用函數(shù)觀點(diǎn)看一元二次方程同步測(cè)控優(yōu)化訓(xùn)練

26.2 用函數(shù)觀點(diǎn)看一元二次方程一、課前預(yù)習(xí) (5分鐘訓(xùn)練)1.二次函數(shù)y=x2+4x3的圖象交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于C點(diǎn)，則ABC的面積為( )A6 B4 C3 D12當(dāng)a0，=b24ac_0時(shí)，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的值恒為正；當(dāng)a_0，= b24ac_0時(shí)，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的值恒為負(fù)3已知一拋物線與x軸的交點(diǎn)為A（1，0）、B（m，0），且過(guò)第四象限內(nèi)的點(diǎn)C（1，n），而m+n=1，mn=12，則此拋物線關(guān)系式是_二、課中強(qiáng)化(10分鐘訓(xùn)練)1拋物線y=ax2+bx+c（a0）和直線y=kx+d（k0）有兩個(gè)交點(diǎn)的條件是_，只有一個(gè)交點(diǎn)的條件是_，沒(méi)有交點(diǎn)的條件是_2拋物線y=ax2+bx+c（a0）與x軸交于A（x1，0），B（x2，0），x1x2，則不等式ax2+bx+c0的解集為_，不等式ax2+bx+c0，x24x30)的圖象與x軸相交于A(x1,0)，B(x2,0)兩點(diǎn)，且A，B兩點(diǎn)間的距離為d，例如，通過(guò)研究其中一個(gè)函數(shù)y=x25x+6及圖象(如圖2623)，可得出表中第2行的相關(guān)數(shù)據(jù)y=x2+px+qpqx1x2dy=x25x+6561231y=x2xy=x2+x2223(1)在表內(nèi)的空格中填上正確的數(shù)；(2)根據(jù)上述表內(nèi)d與的值，猜想它們之間有什么關(guān)系？再舉一個(gè)符合條件的二次函數(shù)，驗(yàn)證你的猜想；(3)對(duì)于函數(shù)y=x2+px+q(p,q為常數(shù)，=p24q0)證明你的猜想. 圖262310已知m,n是方程x26x+5=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且mn，拋物線y=x2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(m,0)、B(0,n)(1)求這個(gè)拋物線的解析式；(2)設(shè)（1）中拋物線與x軸的另一交點(diǎn)為C,拋物線的頂點(diǎn)為D，試求出點(diǎn)C、D的坐標(biāo)和BCD的面積；注：拋物線y=ax2+bx+c(a0)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為()(3)P是線段OC上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PHx軸，與拋物線交于H點(diǎn)，若直線BC把PCH分成面積之比為23的兩部分，請(qǐng)求出P點(diǎn)的坐標(biāo) 圖2624參考答案一、課前預(yù)習(xí) (5分鐘訓(xùn)練)1.二次函數(shù)y=x2+4x3的圖象交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于C點(diǎn)，則ABC的面積為( )A6 B4 C3 D1解析：解方程x2+4x3=0,得A、B為（1，0）、（3，0），當(dāng)x=0時(shí)， y= 3，所以C為（0，3），所以ABC的面積為3(31)=3.答案：C2當(dāng)a0，=b24ac_0時(shí)，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的值恒為正；當(dāng)a_0，= b24ac_0時(shí)，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的值恒為負(fù)解析：當(dāng)a0時(shí)，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象開口向上，若與x軸無(wú)交點(diǎn)，則其值恒為正；當(dāng)a0時(shí)，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象開口向下，若與x軸無(wú)交點(diǎn)，則其值恒為負(fù)答案： 3已知一拋物線與x軸的交點(diǎn)為A（1，0）、B（m，0），且過(guò)第四象限內(nèi)的點(diǎn)C（1，n），而m+n=1，mn=12，則此拋物線關(guān)系式是_解析：由題意，得m、n為方程x2+x12=0的兩根，解得m=4，n=3或m=3，n=4又(1，n)在第四象限，n0；（bk）24a(cd)=0；（bk）24a(cd)02拋物線y=ax2+bx+c（a0）與x軸交于A（x1，0），B（x2，0），x1x2，則不等式ax2+bx+c0的解集為_，不等式ax2+bx+c0，拋物線在x軸下方的范圍是yx2或xx1；x1xx2或xx1 x1xx23利用圖象求下列一元二次方程的近似值.(1)x2+x10=0; (2)2x23x+1=0解析：作圖象要盡量精確一些，與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為方程的近似值解：略4已知拋物線y=x2+(n3)x+n+1經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O（1）求這條拋物線的頂點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）設(shè)這條拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A，求以直線PA為圖象的一次函數(shù)的解析式解:(1)拋物線y=x2+(n3)x+n+1經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，n+1=0 n=1得y=x24x，即y=x24x=(x2)24拋物線的頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，4）（2）根據(jù)題意，得點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0）設(shè)所求的一次函數(shù)解析式為y=kx+b根據(jù)題意，得解得所求的一次函數(shù)解析式為y=2x85已知拋物線y=x2mx+與拋物線y=x2+mxm2在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖2621,其中一條與x軸交于A、B兩點(diǎn)圖2621（1）試判斷哪一條拋物線經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)？