江蘇省蘇州市外國語學(xué)校2019_2020學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期自主學(xué)習(xí)檢查試題（一）（含解析）.docx

江蘇省蘇州市外國語學(xué)校2019-2020學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期自主學(xué)習(xí)檢查試題（一）（含解析）一、單選題（每題 5 分，共計(jì) 60 分）1.已知a，b，c，dR，則下列不等式中恒成立的是（）A. 若ab，cd，則acbdB. 若ab，則C. 若ab0，則（ab）c0D. 若ab，則acbc【答案】D【解析】【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷【詳解】當(dāng)時，A不成立；當(dāng)時，B不成立；當(dāng)時，C不成立；由不等式的性質(zhì)知D成立故選D【點(diǎn)睛】本題考查不等式的性質(zhì)，不等式的性質(zhì)中，不等式兩邊乘以同一個正數(shù)，不等式號方向不變，兩邊乘以同一個負(fù)數(shù)，不等式號方向改變，這個性質(zhì)容易出現(xiàn)錯誤：一是不區(qū)分所乘數(shù)的正負(fù)，二是不區(qū)分是否為02.不等式x2+ax+40對任意實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A. （4，4）B. （，4）（4，+）C. （，+）D. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解【詳解】不等式x2+ax+40對任意實(shí)數(shù)x恒成立，則，故選A【點(diǎn)睛】本題考查一元二次不等式恒成立問題，解題時可借助二次函數(shù)的圖象求解3.設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則（ ）A. 153B. 210C. 135D. 120【答案】A【解析】【分析】根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式，判斷數(shù)列為等差數(shù)列，并求得數(shù)列的前3項(xiàng)均小于，從第4項(xiàng)起均大于，對所求式子去掉絕對值，利用等差數(shù)列前項(xiàng)和，求得式子值.【詳解】因?yàn)?，所以?shù)列是均小于，均大于的等差數(shù)列，所以.選A.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列中的基本量法求數(shù)列的前項(xiàng)和，解題的關(guān)鍵在于判斷各項(xiàng)的正負(fù).4.若實(shí)數(shù)滿足，則的最大值是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)，將等式轉(zhuǎn)化為不等式，求的最大值.【詳解】,，解得，的最大值是.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了基本不等式求最值，屬于基礎(chǔ)題型.5.已知數(shù)列成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，則A. 1B. C. -D. 【答案】B【解析】【分析】利用等差中項(xiàng)和等比中項(xiàng)的概念來計(jì)算、的值.【詳解】因?yàn)槌傻炔顢?shù)列，所以，所以；因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以，且和的正負(fù)號相同，則.所以.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查等差中項(xiàng)和等比中項(xiàng)的計(jì)算，難度較易.一般的，若成等差數(shù)列，則稱是與的等差中項(xiàng)；若成等比數(shù)列，則稱是與的等比中項(xiàng).6.已知兩個等差數(shù)列和的前n項(xiàng)和分別為和，且，則（ ）A. B. C. D. 15【答案】B【解析】【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)以及前項(xiàng)和公式，逆向構(gòu)造得，從而求出其比值.【詳解】因?yàn)?故答案選.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)用，以及前項(xiàng)和公式的應(yīng)用，屬于中檔題.7.關(guān)于的不等式的解集中恰有兩個整數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】把不等式化為，分類討論和，求出不等式的解集，再根據(jù)不等式的解集中恰有兩個整數(shù)，確定的取值范圍?！驹斀狻坎坏仁?，即，若，不等式解集為；若，不等式解集為，要保證恰含有兩個整數(shù)，則或，所以正確選項(xiàng)為C?！军c(diǎn)睛】本題主要考查含參數(shù)的一元二次不等式的解法，分類討論是解決本題的關(guān)鍵。8.已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若，則=（）A. B. 1C. D. 【答案】B【解析】【詳解】等差數(shù)列an中，故選B9.九章算術(shù)中有如下問題：今有蒲生一日，長三尺，莞生一日，長1尺蒲生日自半，莞生日自倍問幾何日而長等？意思是：今有蒲第一天長高3尺，莞第一天長高1尺，以后蒲每天長高前一天的一半，莞每天長高前一天的2倍若蒲、莞長度相等，則所需時間為（）（結(jié)果精確到0.1參考數(shù)據(jù)：lg20.3010，lg30.4771）A. 2.6天B. 2.2天C. 2.4天D. 2.8天【答案】A【解析】【分析】設(shè)蒲的長度組成等比數(shù)列an，其a13，公比為，其前n項(xiàng)和為An莞的長度組成等比數(shù)列bn，其b11，公比為2，其前n項(xiàng)和為Bn利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式及其對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可得出【詳解】設(shè)蒲的長度組成等比數(shù)列an，其a13，公比為，其前n項(xiàng)和為An莞的長度組成等比數(shù)列bn，其b11，公比為2，其前n項(xiàng)和為Bn則An，Bn，由題意可得：，化為：2n7，解得2n6，2n1（舍去）n12.6估計(jì)2.6日蒲、莞長度相等，故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式在實(shí)際中的應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題10.