīng)柲缌_夫認(rèn)為：數(shù)學(xué)思維的特點(diǎn)是連續(xù)的。適當(dāng)分解的邏輯推理的藝術(shù)。欣欽則認(rèn)為是：推理的邏輯方案，推理過(guò)程的準(zhǔn)確的分解。格涅堅(jiān)科認(rèn)為是：數(shù)學(xué)思維經(jīng)常表現(xiàn)為所謂數(shù)學(xué)能力，純粹的邏輯論證的習(xí)慣。 綜上所述，數(shù)學(xué)思維是具有辯證思維、抽象思維、邏輯思維、直覺(jué)思維等思維的特征且反映數(shù)學(xué)特點(diǎn)的思維。進(jìn)行數(shù)學(xué)思維離不開(kāi)推理，抽象概括，也離不開(kāi)全面的看問(wèn)題及對(duì) 問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化。因此數(shù)學(xué)觀念至少可以包括整體意識(shí)、抽象意識(shí)、推理意識(shí)與化歸意識(shí)。 （1）推理意識(shí) 推理意識(shí)就是推理的習(xí)慣，或者說(shuō)講理的習(xí)慣。推理作為科學(xué)認(rèn)識(shí)中導(dǎo)出知識(shí)的過(guò)程和方法，既包括在理論思考中由一個(gè)或一些判斷導(dǎo)致另一判斷，也包括由經(jīng)驗(yàn)事實(shí)引出概念、判斷。推理包括演繹推理。歸納推理和類(lèi)比推理。 推理不僅是個(gè)別人的思維過(guò)程，整個(gè)科學(xué)認(rèn)識(shí)的發(fā)展就是一系列的推理和連續(xù)推理。演繹推理不僅是檢驗(yàn)命題真?zhèn)涡缘氖侄危疫€有科學(xué)的預(yù)見(jiàn)性。如歐幾里得證明有無(wú)窮多個(gè)素?cái)?shù)；英國(guó)劍橋的亞當(dāng)斯與法國(guó)數(shù)學(xué)家列維烈根據(jù)牛頓引力假說(shuō)計(jì)算出一個(gè)新行星的位置，柏林的天文學(xué)家加勒依照他們所預(yù)告的方位月望遠(yuǎn)鏡尋找，果然發(fā)現(xiàn)一顆行星，命名為海王星。這些都是演繹推理的偉大勝利。中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)要讓學(xué)生掌握演繹推理的基本思想，養(yǎng)成落筆有據(jù)、言之有理的習(xí)慣，即形成推理、講理的自覺(jué)意識(shí)。數(shù)學(xué)中要加強(qiáng)演繹推理的標(biāo)準(zhǔn)體系，即公理化體系有其思想方法的教學(xué)，使學(xué)生深刻體會(huì)演繹推理的實(shí)質(zhì)。同時(shí)也要加強(qiáng)歸納推理與類(lèi)比推理的教學(xué)，這種推理具有發(fā)現(xiàn)新知識(shí)，新結(jié)論的功能。如歐拉利用類(lèi)比推理將代數(shù)方程論的知識(shí)用到三角方程展開(kāi)得到的所謂無(wú)窮次代數(shù)方程中，從而解決了自然倒數(shù)平方級(jí)數(shù)和問(wèn)題。這是一個(gè)光輝的例子。此外，歸納推理與類(lèi)比推理，沒(méi)有一定的法則可以遵循，對(duì)思維的靈活性是一個(gè)很好的訓(xùn)練，但要注意，歸納類(lèi)比的結(jié)果未必一定是真確的，必須經(jīng)過(guò)嚴(yán)格的證明才能確信?？傊?，推理意識(shí)包括歸納、類(lèi)比、演繹推理和自覺(jué)意識(shí)，使學(xué)生形成推理意識(shí)就是養(yǎng)成落筆有據(jù)，言之有理的習(xí)慣。其作用是； 有助于形成良好的道德品質(zhì)，提高實(shí)際生活能力。一個(gè)具有推理意識(shí)的人，無(wú)論遇到什么事情，都會(huì)自覺(jué)的弄清事情發(fā)生的原本，判明是非，從而采取公正、合理的措施解決問(wèn)題。這正是正直、誠(chéng)實(shí)的人所應(yīng)該具有的。 體會(huì)科學(xué)研究的全過(guò)程?？