高中數(shù)學 11.4隨機事件的概率課件 理 新人教A版.ppt

第四節(jié)隨機事件的概率 三年9考高考指數(shù) 1 互斥事件與對立事件的概率是考查重點 2 題型以選擇題 填空題為主 與統(tǒng)計知識交匯則以解答題為主 1 概率和頻率 1 頻率 在相同條件s下重復(fù)n次試驗 觀察某一事件a是否出現(xiàn) na為事件a出現(xiàn)的頻數(shù) 事件a出現(xiàn)的頻率為fn a 2 概率 對于給定的隨機事件a 由于事件a發(fā)生的頻率fn a 隨著試驗次數(shù)的增加穩(wěn)定于概率p a 因此可以用頻率fn a 來估計概率p a 即時應(yīng)用 1 思考 概率與頻率有何區(qū)別與聯(lián)系 提示 頻率和概率的區(qū)別是頻率隨著試驗次數(shù)的變化而變化 概率卻是一個常數(shù) 它是頻率的科學抽象 當試驗次數(shù)越來越多時 頻率向概率靠近 只要次數(shù)足夠多 所得頻率就可以近似地當作隨機事件的概率 2 判斷下列說法的正誤 請在括號內(nèi)打 或 頻率是反映事件發(fā)生的頻繁程度 概率是反映事件發(fā)生的可能性大小 做n次隨機試驗 事件a發(fā)生m次 則事件a發(fā)生的頻率就是事件的概率 百分率是頻率 但不是概率 頻率是不能脫離具體的n次試驗的試驗值 而概率是具有確定性的 不依賴于試驗次數(shù)的理論值 頻率是概率的近似值 概率是頻率的穩(wěn)定值 解析 由頻率的定義和概率的統(tǒng)計定義及二者的關(guān)系可知 正確 不正確 答案 2 事件的關(guān)系與運算 如果事件a發(fā)生 則事件b一定發(fā)生 這時稱事件b包含事件a 或稱事件a包含于事件b a b 若某事件發(fā)生當且僅當事件a發(fā)生或事件b發(fā)生 則稱此事件為事件a與事件b的并事件 或和事件 a b 或a b 若某事件發(fā)生當且僅當事件a發(fā)生且事件b發(fā)生 則稱此事件為事件a與事件b的交事件 或積事件 a b 若a b為不可能事件 a b為必然事件 那么稱事件a與事件b互為對立事件 若a b為不可能事件 那么稱事件a與事件b互斥 即時應(yīng)用 1 兩個事件互斥是這兩個事件對立的 條件 2 從裝有2個紅球和2個白球的口袋內(nèi)任取2個球 下列兩個事件是互斥事件但不是對立事件的是 填序號 至少有1個白球 都是白球 至少有1個白球 至少有1個紅球 恰有1個白球 恰有2個白球 至少有1個白球 都是紅球 解析 1 互斥不一定對立 但對立一定互斥 故互斥是對立的必要不充分條件 2 中的兩個事件不互斥 當然也不對立 中的兩個事件互斥 但不對立 中的兩個事件不但互斥 而且對立 所以正確答案應(yīng)為 答案 1 必要不充分 2 3 概率的幾個基本性質(zhì) 1 概率的取值范圍 2 必然事件的概率為 3 不可能事件的概率為 4 概率的加法公式如果事件a與事件b互斥 則p a b 5 對立事件的概率若事件a與事件b互為對立事件 則a b為必然事件 p a b p a 0 p a 1 p a p b 1 p b 1 0 1 即時應(yīng)用 1 某產(chǎn)品分甲 乙 丙三級 其中乙 丙兩級均屬次品 在正常生產(chǎn)情況下 出現(xiàn)乙級品和丙級品的概率分別是0 05和0 03 則抽驗一只是正品 甲級 的概率為 2 若a b為互斥事件 p a 0 4 p a b 0 7 則p b 3 在人民商場付款處排隊等候付款的人數(shù)及其概率如下 則至少有兩人排隊的概率為 解析 1 記抽驗的產(chǎn)品是甲級品為事件a 是乙級品為事件b 是丙級品為事件c 這三個事件彼此互斥 因而抽驗產(chǎn)品是正品 甲級 的概率為p a 1 p b p c 1 0 05 0 03 0 92 2 a b為互斥事件 p a b p a p b p b p a b p a 0 7 0 4 0 3 3 p 1 0 1 0 16 0 74答案 1 0 92 2 0 3 3 0 74 隨機事件的頻率與概率 方法點睛 頻率與概率的理解 1 依據(jù)定義求一個隨機事件的概率的基本方法是通過大量的重復(fù)試驗 用事件發(fā)生的頻率近似地作為它的概率 但是 某一事件的概率是一個常數(shù) 而頻率隨著試驗次數(shù)的變化而變化 2 概率意義下的 可能性 是大量隨機事件現(xiàn)象的客觀規(guī)律 與我們?nèi)粘Ｋf的 可能 估計 是不同的 也就是說 單獨一次結(jié)果的不確定性與積累結(jié)果的有規(guī)律性 才是概率意義下的 