高考數(shù)學(xué)第一輪總復(fù)習(xí) 2.8 函數(shù)與方程課件（含高考真題和模擬題）新人教A版.ppt

第八節(jié)函數(shù)與方程 知識梳理 1 函數(shù)零點(diǎn) 1 定義 對于函數(shù)y f x x d 把使 的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y f x x d 的零點(diǎn) f x 0 2 三個(gè)等價(jià)關(guān)系 3 存在性定理 連續(xù)不斷 f a f b 0 f x0 0 2 二次函數(shù)y ax2 bx c a 0 的圖象與零點(diǎn)的關(guān)系 x1 0 x2 0 x1 0 無交點(diǎn) x1 x2 x1 無 3 二分法 1 二分法的定義 對于在區(qū)間 a b 上連續(xù)不斷且 的函數(shù)y f x 通過不斷地把函數(shù)f x 的零點(diǎn)所在的區(qū)間 使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn) 進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法 f a f b 0 一分為二 2 用二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值的步驟 第一步 確定區(qū)間 a b 驗(yàn)證 給定精確度 第二步 求區(qū)間 a b 的中點(diǎn)c 第三步 計(jì)算f c 若f c 0 則c就是函數(shù)的零點(diǎn) 若f a f c 0 則令b c 此時(shí)零點(diǎn)x0 a c 若f c f b 0 則令a c 此時(shí)零點(diǎn)x0 c b 第四步 判斷是否達(dá)到精確度 即若 a b 則得到零點(diǎn)近似值a 或b 否則重復(fù)第二 三 四步 f a f b 0 考點(diǎn)自測 1 思考 給出下列命題 函數(shù)f x x2 1的零點(diǎn)是 1 0 和 1 0 函數(shù)y f x 在區(qū)間 a b 內(nèi)有零點(diǎn) 函數(shù)圖象連續(xù)不斷 則一定有f a f b 0 二次函數(shù)y ax2 bx c a 0 在b2 4ac 0時(shí)沒有零點(diǎn) 若函數(shù)f x 在 a b 上單調(diào)且f a f b 0 則函數(shù)f x 在 a b 上有且只有一個(gè)零點(diǎn) 其中正確的是 a b c d 解析 選c 錯(cuò)誤 函數(shù)f x x2 1的零點(diǎn)為 1和1 而并非其與x軸的交點(diǎn) 1 0 與 1 0 錯(cuò)誤 函數(shù)f x x2 x在 1 2 上有兩個(gè)零點(diǎn) 但f 1 f 2 0 正確 當(dāng)b2 4ac 0時(shí) 二次函數(shù)圖象與x軸無交點(diǎn) 從而二次函數(shù)沒有零點(diǎn) 正確 由已知條件 數(shù)形結(jié)合得f x 與x軸在區(qū)間 a b 上有且僅有一個(gè)交點(diǎn) 故正確 2 用二分法求函數(shù)y f x 在區(qū)間 2 4 上的近似零點(diǎn) 驗(yàn)證f 2 f 4 0 給定精確度 0 01 取區(qū)間 2 4 的中點(diǎn)x1 3 計(jì)算得f 2 f x1 0 則此時(shí)零點(diǎn)x0所在的區(qū)間為 a 2 4 b 3 4 c 2 3 d 2 5 3 解析 選c 由零點(diǎn)存在性定理知x0 2 3 3 2014 益陽模擬 函數(shù)f x 的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為 a 0b 1c 2d 3 解析 選b 函數(shù)f x 的零點(diǎn)個(gè)數(shù) 是方程的解的個(gè)數(shù) 是方程的解的個(gè)數(shù) 也就是函數(shù)y 與y 的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù) 在同一坐標(biāo)系中作出兩個(gè)函數(shù)的圖象 可得交點(diǎn)個(gè)數(shù)為1 4 2014 武漢模擬 已知方程lgx 2 x的解為x0 則下列說法正確的是 a x0 0 1 b x0 1 2 c x0 2 3 d x0 0 1 解析 選b 由lgx 2 x得lgx x 2 0 令f x lgx x 2 則當(dāng)x 0時(shí) f 0 0 所以f 1 f 2 0 又f x 在 0 上連續(xù) 故x0 1 2 5 用二分法求函數(shù)f x 3x x 4的一個(gè)零點(diǎn) 其參考數(shù)據(jù)如下 據(jù)此數(shù)據(jù) 可得f x 3x x 4的一個(gè)零點(diǎn)的近似值 保留三位有效數(shù)字 為 解析 由題意知 函數(shù)零點(diǎn)在區(qū)間 1 5562 1 5625 內(nèi) 又零點(diǎn)近似值保留三位有效數(shù)字 故零點(diǎn)近似值為1 56 答案 1 56 6 已知函數(shù)f x 若關(guān)于x的方程f x k有兩個(gè)不同的實(shí)根 則實(shí)數(shù)k的取值范圍是 解析 方程f x k有兩個(gè)不同的實(shí)根 則y f x 與y k有兩個(gè)不同的交點(diǎn) 作出y f x 的圖象 可知k 0 1 答案 0 1 考點(diǎn)1確定與應(yīng)用方程根的個(gè)數(shù) 典例1 1 