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差為，已知，則（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式代入分類討論.【詳解】由得 化簡：，即，又因?yàn)?，所以，所以符號相?若，則，所以，；若，則，所以，.綜上，故選B.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的綜合應(yīng)用.11.設(shè)正實(shí)數(shù)滿足，則當(dāng)取得最大值時， 的最大值為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先利用基本不等式分析取得最大值的條件，然后再去計(jì)算的最大值.【詳解】因?yàn)?，所以，且，則，即，取等號時有：，且；，當(dāng)且僅當(dāng)時取得最大值：，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式以及二次函數(shù)類型問題的最值，難度一般.注意基本不等式求解最值的時候，取等號的條件一定要判斷好.12.數(shù)列中，且，則數(shù)列前2019項(xiàng)和為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由，可得，化為：，利用“累加求和”方法可得，再利用裂項(xiàng)求和法即可得解【詳解】解：，整理得：，又，可得：則數(shù)列前2019項(xiàng)和為：故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)列遞推關(guān)系、“累加求和”方法、裂項(xiàng)求和，考查了推理能力、轉(zhuǎn)化能力與計(jì)算能力，屬于中檔題二、填空題（每題 4 分，共計(jì) 16 分）13.若不等式kx22x1k0對滿足的所有k都成立，則x的取值范圍為_【答案】【解析】【分析】原不等式可化為，設(shè)，則是關(guān)于的一次函數(shù)，且是單調(diào)函數(shù)，列出相應(yīng)的不等式組，即可求解.【詳解】原不等式可化，設(shè)，則是關(guān)于k的一次函數(shù)，且是單調(diào)函數(shù)，根據(jù)題意可得，即，解得，故x取值范圍為【點(diǎn)睛】本題主要考查了不等式的恒成立問題的求解，對于不等式的恒成立問題，可通過構(gòu)造新的函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性與最值求解是解答此類問題的關(guān)鍵，著重考查了轉(zhuǎn)化思想和推理、計(jì)算能力.14.設(shè)等比數(shù)列滿足a1+a3=10，a2+a4=5，則a1a2an的最大值為 【答案】【解析】試題分析：設(shè)等比數(shù)列的公比為，由得，解得.所以，于是當(dāng)或時，取得最大值.考點(diǎn)：等比數(shù)列及其應(yīng)用15.已知函數(shù)，項(xiàng)數(shù)為的等差數(shù)列滿足，且公差，若，則當(dāng)（ ）時，【答案】.【解析】【分析】先分析函數(shù)的性質(zhì)，利用函數(shù)性質(zhì)來分析條件中所給的等式，然后得出結(jié)論.【詳解】因?yàn)槎x域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對稱且，所以是奇函數(shù)；又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且且，則有：，則，所以.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列與函數(shù)性質(zhì)相結(jié)合的問題，難度一般.解答數(shù)列與函數(shù)的綜合問題，一般都需要先分析函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，然后根據(jù)所給條件將問題轉(zhuǎn)化為求解值或者范圍的問題.16.已知，則的最小值為_.【答案】【解析】【分析】把整理為完全平方式，利用三角換元法可求.【詳解】因?yàn)?，所以令，解得，所?因?yàn)?，所以的最小值?【點(diǎn)睛】本題主要考查多元變量的最值問題，主要處理策略是消元減參，側(cè)重考查數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).三、解答題（共計(jì) 74 分）17.解關(guān)于的不等式【答案】時，解集為：或；時，解集為：；時，解集為：；時，解集為：；時，解集為： .【解析】【分析】先將不等式因式分解，然后再對參數(shù)分類討論，最后求解不等式解集.【詳解】因?yàn)椋?；?dāng)時，解得：；當(dāng)時，若，解得：；若，解得：；若，解得：；若，解得：或；綜上：時，解集為：或；時，解集為：；時，解集為：；時，解集為：；時，解集為： .【點(diǎn)睛】本題考查一元二次不等式的解法問題，難度一般.對于含有參數(shù)的一元二次不等式，如果在二次項(xiàng)上含有參數(shù)，一定要注意是否一定是一元二次；含參數(shù)時注意對參數(shù)分類討論.18.設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足若，求x的取值范圍；若，求證：【答案】（1）；（2）見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)等式，用x表示y，代入不等式中，通過分類討論解不等式即可。（2）根據(jù)“1”的代換，結(jié)合基本不等式即可證明?！驹斀狻坑桑?