可能性 事件a的概率是事件a的本質(zhì)屬性 例1 2011 新課標全國卷 某種產(chǎn)品的質(zhì)量以其質(zhì)量指標值衡量 質(zhì)量指標值越大表明質(zhì)量越好 且質(zhì)量指標值大于或等于102的產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品 現(xiàn)用兩種新配方 分別稱為a配方和b配方 做試驗 各生產(chǎn)了100件這種產(chǎn)品 并測量了每件產(chǎn)品的質(zhì)量指標值 得到下面試驗結(jié)果 a配方的頻數(shù)分布表 b配方的頻數(shù)分布表 1 分別估計用a配方 b配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率 2 已知用b配方生產(chǎn)的一件產(chǎn)品的利潤y 單位 元 與其質(zhì)量指標值t的關(guān)系式為估計用b配方生產(chǎn)的一件產(chǎn)品的利潤大于0的概率 并求用b配方生產(chǎn)的上述100件產(chǎn)品平均一件的利潤 解題指南 第 1 問分別用a配方 b配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的頻率來估計概率 第 2 問 用b配方生產(chǎn)的一件產(chǎn)品的利潤大于0時即質(zhì)量指標t 94時的頻率作為概率 生產(chǎn)的100件產(chǎn)品的平均利潤為 2 頻率 t 94 2 頻率 94 t 102 4 頻率 t 102 規(guī)范解答 1 由試驗結(jié)果知 用a配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的頻率為 0 3 所以用a配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品率的估計值為0 3 由試驗結(jié)果知 用b配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的頻率為 0 42 所以用b配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品率的估計值為0 42 2 由條件知 用b配方生產(chǎn)的一件產(chǎn)品的利潤大于0的概率即為t 94的概率 由試驗結(jié)果知 t 94的頻率為0 96 所以用b配方生產(chǎn)的一件產(chǎn)品的利潤大于0的概率估計值為0 96 用b配方生產(chǎn)的上述100件產(chǎn)品平均一件的利潤為 4 2 54 2 42 4 2 68 元 反思 感悟 概率可看作頻率在理論上的期望值 它從數(shù)量上反映了隨機事件發(fā)生的可能性大小 頻率可近似地當作隨機事件的概率 本題在解決概率問題時就是利用頻率 變式訓練 某射擊運動員在同一條件下進行練習 結(jié)果如表所示 1 計算表中擊中10環(huán)的頻率 2 根據(jù)表中數(shù)據(jù) 估計該運動員射擊一次命中10環(huán)的概率 解析 1 擊中10環(huán)的頻率依次為0 8 0 95 0 88 0 93 0 89 0 906 2 隨著試驗次數(shù)的增加 頻率在常數(shù)0 9附近擺動 所以估計該運動員射擊一次命中10環(huán)的概率約是0 9 隨機事件間的關(guān)系 方法點睛 1 互斥事件的理解 1 互斥事件研究的是兩個事件之間的關(guān)系 2 所研究的兩個事件是在一次試驗中所涉及的 3 兩個事件互斥是從 試驗的結(jié)果不能同時出現(xiàn) 來確定的 2 從集合角度理解互斥和對立事件從集合的角度看 幾個事件彼此互斥 是指由各個事件所含的結(jié)果組成的集合彼此的交集為空集 事件a的對立事件所含的結(jié)果組成的集合 是全集中由事件a所含的結(jié)果組成的集合的補集 例2 判斷下列各對事件是否是互斥事件或?qū)α⑹录?