高中數(shù)學(xué)第二章變化率與導(dǎo)數(shù)及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用中導(dǎo)數(shù)問題的六大熱點(diǎn)拓展資料素材北師大選修11

高考中導(dǎo)數(shù)問題的六大熱點(diǎn)由于導(dǎo)數(shù)其應(yīng)用的廣泛性，為解決函數(shù)問題提供了一般性的方法及簡(jiǎn)捷地解決一些實(shí)際問題因此在高考占有較為重要的地位，其考查重點(diǎn)是導(dǎo)數(shù)判斷或論證單調(diào)性、函數(shù)的極值和最值，利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問題等方面，下面例析導(dǎo)數(shù)的六大熱點(diǎn)問題，供參考一、運(yùn)算問題例1已知函數(shù)，求導(dǎo)函數(shù)分析：用商的導(dǎo)數(shù)及復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算律即可解決解：評(píng)注：對(duì)于導(dǎo)數(shù)運(yùn)算問題關(guān)鍵是記清運(yùn)算法則主要是導(dǎo)數(shù)的定義、常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、函數(shù)和差積商的導(dǎo)數(shù)法則等二、切線問題例2設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，則 分析：由垂直關(guān)系可得切線的斜率為，又k，即可求出a的值解：，切線的斜率，由垂直關(guān)系，有，解得評(píng)注：是指運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義或物理意義，解決瞬時(shí)速度，加速度，光滑曲線切線的斜率等三類問題特別是求切線的斜率、傾斜角及切線方程問題，其中： (1) 曲線yf(x)在點(diǎn)P(x0，f(x0)處的斜率k，傾斜角為，則tank(2)其切線l的方程為：yy0(xx0)若曲線yf(x)在點(diǎn)P(x0，f(x0)的切線平行于y軸(即導(dǎo)數(shù)不存在)時(shí)，由切線定義知，切線方程為xx0三、單調(diào)性問題例3已知函數(shù)，（）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（）設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)，求的取值范圍分析：對(duì)于第(1)小題，求導(dǎo)后利用f (x)0或0，解不等式即得單調(diào)區(qū)間；而(2)轉(zhuǎn)化為0在上恒成立即可解：（1）求導(dǎo)：當(dāng)時(shí)，在上遞增當(dāng)，求得兩根為，即在遞增，遞減，遞增（2）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)，則兩根在區(qū)間外，即，解得a2，故取值范圍是2，)評(píng)注：一般地，設(shè)函數(shù)yf(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)如果f (x)0，則f(x)為增函數(shù)；如果f (x)0，則f(x)為減函數(shù)單調(diào)性是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的重點(diǎn)內(nèi)容，主要有四類問題：運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)區(qū)間；證明單調(diào)性；已知單調(diào)性求參數(shù)；先證明其單調(diào)性，再運(yùn)用單調(diào)證明不等式等問題四、極值問題例4已知函數(shù)其中nN*,a為常數(shù)當(dāng)n=2時(shí)，求函數(shù)f(x)的極值；分析：運(yùn)用導(dǎo)數(shù)先確定函數(shù)的單調(diào)性，再求其極值解：由已知得函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閤|x1， 當(dāng)n=2時(shí)， 所以(1)當(dāng)a0時(shí)，由0，得1，1，此時(shí) f（x）=.當(dāng)x（1，x1）時(shí)，f（x）0,f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x（x1+）時(shí)，f（x）0, f(x)單調(diào)遞增.（2）當(dāng)a0時(shí)，f（x）0恒成立，所以f(x)無(wú)極值.綜上所述，n=2時(shí)，當(dāng)a0時(shí)，f(x)在處取得極小值，極小值為當(dāng)a0時(shí)，f(x)無(wú)極值評(píng)注：運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解決極值問題一般地，當(dāng)函數(shù)f(x)在x0處連續(xù)，判別f(x0)為極大(小)值的方法是： 若0，且在x0附近的左側(cè)0，右側(cè)0，那么f(x0)是極大值， 如果在x0附近的左側(cè)0，右側(cè)0，那么f(x0)是極小值五、最值問題例5 求函數(shù)f(x)x42x25在2，2上的最大值與最小值分析：可先求出導(dǎo)數(shù)及極值點(diǎn)，再計(jì)算解： 4x34x，令0，解得x11，x20，x31，均在(2，2)內(nèi)計(jì)算f(1)4，f(0)5，f(1)4，f(2)13，f(2)13通過比較，可見f(x) 在2，2上的最大值為13，最小值為4評(píng)注：運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求最大(小)值的一般步驟如下：若f(x)在a，b上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，則 求，令0，求出在(a，b)內(nèi)使導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)及導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn) 比較三類點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)及區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值，其中最大者便是f(x)在a，b上的最大值，最小者便是f(x)在a，b上的最小值六、應(yīng)用問題例6 用總長(zhǎng)14.8m的鋼條制成一個(gè)長(zhǎng)方體容器的框架，如果所制做容器的底面的一邊比另一邊長(zhǎng)0.5m，那么高為多少時(shí)容器的容積最大？并求出它的最大容積.分析：本小題主要考查應(yīng)用所學(xué)導(dǎo)數(shù)的知識(shí)、思想和方法解決實(shí)際問題的能力，建立函數(shù)式、解方程、不等式、最大值等基礎(chǔ)知識(shí)解：設(shè)容器底面短邊長(zhǎng)為m，則另一邊長(zhǎng)為 m