茖W(xué)研究一般是始于觀察與實(shí)驗(yàn)，在觀察與實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，經(jīng)過(guò)歸納與類(lèi)比等推理提出假說(shuō)，猜想。然后再列假說(shuō)，猜想進(jìn)行檢驗(yàn)，包括理論上的論證和進(jìn)一步的實(shí)驗(yàn)，最后上列為理論。培養(yǎng)推理意識(shí)的過(guò)程中，實(shí)際上就讓學(xué)生了解了科學(xué)研究的一般過(guò)程及消除他們對(duì)科學(xué)研究的神秘感。樹(shù)立起自己進(jìn)行研究作出發(fā)現(xiàn)的信心與決心。這種從小的熏陶對(duì)青年學(xué)生今后的成長(zhǎng)會(huì)起良好的作用。 促進(jìn)良好思維品質(zhì)的形成。捉進(jìn)邏輯思維能力的提高，培養(yǎng)思維的批判性與組織性（記憶的條理性）。 （2）抽象意識(shí) 抽象是數(shù)學(xué)及一切理論科學(xué)的共同特點(diǎn)，科學(xué)抽象是理性思維方法的一種形式。抽象意識(shí)是指學(xué)生學(xué)了數(shù)學(xué)以后形成的如下思維習(xí)慣： 從本質(zhì)上看問(wèn)題。對(duì)于復(fù)雜的事物，現(xiàn)象，有意識(shí)地區(qū)分主要因素與次要因素。本質(zhì)與表面現(xiàn)象，從而抓住本質(zhì)解決問(wèn)題。 自覺(jué)地把適當(dāng)?shù)膯?wèn)題化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，即自覺(jué)地進(jìn)行抽象概括，建立數(shù)學(xué)模型。對(duì)數(shù)量及形狀的敏感等等。 抽象意識(shí)的培養(yǎng)，有助于培養(yǎng)思維的深刻性，培養(yǎng)抽象概括能力。有助于加深對(duì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用性的認(rèn)識(shí)，增強(qiáng)運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)偽能力。有助于對(duì)所學(xué)的知識(shí)的更深的理解。教學(xué)中應(yīng)對(duì)抽象意識(shí)的培養(yǎng)給予充分的重視。 （3）整體意識(shí) 整體意識(shí)是指全面地、從全局上考慮問(wèn)題的習(xí)慣。這也是辯證法的要求，是數(shù)學(xué)教學(xué)中能夠培養(yǎng)的，對(duì)學(xué)生今后的生活有重大意義的觀念。同時(shí)整體意識(shí)也是系統(tǒng)論思想的準(zhǔn)備。美國(guó)學(xué)者E拉茲洛在評(píng)論貝塔朗菲的一般系統(tǒng)論時(shí)；把他的基本觀點(diǎn)歸納為四點(diǎn)； 整體觀點(diǎn)； 科學(xué)知識(shí)的整體化； 自然界的統(tǒng)一性； 重視人的因素。 “整體大于孤立部分的總和”這是貝塔朗菲關(guān)于組成系統(tǒng)的著名定律。整體意識(shí)的培養(yǎng)，更有助于培養(yǎng)思維的廣闊性，培養(yǎng)求異思維的能力。 （4）化歸意識(shí) 化歸意識(shí)是指在解決問(wèn)題的過(guò)程中，有意識(shí)的對(duì)問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，變?yōu)橐捉饣蛞呀獾膯?wèn)題?；瘹w意識(shí)還意味著用聯(lián)系的、發(fā)展的、運(yùn)動(dòng)變化的眼光觀察問(wèn)題，認(rèn)識(shí)問(wèn)題：化歸的種類(lèi)很多，如：整體與單一的轉(zhuǎn)化；模型間的轉(zhuǎn)化；正與逆的轉(zhuǎn)化等等?；瘹w的方向一般是：從未知到已知，由難到易，由繁到簡(jiǎn)，由一般到特殊。化歸的一般原則是RMI原則。