探究與發(fā)現(xiàn)互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)圖象之間的關(guān)系.doc

反函數(shù)教材：人教版全日制普通高級(jí)中學(xué)教科書（必修）數(shù)學(xué)第一冊(cè)（上）教學(xué)目標(biāo)：1了解反函數(shù)的概念，弄清原函數(shù)與反函數(shù)的定義域和值域的關(guān)系2會(huì)求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的反函數(shù)3在嘗試、探索求反函數(shù)的過程中，深化對(duì)概念的認(rèn)識(shí)，總結(jié)出求反函數(shù)的一般步驟，加深對(duì)函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合以及由特殊到一般等數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí)4進(jìn)一步完善學(xué)生思維的深刻性，培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力，用辯證的觀點(diǎn)分析問題，培養(yǎng)抽象、概括的能力教學(xué)重點(diǎn)：求反函數(shù)的方法教學(xué)難點(diǎn)：反函數(shù)的概念教學(xué)過程：教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖一、創(chuàng)設(shè)情境，引入新課1復(fù)習(xí)提問函數(shù)的概念y=f(x)中各變量的意義2同學(xué)們?cè)谖锢碚n學(xué)過勻速直線運(yùn)動(dòng)的位移和時(shí)間的函數(shù)關(guān)系，即S=vt和t=（其中速度v是常量），在S=vt中位移S是時(shí)間t的函數(shù)；在t=中，時(shí)間t是位移S的函數(shù)在這種情況下，我們說(shuō)t=是函數(shù)S=vt的反函數(shù)什么是反函數(shù)，如何求反函數(shù)，就是本節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容3板書課題由實(shí)際問題引入新課，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，展示了教學(xué)目標(biāo)這樣既可以撥去“反函數(shù)”這一概念的神秘面紗，也可使學(xué)生知道學(xué)習(xí)這一概念的必要性二、實(shí)例分析，組織探究1問題組一：（用投影給出函數(shù)與；與（）的圖象）（1）這兩組函數(shù)的圖像有什么關(guān)系？這兩組函數(shù)有什么關(guān)系？（生答：與的圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱；與（）的圖象也關(guān)于直線y=x對(duì)稱是求一個(gè)數(shù)立方的運(yùn)算，而是求一個(gè)數(shù)立方根的運(yùn)算，它們互為逆運(yùn)算同樣，與（）也互為逆運(yùn)算）（2）由，已知y能否求x？（3）是否是一個(gè)函數(shù)？它與有何關(guān)系？（4）與有何聯(lián)系？2問題組二：（1）函數(shù)y=2x+1(x是自變量)與函數(shù)x=2y+1(y是自變量)是否是同一函數(shù)？（2）函數(shù)(x是自變量)與函數(shù)x=2y+1(y是自變量)是否是同一函數(shù)？（3）函數(shù) （）的定義域與函數(shù)（）的值域有什么關(guān)系？3滲透反函數(shù)的概念（教師點(diǎn)明這樣的函數(shù)即互為反函數(shù)，然后師生共同探究其特點(diǎn)）從學(xué)生熟知的函數(shù)出發(fā)，抽象出反函數(shù)的概念，符合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，有利于培養(yǎng)學(xué)生抽象、概括的能力通過這兩組問題，為反函數(shù)概念的引出做了鋪墊，利用舊知，引出新識(shí)，在“最近發(fā)展區(qū)”設(shè)計(jì)問題，使學(xué)生對(duì)反函數(shù)有一個(gè)直觀的粗略印象，為進(jìn)一步抽象反函數(shù)的概念奠定基礎(chǔ)三、師生互動(dòng)，歸納定義1（根據(jù)上述實(shí)例，教師與學(xué)生共同歸納出反函數(shù)的定義）函數(shù)y=f(x)(xA) 中，設(shè)它的值域?yàn)?C我們根據(jù)這個(gè)函數(shù)中x,y的關(guān)系，用 y 把 x 表示出來(lái)，得到 x = j (y) 如果對(duì)于y在C中的任何一個(gè)值，通過x = j (y)，x在A中都有唯一的值和它對(duì)應(yīng)，那么, x = j (y)就表示y是自變量，x是自變量 y 的函數(shù)這樣的函數(shù) x = j (y)(y C)叫做函數(shù)y=f(x)(xA)的反函數(shù).