平面直角坐標(biāo)變換

精品文檔5.7 平面直角坐標(biāo)變換為了考慮同一圖形在不同的坐標(biāo)系下的方程之間的關(guān)系，我們首先需要建立同一個(gè)點(diǎn)在不同的坐標(biāo)系下的坐標(biāo)之間的關(guān)系，這就是坐標(biāo)變換的問(wèn)題，因?yàn)槲覀冄芯康膱D形是點(diǎn)的軌跡我們僅考慮平面直角坐標(biāo)變換設(shè)在平面上給出了由兩個(gè)標(biāo)架 O；i, j 和 O；i, j 所決定的右手直角坐標(biāo)系，這里i和j以及i 和j 是兩組坐標(biāo)基向量，它們是平面上的兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基，我們依次稱這兩個(gè)坐標(biāo)系為舊坐標(biāo)系和新坐標(biāo)系由于坐標(biāo)系的位置完全由原點(diǎn)和坐標(biāo)基向量所決定，所以新坐標(biāo)系與舊坐標(biāo)系之間的關(guān)系，就由O 在 O；i, j 中的坐標(biāo)以及i 和j 在 O；i, j 中的分量所決定任一直角坐標(biāo)變換總可以分解成移軸（也叫坐標(biāo)平移）和轉(zhuǎn)軸（也叫坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)）兩個(gè)步驟1移軸如果兩個(gè)標(biāo)架 O；i, j 和 O；i, j 的原點(diǎn)O與O 不同，O 在O；i, j 中的坐標(biāo)為 (x0，y0)，但兩標(biāo)架的坐標(biāo)基向量相同，即有i = i， j = j那么標(biāo)架 O；i, j 可以看成是由標(biāo)架 O；i, j 將原點(diǎn)平移到O點(diǎn)而得來(lái)的（圖5.7.1）這種坐標(biāo)變換叫做移軸（坐標(biāo)平移）設(shè)P是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，它對(duì)標(biāo)架 O；i, j 和 O；i, j 的坐標(biāo)分別為 (x，y) 與 ()，則有但 ，于是有故 x，y = x0，y0 x，y 根據(jù)向量相等的定義得移軸公式為圖5.7.1(5.71)從中解出x 和y，就得逆變換公式為(5.72)2轉(zhuǎn)軸若兩個(gè)標(biāo)架 O；i, j 和 O；i, j 的原點(diǎn)相同，即O = O，但坐標(biāo)基向量不同，且有(i，i ) = a，則標(biāo)架 O；i，j 可以看成是由標(biāo)架 O；i，j 繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)a 角而得來(lái)的（圖5.7.2）這種由標(biāo)架 O；i，j 到標(biāo)架 O；i，j的坐標(biāo)變換叫做轉(zhuǎn)軸（坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)）下面推導(dǎo)轉(zhuǎn)軸公式設(shè)P是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，它對(duì) O；i, j 和 O；i, j 的坐標(biāo)分別為 (x，y) 與 ()，即有因?yàn)?i，i ) = a，新舊坐標(biāo)基本向量之間有關(guān)系圖5.7.2于是有因?yàn)镺和O是同一點(diǎn)，故可直接得到轉(zhuǎn)軸公式：(5.73)從（5.73）中解出x 和y ，就得到用舊坐標(biāo)表示新坐標(biāo)的逆變換公式：(5.74)式中的a 為坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)角（5.74）式也可看成是由標(biāo)架 O；i，j 繞O旋轉(zhuǎn) a 角變到 O；i，j 的轉(zhuǎn)軸公式* 根據(jù)線性代數(shù)的理論，（5.73）可寫(xiě)為，這里的坐標(biāo)變換的矩陣是一個(gè)正交矩陣，因而其逆矩陣，逆變換公式可以直接由寫(xiě)出3一般坐標(biāo)變換公式在一般情況下，由舊坐標(biāo)系Oxy變成新坐標(biāo)系Oxy，總可以分兩步來(lái)完成即先移軸使坐標(biāo)原點(diǎn)與新坐標(biāo)系的原點(diǎn)O 