所謂RMI原則就是：令R表示一組原象的關(guān)系結(jié)構(gòu)（或原象系統(tǒng)），其中包含著待確定的原象X，令M表示一種映射（一對(duì)應(yīng)法則），通過(guò)它的作用假定原象結(jié)構(gòu)系統(tǒng)R被映射成映象關(guān)系結(jié)構(gòu)R1，其中自然包含著未知原象x的映象x1，如果有辦法把x1確定下來(lái)，則通過(guò)反演即逆映射1M-1也就相應(yīng)地把x確定下來(lái)。這就是RMI原則的基本內(nèi)容。 化歸思想具有廣泛的應(yīng)用。數(shù)學(xué)中的無(wú)限到有限的化歸，數(shù)與形的互化，曲線到直線的化歸，空間到平面的化歸等等，解決了許多難以解決的問(wèn)題。數(shù)學(xué)中的函數(shù)、對(duì)應(yīng)、同構(gòu)，成為化歸的幾種方法?；瘹w思想不僅能用于解決問(wèn)題，它對(duì)于培養(yǎng)思維的靈活性也有很大作用。也有利于培養(yǎng)逆向思維。 培養(yǎng)數(shù)學(xué)觀念有助于良好的思維品質(zhì)的形成，反過(guò)來(lái)，良好的思維品質(zhì)的形成又可促進(jìn)數(shù)學(xué)觀念的形成，數(shù)學(xué)觀念是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中形成的。同時(shí)，具有數(shù)學(xué)觀念又有利于數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)。數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)觀念的培養(yǎng)是在同一過(guò)程中進(jìn)行的，它們又具有相互促進(jìn)的關(guān)系。 影響學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)的因素，在教育心理學(xué)中稱(chēng)之為學(xué)習(xí)準(zhǔn)備。學(xué)習(xí)準(zhǔn)備是指那些促進(jìn)學(xué)習(xí)或者妨礙學(xué)習(xí)的個(gè)人特點(diǎn)的總和。影響數(shù)學(xué)觀念形成的因素可分別歸入認(rèn)知因素與非認(rèn)知因素之中。 認(rèn)知因素包括知識(shí)準(zhǔn)備與認(rèn)知發(fā)展準(zhǔn)備。認(rèn)知發(fā)展準(zhǔn)備是指學(xué)生從事新的學(xué)習(xí)或一定范圍的智慧活動(dòng)所具備的認(rèn)知功能的適 當(dāng)發(fā)展水平。知識(shí)準(zhǔn)備比起認(rèn)知發(fā)展準(zhǔn)備要復(fù)雜得多，它不僅涉及到學(xué)生學(xué)習(xí)的結(jié)果，而且與學(xué)生接受知識(shí)的過(guò)程也有很大關(guān)系。因此要求學(xué)生牢固掌握中學(xué)數(shù)學(xué)中的基礎(chǔ)知識(shí)?；炯寄埽粌H掌握結(jié)果，還要掌握知識(shí)的來(lái)龍去脈，而且能用數(shù)學(xué)思想、方法統(tǒng)攝知識(shí)、技能，也就是把基礎(chǔ)知識(shí)基本技能作為數(shù)學(xué)思想、方法的“下位概念”（即特例）。 非認(rèn)知因素包括學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)、學(xué)習(xí)興趣、個(gè)人的意志品質(zhì)、個(gè)人素質(zhì)等等。教師所提出的要求直接影響到學(xué)生的學(xué)習(xí)目標(biāo)，從而影響知識(shí)準(zhǔn)備到數(shù)學(xué)觀念的形成。 培養(yǎng)數(shù)學(xué)觀念的基本策略是知識(shí)準(zhǔn)備：抓知識(shí)的教學(xué)，重思想的形成，促觀念的培養(yǎng)。具體地說(shuō)，有如下的要求： 使數(shù)學(xué)教學(xué)成為數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)。這是因?yàn)閷W(xué)習(xí)是一個(gè)過(guò)程。學(xué)習(xí)是從不知到知。從知之不多到知之較多的過(guò)程。