2014 合肥模擬 若偶函數(shù)f x 滿足f x 1 f x 1 且在x 0 1 時(shí) f x x2 則關(guān)于x的方程f x 在 0 上的根的個(gè)數(shù)是 a 1b 2c 3d 4 2 2014 天津模擬 已知函數(shù)f x x2 2ex m 1 g x x x 0 若g x m有實(shí)數(shù)根 求m的取值范圍 確定m的取值范圍 使得g x f x 0有兩個(gè)相異實(shí)根 解題視點(diǎn) 1 根據(jù)已知條件作出函數(shù)f x 與y 在 0 上的圖象 數(shù)形結(jié)合求解 2 可用基本不等式求出最值或數(shù)形結(jié)合法求解 轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)f x 與g x 有兩個(gè)交點(diǎn) 從而用數(shù)形結(jié)合法求解 規(guī)范解答 1 選c 因?yàn)閒 x 為偶函數(shù) 所以當(dāng)x 1 0 時(shí) x 0 1 所以f x x2 即f x x2 又f x 1 f x 1 所以f x 2 f x 1 1 f x 1 1 f x 故f x 是以2為周期的周期函數(shù) 據(jù)此在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)y f x 與y 在 0 上的圖象如圖所示 數(shù)形結(jié)合得兩圖象有3個(gè)交點(diǎn) 故方程f x 在 0 上有三個(gè)根 2 方法一 因?yàn)間 x x 2e 等號成立的條件是x e 故g x 的值域是 2e 因此 只需m 2e 則g x m就有實(shí)數(shù)根 方法二 作出g x x x 0 的大致圖象如圖 可知若使g x m有實(shí)數(shù)根 則只需m 2e 若g x f x 0有兩個(gè)相異的實(shí)根 即g x 與f x 的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn) 作出g x x x 0 的大致圖象 因?yàn)閒 x x2 2ex m 1 x e 2 m 1 e2 所以f x 的圖象的對稱軸為x e 開口向下 最大值為m 1 e2 故當(dāng)m 1 e2 2e 即m e2 2e 1時(shí) g x 與f x 有兩個(gè)交點(diǎn) 即g x f x 0有兩個(gè)相異實(shí)根 所以m的取值范圍是 e2 2e 1 互動(dòng)探究 若將本例 1 中 變?yōu)?則方程f x 在 3 3 上所有根的和為多少 解析 由本例 1 解析知f x 在 3 3 上有六個(gè)不同根 不妨設(shè)為x1 x2 x3 x4 x5 x6 由圖象關(guān)于y軸的對稱性知 x1 x6 0 x2 x5 0 x3 x4 0 所以x1 x2 x3 x4 x5 x6 0 規(guī)律方法 1 確定方程f x g x 在區(qū)間 a b 上根的個(gè)數(shù)的方法 1 解方程法 當(dāng)對應(yīng)方程f x g x 易解時(shí) 可先解方程 看求得的根是否落在區(qū)間 a b 上再判斷 2 數(shù)形結(jié)合法 通過畫函數(shù)y f x 與y g x 的圖象 觀察其在區(qū)間 a b 上交點(diǎn)個(gè)數(shù)來判斷 2 與方程根有關(guān)的計(jì)算和大小比較問題的解法數(shù)形結(jié)合法 根據(jù)兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)的對稱性等進(jìn)行計(jì)算與比較大小 3 由方程根的存在情況求參數(shù)的取值范圍常用的方法 1 直接法 直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式 再通過解不等式確定參數(shù)范圍 2 分離參數(shù)法 先將參數(shù)分離得a f x 再轉(zhuǎn)化成求函數(shù)f x 值域問題加以解決 3 數(shù)形結(jié)合法 先對解析式變形 再在同一平面直角坐標(biāo)系中 畫出函數(shù)的圖象 然后數(shù)形結(jié)合求解 變式訓(xùn)練 1 2014 福州模擬 設(shè)方程log4x 0 0的根分別為x1 x2 則 a 0 x1x2 1b x1x2 1c 1 x1x2 2d x1x2 2 解析 選a 在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)y y log4x y logx的圖象 如圖所示 則x1 1 x2 0 由log4x1 得所以0 x1x2 1 故選a 2 2014 黃岡模擬 若方程有解 則a的取值范圍為 解析 由已知得又 0 得a 0 答案 0 加固訓(xùn)練 1 2014 武漢模擬 若方程x2 2mx 4 0的兩根滿足一根大于1 一根小于1 則m的取值范圍是 a b c 2 2 d 解析 選a 令f x x2 2mx 4 由已知得f 1 0 即1 2m 4 0 解得m 即m 2 方程 x cosx在 內(nèi) a 沒有根b 有且僅有一個(gè)根c 有且僅有兩個(gè)根d 有無窮多個(gè)根 解析 選c 構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)y x 和y cosx 在同一個(gè)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出它們的圖象 如圖所示 觀察圖象知有兩個(gè)公共點(diǎn) 所以已知方程有且僅有兩個(gè)根 3 2014 