記作: 考慮到“用 x表示自變量, y表示函數(shù)”的習(xí)慣，將中的x與y對(duì)調(diào)寫成2引導(dǎo)分析：1）反函數(shù)也是函數(shù)；2）對(duì)應(yīng)法則為互逆運(yùn)算；3）定義中的“如果”意味著對(duì)于一個(gè)任意的函數(shù)y=f(x)來(lái)說(shuō)不一定有反函數(shù)；4）函數(shù)y=f(x)的定義域、值域分別是函數(shù)x=f(y)的值域、定義域；5）函數(shù)y=f(x)與x=f(y)互為反函數(shù)；6）要理解好符號(hào)f；7）交換變量x、y的原因3兩次轉(zhuǎn)換x、y的對(duì)應(yīng)關(guān)系 （原函數(shù)中的自變量x與反函數(shù)中的函數(shù)值y 是等價(jià)的，原函數(shù)中的函數(shù)值y與反函數(shù)中的自變量x是等價(jià)的） 4函數(shù)與其反函數(shù)的關(guān)系函數(shù)y=f(x)函數(shù)定義域AC值 域CA四、應(yīng)用解題，總結(jié)步驟1（投影例題）【例1】求下列函數(shù)的反函數(shù)（1）y=3x-1 (2)y=x+1【例2】求函數(shù)的反函數(shù)（教師板書例題過程后，由學(xué)生總結(jié)求反函數(shù)步驟）2總結(jié)求函數(shù)反函數(shù)的步驟:1 由y=f(x)反解出x=f(y)2 把x=f(y)中 x與y互換得.3 寫出反函數(shù)的定義域. （簡(jiǎn)記為：反解、互換、寫出反函數(shù)的定義域）【例3】（1）有沒有反函數(shù)?（2）的反函數(shù)是_（3）(x0)的反函數(shù)是_ 在上述探究的基礎(chǔ)上，揭示反函數(shù)的定義，學(xué)生有針對(duì)性地體會(huì)定義的特點(diǎn)，進(jìn)而對(duì)定義有更深刻的認(rèn)識(shí)，與自己的預(yù)設(shè)產(chǎn)生矛盾沖突，體會(huì)反函數(shù)在剖析定義的過程中，讓學(xué)生體會(huì)函數(shù)與方程、一般到特殊的數(shù)學(xué)思想，并對(duì)數(shù)學(xué)的符號(hào)語(yǔ)言有更好的把握 通過動(dòng)畫演示，表格對(duì)照，使學(xué)生對(duì)反函數(shù)定義從感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí)，從而消化理解通過對(duì)具體例題的講解分析，在解題的步驟上和方法上為學(xué)生起示范作用，并及時(shí)歸納總結(jié)，培養(yǎng)學(xué)生分析、思考的習(xí)慣，以及歸納總結(jié)的能力 題目的設(shè)計(jì)遵循了從了解到理解，從掌握到應(yīng)用的不同層次要求，由淺入深，循序漸進(jìn)并體現(xiàn)了對(duì)定義的反思理解學(xué)生思考練習(xí)，師生共同分析糾正五、鞏固強(qiáng)化，評(píng)價(jià)反饋1已知函數(shù) y=f(x)存在反函數(shù)，求它的反函數(shù) y =f( x)（1）y=-2x+3(xR) （2）y=-(xR,且x)( 3 ) y=(xR,且x)2已知函數(shù)f(x)=(xR,且x)存在反函數(shù)，求f(7)的值五、反思小結(jié)，再度設(shè)疑本節(jié)課主要研究了反函數(shù)的定義，以及反函數(shù)的求解步驟互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的圖象到底有什么特點(diǎn)呢？為什么具有這樣的特點(diǎn)呢？我們將在下節(jié)研究（讓學(xué)生談一下本節(jié)課的學(xué)習(xí)體會(huì)，教師適時(shí)點(diǎn)撥）進(jìn)一步強(qiáng)化反函數(shù)的概念，并能正確求出反函數(shù)反饋學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握情況，評(píng)價(jià)學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)目標(biāo)的落實(shí)程度具體實(shí)踐中可采取同學(xué)板演、分組競(jìng)賽等多種形式調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性“問題是數(shù)學(xué)的心臟”學(xué)生帶著問題走進(jìn)課堂又帶著新的問題走出課堂六、作業(yè)習(xí)題2.4第1題，第2題進(jìn)一步鞏固所學(xué)的知識(shí)教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明“問題是數(shù)學(xué)的心臟”一個(gè)概念的形成是螺旋式上升的，一般要經(jīng)過具體到抽象，感性到理性的過程本節(jié)教案通過一個(gè)物理學(xué)中的具體實(shí)例引入反函數(shù)，進(jìn)而又通過若干函數(shù)的圖象進(jìn)一步加以誘導(dǎo)剖析，最終形成概念反函數(shù)的概念是教學(xué)中的難點(diǎn)，原因是其本身較為抽象，經(jīng)過兩次代換，又采用了抽象的符號(hào)由于沒有一一映射，逆映射等概念的支撐，使學(xué)生難以從本質(zhì)上去把握反函數(shù)的概念為此，我們大膽地使用教材，把互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)系預(yù)先揭示，進(jìn)而探究原因，尋找規(guī)律，程序是從問題出發(fā)，研究性質(zhì)，進(jìn)而得出概念，這正是數(shù)學(xué)研究的順序，符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律，有助于概念的建立與形成另外，對(duì)概念的剖析以及習(xí)題的