白濤教學設計案例.doc

學習資料收集于網(wǎng)絡，僅供參考任意角的三角函數(shù)一、教學內(nèi)容解析這是一堂關于任意角的三角函數(shù)的概念課在初中，學生已學過銳角三角函數(shù)，知道直角三角形中銳角的三角函數(shù)等于相應邊長的比值在此基礎上，隨著本章將角的概念推廣，以及引入弧度制后，這里相應地也要將銳角三角函數(shù)推廣為任意角的三角函數(shù)，但它與解三角形已經(jīng)沒有什么關系了任意角的三角函數(shù)是研究一個實數(shù)集（角的弧度數(shù)構成的集合）到另一個實數(shù)集（角的終邊與單位圓交點的坐標或其比值構成的集合）的對應關系，認識它需要借助單位圓、角的終邊以及二者的交點這些幾何圖形的直觀幫助，這中間體現(xiàn)了數(shù)形結合的思想三角函數(shù)是又一種基本初等函數(shù)，它作為描述周期變化現(xiàn)象的最常見、最基本的數(shù)學模型，不僅在高中數(shù)學中有廣泛的應用，而且在其他領域中也具有廣泛的應用而任意角三角函數(shù)的概念又是整個三角函數(shù)內(nèi)容的基礎，所以它不僅是三角函數(shù)內(nèi)容的核心概念，同時在高中數(shù)學中還占有重要的地位本節(jié)課將圍繞任意角三角函數(shù)的概念展開，任意角三角函數(shù)的定義是這節(jié)課的重點，能夠利用單位圓認識該定義是解決教學重點的關鍵二、教學目標解析1借助單位圓理解任意角三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義：（1）能用直角坐標系中角的終邊與單位圓交點的坐標來表示銳角三角函數(shù)；（2）能用直角坐標系中角的終邊與單位圓交點的坐標來表示任意角的三角函數(shù)；（3）知道三角函數(shù)是研究一個實數(shù)集（角的弧度數(shù)構成的集合）到另一個實數(shù)集（角的終邊與單位圓交點的坐標或其比值構成的集合）的對應關系，正弦、余弦和正切都是以角為自變量，以單位圓上點的坐標或坐標的比值為函數(shù)值的函數(shù)2在借助單位圓認識任意角三角函數(shù)的定義的過程中，體會數(shù)形結合的思想，并利用這一思想解決有關定義應用的問題三、教學問題診斷分析1學生在理解用終邊上任意一點的坐標來表示銳角三角函數(shù)時可能會出現(xiàn)障礙，原因是學生在此之前都是研究直角三角形中銳角的三角函數(shù)，并習慣了直觀地用有關邊長的比值來表示銳角三角函數(shù)要克服這一困難，關鍵是幫助學生建立終邊上點的坐標的比值與直角三角形有關邊長的比值的聯(lián)系2學生在理解將終邊上任意一點取在終邊與單位圓的交點這一特殊位置上時，又可能會出現(xiàn)障礙，原因是他們可能會認為這一特殊點不具有任意性針對這一問題，應引導學生利用相似三角形的知識來認識，明白對于一個確定的角，其三角函數(shù)值也就唯一確定了，表示其三角函數(shù)的比值不會隨終邊上所取點的位置的改變而改變3學生在將用單位圓定義銳角三角函數(shù)推廣到定義任意角的三角函數(shù)時，還可能會出現(xiàn)障礙，主要原因還是受初中銳角三角函數(shù)定義的影響，仍然局限在直角三角形中思考問題要幫助學生克服這一困難，就要讓學生知道，借助單位圓，用終邊與單位圓交點的坐標來表示三角函數(shù)，就是為了很好地解決在直角三角形中不能定義任意角的三角函數(shù)的問題，用單位圓統(tǒng)一定義三角函數(shù)，不僅沒有改變初中銳角三角函數(shù)定義的本質(zhì)，同時還能定義任意角的三角函數(shù)四、教學支持條件分析為了加強學生對三角函數(shù)定義的理解，幫助學生克服在理解定義過程中可能遇到的障礙，本節(jié)課準備在計算機的支持下，利用幾何畫板動態(tài)地研究任意角與其終邊和單位圓交點坐標的關系，構建有利于學生建立概念的“多元聯(lián)系表示”的教學情境，使學生能夠更好地數(shù)形結合地進行思維五、教學過程設計（一）教學基本流程復習銳角三角函數(shù)的定義認識任意角三角函數(shù)的定義進一步理解任意角三角函數(shù)的概念小結 （二）教學情景1復習銳角三角函數(shù)的定義問題1：在初中，我們已經(jīng)學過銳角三角函數(shù)如圖1，在直角POM中，M是直角，那么根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，O的正弦、余弦和正切分別是什么？