某小組有3名男生和2名女生 從中任選2名同學去參加演講比賽 其中 1 恰有1名男生和恰有2名男生 2 至少有1名男生和至少有1名女生 3 至少有1名男生和全是男生 4 至少有1名男生和全是女生 解題指南 應(yīng)重點關(guān)注從3名男生和2名女生中任選2名同學的所有可能情況 然后根據(jù)各事件包含的各種可能結(jié)果來判斷各事件的關(guān)系 規(guī)范解答 1 是互斥事件 不是對立事件 原因是 在所選的2名同學中 恰有1名男生 實質(zhì)是選出的是 1名男生和1名女生 它與 恰有兩名男生 不可能同時發(fā)生 所以是一對互斥事件 但其并事件不是必然事件 所以不是對立事件 2 不可能是互斥事件 從而也不是對立事件 原因是 至少有1名男生 包括 1名男生和1名女生 與 兩名都是男生 兩種結(jié)果 至少有1名女生 包括 1名女生和1名男生 與 兩名都是女生 兩種結(jié)果 它們可能同時發(fā)生 3 不可能是互斥事件 也不是對立事件 原因是 至少有1名男生 包括 1名男生和1名女生 與 兩名都是男生 這與 全是男生 可能同時發(fā)生 4 是互斥事件 也是對立事件 原因是 至少有1名男生 包括 1名男生和1名女生 與 兩名都是男生 兩種結(jié)果 它與 全是女生 不可能同時發(fā)生 且其并事件是必然事件 所以也是對立事件 反思 感悟 判斷兩事件的關(guān)系時 一是要考慮試驗的前提條件 二是考慮事件間是否有交事件 可考慮利用venn圖分析 對于較難作出判斷關(guān)系的情況 也可列出全部結(jié)果 再進行分析 變式訓練 從一副橋牌 52張 中任取1張 判斷下列每對事件是否為互斥事件 是否為對立事件 1 抽出紅桃 與 抽出黑桃 2 抽出紅色牌 與 抽出黑色牌 3 抽出的牌點數(shù)為3的倍數(shù) 與 抽出的牌點數(shù)大于10 解析 1 是互斥事件但不是對立事件 因為 抽出紅桃 與 抽出黑桃 在僅取一張時不可能同時發(fā)生 因而是互斥的 同時 不能保證其中必有一個發(fā)生 因為還可能抽出 方塊 或 梅花 因此兩者不對立 2 是互斥事件又是對立事件 因為兩者不可能同時發(fā)生 但其中必有一個發(fā)生 3 不是互斥事件 更不是對立事件 因為 抽出的牌點數(shù)為3的倍數(shù) 與 抽出的牌點數(shù)大于10 這兩個事件有可能同時發(fā)生 變式備選 某縣城有甲 乙兩種報紙供居民訂閱 記事件a為 只訂甲報 事件b為 至少訂一種報 事件c為 至多訂一種報 事件d為 不訂甲報 事件e為 一種報也不訂 判斷下列事件是不是互斥事件 如果是 再判斷它們是不是對立事件 1 a與c 2 b與e 3 b與d 4 b與c 5 c與e 解析 1 由于事件c 至多訂一種報 中可能只訂甲報 即事件a與事件c有可能同時發(fā)生 故a與c不是互斥事件 2 事件b 至少訂一種報 與事件e 一種報也不訂 是不可能同時發(fā)生的 故事件b與事件e是互斥事件 由于事件b發(fā)生可導(dǎo)致事件e必不發(fā)生 且事件e不發(fā)生則事件b一定發(fā)生 故事件b與事件e是對立事件 3 事件b 至少訂一種報 中有可能只訂乙報 不訂甲報 也就是說事件b發(fā)生 事件d也可能發(fā)生 故b與d不是互斥事件 4 事件b 至少訂一種報 中有這些可能 只訂甲報 只訂乙報 訂甲 乙兩種報 事件c 至多訂一種報 中有這些可能 甲 乙兩種報都不訂 只訂甲報 只訂乙報 由于這兩個事件可能同時發(fā)生 故b與c不是互斥事件 5 由 4 的分析可知 事件e 一種報也不訂 僅僅是事件c的一種可能 事件c與事件e可能同時發(fā)生 故c與e不是互斥事件 互斥事件 對立事件的概率 方法點睛 求復(fù)雜的互斥事件的概率的一般方法 1 直接求法 將所求事件的概率分解為一些彼此互斥的事件的概率的和 運用互斥事件的求和公式計算 2 間接求法 先求此事件的對立事件的概率 再用公式p a 1 p 即運用逆向思維 正難則反 特別是 至多 至少 型題目 用間接求法就顯得較簡便 提醒 應(yīng)用互斥事件的概率加法公式 一定要注意首先確定各個事件是否彼此互斥 然后求出各事件發(fā)生的概率 再求和 例3 1 2012 濟南模擬 在數(shù)學考試中 小明的成績在90分及以上的概率是0 18 在80 89分的概率是0 51 在70 79分的概率是0 15 在60 69分的概率是0 09 60分以下的概率是0 07 則小明在數(shù)學考試中取得80分及以上的概率為 2 國家射擊隊的隊員為在世界射擊錦標賽上取得優(yōu)異成績 正在加緊備戰(zhàn) 經(jīng)過近期訓練 某隊員射擊一次 命中7 10環(huán)的概率如表所示 求該射擊隊員射擊一次 射中9環(huán)或10環(huán)的概率 至少命中8環(huán)的概率 解題指南 1 小明的成績在80分及以上可以看作是互斥事件 80 89分 90分及以上 的并事件 2 該射擊隊員在一次射擊中 命中幾環(huán)不可能同時發(fā)生 故彼此是互斥事件 利用互斥事件求概率的公式求其概率 另外 當直接求解不容易時 可先求其對立事件的概率 