，所以不等式，即為，所以有或或解得 或或 ，所x的取值范圍為，所以當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號又，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號【點(diǎn)睛】本題考查了含絕對值不等式的解法，基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題。19.某高科技公司研究開發(fā)了一種新產(chǎn)品，生產(chǎn)這種新產(chǎn)品的每天固定成本為元，每生產(chǎn)件，需另投入成本為元，每件產(chǎn)品售價為元（該新產(chǎn)品在市場上供不應(yīng)求可全部賣完）（1）寫出每天利潤關(guān)于每天產(chǎn)量的函數(shù)解析式；（2）當(dāng)每天產(chǎn)量為多少件時，該公司在這一新產(chǎn)品的生產(chǎn)中每天所獲利潤最大【答案】（1）；（2）每天產(chǎn)量為件時，該公司在這一新產(chǎn)品的生產(chǎn)中每天所獲利潤最大為.【解析】【分析】（1）根據(jù)（利潤）（總售價）（總成本），將利潤寫成分段函數(shù)的形式；（2）計(jì)算利潤的分段函數(shù)的每一段的最值，然后再進(jìn)行比較求得利潤最大值.【詳解】（1）因?yàn)槊考a(chǎn)品售價為元，所以件產(chǎn)品售價為元；當(dāng)時， ；當(dāng)時，；所以： ；（2）當(dāng)時，當(dāng)時有最大值；當(dāng)時，取等號時，即時，有最大值；且，所以當(dāng)每天產(chǎn)量為件時，該公司在這一新產(chǎn)品的生產(chǎn)中每天所獲利潤最大.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，難度一般.求解分段函數(shù)的最值時，必須要考慮到每一段函數(shù)的最值，然后再比較每段最值的大小，取得最后的結(jié)果；運(yùn)用基本不等式的時候，要注意取等號的條件.20.已知函數(shù)，且的解集為.（1）求函數(shù)的解析式；（2）解關(guān)于的不等式，；（3）設(shè)，若對于任意的都有，求的最小值.【答案】（1）（2）答案不唯一，具體見解析（3）1【解析】【分析】（1）根據(jù)韋達(dá)定理即可。（2）分別對三種情況進(jìn)行討論。（3）帶入，分別對時三種情況討論?！驹斀狻浚?）解集為可得1，2是方程的兩根，則，（2）時，時，時，（3），為上的奇函數(shù)當(dāng)時，當(dāng)時，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且時，在時，取得最大值，即；當(dāng)時，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，且時，在時，取得最小值，即；對于任意的都有則等價于或（）則的最小值為1【點(diǎn)睛】本題主要考查了含參數(shù)的一元二次不等式，以及絕對值不等式，在解決含參數(shù)的不等式時首先要對參數(shù)進(jìn)行討論。本題屬于難題。21.設(shè)數(shù)列前項(xiàng)和為, 滿足 （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令 求數(shù)列的前項(xiàng)和 ；（3）若不等式對任意的 恒成立，求實(shí)數(shù) 的取值范圍【答案】（1）;（2）;（3）【解析】試題分析：（1）利用遞推式與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；（2）bn=nan=2n4n1，利用“錯位相減法”、等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式即可得出（3）不等式nN*恒成立，化為a ，利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出試題解析：解：（1） 兩式相減，得 .所以，又，即是首項(xiàng)為，公比是的等比數(shù)列.所以 . （2） - ,得 故 （3）由題意，再結(jié)合（2），知 即 .從而設(shè) ，.點(diǎn)睛：用錯位相減法求和應(yīng)注意的問題(1)要善于識別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形；(2)在寫出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時應(yīng)特別注意將兩式“錯項(xiàng)對齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出“SnqSn”的表達(dá)式；(3)在應(yīng)用錯位相減法求和時，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比等于1和不等于1兩種情況求解.22.已知常數(shù)且，在數(shù)列中，首項(xiàng)，是其前項(xiàng)和，且，.（1）設(shè)，證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求出的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，證明數(shù)列是等差數(shù)列，并求出的通項(xiàng)公式；（3）若當(dāng)且僅當(dāng)時，數(shù)列取到最小值，求的取值范圍【答案】（1）證明見解析，；（2）證明見解析，；（3）.【解析】【分析】（1）令，求出的值，再令，由，得出，將兩式相減得，再利用等比數(shù)列的定義證明為常數(shù)，可得出數(shù)列為等比數(shù)列，并確定等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比，可求出；（2）由題意得出，再利用等差數(shù)列的定義證明出數(shù)列為等差數(shù)列，確定等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差，可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，由數(shù)列在時取最小值，可得出當(dāng)時，當(dāng)時，再利用參變量分離法可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時，有，即，；當(dāng)時，由，可得，將上述兩式相減得，且，所以，數(shù)列是以，以為公比的等比數(shù)列，；（2）