人教版高數(shù)必修三第8講：變量間的相關關系(教師版).docx

變量間的相關關系_1.通過收集現(xiàn)實問題中兩個有關聯(lián)變量的數(shù)據(jù)認識變量間的相關關系.2.明確事物間的相互聯(lián)系.認識現(xiàn)實生活中變量間除了存在確定的關系外,仍存在大量的非確定性的相關關系,并利用散點圖直觀體會這種相關關系.3.經(jīng)歷用不同估算方法描述兩個變量線性相關的過程知道最小二乘法的思想,能根據(jù)給出的線性回歸方程的系數(shù)公式建立線性回歸方程1相關關系(1)定義：如果兩個變量中一個變量的取值一定時，另一個變量的取值帶有一定的_性，那么這兩個變量之間的關系，叫做相關關系(2)兩類特殊的相關關系：如果散點圖中點的分布是從_角到_角的區(qū)域，那么這兩個變量的相關關系稱為正相關，如果散點圖中點的分布是從_角到_角的區(qū)域，那么這兩個變量的相關關系稱為負相關隨機 左下 右上 左上 右下兩個變量間的關系分為三類：一類是確定性的函數(shù)關系，如正方形的邊長與面積的關系；另一類是變量間確實存在關系，但又不具備函數(shù)關系所要求的確定性，它們的關系是帶有隨機性的，這種關系就是相關關系，例如，某位同學的“物理成績”與“數(shù)學成績”之間的關系，我們稱它們?yōu)橄嚓P關系；再一類是不相關，即兩個變量間沒有任何關系2線性相關(1)定義：如果兩個變量散點圖中點的分布從整體上看大致在一條_附近，我們就稱這兩個變量之間具有線性相關關系，這條直線叫做_(2)最小二乘法：求線性回歸直線方程x時，使得樣本數(shù)據(jù)的點到它的_最小的方法叫做最小二乘法，其中a，b的值由以下公式給出：直線 回歸直線 距離的平方和其中，是回歸方程的_，是回歸方程在y軸上的_ 斜率 截距線性回歸分析涉及大量的計算，形成操作上的一個難點，可以利用計算機非常方便地作散點圖、回歸直線，并能求出回歸直線方程因此在學習過程中，要重視信息技術的應用類型一 變量之間的相關關系的判斷例1：(1)下列變量之間的關系不是相關關系的是()A二次函數(shù)yax2bxc中，a，c是已知常數(shù)，取b為自變量，因變量是判別式b24acB光照時間和果樹畝產量C降雪量和交通事故發(fā)生率D每畝田施肥量和糧食畝產量(2)現(xiàn)隨機抽取某校10名學生在入學考試中的數(shù)學成績x與入學后的第一次數(shù)學成績y，數(shù)據(jù)如下：學號12345678910x12010811710410311010410599108y84648468696869465771請利用散點圖判斷這10名學生的兩次數(shù)學考試成績是否具有相關關系解析(1)在A中，若b確定，則a，b，c都是常數(shù)，b24ac也就唯一確這了，因此，這兩者之間是確定性的函數(shù)關系；一般來說，光照時間越長，果樹畝產量越高；降雪量越大，交通事故發(fā)生率越高；施肥量越多，糧食畝產量越高，所以B，C，D是相關關系故選A.(2)兩次數(shù)學考試成績散點圖如圖所示，由散點圖可以看出兩個變量的對應點集中在一條直線的周圍，具有正相關關系因此，這10名學生的兩次數(shù)學考試成績具有相關關系練習1：對變量x，y有觀測數(shù)據(jù)(xi，yi)(i1,2，10)，得散點圖(1)；對變量u，v有觀測數(shù)據(jù)(ui，vi)(i1,2，10)，得散點圖(2)由這兩個散點圖可以判斷()A變量x與y正相關，u與v正相關B變量x與y正相關，u與v負相關C變量x與y負相關，u與v正相關D變量x與y負相關，u與v負相關答案C類型二 回歸直線方程例2：隨著人們經(jīng)濟收入的不斷增長，個人購買家庭轎車已不再是一種時尚車的使用費用，尤其是隨著使用年限的增多，所支出的費用到底會增長多少，一直是購車一族非常關心的問題某汽車銷售公司作了一次抽樣調查，并統(tǒng)計得出某款車的使用年限x與所支出的總費用y(萬元)有如下的數(shù)據(jù)資料：使用年限x23456總費用y2.23.85.56.57.0若由資料，知y對x呈線性相關關系試求：(1)線性回歸方程x的回歸系數(shù)、；(2)估計使用年限為10年時，車的使用總費用是多少？解析第一步，列表xi，yi，xiyi；第二步，計算，iyi；第三步，代入公式計算b，a的值；第四步，寫出回歸直線方程(1)利用公式：來計算回歸系數(shù)有時為了方便常列表，對應列出xiyi、x，以利于求和(2)獲得線性回歸方程后，取x10，即得所求答案(1)列表：i12345xi23456yi2.23.85.56.57.0xiyi4.411.422.032.542.0x491625364，5，90，iyi112.3于是1.23；b51.2340.08.