高中數(shù)學(xué)2.1合情推理與演繹推理要點(diǎn)講解新人教A選修22

合情推理與演繹推理要點(diǎn)講解一、合情推理之歸納推理與類比推理異同比較合情推理是數(shù)學(xué)的基本思維過程，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式在解決問題的過程中，合情推理具有猜側(cè)和發(fā)表結(jié)論，探索和提供思路的作用有利于創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)在能力高考的要求下，推理方法就顯得更加重要在復(fù)習(xí)中要把推理方法形成自己的解決問題的意識(shí)，使得問題的解決有章有法，得心應(yīng)手合情推理包括歸納推理和類比推理.歸納推理和類比推理的聯(lián)系:歸納推理與類比推理都是根據(jù)已有的事實(shí)，經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進(jìn)行歸納、類比，然后提出猜想的推理由這兩種推理得到的結(jié)論都不一定正確,其正確性有待進(jìn)一步證明.歸納推理和類比推理的區(qū)別:(一) 歸納推理1.歸納推理定義: 由某類事物的部分對(duì)象具有某些特征，推出該類事物的全部對(duì)象都具有這些特征的推理，或者由個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理，稱為歸納推理（簡(jiǎn)稱歸納）簡(jiǎn)言之，歸納推理是由部分到整體、由個(gè)別到一般的推理說明：歸納推理的思維過程大致如下：2.歸納推理的特點(diǎn):（1)歸納推理的前提是幾個(gè)已知的特殊現(xiàn)象，歸納所得的結(jié)論是尚屬未知的一般現(xiàn)象，該結(jié)論超越了前提所包容的范圍 (2)由歸納推理得到的結(jié)論具有猜測(cè)的性質(zhì)，結(jié)論是否真實(shí)，還需經(jīng)過邏輯證明和實(shí)踐檢驗(yàn)因此，它不能作為數(shù)學(xué)證明的工具(3)歸納推理是一種具有創(chuàng)造性的推理通過歸納推理得到的猜想，可以作為進(jìn)一步研究的起點(diǎn)，幫助人們發(fā)現(xiàn)問題和提出問題歸納推理是從個(gè)別事實(shí)中概括出一般原理的一種推理模型，歸納推理包括不完全歸納法和完全歸納法.3.歸納推理的一般步驟：通過觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同本質(zhì)；從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表達(dá)的一般性命題說明：歸納推理基于觀察和實(shí)驗(yàn)，像“瑞雪兆豐年”等農(nóng)諺一樣，是人們根據(jù)長(zhǎng)期的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行歸納的結(jié)果物理學(xué)中的波義耳馬略特定律、化學(xué)中的門捷列夫元素周期表、天文學(xué)中開普勒行星運(yùn)動(dòng)定律等，也都是在實(shí)驗(yàn)和觀察的基礎(chǔ)上，通過歸納發(fā)現(xiàn)的(二).類比推理（以下簡(jiǎn)稱類比）1.類比推理定義:由兩類對(duì)象具有某些類似特征和其中一類對(duì)象的某些已知特征，推出另一類對(duì)象也具有這些特征的推理稱為類比推理（簡(jiǎn)稱類比）簡(jiǎn)言之，類比推理是由特殊到特殊的推理2. 類比推理的一般步驟：找出兩類事物之間的相似性或一致性；用一類事物的性質(zhì)去推測(cè)另一類事物的性質(zhì)，得出一個(gè)明確的命題（猜想）3.說明：類比推理的思維過程大致如下圖所示：類比推理是在兩類不同的事物之間進(jìn)行對(duì)比，找出若干相同或相似點(diǎn)之后，推測(cè)在其他方面也可以存在相同或相似之處的一種推理模式類比推理不象歸納推理那樣局限于同類事物, 同時(shí),類比推理比歸納推理更富于想像,因而也就更具有創(chuàng)造性. 人類在科學(xué)研究中建立的不少假說和教學(xué)中許多重要的定理，公式都是通過類比提出來的,工程技術(shù)中許多創(chuàng)造和發(fā)明也是在類比推理的啟迪下而獲得的因此，類比推理已成為人類發(fā)現(xiàn)發(fā)明的重要工具.