并說(shuō)明理由（2）若A、B兩點(diǎn)到原點(diǎn)的距離OA、OB滿足，求經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)的拋物線的關(guān)系式解析：(1)經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)的拋物線的：（2）可根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系來(lái)解.解法一：（1）y=x2mx+,中1=m22m2=m2拋物線不過(guò)原點(diǎn)，m0.m20.10，拋物線y=x2mx+不經(jīng)過(guò)A、B點(diǎn)拋物線yx2+mxm2與y軸交于（0，m2），m20，解得m1.又m1,得m1.5如圖2622，拋物線y=(x+1)22，圖2622（1）設(shè)此拋物線與x軸交點(diǎn)為A、B（A在B的左邊），請(qǐng)你利用圖象求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）有一條直線y=x1，試?yán)脠D象法求出該直線與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)；（3）P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，問(wèn)是否存在一點(diǎn)P，使SABP=2?若存在,則有幾個(gè)這樣的點(diǎn)P?并寫出它們的坐標(biāo)解析：（1）讀圖易得;（2）畫圖精確度要高一點(diǎn);（3）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（a，b）,則ABP中AB邊上的高為b，而|b|=1,代入拋物線解析式可求得P點(diǎn)坐標(biāo)解：（1）A（3,0），B（1,0）（2）交點(diǎn)坐標(biāo)為（1,0）和（1，2）（3）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（a，b）,則ABP中，AB邊上的高為b，又SABP=2,從而得|b|=1.把b=1,b=1分別代入拋物線解析式可求得P點(diǎn)坐標(biāo)分別為P(1,1);P(1,1);P(1,1);P(1,1)6已知拋物線y=2x2和直線y=ax+5（1）求證：拋物線與直線一定有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；（2）設(shè)A（x1，y1）、B（x2，y2）是拋物線與直線的兩個(gè)交點(diǎn)，點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn)，且點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，試用含a的代數(shù)式表示點(diǎn)P的縱坐標(biāo)；(3)設(shè)A,B兩點(diǎn)的距離d=x1x2,試用含a的代數(shù)式表示d.解：（1）將y=ax+5代入y=2x2,消去y得2x2ax5=0,=(a)242(5)=a2+400，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根不論a取何值，拋物線與直線一定有兩個(gè)不同的交點(diǎn)（2）x1、x2是方程2x2ax5=0的兩個(gè)根,x1+x2=,x1x2=點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為(x1+x2)+5=+5=+5（3）x1+x2=,x1x2=x1x2=.d=.7畫出函數(shù)y=x24x3的圖象，根據(jù)圖象回答下列問(wèn)題：（1）圖象與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)是什么？（2）方程x24x3=0的解是什么？（3）不等式x24x30，x24x30的解為x4.6；不等式x24x30的解為0.65x0)的圖象與x軸相交于A(x1,0)，B(x2,0)兩點(diǎn)，且A，B兩點(diǎn)間的距離為d，例如，通過(guò)研究其中一個(gè)函數(shù)y=x25x+6及圖象(如圖2623)，可得出表中第2行的相關(guān)數(shù)據(jù)圖2623y=x2+px+qpqx1x2dy=x25x+6561231y=x2xy=x2+x2223(1)在表內(nèi)的空格中填上正確的數(shù)；(2)根據(jù)上述表內(nèi)d與的值，猜想它們之間有什么關(guān)系？再舉一個(gè)符合條件的二次函數(shù)，驗(yàn)證你的猜想；(3)對(duì)于函數(shù)y=x2+px+q(p,q為常數(shù)，=p24q0)證明你的猜想.解：(1)第二行q=0,x1=0；d=；第三行p=1,=9，x2=1；(2)猜想：d2=.例如：y=x2x2中,p=1,q=2,=9;由x2x2=0得x1=2，x2=1,d=3,d2=9,d2=(3)證明:令y=0，得x2+px+q=0，0，設(shè)x2+px+q=0的兩根為x1,x2.則x1+x2=p,x1x2=qd2=(x1x2)2=(x1x2)2=(x1+x2)24x1x2=(p)24q=p24q=.10已知m,n是方程x26x+5=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且mn，拋物線y=x2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(m,0)、B(0,n)(1)求這個(gè)拋物線的解析式；(2)設(shè)（1）中拋物線與x軸的另一交點(diǎn)為C,拋物線的頂點(diǎn)為D，試求出點(diǎn)C、D的坐標(biāo)和BCD的面積；注：拋物線y=ax2+bx+c(a0)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為()(3)P是線段OC上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PHx軸，與拋物線交于H點(diǎn)，若直線BC把PCH分成面積之比為23的兩部分，請(qǐng)求出P點(diǎn)的坐標(biāo)圖2624解:（1）解方程x26x+5=0，得x1=5,x2=1.由mn，m=1,n=5,所以點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為A（1，0）,B（0，5）將A（1，0）,B（0，5）的坐標(biāo)分別代入y=x2+bx+c,得解這個(gè)方程組得所以，拋物線的解析式為y=x24x+5.（2）由y=x24x+5，令y=0，得x24x+5=0，解這個(gè)方程得x1=5,x2=1,所以C點(diǎn)的坐標(biāo)為（5，0）由頂點(diǎn)坐標(biāo)公式計(jì)算得點(diǎn)D（2，9）過(guò)D作x軸的垂線交x軸于M則SDMC=9(52)=，S梯形MDBO=2(9+5)=14，SBOC=55=，所以，SBCD=S梯形MDBO+SDMCSBOC=14+=15（3）設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（a,0），因?yàn)榫€段