PMO圖1設計意圖：幫助學生回顧初中銳角三角函數(shù)的定義師生活動：教師提出問題，學生回答2認識任意角三角函數(shù)的定義問題2：在上節(jié)教科書的學習中，我們已經(jīng)將角的概念推廣到了任意角，現(xiàn)在所說的角可以是任意大小的正角、負角和零角那么任意角的三角函數(shù)又該怎樣定義呢？設計意圖：引導學生將銳角三角函數(shù)推廣到任意角三角函數(shù)師生活動：在教學中，可以根據(jù)學生的實際情況，利用下列問題引導學生進行思考：（1）能不能繼續(xù)在直角三角形中定義任意角的三角函數(shù)？以此來引導學生在平面直角坐標系內(nèi)定義任意角的三角函數(shù)如果學生仍然不能想到借助平面直角坐標系來定義，那么可以進一步提出下列問題來啟發(fā)學生進行思考：（2）在上節(jié)教科書中，將銳角的概念推廣到任意角時，我們是把角放在哪里進行研究的？進一步引導學生在平面直角坐標系內(nèi)定義任意角的三角函數(shù)在此基礎上，組織學生討論：（3）如圖2，在平面直角坐標系中，如何定義任意角的三角函數(shù)呢？yxOP圖2如果學生仍用直角三角形邊長的比值來定義，則可以作下列引導：（4）終邊是OP的角一定是銳角嗎？如果不是，能利用直角三角形的邊長來定義嗎？如圖3，如果角的終邊不在第I象限又該怎么辦？yxOP圖3（5）我們知道，借助平面直角坐標系，就可以把幾何問題代數(shù)化，比如把點用坐標表示，把線段的長用坐標算出來我們還是回到銳角三角函數(shù)的問題上，大家能不能用平面直角坐標系中角的終邊上的點的坐標來表示定義式中的三條邊長呢？滲透數(shù)形結合的思想（6）利用平面直角坐標系中角的終邊上的點的坐標來定義有什么好處？問題3：大家有沒有辦法讓所得到的定義式變得更簡單一點？設計意圖：為引入單位圓進行鋪墊師生活動：教師提出問題后，可組織學生展開討論在學生不能正確回答時，可啟發(fā)他們思考下列問題：（1）我們在定義1弧度的角的時候，利用了一個什么圖形？所用的圓與半徑大小有關嗎？用半徑多大的圓定義起來更簡單易懂些？（2）對于一個三角函數(shù)，比如ysin，它的函數(shù)值是由什么決定的？那么當一個角的終邊位置確定以后，能不能取終邊上任意一點來定義三角函數(shù)？取哪一點可以使得我們的定義式變得簡單些？怎樣取？加強與幾何的聯(lián)系問題4：大家現(xiàn)在能不能給出任意角三角函數(shù)的定義了？設計意圖：引導學生在借助單位圓定義銳角三角函數(shù)的基礎上，進一步給出任意角三角函數(shù)的定義師生活動：由學生給出任意角三角函數(shù)的定義，教師進行整理問題5：根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義，要求角的三個三角函數(shù)值其實就是分別是求什么？設計意圖：讓學生從中體會，用單位圓上點的坐標定義三角函數(shù)不僅簡化了定義式，還更能突出三角函數(shù)概念的本質(zhì)師生活動：在學生回答問題的基礎上，引導學生利用定義求三角函數(shù)值例1：已知角的終邊經(jīng)過點P（，），求角的正弦、余弦和正切值設計意圖：從最簡單的問題入手，通過變式，讓學生學習如何利用定義求不同情況下函數(shù)值的問題，進而加深對定義的理解，加強定義應用中與幾何的聯(lián)系，體會數(shù)形結合的思想師生活動：在完成本題的基礎上，可通過下列變式引導學生對三角函數(shù)的概念作進一步的認識：變式1：求的正弦、余弦和正切值變式2：已知角的終邊經(jīng)過點P（3，4），求角的正弦、余弦和正切值3進一步理解任意角三角函數(shù)的概念問題6：你能否給出正弦、余弦、正切函數(shù)在弧度制下的定義域？