一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系應用例析及訓練

一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系應用例析及訓練對于一元二次方程，當判別式時，其求根公式為：；若兩根為，當0時，則兩根的關(guān)系為：；，根與系數(shù)的這種關(guān)系又稱為韋達定理；它的逆定理也是成立的，即當，時，那么則是的兩根。一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，綜合性強，應用極為廣泛，在中學數(shù)學中占有極重要的地位，也是數(shù)學學習中的重點。學習中，老師除了要求同學們應用韋達定理解答一些變式題目外，還常常要求同學們熟記一元二次方程根的判別式存在的三種情況，以及應用求根公式求出方程的兩個根，進而分解因式，即。下面就對應用韋達定理可能出現(xiàn)的問題舉例做些分析，希望能給同學們帶來小小的幫助。一、根據(jù)判別式，討論一元二次方程的根。例1：已知關(guān)于的方程（1）有兩個不相等的實數(shù)根，且關(guān)于的方程（2）沒有實數(shù)根，問取什么整數(shù)時，方程（1）有整數(shù)解？分析：在同時滿足方程（1），（2）條件的的取值范圍中篩選符合條件的的整數(shù)值。 解：方程（1）有兩個不相等的實數(shù)根， 解得； 方程（2）沒有實數(shù)根， 解得； 于是，同時滿足方程（1），（2）條件的的取值范圍是 其中，的整數(shù)值有或 當時，方程（1）為，無整數(shù)根； 當時，方程（1）為，有整數(shù)根。解得： 所以，使方程（1）有整數(shù)根的的整數(shù)值是。說明：熟悉一元二次方程實數(shù)根存在條件是解答此題的基礎，正確確定的取值范圍，并依靠熟練的解不等式的基本技能和一定的邏輯推理，從而篩選出，這也正是解答本題的基本技巧。二、判別一元二次方程兩根的符號。例1：不解方程，判別方程兩根的符號。 分析：對于來說，往往二次項系數(shù)，一次項系數(shù)，常數(shù)項皆為已知，可據(jù)此求出根的判別式，但只能用于判定根的存在與否，若判定根的正負，則需要確定 或的正負情況。因此解答此題的關(guān)鍵是：既要求出判別式的值，又要確定 或的正負情況。解：，42(7)650 方程有兩個不相等的實數(shù)根。設方程的兩個根為， 0原方程有兩個異號的實數(shù)根。 說明：判別根的符號，需要把“根的判別式”和“根與系數(shù)的關(guān)系”結(jié)合起來進行確定，另外由于本題中0，所以可判定方程的根為一正一負；倘若0，仍需考慮的正負，方可判別方程是兩個正根還是兩個負根。三、已知一元二次方程的一個根，求出另一個根以及字母系數(shù)的值。 例2：已知方程的一個根為2，求另一個根及的值。 分析：此題通常有兩種解法：一是根據(jù)方程根的定義，把代入原方程，先求出的值，再通過解方程辦法求出另一個根；二是利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系求出另一個根及的值。解法一：把代入原方程，得：即解得當時，原方程均可化為：，解得：方程的另一個根為4，的值為3或1。解法二：設方程的另一個根為，根據(jù)題意，利用韋達定理得：，把代入，可得：把代入，可得：，即解得方程的另一個根為4，的值為3或1。 說明：比較起來，解法二應用了韋達定理，解答起來較為簡單。例3：已知方程有兩個實數(shù)根，且兩個根的平方和比兩根的積大21，求的值。 分析：本題若利用轉(zhuǎn)化的思想，將等量關(guān)系“兩個根的平方和比兩根的積大21”轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程，即可求得的值。解：方程有兩個實數(shù)根， 解這個不等式，得0 設方程兩根為 則，整理得：解得：又， 說明：當求出后，還需注意隱含條件，應舍去不合題意的。 四、運用判別式及根與系數(shù)的關(guān)系解題。例5：已知、是關(guān)于的一元二次方程的兩個非零實數(shù)根，問和能否同號？若能同號，請求出相應的的取值范圍；若不能同號，請說明理由，解：因為關(guān)于的一元二次方程有兩個非零實數(shù)根，則有 又、是方程的兩個實數(shù)根，所以由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，可得： 假設、同號，則有兩種可能： （1） （2）若， 則有： ；即有：解這個不等式組，得時方程才有實樹根，此種情況不成立。 若 ， 則有：即有：解這個不等式組，得；又，當時，兩根能同號 說明：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系深刻揭示了一元二次方程中根與系數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，是分析研究有關(guān)一元二次方程根的問題的重要工具，也是計算有關(guān)一元二次方程根的計算問題的重要工具。知識的運用方法靈活多樣，是設計考察創(chuàng)新能力試題的良好載體，在中考中與此有聯(lián)系的試題出現(xiàn)頻率很高，應是同學們重點練習的內(nèi)容。六、運用一元二次方程根的意義及根與系數(shù)的關(guān)系解題。