(2)線性回歸直線方程是1.23x0.08，當x10(年)時，1.23100.0812.38(萬元)，即估計使用10年時，支出總費用是12.38萬元練習1：(2015石家莊高二檢測)已知回歸直線的斜率的估計值是1.23，樣本點中心(即(，)為(4,5)，則回歸直線的方程是()A.1.23x4 B.1.23x5C.1.23x0.08 D.0.08x1.23答案C練習2：某公司的廣告費支出x(單位：萬元)與銷售額y(單位：萬元)之間有下列對應數(shù)據(jù)：x24568y3040605070資料顯示y對x呈線性相關關系根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)得到回歸方程x中的6.5，預測銷售額為115萬元時約需_萬元廣告費答案15有人統(tǒng)計了同一個省的6個城市某一年的人均國民生產總值(即人均GDP)和這一年各城市患白血病的兒童年數(shù)量，如下表：人均GDP/萬元1086431患白血病的兒童數(shù)/人351312207175132180(1)畫出散點圖，并判定這兩個變量是否具有線性相關關系；(2)通過計算可知這兩個變量的回歸直線方程為23.25x102.15，假如一個城市的人均GDP為12萬元，那么可以斷言，這個城市患白血病的兒童一定超過380人，請問這個斷言是否正確？解析(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)畫散點圖，如圖所示，從圖可以看出，在6個點中，雖然第一個點離這條直線較遠，但其余5個點大致分布在這條直線的附近，所以這兩個變量具有線性相關關系(2)上述斷言是錯誤的，將x12代入23.25x102.15得23.2512102.15381.15380，但381.15是對該城市人均GDP為12萬元的情況下所作的一個估計，該城市患白血病的兒童可能超過380人，也可能低于380人練習1：某工廠為了對新研發(fā)的一種產品進行合理定價，將該產品按事先擬定的價格進行試銷，得到如下數(shù)據(jù)：單價x(元)88.28.48.68.89銷量y(件)908483807568(1)求回歸直線方程x，其中20.(2)預計在今后的銷售中，銷量與單價仍然服從(1)中的關系，且該產品的成本是4元/件，為使工廠獲得最大利潤，該產品的單價應定為多少元？(利潤銷售收入成本)答案(1)由于(x1x2x3x4x5x6)8.5，(y1y2y3y4y5y6)80.所以80208.5250，從而回歸直線方程為20x250.(2)設工廠獲得的利潤為L元，依題意得Lx(20x250)4(20x250)20x2330x100020(x8.25)2361.25.當且僅當x8.25時，L取得是大值，故當單價定為8.25元時，工廠可獲得最大利潤1下列兩個變量之間的關系：角度和它的余弦值；正n邊形的邊數(shù)與內角和；家庭的支出與收入；某戶家庭用電量與電價間的關系其中是相關關系的有()A1個B2個C3個D4個答案A2下列圖形中兩個變量具有相關關系的是() 答案C3設一個回歸方程為31.2x，則變量x增加一個單位時()Ay平均增加1.2個單位By平均增加3個單位Cy平均減少1.2個單位Dy平均減少3個單位答案A4現(xiàn)有5組數(shù)據(jù)A(1,3)、B(2,4)、C(4,5)、D(3,10)、E(10,12)，去掉_組數(shù)據(jù)后，剩下的4組數(shù)據(jù)的線性相關性最大答案D5下表提供了某廠節(jié)能降耗技術改造后生產甲產品過程中記錄的產量x(噸)與相應的生產能耗y(噸標準煤)的幾組對照數(shù)據(jù)：x3456y2.5344.5(1)請畫出上表數(shù)據(jù)的散點圖；(2)請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關于x的線性回歸方程x；(3)已知該廠技改前100噸甲產品的生產能耗為90噸標準煤試根據(jù)(2)求出的線性回歸方程，預測生產100噸甲產品的生產能耗比技改前降低多少噸標準煤？解析(1)散點圖，如圖所示(2)由題意，得iyi32.5435464.566.5，4.5，3.5，3242526286，0.7，3.50.74.50.35，故線性回歸方程為0.7x0.35.