設計意圖：研究一個函數(shù)，就要研究其三要素，而三要素中最本質(zhì)的則是對應法則和定義域三角函數(shù)的對應法則已經(jīng)由定義式給出，所以在給出定義之后就要研究其定義域通過利用定義求定義域，既完善了三角函數(shù)概念的內(nèi)容，同時又可幫助學生進一步理解三角函數(shù)的概念師生活動：學生求出定義域，教師進行整理問題7：上述三種函數(shù)的值在各象限的符號會怎樣？設計意圖：通過定義的應用，讓學生了解三種函數(shù)值在各象限的符號的變化規(guī)律，并從中進一步理解三角函數(shù)的概念，體會數(shù)形結合的思想師生活動：學生回答，教師整理例2：求證：（1）當不等式組成立時，角為第三象限角；（2）當角為第三象限角時，不等式組成立設計意圖：通過問題的解決，熟悉和記憶函數(shù)值在各象限的符號的變化規(guī)律，并進一步理解三角函數(shù)的概念師生活動：在完成本題的基礎上，可視情況改變題目的條件或結論，作變式訓練問題8：既然我們知道了三角函數(shù)的函數(shù)值是由角的終邊的位置決定的，那么角的終邊每繞原點旋轉(zhuǎn)一周，它的大小將會怎樣變化？它所對應的三角函數(shù)值又將怎樣變化？設計意圖：引出公式一，突出函數(shù)周期變化的特點，以及數(shù)形結合的思想師生活動：在教師引導下，由學生討論完成例3：先確定下列三角函數(shù)值的符號，然后再求出它們的值：（1）sin ； （2）cos 3； （3）tan； （4）cos設計意圖：將確定函數(shù)值的符號與求函數(shù)值這兩個問題合在一起，通過應用公式一解決問題，讓學生熟悉和記憶公式一，并進一步理解三角函數(shù)的概念師生活動：先完成題（1），再通過改變函數(shù)名稱和角，逐步完成其他各題4練習1填表：角030456090180270360角的弧度數(shù)sin cos tan 2設是三角形的一個內(nèi)角，在sin ，cos ，tan ，tan中，有可能取負值的是3選擇“”，“0， sin 0， cos 0， tan 0中適當?shù)年P系式的序號填空：（1）當角為第一象限角時， ，反之也對；（2）當角為第二象限角時， ，反之也對；（3）當角為第三象限角時， ，反之也對；（4）當角為第四象限角時， ，反之也對5求的正弦、余弦和正切值6已知角的終邊經(jīng)過點P（12，5），求角的正弦、余弦和正切值7求下列三角函數(shù)值（求非特殊角的三角函數(shù)值可用計算器）：（1）cos 1 109； （2）tan； （3）sin； （4）tan設計意圖：通過應用三角函數(shù)的定義，熟悉和記憶特殊角的三角函數(shù)值、三角函數(shù)值的符號、公式一，以及求三角函數(shù)值，加強對三角函數(shù)概念的理解師生活動：根據(jù)教學的實際情況，對練習題的數(shù)量和內(nèi)容作具體調(diào)整5小結問題9：銳角三角函數(shù)與解直角三角形直接相關，初中我們是利用直角三角形邊的比值來表示其銳角的三角函數(shù)通過今天的學習，我們知道任意角的三角函數(shù)雖然是銳角三角函數(shù)的推廣，但它與解三角形已經(jīng)沒有什么關系了我們是利用單位圓來定義任意角的三角函數(shù)，借助直角坐標系中的單位圓，我們建立了角的變化與單位圓上點的變化之間的對應關系，進而利用單位圓上點的坐標或坐標的比值來表示圓心角的三角函數(shù)你能再回顧一下我們是如何借助單位圓給出任意角三角函數(shù)的定義嗎？設計意圖：回顧和總結本節(jié)課的主要內(nèi)容師生活動：在學生給出定義之后，教師進一步強調(diào)用單位圓定義三角函數(shù)的優(yōu)點問題10：今天我們不僅學習了任意角三角函數(shù)的定義，還接觸了定義的一些應用你能不能歸納一下，今天我們利用定義解決了哪些問題？設計意圖：回顧和總