例1 如圖，是由花盆擺成的圖案，根據(jù)圖中花盆擺放的規(guī)律，第n個(gè)圖形中的花盆數(shù)an= 【答案】 an=3n2-3n+1.【解析】仔細(xì)觀察發(fā)現(xiàn):圖案的花盆數(shù)為:1個(gè), a1=1; 圖案的花盆中間數(shù)為3,上下兩行都是2個(gè), a2=2+3+2; 圖案的花盆中間數(shù)為5,上面兩行由下到上分別遞減1個(gè),而且關(guān)于中間行上下對(duì)稱, a3=3+4+5+4+3;可以猜想: 第n個(gè)圖形中的花盆中間數(shù)為2n-1,上面每行由下到上分別遞減1個(gè),最上面有n個(gè),而且關(guān)于中間行上下對(duì)稱,因此an=n+(n+1)+(2n-1)+(n+1) + n=3n2-3n+1.【評(píng)析】上例是利用歸納推理解決問題的.歸納推理分為完全歸納和不完全歸納，由歸納推理所得的結(jié)論雖然未必是可靠的，但它由特殊到一般，由具體到抽象的認(rèn)識(shí)功能，對(duì)科學(xué)的發(fā)現(xiàn)是十分有用的觀察、實(shí)驗(yàn)，對(duì)有限的資料作歸納整理，提出帶有規(guī)律性的說法，乃是科學(xué)研究的最基本的方法之一.例2 如圖，過四面體V-ABC的底面上任一點(diǎn)O分別作OA1VA，OB1VB，OC1VC，A1，B1，C1分別是所作直線與側(cè)面交點(diǎn) 求證：+為定值分析 考慮平面上的類似命題：“過ABC（底）邊 AB上任一點(diǎn)O分別作OA1AC，OB1BC，分別交BC、AC于A1、B1，求證+為定值”這一命題利用相似三角形性質(zhì)很容易推出其為定值1另外，過A、O分別作BC垂線，過B、O分別作AC垂線，則用面積法也不難證明定值為1于是類比到空間圍形，也可用兩種方法證明其定值為1證明：如圖，設(shè)平面OA1 VABCM，平面OB1 VBACN，平面OC1 VCAB=L，則有MOA1MAV，NOB1NBV，LOC1 LCV得+=+.在底面ABC中，由于AM、BN、CL交于一點(diǎn)O，用面積法易證得：+=1.+=1.【知識(shí)小結(jié)】類比推理是根據(jù)兩個(gè)對(duì)象有一部分屬性類似，推出這兩個(gè)對(duì)象的其他屬性亦類似的一種推理方法，例如我們拿分式同分?jǐn)?shù)來類比,平面幾何與立體幾何中的某些對(duì)象類比等等我們必須清楚類比并不是論證，它可以幫助我們發(fā)現(xiàn)真理通俗地說，合情推理是指“合乎情理”的推理數(shù)學(xué)研究中，得到一個(gè)新結(jié)論之前，合情推理常常能幫助我們猜測(cè)和發(fā)現(xiàn)結(jié)論；證明一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論之前，合情推理常常能為我們提供證明的思路和方向二、從三個(gè)角度解決演繹推理問題角度一：知識(shí)梳理演繹推理的定義：從一般性的原理出發(fā)，推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論，這種推理稱為演繹推理演繹推理是由一般到特殊的推理；“三段論”是演繹推理的一般模式；包括大前提-已知的一般原理；小前提-所研究的特殊情況；結(jié)論-據(jù)一般原理，對(duì)特殊情況做出的判斷三段論的基本格式MP（M是P） （大前提）SM（S是M） （小前提）SP（S是P）（結(jié)論）3.三段論推理的依據(jù),用集合的觀點(diǎn)來理解:若集合M的所有元素都具有性質(zhì)P,S是M的一個(gè)子集,那么S中所有元素也都具有性質(zhì)P.角度二：在實(shí)踐中體會(huì)與解決問題例1 把“函數(shù)的圖象是一條拋物線”恢復(fù)成完全三段論.解：二次函數(shù)的圖象是一條拋物線 （大前提）函數(shù)是二次函數(shù) （小前提）所以函數(shù)的圖象是一條拋物線 （結(jié)論）例2 已知lg2=m,計(jì)算lg0.8.解：（1）lgan=nlga(a0)-大前提lg8=lg23小前提lg8=3lg2結(jié)論 lg(a/b)=lga-lgb(a0,b0)大前提 lg0.8=lg(8/10) 小前提lg0.8=lg(8/10)結(jié)論例3 如圖;在銳角三角形ABC中,ADBC, BEAC,D,E是垂足,求證AB的中點(diǎn)M到D,E的距離相等.