(3)根據(jù)回歸方程的預測，現(xiàn)在生產100噸產品消耗的標準煤的數(shù)量為0.71000.3570.35，故耗能減少了9070.3519.65(噸標準煤)_基礎鞏固一、選擇題1由一組樣本數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)得到的回歸直線方程bxa，那么下面說法不正確的是()A直線bxa必經(jīng)過點(，)B直線bxa至少經(jīng)過點(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)中的一個點C直線bxa的斜率為D直線bxa和各點(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)的偏差yi(bxia)2是該坐標平面上所有直線與這些點的偏差中最小的直線答案B解析由ab 知b bx，必定過(，)點回歸直線方程對應的直線是與樣本數(shù)據(jù)距離最小的，但不一定過原始數(shù)據(jù)點，只須和這些點很接近即可2下列說法正確的是()A對于相關系數(shù)r來說，|r|1，|r|越接近0，相關程度越大；|r|越接近1，相關程度越小B對于相關系數(shù)r來說，|r|1，|r|越接近1，相關程度越大；|r|越大，相關程度越小C對于相關系數(shù)r來說，|r|1，|r|越接近1，相關程度越大；|r|越接近0，相關程度越小D對于相關系數(shù)r來說，|r|1，|r|越接近1，相關程度越小；|r|越大，相關程度越大答案C3(2015遼寧鞍山調研)兩個變量成負相關關系時，散點圖的特征是()A點從左下角到右上角區(qū)域散布B點散布在某帶形區(qū)域內C點散布在某圓形區(qū)域內D點從左上角到右下角區(qū)域散布答案D4(2014重慶)已知變量x與y正相關，且由觀測數(shù)據(jù)算得樣本的平均數(shù)2.5，3.5，則由觀測的數(shù)據(jù)得線性回歸方程可能為()A.0.4x2.3 B.2x2.4C.2x9.5 D.0.3x4.4答案A解析x，正相關則b0，排除C，D.過中點心(，)(3,3.5)，選A.5某化工廠為預測某產品的回收率y，需要研究它的原料有效成分含量x之間的相關關素，現(xiàn)取了8對觀測值，計算得：i52，i228，478，iyi1849，則y對x的回歸直線的方程是()A.11.472.62x B.11.472.62xC.2.6211.47x D.11.472.62x答案A解析由已知得i52，i228，所以2.62，2.6211.47，所以2.62x11.47.6為了考查兩個變量x和y之間的線性關系，甲、乙兩位同學各自獨立做了10次和15次試驗，并且利用線性回歸方法，求得回歸直線分別為l1、l2，已知兩人所得的試驗數(shù)據(jù)中，變量x和y的數(shù)據(jù)的平均值都相等，且分別是s和t，那么下列說法中正確的是()A直線l1、l2一定有公共點(s，t)B直線l1、l2相交，但交點不一定是(s，t)C必有直線l1l2Dl1、l2必定重合答案A解析線性回歸直線方程為bxa，而，即atbs，tbsa，所以(s，t)在回歸直線上，直線l1、l2一定有公共點(s，t)二、填空題7(2011遼寧高考)調查了某地若干戶家庭的年收入x(單位：萬元)和年飲食支出y(單位：萬元)，調查顯示年收入x與年飲食支出y具有線性相關關系，并由調查數(shù)據(jù)得到y(tǒng)對x的回歸直線方程：0.254x0.321.由回歸直線方程可知，家庭年收入每增加1萬元，年飲食支出平均增加_萬元答案0.254解析由于0.254x0.321知，當x增加1萬元時，年飲食支出y增加0.254萬元8某單位為了解用電量y(度)與氣溫x()之間的關系，隨機抽查了某4天的用電量與當天氣溫，并制作了對照表：氣溫()1813101用電量(度)24343864由表中數(shù)據(jù)得線性回歸方程x中2，預測當氣溫為4時，用電量約為_度答案68解析10，40，因為回歸方程一定過點(，)，所以，則4021060.則2x60，當x4時，2(4)6068.三、解答題9某種產品的廣告費支出x與銷售額y之間有如下對應數(shù)據(jù)(單位：百萬元)x24568y3040605070(1)畫出散點圖；(2)從散點圖中判斷銷售金額與廣告費支出成什么樣的關系？解析(1)以x對應的數(shù)據(jù)為橫坐標，以y對應的數(shù)據(jù)為縱坐標，所作的散點圖如下圖所示：(2)從圖中可以發(fā)現(xiàn)廣告費支出與銷售金額之間具有相關關系，并且當廣告費支出由小變大時，銷售金額也大多由小變大，圖中的數(shù)據(jù)大致分布在某條直線的附近，即x與y成正相關關系10一臺機器由于使用時間較長，生產的零件有一些缺損按不同轉速生產出來的零件有缺損的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表所示：轉速x(轉/秒)1614128每小時生產有缺損零件數(shù)y(個)11985(1)作出散點圖；(2)如果y與x線性相關，求出回歸直線方程；(3)若實際生產中，允許每小時的產品中有缺損的零件最多為10個，那么，機器的運轉速度應控制在什么范圍內？解析先作出散點圖，再根據(jù)散點圖判斷y與x呈線性相關，從而建立回歸直線方程求解解：(1)作散點圖如圖所示(2)由散點圖可知y與x線性相關故可設回歸直線方程為bxa.