馬鞍山模擬 若方程 x2 4x m有實(shí)數(shù)根 則所有實(shí)數(shù)根的和可能為 a 2 4 6b 4 5 6c 3 4 5d 4 6 8 解析 選d 令f x x2 4x 其圖象如圖所示 f x 的圖象關(guān)于直線x 2對稱 當(dāng)m 0或m 4時(shí) 方程所有實(shí)根之和為 4 當(dāng)m 4時(shí) 方程所有實(shí)根之和為 6 當(dāng)0 m 4時(shí) 方程所有實(shí)根之和為 8 故選d 考點(diǎn)2確定函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間 典例2 1 2013 重慶高考 若a b c 則函數(shù)f x x a x b x b x c x c x a 兩個(gè)零點(diǎn)分別位于區(qū)間 a a b 和 b c 內(nèi)b a 和 a b 內(nèi)c b c 和 c 內(nèi)d a 和 c 內(nèi) 2 2014 嘉興模擬 設(shè)函數(shù)y x3與y 的圖象的交點(diǎn)為 x0 y0 若x0 n n 1 n n 則x0所在的區(qū)間是 解題視點(diǎn) 1 直接根據(jù)零點(diǎn)存在性定理判斷 2 畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象 尋找交點(diǎn)所在區(qū)間 規(guī)范解答 1 選a 因?yàn)閍0 f b b c b a 0 所以f a f b 0 f b f c 0 即函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)分別位于區(qū)間 a b 和 b c 內(nèi) 2 設(shè)f x x3 則x0是函數(shù)f x 的零點(diǎn) 在同一坐標(biāo)系下畫出函數(shù)y x3與y 的圖象如圖所示 因?yàn)閒 1 1 1 0 f 2 8 7 0 所以f 1 f 2 0 所以x0 1 2 答案 1 2 易錯(cuò)警示 關(guān)注圖象的準(zhǔn)確性本例第 2 題在求解時(shí)容易因作圖不準(zhǔn)確而導(dǎo)致求錯(cuò)區(qū)間 在利用數(shù)形結(jié)合法確定零點(diǎn)所在區(qū)間時(shí) 所畫圖象一定要規(guī)范 準(zhǔn)確 否則易致誤 規(guī)律方法 確定函數(shù)f x 的零點(diǎn)所在區(qū)間的常用方法 1 利用函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理 首先看函數(shù)y f x 在區(qū)間 a b 上的圖象是否連續(xù) 再看是否有f a f b 0 若有 則函數(shù)y f x 在區(qū)間 a b 內(nèi)必有零點(diǎn) 2 數(shù)形結(jié)合法 通過畫函數(shù)圖象 觀察圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有交點(diǎn)來判斷 變式訓(xùn)練 2014 孝感模擬 函數(shù)f x 3x x 2的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是 a 2 1 b 1 0 c 0 1 d 1 2 解析 選c 因?yàn)楹瘮?shù)f x 在定義域上單調(diào)遞增 所以f 0 f 1 0 所以函數(shù)f x 的零點(diǎn)所在區(qū)間是 0 1 故選c 加固訓(xùn)練 1 2014 煙臺模擬 函數(shù)f x ln x 1 的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是 a 0 1 b 1 2 c 2 e d 3 4 解析 選b 因?yàn)閒 x 在 0 上為單調(diào)增函數(shù) 且f 1 ln2 20 所以函數(shù)的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是 1 2 中間 選b 2 2014 溫州模擬 如圖是二次函數(shù)f x x2 bx a的部分圖象 則函數(shù)g x ex f x 的零點(diǎn)所在的區(qū)間是 a 1 0 b 0 1 c 1 2 d 2 3 解析 選b 由圖象知得1 b 2 f x 2x b 所以g x ex f x ex 2x b 則g 1 2 b 0 g 0 1 b 0 g 1 e 2 b 0 所以g 0 g 1 0 故選b 考點(diǎn)3函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題 考情 函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題是高考命題的一個(gè)高頻考點(diǎn) 常與函數(shù)的圖象與性質(zhì)交匯 以選擇題 填空題的形式出現(xiàn) 考查確定函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù) 應(yīng)用函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù) 以及應(yīng)用函數(shù)零點(diǎn)所具備的性質(zhì)計(jì)算與比較大小等問題 高頻考點(diǎn)通關(guān) 典例3 1 2013 天津高考 函數(shù)f x 2x log0 5x 1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為 