解： (1)因?yàn)橛幸粋€(gè)內(nèi)角是只直角的三角形是直角三角形, 大前提在ABC中,ADBC,即ADB=90 -小前提所以ABD是直角三角形 結(jié)論(2)因?yàn)橹苯侨切涡边吷系闹芯€等于斜邊的一半,大前提因?yàn)?DM是直角三角形斜邊上的中線, 小前提 所以 DM= AB 結(jié)論 同理 EM=AB 所以 DM=EM.由此可見，應(yīng)用三段論解決問題時(shí)，首先應(yīng)該明確什么是大前提和小前提但為了敘述簡(jiǎn)潔，如果大前提是顯然的，則可以省略再來看一個(gè)例子例4 證明函數(shù)在內(nèi)是增函數(shù)分析：證明本例所依據(jù)的大前提是：在某個(gè)區(qū)間（a, b）內(nèi)，如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增 小前提是:的導(dǎo)數(shù)在區(qū)間內(nèi)滿足，這是證明本例的關(guān)鍵證明：. 當(dāng)時(shí)，有，所以. 于是根據(jù)“三段論”得在內(nèi)是增函數(shù)在演繹推理中，只要前提和推理形式是正確的，結(jié)論必定是正確的還有其他的證明方法嗎？思考:因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)是增函數(shù)，大前提而是指數(shù)函數(shù)， 小前提所以是增函數(shù) 結(jié)論(1)上面的推理形式正確嗎？ (2)推理的結(jié)論正確嗎？為什么？上述推理的形式正確，但大前提是錯(cuò)誤的（因?yàn)楫?dāng)時(shí)，指數(shù)函數(shù)是減函數(shù)），所以所得的結(jié)論是錯(cuò)誤的“三段論”是由古希臘的亞里士多德創(chuàng)立的亞里士多德還提出了用演繹推理來建立各門學(xué)科體系的思想例如，歐幾里得的原本就是一個(gè)典型的演繹系統(tǒng)，它從10條公理和公設(shè)出發(fā)，利用演繹推理，推出所有其他命題像這種盡可能少地選取原始概念和一組不加證明的原始命題（公理、公設(shè)），以此為出發(fā)點(diǎn)，應(yīng)用演繹推理，推出盡可能多的結(jié)論的方法，稱為公理化方法繼原本之后，公理化方法廣泛應(yīng)用于自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)領(lǐng)域例如，牛頓在他的巨著自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理中，以牛頓三定律為公理，運(yùn)用演繹推理推出關(guān)于天體空間的一系列科學(xué)理論，建立了牛頓力學(xué)的一整套完整的理論體系至此，我們學(xué)習(xí)了兩種推理方式一一合情推理與演繹推理角度三：答疑解惑 1合情推理與演繹推理的主要區(qū)別是什么？歸納和類比是常用的合情推理從推理形式上看，歸納是由部分到整體、個(gè)別到一般的推理,類比是由特殊到特殊的推理；而演繹推理是由一般到特殊的推理從推理所得的結(jié)論來看，合情推理的結(jié)論不一定正確，有待進(jìn)一步證明；演繹推理在大前提、小前提和推理形式都正確的前提下，得到的結(jié)論一定正確人們?cè)谡J(rèn)識(shí)世界的過程中，需要通過觀察、將積累的知識(shí)加工、整理，使之條理化、實(shí)驗(yàn)等獲取經(jīng)驗(yàn)；也需要辨別它們的真系統(tǒng)化合情推理和演繹推理分別在這兩個(gè)環(huán)節(jié)中扮演著重要角色.就數(shù)學(xué)而言，演繹推理是證明數(shù)學(xué)結(jié)論、建立數(shù)學(xué)體系的重要思維過程，但數(shù)學(xué)結(jié)明思路等的發(fā)現(xiàn)，主要靠合情推理因此，我們不僅要學(xué)會(huì)證明，也要學(xué)會(huì)猜想2演繹推理常見錯(cuò)誤產(chǎn)生的主要原因是：(1)大前提不成立；(2)小前提不符合大前提的條件. 3解答演繹推理題時(shí)的方法技巧：（1）緊扣題干內(nèi)容，不要對(duì)題中陳述的事實(shí)提出任何懷疑，不要被與題中陳述不一致的常理所干擾.題中所給的陳述有的合乎常理，有的可能不太合乎常理.但你心中必須明確，這段陳述在解答過程中被假設(shè)是正確的、不容置疑的.你不能對(duì)試題所陳述的事實(shí)的正誤提出懷疑，也不能自作聰明地以自己具備的這方面的知識(shí)進(jìn)行推理，得出答案，而完全忽視試題中所陳述的事實(shí).（2）依靠形式邏輯有關(guān)推論法則嚴(yán)格推理，注意大前提、小前提、結(jié)論三者之間的關(guān)系