是經(jīng)驗(yàn)的獲得及行為變化的過(guò)程。知識(shí)的獲得。能力的提高、思維方式的形成等等無(wú)一不是在這個(gè)過(guò)程中完成的。因此我們要想在教學(xué)中達(dá)到某種目的，就必須緊緊抓住教與學(xué)的整個(gè)過(guò)程。 數(shù)學(xué)觀念的形成不是一朝一夕的事，需要在長(zhǎng)期的學(xué)習(xí)過(guò)程中體會(huì)。教學(xué)中，教師要有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思維活動(dòng)，使他們經(jīng)過(guò)積極的思考，掌握知識(shí)。同時(shí)提醒學(xué)生不滿(mǎn)足于記憶公式、法則和具體的解題、證題的方法。更重要的是悉心體會(huì)解決問(wèn)題的過(guò)程中所用的各種手法，并把它們應(yīng)用到解決新問(wèn)題的過(guò)程中去。 重視數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法的歸納。數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法是原認(rèn)知結(jié)構(gòu)中起固定作用的固定點(diǎn)。因此要培養(yǎng)數(shù)學(xué)觀念，就必須重視數(shù)學(xué)思想與方法的歸納。 重視學(xué)生提出問(wèn)題解決問(wèn)題的實(shí)踐。 重視非智力因素。非智力因素是認(rèn)知因素中的主觀因素，由于它們構(gòu)成了學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中的心理?xiàng)l件，所以直接影響著學(xué)習(xí)的進(jìn)行，從而影響著數(shù)學(xué)觀念的形成。抓非智力因素，重視培養(yǎng)學(xué)生高尚的精神世界，使他們具有不懈的追求，抓非智力因素是促進(jìn)數(shù)學(xué)觀念形成的關(guān)鍵。 三、中學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的“過(guò)五關(guān)” （l）完成由算術(shù)到代數(shù)的轉(zhuǎn)變，過(guò)好“抽象關(guān)”。 中學(xué)生從初一開(kāi)始，智力的發(fā)展，由形象思維為主要形式向抽象思維為主要形式過(guò)渡。良好的教學(xué)手段，可以促使這種過(guò)渡快速發(fā)展。用字母表示數(shù)是數(shù)學(xué)中的一大創(chuàng)造。是算術(shù)到代數(shù)的一種標(biāo)志。雖然用字母表示數(shù)給數(shù)學(xué)的發(fā)展帶來(lái)了無(wú)限廣闊的前景，但也十分抽象，給中學(xué)生學(xué)習(xí)代數(shù)帶來(lái)了理解上的困難。因此用字母表承數(shù)的掌握是學(xué)好代數(shù)的第一步。在中學(xué)數(shù)學(xué)中還要完成數(shù)的三次擴(kuò)充。在歷史上一個(gè)新概念難產(chǎn)的時(shí)候，往往這個(gè)概念在教學(xué)中也是難點(diǎn)所在。負(fù)數(shù)”、“無(wú)理數(shù)”、“虛數(shù)”都是學(xué)生難于理解的。恒等變形并不是一種無(wú)聊的游戲，而是研究數(shù)學(xué)的有力的杠桿之一。恒等變形在中學(xué)代數(shù)中內(nèi)容十分廣泛。例如代數(shù)式的運(yùn)算；化簡(jiǎn)與求值；整式的加減；乘法公式與因式分解；分式，根式的化簡(jiǎn)；指數(shù)式，對(duì)數(shù)式及三角函數(shù)式化簡(jiǎn)等等。因此明確恒等變形的目的，培養(yǎng)化歸的意識(shí)，掌握恒等變形的方法與技巧是學(xué)好代數(shù)的關(guān)鍵之一。在代數(shù)中有許多通性通法，例如各種運(yùn)算定律；配方法；待定系數(shù)法；數(shù)學(xué)歸納法；消去法等等，這些都是中學(xué)生學(xué)習(xí)代數(shù)的分化點(diǎn)。