重合，變成坐標(biāo)系O，然后再由輔助坐標(biāo)系Oxy 轉(zhuǎn)軸而成新坐標(biāo)系Oxy（圖5.7.3）設(shè)平面上任一點(diǎn)P的舊坐標(biāo)與新坐標(biāo)分別為 (x，y) 與 (x，y )，而在輔助坐標(biāo)系Oxy 中的坐標(biāo)為 (x，y )，那么由（5.71）與（5.74）分別得 與 由上兩式得一般坐標(biāo)變換公式為圖5.7.3(5.75)由（5.75）解出x，y 便得逆變換公式(5.76)平面直角坐標(biāo)變換公式（5.75）是由新坐標(biāo)系原點(diǎn)的坐標(biāo) (x0, y0) 與坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)角 a 決定的4由給定的新坐標(biāo)軸確定的坐標(biāo)變換確定坐標(biāo)變換公式，除了坐標(biāo)平移和旋轉(zhuǎn)外，還可以有其它方法假定已給出了新坐標(biāo)系的兩坐標(biāo)軸在舊坐標(biāo)系中的方程，并規(guī)定了一個(gè)軸的正方向，就可以確定又一種坐標(biāo)變換公式設(shè)在直角坐標(biāo)系xOy里給定了兩條相互垂直的直線l1：，l2：其中如果取直線l1為新坐標(biāo)系中的橫軸Ox，而直線l2為縱軸Oy，并設(shè)平面上任意點(diǎn)M的舊坐標(biāo)與新坐標(biāo)分別是（x，y）與（x，y）因?yàn)?| x | 是點(diǎn)M（x，y）到Oy 軸的距離，也就是M點(diǎn)到l2的距離（圖5.7.4），所以有圖5.7.4同理可得于是在去掉絕對(duì)值符號(hào)以后，便得到一個(gè)坐標(biāo)變換公式(5.77)為了使新坐標(biāo)系仍然是右手坐標(biāo)系，可將（5.77）式與公式（5.74）比較來(lái)決定（5.77）中的符號(hào)因因此（5.77）中的第一式右端的x的系數(shù)應(yīng)與第二式的右端的y的系數(shù)相等，所以（5.77）的符號(hào)選取要使得這兩項(xiàng)的系數(shù)是同號(hào)的這種坐標(biāo)變換的方法常用來(lái)在求得一般中心二次曲線的主直徑的情況下，用兩條主直徑作為新坐標(biāo)軸，把二次曲線的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程以上給出的坐標(biāo)變換的公式（5.75）、（5.76）和（5.77）實(shí)質(zhì)上都是一樣的* 5坐標(biāo)變換下代數(shù)曲線及其次數(shù)的不變性在直角坐標(biāo)系下，如果我們所討論的平面曲線的方程能寫(xiě)成F (x，y) = 0的形式，其中F (x，y) 是關(guān)于x和y的多項(xiàng)式，那么這種方程就叫做代數(shù)方程，它所表示的平面曲線叫做代數(shù)曲線不是代數(shù)曲線的曲線叫做超越曲線代數(shù)方程的次數(shù)叫做代數(shù)曲線的次數(shù)由于上面給出的幾個(gè)坐標(biāo)變換公式都是一次式（線性的），而任何代數(shù)方程經(jīng)過(guò)一次式的變換之后必然還是代數(shù)方程，任何超越方程經(jīng)過(guò)一次式的變換之后也必然還是超越方程因此有命題5.7.1 曲線的代數(shù)性和超越性在線性坐標(biāo)變換下保持不變另一方面，代數(shù)方程的次數(shù)在一次式的變換之下也是保持不變的，因此還有命題5.7.2 代數(shù)曲線的次數(shù)在線性坐標(biāo)變換下保持不變例1 已知新坐標(biāo)系的x 軸與y 軸的方程分別為3x 4y 60與4x 3y 170，求坐標(biāo)變換公式，并求點(diǎn)A（0，1）關(guān)于新坐標(biāo)系的坐標(biāo)解 由題意，設(shè)M (x，y) 是舊坐標(biāo)系下任一點(diǎn)，其新坐標(biāo)為 ( x, y )，則有根據(jù)上面的符號(hào)選取法則得變換公式為或若選第一個(gè)坐標(biāo)變換公式，則點(diǎn)A (0，1) 關(guān)于新坐標(biāo)系的坐標(biāo)是（ 14/5， 2/5）；若選第二個(gè)，則點(diǎn)A (0，1) 關(guān)于新坐標(biāo)系的坐標(biāo)是（14/5，2/5）注 若用前一公式，絕非將坐標(biāo)原點(diǎn)平移到，而是移到了點(diǎn) (2，3)2和3是由（