a 1b 2c 3d 4 2 2014 長春模擬 定義域?yàn)閞的偶函數(shù)f x 滿足對 x r 有f x 2 f x f 1 且當(dāng)x 2 3 時(shí) f x 2x2 12x 18 若函數(shù)y f x loga x 1 在 0 上至少有三個(gè)零點(diǎn) 則a的取值范圍是 a 0 b 0 c 0 d 0 解題視點(diǎn) 1 根據(jù)2x log0 5x 1 0轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)g x log0 5x 與h x 圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題求解 2 根據(jù)函數(shù)f x 的性質(zhì)作出其圖象 再結(jié)合y loga x 1 在 0 的圖象 數(shù)形結(jié)合求解 規(guī)范解答 1 選b 函數(shù)f x 2x log0 5x 1的零點(diǎn)即2x log0 5x 1 0的解 即 log0 5x 的解 作出函數(shù)g x log0 5x 和函數(shù)h x 的圖象 由圖象可知 兩函數(shù)圖象共有兩個(gè)交點(diǎn) 故函數(shù)f x 2x log0 5x 1有2個(gè)零點(diǎn) 2 選b 因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù) 所以f x 2 f x f 1 f x f 1 即f x 2 f x 2 所以函數(shù)f x 關(guān)于直線x 2對稱 又f x 2 f x 2 f x 2 所以f x 4 f x 即函數(shù)的周期是4 由y f x loga x 1 0得 f x loga x 1 令g x loga x 1 當(dāng)x 0時(shí) g x loga x 1 loga x 1 過定點(diǎn) 0 0 由圖象可知當(dāng)a 1時(shí) 不成立 所以0 2 即g 2 loga3 2 logaa 2 所以3 a 2 即a2 所以0 a 即a的取值范圍是 0 選b 通關(guān)錦囊 通關(guān)題組 1 2014 長沙模擬 已知函數(shù)f x 則函數(shù)f x 的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為 a 1b 2c 3d 4 解析 選c 當(dāng)x 0時(shí) 由x x 4 0得x 4 當(dāng)x 0時(shí) 由x x 4 0解得x 0 x 4 故共有3個(gè)零點(diǎn) 2 2014 永州模擬 已知定義在r上的函數(shù)f x 的對稱軸為x 3 且當(dāng)x 3時(shí) f x 2x 3 若函數(shù)f x 在區(qū)間 k 1 k k z 上有零點(diǎn) 則k的值為 a 2或 7b 2或 8c 7d 8 解析 選a 當(dāng)x 3時(shí) 由f x 2x 3 0 解得x log23 因?yàn)? log23 2 即函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為 1 2 所以k 2 又函數(shù)關(guān)于x 3對稱 所以另外一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間 8 7 此時(shí)k 7 3 2014 武漢模擬 已知函數(shù)f x 2x x g x x logx h x log2x 的零點(diǎn)分別為x1 x2 x3 則x1 x2 x3的大小關(guān)系是 a x1 x2 x3b x2 x1 x3c x1 x3 x2d x3 x2 x1 解析 選d 由f x 2x x 0 g x x logx 0 h x log2x 0得2x x x logx log2x 在坐標(biāo)系中分別作出y 2x y x y x y logx y log2x y 的圖象 由圖象可知 1 x1 0 0 x2 1 x3 1 所以x3 x2 x1 加固訓(xùn)練 1 2014 哈爾濱模擬 函數(shù)f x 2x x3 2在區(qū)間 0 1 內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是 a 0b 1c 2d 3 解析 選b 由f x 2x x3 2得f 0 10 所以f 0 f 1 0 又因?yàn)楹瘮?shù)在定義域上為增函數(shù) 故選b 2 2014 吉林模擬 函數(shù)f x cosx在 0 內(nèi) a 沒有零點(diǎn)b 有且僅有一個(gè)零點(diǎn)c 有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)d 有無窮多個(gè)零點(diǎn) 解析 選b 方法一 數(shù)形結(jié)合法 令f x cosx 0 則 cosx 設(shè)函數(shù)y 和y cosx 它們在 0 的圖象如圖所示 顯然兩函數(shù)的圖象的交點(diǎn)有且只有一個(gè) 所以函數(shù)f x cosx在 0 內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn) 方法二 在x 上 1 cosx 1 所以f x cosx 0 在x 0 上 f x sinx 0 所以函數(shù)f x cosx是增函數(shù) 又因?yàn)閒 0 1 f 0 所以f x cosx在x 0 內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn) 巧