學(xué)好代數(shù)的又一關(guān)鍵是理解數(shù)學(xué)思想與方法，并能在解題的實(shí)踐中靈活地運(yùn)用。 （1）確立公理化的思想，過(guò)好“形式邏輯關(guān)”。 數(shù)學(xué)這門(mén)科學(xué)與其它科學(xué)的不同之處，除研究對(duì)象不同外，最突出的就是對(duì)象的內(nèi)部規(guī)律的真實(shí)性，必須用邏輯推理的方式來(lái)證明。首先必須明確對(duì)象的概念，其次是內(nèi)部規(guī)律必須表現(xiàn)以命題的形式（包括公式），經(jīng)推理證明后；就叫做定理。因此一部數(shù)學(xué)理論，即由一套概念、命題和命題的推理證明所組成。這里所說(shuō)的推理指的是邏輯學(xué)中的演繹推理，它是由三段論的形式來(lái)實(shí)現(xiàn)的。所謂三段論就是由大前提、小前提得出結(jié)論三個(gè)階段命題真實(shí)的形式。命題的推證又有其通法，即直接法與間接法；綜合法與分析法及普通歸納法等等。通過(guò)初等幾何的教學(xué)，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力有特殊的作用。這是因?yàn)榕c中學(xué)數(shù)學(xué)的其它分支相比，初等幾何的編排，在邏輯順序上反映得最突出、最明顯也最具體；在用三段論法推證命題時(shí)體現(xiàn)得也較完整；常用的推證通法包含得也較全面，而且抽象的概念和命題的形成，也能較具體地體現(xiàn)出由具體到抽象的思維過(guò)程。因此培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力。也就成為初等幾何教學(xué)目的之一。正因?yàn)槿绱?，初等幾何也就成為學(xué)生的分化點(diǎn)之一。過(guò)好初等幾何這一關(guān)的關(guān)鍵點(diǎn)在于，使學(xué)生切實(shí)掌握初等幾何的基礎(chǔ)知識(shí)，以及應(yīng)用這些知識(shí)解決有關(guān)幾何計(jì)算和幾何作圖的基本技能；使學(xué)生理解三段論法確立公理化思想，培養(yǎng)與發(fā)展學(xué)生的由實(shí)踐到理論、由具體到抽象以及進(jìn)行推理論證的邏輯思維能力；培養(yǎng)與發(fā)展學(xué)生的觀察、想象與表達(dá)幾何形象的空間想象的能力。 （3）做好由平面到空間的過(guò)渡，過(guò)好“空間想象關(guān)”。 培養(yǎng)學(xué)生的空間想象力，主要是培養(yǎng)學(xué)生正確。迅速地看懂直觀圖所反映的真實(shí)形象的能力；培養(yǎng)他們根據(jù)文字?jǐn)⑹龅臈l件。能正確反映出符合條件的立體形象的能力。但是不論哪一方面能力的培養(yǎng)，都必須經(jīng)過(guò)由畫(huà)圖到看圖的訓(xùn)練?？臻g想象能力正是實(shí)現(xiàn)二維平面圖形和三維空間囹形相互轉(zhuǎn)化的能力。從學(xué)生心理上看；這種轉(zhuǎn)化是困難的。這是因?yàn)閷W(xué)生缺乏心理準(zhǔn)備，對(duì)于平面幾何中的位似圖形以及視圖的知識(shí)沒(méi)有掌握，以致學(xué)生在學(xué)習(xí)立體幾何之前，缺乏必要的心理準(zhǔn)備和知識(shí)準(zhǔn)備：另外歪曲真象的平而圖內(nèi)妨礙感知和想象，成為學(xué)生不理解、不適應(yīng)的重要因素；同時(shí)在立體幾何中為了實(shí)現(xiàn)由二維圖形向三維空間圖形的轉(zhuǎn)化，必須借助于逆向思維，由于學(xué)生的逆向思維能力不強(qiáng)，加上又是根據(jù)歪曲真象的圖形進(jìn)行思維；學(xué)生不理解，難于掌握也就成為很自然的事了。適應(yīng)學(xué)生心理，培養(yǎng)學(xué)生空間想象力的做法通常是： 教師演示和學(xué)生動(dòng)手相結(jié)合，提高感知效果。 強(qiáng)化圖形立體感，提高想象效果。例如，利用標(biāo)準(zhǔn)圖形烘托立體感，加強(qiáng)對(duì)比加深立體感受，利用理論認(rèn)識(shí)，強(qiáng)化立體感等等。 