依題意，用計算器可算得：12.5，8.25，660，iyi438.b0.73，ab8.250.7312.50.875.所求回歸直線方程為0.73x0.875.(3)令10，得0.73x0.87510，解得x15.即機器的運轉速度應控制在15轉/秒內能力提升一、選擇題1(2014湖北)根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù)得到的回歸方程為bxa，則()x345678y4.02.50.50.52.03.0A.a0，b0Ba0，b0Ca0，b0Da0，b0答案A解析由于x增大y減小知b0，又x3時y0，a0，故選A.2某產品的廣告費用x與銷售額y的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表：廣告費用x(萬元)4235銷售額y(萬元)49263954根據(jù)上表可得回歸方程x中的為9.4，據(jù)此模型預報廣告費用為6萬元時銷售額為()A63.6萬元B65.5萬元C67.7萬元D72.0萬元答案B探究由線性回歸方程的圖象過樣本點的中心，可求得線性回歸方程，然后結合該方程對x6時的銷售額作出估計解析樣本點的中心是(3.5,42)，則429.43.59.1，所以線性回歸方程是9.4x9.1，把x6代入得65.5.3已知x與y之間的幾組數(shù)據(jù)如下表：x123456y021334假設根據(jù)上表數(shù)據(jù)所得線性回歸直線方程為x.若某同學根據(jù)上表中的前兩組數(shù)據(jù)(1,0)和(2,2)求得的直線方程為ybxa，則以下結論正確的是()A.b，a B.b，aC.b，a D.b，a答案C探究先由已知條件分別求出b，a的值，再由，的計算公式分別求解，的值，即可作出比較解析由兩組數(shù)據(jù)(1,0)和(2,2)可求得直線方程為y2x2，從而b2，a2.而利用線性回歸方程的公式與已知表格中的數(shù)據(jù)，可求得，所以b，a.4某學生課外活動興趣小組對兩個相關變量收集到5組數(shù)據(jù)如下表：x1020304050y62758189由最小二乘法求得回歸方程為0.67x54.9，現(xiàn)發(fā)現(xiàn)表中有一個數(shù)據(jù)模糊不清，請推斷該數(shù)據(jù)的值為()A60B62C68D68.3答案C解析由題意可得30，代入回歸方程得75.設看不清處的數(shù)為a，則62a758189755，a68.點評表中所給的數(shù)據(jù)只反映x與y的線性關系，并非函數(shù)關系，因而不能直接代入線性方程求預報值，應根據(jù)線性回歸方程性質，即線性回歸方程經(jīng)過中心點(，)求解二、填空題52010年4月初，廣東部分地區(qū)流行手足口病，黨和政府采取果斷措施，防治結合，很快使病情得到控制下表是某同學記載的2010年4月1日到2010年4月12日每天廣州手足口病治愈出院者數(shù)據(jù)，根據(jù)這些數(shù)據(jù)繪制散點圖如圖.日期123456人數(shù)100109115118121134日期789101112人數(shù)141152168175186203下列說法：根據(jù)此散點圖，可以判斷日期與人數(shù)具有線性相關關系；根據(jù)此散點圖，可以判斷日期與人數(shù)且有一次函數(shù)關系；后三天治愈出院的人數(shù)占這12天治愈出院人數(shù)的30%多；后三天治愈出院的人數(shù)均超過這12天內北京市治愈出院人數(shù)的20%.其中正確的個數(shù)是_答案26改革開放30年以來，我國高等教育事業(yè)迅速發(fā)展，對某省19902000年考大學升學百分比按城市、縣鎮(zhèn)、農村進行統(tǒng)計，將19902000年依次編號為010，回歸分析之后得到每年考入大學的百分比y與年份x的關系為：城市：2.84x9.50；縣鎮(zhèn)：2.32x6.67；農村：0.42x1.80.根據(jù)以上回歸直線方程，城市、縣鎮(zhèn)、農村三個組中，_的大學入學率增長最快按同樣的增長速度，可預測2010年，農村考入大學的百分比為_%.答案城市10.2探究增長速度可根據(jù)回歸直線的斜率來判斷，斜率大的增長速度快，斜率小的增長速度慢解析通過題目中所提供的回歸方程可判斷，城市的大學入學率增長最快；2010年農村考入大學的百分比為0.42201.8010.2.三、解答題7(2014新課標全國高考)某地區(qū)2007年至2013年農村居民家庭人均純收入y(單位：千元)的數(shù)據(jù)如下表年份2007200820092010201120122013年份代號1234567人均純收入y2.93.33.64.44.85.25.9(1)求y關于t的線性回歸