規(guī)范解答 1 分別記小明的成績 在90分及以上 在80 89分 在70 79分 在60 69分 60分以下 為事件b c d e f 這五個事件彼此互斥 所以小明的成績在80分及以上的概率是p b c p b p c 0 18 0 51 0 69 答案 0 69 2 記事件 射擊一次 命中k環(huán) 為ak k n k 10 則事件ak彼此互斥 記 射擊一次 射中9環(huán)或10環(huán) 為事件a 那么當a9 a10之一發(fā)生時 事件a發(fā)生 由互斥事件的概率加法公式得p a p a9 p a10 0 28 0 32 0 60 設(shè) 射擊一次 至少命中8環(huán) 為事件b 那么當a8 a9 a10之一發(fā)生時 事件b發(fā)生 由互斥事件概率的加法公式得p b p a8 p a9 p a10 0 18 0 28 0 32 0 78 互動探究 在本例 1 中條件不變 求小明在數(shù)學考試中及格的概率 解析 方法一 由例題知小明考試及格的概率是p b c d e p b p c p d p e 0 18 0 51 0 15 0 09 0 93 方法二 小明考試不及格的概率是0 07 記 小明考試及格 為事件a 所以小明考試及格的概率是p a 1 0 07 0 93 所以小明在數(shù)學考試中及格的概率是0 93 反思 感悟 必須明白事件a b互斥的條件 只有互斥事件才可用概率的求和公式p a b p a p b 變式備選 一盒中裝有各色球12只 其中5個紅球 4個黑球 2個白球 1個綠球 從中隨機取出1球 求 1 取出的1球是紅球或黑球的概率 2 取出的1球是紅球或黑球或白球的概率 解析 記事件a1 任取1球為紅球 a2 任取1球為黑球 a3 任取1球為白球 a4 任取1球為綠球 則 方法一 利用互斥事件的概率公式求概率 根據(jù)題意 知事件a1 a2 a3 a4彼此互斥 由互斥事件概率公式 得 1 取出1球為紅球或黑球的概率為p a1 a2 p a1 p a2 2 取出1球為紅球或黑球或白球的概率為p a1 a2 a3 p a1 p a2 p a3 方法二 利用對立事件求概率的方法 1 由方法一知 取出1球為紅球或黑球的對立事件為取出一白球或綠球 即a1 a2的對立事件為a3 a4 所以取得一紅球或黑球的概率為 p a1 a2 1 p a3 a4 1 p a3 p a4 2 a1 a2 a3的對立事件為a4 所以p a1 a2 a3 1 p a4 滿分指導(dǎo) 隨機事件主觀題的規(guī)范解答 典例 12分 2011 陜西高考 如圖 a地到火車站共有兩條路徑l1和l2 現(xiàn)隨機抽取100位從a地到達火車站的人進行調(diào)查 調(diào)查結(jié)果如下 1 試估計40分鐘內(nèi)不能趕到火車站的概率 2 分別求通過路徑l1和l2所用時間落在上表中各時間段內(nèi)的頻率 3 現(xiàn)甲 乙兩人分別有40分鐘和50分鐘時間用于趕往火車站 為了盡最大可能在允許的時間內(nèi)趕到火車站 試通過計算說明 他們應(yīng)如何選擇各自的路徑 解題指南 1 讀懂所給表格 確定不能趕到火車站的人數(shù)所在的區(qū)間 用相應(yīng)的頻率作為所求概率的估計值 2 根據(jù)頻率的計算公式計算 3 計算選擇不同的路徑 在允許的時間內(nèi)趕往火車站的概率 通過比較概率的大小確定選擇的最佳路徑 規(guī)范解答 1 由已知共調(diào)查了100人 其中40分鐘內(nèi)不能趕到火車站的有12 12 16 4 44人 用頻率估計相應(yīng)的概率為0 44 3分 2 選擇l1的有60人 選擇l2的有40人 故由調(diào)查結(jié)果得頻率為 6分 3 用a1 a2分別表示甲選擇l1和l2時 在40分鐘內(nèi)趕到火車站 用b1 b2分別表示乙選擇l1和l2時 在50分鐘內(nèi)趕到火車站 由 2 知p a1 0 1 0 2 0 3 0 6 p a2 0 1 0 4 0 5 p a1 p a2 甲應(yīng)選擇路徑l1 10分p b1 0 1 0 2 0 3 0 2 0 8 p b2 0 1 0 4 0 4 0 9 p b2 p b1 乙應(yīng)選擇路徑l2 12分 閱卷人點撥 通過高考中的閱卷數(shù)據(jù)分析與總結(jié) 我們可以得到以下失分警示和備考建議 1 2012 西安模擬 袋中裝有3個白球 4個黑球 從中任取3個球 則 恰有1個白球和全是白球 至少有1個白球和全是黑球 至少有1個白球和至少有2個白球 至少有1個白球和至少有1個黑球