通過(guò)比較，抑制負(fù)遷移的影響，發(fā)揮正遷移的作用。例如，通過(guò)比較，建立概念，利用概念，進(jìn)行比較；通過(guò)比較畫(huà)圖利用圖形進(jìn)行比較；通過(guò)圖形轉(zhuǎn)化進(jìn)行比較，利用比較實(shí)現(xiàn)圖形轉(zhuǎn)化等等。 利用坐式培養(yǎng)學(xué)生的想象能力。 發(fā)揮思維的作用，提高學(xué)生的想象能力。例如，通過(guò)分析，由整體想部分；通過(guò)分析，由部分想整體；通過(guò)分析、比較，尋求問(wèn)題的共同本質(zhì)和不同的解法等等。 （4）做好由常量數(shù)學(xué)到變量數(shù)學(xué)的過(guò)渡，過(guò)好“函數(shù)關(guān)”。 函數(shù)在中學(xué)代數(shù)里占有重要地位。這是因?yàn)椋?由常量數(shù)學(xué)到變量數(shù)學(xué)在思維方面是個(gè)飛躍，這對(duì)培養(yǎng)學(xué)生思維能力方面有重要意義； 很多常量數(shù)學(xué)不能解決或不易解決的問(wèn)題，通過(guò)變量數(shù)學(xué)可IJ得到很好的解決； 變量數(shù)學(xué)是學(xué)習(xí)物理、化學(xué)等其它學(xué)科的有力工具； 很多常量數(shù)學(xué)的問(wèn)題可以用變量數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)未處理。 在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，關(guān)于函數(shù)的內(nèi)容主要是下面三個(gè)方面； 研究基本初等函數(shù)（其中包括多項(xiàng)式函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)）的概念、定義域、值域、性質(zhì)、圖象； 通過(guò)基本初等函數(shù)的研究，掌握函數(shù)的一般性質(zhì)，如定義域、值域、有界性、奇偶性、互 逆性、單調(diào)性、周期性等； 一整套作函數(shù)的圖象的方法，包括平行移動(dòng)法，尺標(biāo)變換法，綜合變換法。 函數(shù)的教學(xué)大致可以分為三個(gè)階段： 感性認(rèn)識(shí)階段。這一階段的基本內(nèi)容有；通過(guò)各種類(lèi)型的算術(shù)運(yùn)算，讓學(xué)生觀察運(yùn)算的結(jié)果與組成這一運(yùn)算的各項(xiàng)之間的相互關(guān)系；通過(guò)代數(shù)式和方程的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)到如何用文字來(lái)表示一般的函數(shù)關(guān)系，如何用代數(shù)式來(lái)表示量與量之間的關(guān)系等等；通過(guò)數(shù)的概念發(fā)展，來(lái)積累學(xué)生關(guān)于“集合”這一概念的初步思想；通過(guò)數(shù)鈾和坐標(biāo)的教學(xué)積累關(guān)于“對(duì)應(yīng)”這一概念的初步思想。 理性認(rèn)識(shí)階段。這一階段是函數(shù)教學(xué)的主要階段，它分為兩個(gè)小循環(huán)，即初中的“函數(shù)及其圖象”和高中的從集合一直到三角函數(shù)。在高中要求學(xué)生形成函數(shù)的一般概念，深刻地理解函數(shù)關(guān)系，掌握繪制簡(jiǎn)單的函數(shù)圖象和討論它們的性質(zhì)的方法，學(xué)會(huì)應(yīng)用函數(shù)的性質(zhì)解決某些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題，把學(xué)生的認(rèn)識(shí)水平和思維能力向前推進(jìn)一步。 鞏固、深化和發(fā)展階段。這一階段主要的任務(wù)是了解國(guó)數(shù)的變化趨勢(shì)，并通過(guò)它，初步掌握極限的