例：已知、是方程的兩個實數(shù)根，求的值。分析：本題可充分運用根的意義和根與系數(shù)的關(guān)系解題，應摒棄常規(guī)的求根后，再帶入的方法，力求簡解。 解法一：由于是方程的實數(shù)根，所以設，與相加，得：）（變形目的是構(gòu)造和）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，有：，于是，得：=0解法二：由于、是方程的實數(shù)根， 說明：既要熟悉問題的常規(guī)解法，也要隨時想到特殊的簡捷解法，是解題能力提高的重要標志，是努力的方向。有關(guān)一元二次方程根的計算問題，當根是無理數(shù)時，運算將十分繁瑣，這時，如果方程的系數(shù)是有理數(shù)，利用根與系數(shù)的關(guān)系解題可起到化難為易、化繁為簡的作用。這類問題在解法上靈活多變，式子的變形具有創(chuàng)造性，重在考查能力，多年來一直受到命題老師的青睞。七、運用一元二次方程根的意義及判別式解題。例8：已知兩方程和至少有一個相同的實數(shù)根，求這兩個方程的四個實數(shù)根的乘積。分析：當設兩方程的相同根為時，根據(jù)根的意義，可以構(gòu)成關(guān)于和的二元方程組，得解后再由根與系數(shù)的關(guān)系求值。解：設兩方程的相同根為， 根據(jù)根的意義， 有 兩式相減，得 當時， ，方程的判別式 方程無實數(shù)解 當時， 有實數(shù)解 代入原方程，得， 所以 于是，兩方程至少有一個相同的實數(shù)根，4個實數(shù)根的相乘積為 說明：（1）本題的易錯點為忽略對的討論和判別式的作用，常常除了犯有默認的錯誤，甚至還會得出并不存在的解：當時，兩方程相同，方程的另一根也相同，所以4個根的相乘積為：；（2）既然本題是討論一元二次方程的實根問題，就應首先確定方程有實根的條件： 且另外還應注意：求得的的值必須滿足這兩個不等式才有意義。【趁熱打鐵】一、填空題：1、如果關(guān)于的方程的兩根之差為2，那么 。2、已知關(guān)于的一元二次方程兩根互為倒數(shù)，則 。3、已知關(guān)于的方程的兩根為，且，則 。4、已知是方程的兩個根，那么： ； ； 。5、已知關(guān)于的一元二次方程的兩根為和，且，則 ； 。6、如果關(guān)于的一元二次方程的一個根是，那么另一個根是 ，的值為 。7、已知是的一根，則另一根為 ，的值為 。8、一個一元二次方程的兩個根是和，那么這個一元二次方程為： 。二、求值題：1、已知是方程的兩個根，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求的值。2、已知是方程的兩個根，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求的值。3、已知是方程的兩個根，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求的值。4、已知兩數(shù)的和等于6，這兩數(shù)的積是4，求這兩數(shù)。5、已知關(guān)于x的方程的兩根滿足關(guān)系式，求的值及方程的兩個根。6、已知方程和有一個相同的根，求的值及這個相同的根。三、能力提升題：1、實數(shù)在什么范圍取值時，方程有正的實數(shù)根？2、已知關(guān)于的一元二次方程 （1）求證：無論取什么實數(shù)值，這個方程總有兩個不相等的實數(shù)根。 （2）若這個方程的兩個實數(shù)根、滿足，求的值。3、若，關(guān)于的方程有兩個相等的正的實數(shù)根，求的值。4、是否存在實數(shù)，使關(guān)于的方程的兩個實根，滿足，如果存在，試求出所有滿足條件的的值，如果不存在，請說明理由。5、已知關(guān)于的一元二次方程（）的兩實數(shù)根為，若，求的值。6、實數(shù)、分別滿足方程和，求代數(shù)式的值。答案與提示：一、填空題：1、提示：，解得：2、提示：，由韋達定理得：，解得：，代入檢驗，有意義，。3、提示：由于韋達定理得：，解得：。4、提示：由韋達定理得：，；由，可判定方程的兩根異號。有兩種情況：設0，0，則；設0，0，則。5、提示：由韋達定理得：，。6、提示：設，由韋達定理得：，解得：，即。7、提示：設，由韋達定理得：，8、提示：設所求的一元二次方程為，那么，即；設所求的一元二次方程為：二、求值題：1、提示：由韋達定理得：， 2、提示：由韋達定理得：，3、提示：由韋達定理得：，4、提示：設這兩個數(shù)為，于是有，因此可看作方程的兩根，即，所以可得方程：，解得：，所以所求的兩個數(shù)分別是，。5、提示：由韋達定理得，化簡得：；解得：，；以下分兩種情況：當時，組成方程組： ；解這個方程組得：；當時，組成方程組：；解這個方程組得： 6、提示：設和相同的根為，于是可得方程組：；得：，解這個方程得：；以下分兩種情況：（1）當時，代入得；（2）當時，代入得。所以和相同的根為，的值分別為，。三、能力提升題：1、提示：方程有正的實數(shù)根的條件必須同時具備：判別式0；0，0；于是可得不等式組：解這個不等式組得：12、提示：（1）的判別式0，所以無論取什么實數(shù)值，這個方程總有兩個不相等的實數(shù)根。（2）利用韋達定理，并根據(jù)已知條件可得：解這個關(guān)于的方程組，可得到：，由于，所以可得，解這個